第8期 2.5 全等三角形(AAS,SSS) 2.6 用尺规作三角形（参考答案见10期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 上期２版 ２．５全等三角形 ２．５．１全等图形 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｃ；　４．５５． ５．（１）因为△ＡＢＥ≌△ＤＣＦ，所以∠Ｂ＝∠Ｃ．所以 ＡＢ∥ＣＤ． （２）因为△ＡＢＥ≌△ＤＣＦ，所以ＢＥ＝ＣＦ．所以ＢＥ －ＥＦ＝ＣＦ－ＥＦ，即ＢＦ＝ＣＥ．因为ＢＣ＝１０，ＥＦ＝７， 所以ＣＥ＝ＢＦ＝ １２×（１０－７）＝１．５．所以ＢＥ＝ＢＣ －ＣＥ＝８．５． ６．如图所示： 能力提高　７．１９３或６． ２．５．２边角边（ＳＡＳ） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．①③． ４．因为 ∠１＝∠２，所以 ∠１＋∠ＤＡＣ＝∠２＋ ∠ＤＡＣ，即 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ．在 △ＡＢＣ和 △ＡＤＥ中， ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ， ＡＣ＝ＡＥ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ（ＳＡＳ）． ５．（１）因为ＢＦ＝ＥＣ，所以ＢＦ＋ＦＣ＝ＥＣ＋ＦＣ，即 ＢＣ＝ＥＦ．在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中， ＡＣ＝ＤＦ， ∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ， ＢＣ＝ＥＦ { ， 所 以△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＳＡＳ）． （２）因为△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，所以∠Ｂ＝∠Ｅ．所以 ＡＢ∥ＥＤ． ６．（１）因为ＣＥ∥ＡＢ，所以∠Ｂ＝∠ＤＣＥ．在△ＡＢＣ 和 △ＤＣＥ 中， ＢＣ＝ＣＥ， ∠Ｂ＝∠ＤＣＥ， ＢＡ＝ＣＤ { ， 所 以 △ＡＢＣ ≌ △ＤＣＥ（ＳＡＳ）． （２）由（１）知△ＡＢＣ≌△ＤＣＥ．因为∠Ｄ＝２２°，所 以∠Ａ＝∠Ｄ＝２２°．因为∠Ｂ＝５０°，所以∠ＡＧＦ＝∠Ｂ ＋∠Ｄ＝７２°．所以∠ＡＦＧ＝１８０°－∠Ａ－∠ＡＧＦ＝８６°． ２．５．３角边角（ＡＳＡ） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．６． ４．在△ＡＢＤ和△ＡＣＥ中， ∠Ａ＝∠Ａ， ＡＢ＝ＡＣ， ∠Ｂ＝∠Ｃ { ， 所以△ＡＢＤ ≌△ＡＣＥ（ＡＳＡ）．所以ＢＤ＝ＣＥ． ５．（１）因为 ＡＢ∥ ＤＥ，所以 ∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ．在 △ＡＢＣ和△ＤＥＦ中， ∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ， ＡＢ＝ＤＥ， ∠Ａ＝∠Ｄ { ， 所以△ＡＢＣ≌ ＤＥＦ（ＡＳＡ）． （２）因为△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，所以ＢＣ＝ＥＦ．所以ＢＣ －ＦＣ＝ＥＦ－ＦＣ，即ＢＦ＝ＥＣ．因为ＢＥ＝１００ｍ，ＢＦ＝ ３０ｍ，所以ＦＣ＝ＢＥ－ＢＦ－ＥＣ＝４０ｍ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ 二、９．７９°；　１０．６０；　１１．６ｃｍ；　１２．３０；　１３．３． 三、１４．因为 ＡＢ∥ ＤＥ，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＥ．在 △ＡＢＣ和△ＤＡＥ中， ＡＢ＝ＤＡ， ∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＥ， ＡＣ＝ＤＥ { ， 所以 △ＡＢＣ≌ △ＤＡＥ（ＳＡＳ）．所以∠Ｃ＝∠Ｅ． １５．因为∠Ｅ＋∠ＣＢＥ＝１８０°，∠ＡＢＣ＋∠ＣＢＥ＝ １８０°，所以∠Ｅ＝∠ＡＢＣ．因为ＡＤ＝ＢＥ，所以ＡＤ＋ＤＢ ＝ＢＥ＋ＤＢ，即 ＡＢ＝ＤＥ．在 △ＡＢＣ和 △ＤＥＦ中， ∠Ａ＝∠ＥＤＦ， ＡＢ＝ＤＥ， ∠ＡＢＣ＝∠Ｅ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＡＳＡ）．所以ＡＣ ＝ＤＦ． （下转２，３版中缝） 书 在学习了探索三角形全等的条件后，我们可以借助 全等三角形的知识，根据所给的条件，用尺规作图的方 法作三角形．下面举例说明． 一、已知两边及其夹角作三角形 例１　已知一个三角形的两条边分别为 ａ，ｂ，这两 条边的夹角为∠α，如图１，求作这个三角形． 分析：根据已知条件，可以先作 ∠ＤＢＥ，使其等于 ∠α，然后分别在∠ＤＢＥ的两边截取线段ＢＣ＝ａ，ＢＡ＝ ｂ，连接ＡＣ即可． 作法： （１）先作∠ＤＢＥ＝∠α； （２）然后分别在∠ＤＢＥ的两边上截取 ＢＣ＝ａ，ＢＡ ＝ｂ； （３）连接ＡＣ，则△ＡＢＣ即为所求． 如图２． 温馨提示：①求作三角形时，一般先作出角，然后根 据条件作出所求作的图形；②尺规作图时，应注意作图 语言的规范性． 二、已知两角及其夹边作三角形 例２　已知一个三角形的两角分别为 ∠α，∠β，夹 边为ｃ，如图３，求作这个三角形． 分析：作出线段ＡＢ＝ｃ，即可确定三角形的两个顶点， 再在ＡＢ边的同一侧，分别以Ａ，Ｂ两点为顶点作两个角等于 已知角，这两个角的另一边的交点就是第三个顶点． 作法： （１）先作线段ＡＢ＝ｃ； （２）再分别以点Ａ，Ｂ两点为顶点，射线ＡＢ，ＢＡ为一 边，在ＡＢ的同一侧作∠ＤＡＢ＝∠α，∠ＥＢＡ＝∠β； （３）ＡＤ，ＢＥ交于点Ｃ，则△ＡＢＣ即为所求． 如图４． 温馨提示：由于已知条件中有一边，所以三角形的 两个顶点容易确定，关键是确定第三个顶点． 三、已知三边作三角形 例３　已知一个三角形的三条边分别为ａ，ｂ，ｃ，如图 ５，求作这个三角形． 分析：先作出△ＡＢＣ的一条边（如ＡＢ＝ｃ），确定出 两个顶点，然后分别以这两个顶点为圆心，以线段ａ，ｂ的 长为半径画出两条弧即可确定第三个顶点． 作法： （１）先作线段ＡＢ＝ｃ； （２）分别以Ｂ，Ａ为圆心，ａ，ｂ为半径画弧交于点Ｃ； （３）连接ＡＣ，ＢＣ，则△ＡＢＣ即为所求． 如图６． 温馨提示：利用尺规作三角形时，一定要注意分析 条件，确定出基本的图形，画出草图，进而确定作图的方 法和步骤． 书 问题：如图 １，已知 ＡＣ∥ ＢＤ，ＡＥ，ＢＥ分别平分 ∠ＣＡＢ， ∠ＤＢＡ，且ＣＤ经过点 Ｅ，试判断 ＡＢ与ＡＣ＋ＢＤ的数量关系，并说 明理由． 方法一：截长法 解：ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ．理由如下： 如图２，在 ＡＢ上截取 ＡＦ＝ ＡＣ，连接 ＥＦ．因为 ＡＥ平分 ∠ＣＡＢ，所以∠ＣＡＥ＝∠ＦＡＥ．在 △ＣＡＥ 和 △ＦＡＥ 中， ＡＣ＝ＡＦ， ∠ＣＡＥ＝∠ＦＡＥ， ＡＥ＝ＡＥ { ， 所以 △ＣＡＥ ≌△ＦＡＥ（ＳＡＳ）．所以∠Ｃ＝∠ＡＦＥ．因为ＡＣ∥ＢＤ，所 以∠Ｃ＋∠Ｄ＝１８０°．因为∠ＥＦＢ＋∠ＡＦＥ＝１８０°，所以 ∠ＥＦＢ＝∠Ｄ．因为 ＢＥ平分 ∠ＤＢＡ，所以 ∠ＦＢＥ＝ ∠ＤＢＥ．在△ＢＥＦ和△ＢＥＤ中， ∠ＥＦＢ＝∠Ｄ， ∠ＦＢＥ＝∠ＤＢＥ， ＢＥ＝ＢＥ { ， 所以 △ＢＥＦ≌△ＢＥＤ（ＡＡＳ）．所以ＢＦ＝ＢＤ．因为ＡＢ＝ＡＦ＋ ＢＦ，所以ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ． 方法二：补短法 解：ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ．理由如 下： 如图３，延长ＡＣ至点Ｆ，使ＡＦ ＝ＡＢ，连接 ＥＦ．因为 ＡＥ平分 ∠ＣＡＢ，所以∠ＦＡＥ＝∠ＢＡＥ．在 △ＡＥＦ和 △ＡＥＢ中， ＡＦ＝ＡＢ， ∠ＦＡＥ＝∠ＢＡＥ， ＡＥ＝ＡＥ { ， 所以 △ＡＥＦ≌ △ＡＥＢ（ＳＡＳ）．所以∠Ｆ＝∠ＡＢＥ，ＥＦ＝ＥＢ．因为ＢＥ平分 ∠ＤＢＡ，所以∠ＤＢＥ＝∠ＡＢＥ．所以∠Ｆ＝∠ＤＢＥ．因为 ＡＣ∥ＢＤ，所以 ∠ＦＣＥ＝∠Ｄ．在 △ＣＥＦ和 △ＤＥＢ中， ∠ＦＣＥ＝∠Ｄ， ∠Ｆ＝∠ＤＢＥ， ＥＦ＝ＥＢ { ， 所以△ＣＥＦ≌△ＤＥＢ（ＡＡＳ）．所以ＦＣ＝ ＢＤ．因为ＡＢ＝ＡＦ＝ＡＣ＋ＦＣ，所以ＡＢ＝ＡＣ＋ＢＤ． 温馨提示：截长法和补短法是解决全等三角形中线 段的和、差、倍、分等题目的常用方法．若题目的条件或 待求结论中含有“ａ＝ｂ＋ｃ”，需要添加辅助线时，应考虑 截长法或补短法，其具体做法为：在最长的线段上截取 一条线段与较短的线段相等，或是将一条较短的线段延 长，使之与最长的线段相等，再利用全等三角形的知识 进行说明． 书 在实际应用中，对于一些不能直接测量的距离，可 以构造全等三角形来完成测量．现举例说明． 一、计算砖块的厚度 例１　如图１，课间小聪拿 着老师的等腰直角三角板玩， 不小心掉到两墙之间，小聪用 三角板量出 ＣＥ＝１２ｃｍ，于是 小聪很快就知道了砌墙砖块的 厚度（每块砖的厚度相等）．你知道他是怎样算出来的 吗？砌墙砖块的厚度是多少？ 解：由题意可知 ∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＣ＝∠ＣＥＢ＝９０°， ＡＣ＝ＣＢ．所以∠ＤＡＣ＋∠ＡＣＤ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝９０°， ∠ＥＣＢ＋∠ＡＣＤ＝１８０°－∠ＡＣＢ＝９０°．所以∠ＤＡＣ＝ ∠ＥＣＢ．在△ＡＤＣ和△ＣＥＢ中， ∠ＡＤＣ＝∠ＣＥＢ， ∠ＤＡＣ＝∠ＥＣＢ， ＡＣ＝ＣＢ { ， 所以 △ＡＤＣ≌△ＣＥＢ（ＡＡＳ）．所以ＡＤ＝ＣＥ＝１２ｃｍ．所以砌 墙砖块的厚度是４ｃｍ． 二、测量树木到城门的距离 例２　“今有邑，东西六里，南 北十里，各开中门，出东门三里有 木，问：出南门几何步而见木？”这 段话改编自《九章算术》，意思是： 如图２，已知长方形ＡＢＣＤ，东边城 墙 ＡＢ长 １０里，南边城墙 ＡＤ长 ６里，东门点 Ｅ，南门点 Ｆ分别是 ＡＢ，ＡＤ的中点，ＥＧ⊥ＡＢ，ＦＨ⊥ＡＤ，ＥＧ＝３里，ＨＧ经过 Ａ点，则ＦＨ＝ 里． 解：因为 Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＡＤ的中点，所以 ＦＡ＝ ３里，ＥＡ＝５里．所以ＦＡ＝ＥＧ．因为ＥＧ⊥ＡＢ，ＦＨ⊥ＡＤ， 所以∠ＨＦＡ＝∠ＡＥＧ＝９０°．所以∠ＦＡＨ＋∠Ｈ＝１８０° －∠ＨＦＡ＝９０°．因为∠ＢＡＤ＝９０°，所以∠ＦＡＨ＋∠ＥＡＧ ＝１８０°－∠ＢＡＤ＝９０°．所以∠Ｈ＝∠ＥＡＧ．在△ＨＦＡ和 △ＡＥＧ 中， ∠Ｈ＝∠ＥＡＧ， ∠ＨＦＡ＝∠ＡＥＧ， ＦＡ＝ＥＧ { ， 所 以 △ＨＦＡ ≌ △ＡＥＧ（ＡＡＳ）．所以ＦＨ＝ＥＡ＝５里．故填５． 三、测量斜坡上一点的竖直高度 例３　 如图 ３，ＡＤ是一段斜坡， ＡＢ是水平线，现为了测量斜坡上一点 Ｄ的竖直高度ＤＢ的长度，欢欢在Ｄ处 立上一竹竿ＣＤ，并保证ＣＤ⊥ＡＤ，然 后在竿顶Ｃ处垂下一根绳ＣＥ，与斜坡 的交点为点Ｅ，他调整好绳子ＣＥ的长度，使得ＣＥ＝ＡＤ， 此时他测得ＤＥ＝２米，求ＢＤ的长度． 解：如图 ３，延长 ＣＥ交 ＡＢ于点Ｆ．根据题意，得 ∠ＡＦＥ＝∠ＡＢＤ＝９０°．所以∠Ａ＋∠１＝１８０°－∠ＡＦＥ ＝９０°．因为 ＣＤ⊥ ＡＤ，所以 ∠ＣＤＥ＝９０°．所以 ∠Ｃ＋ ∠２＝１８０°－∠ＣＤＥ＝９０°．由对顶角相等，得 ∠１＝ ∠２．所 以 ∠Ａ ＝ ∠Ｃ．在 △ＡＢＤ 和 △ＣＤＥ中， ∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＥ， ∠Ａ＝∠Ｃ， ＡＤ＝ＣＥ { ， 所以 △ＡＢＤ≌ △ＣＤＥ（ＡＡＳ）．所以 ＢＤ＝ＤＥ＝２米． ! !"# $%& ! " # $ % ! ! % & ' ! ( ) $ # ! ! * $ # ! ) " ! + ! # 书 两个三角形全等的判定方法有“ＳＳＳ”，“ＳＡＳ”， “ＡＳＡ”，“ＡＡＳ”，它们都需要三个条件，而常见的试题却 往往只给出两个明显的已知条件，面对“二缺一”的局 面，到底选择哪种方法来判定呢？ 一、已知两边对应相等 已知条件 ＡＢ＝ＤＥ ＢＣ＝ＥＦ 方法一 找第三边对应相等：首先判断 ＡＣ＝ＤＦ，然 后应用“ＳＳＳ”判定全等 方法二 找两边的夹角对应相等：首先判断 ∠Ｂ＝ ∠Ｅ，然后应用“ＳＡＳ”判定全等 例１　（２０２３成都天府新 区模拟）如图 １，已知 ＡＢ＝ ＤＥ，ＡＤ＝ＣＦ，添加下列条件， 能判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ的是 （　　） Ａ．ＡＣ＝ＤＦ Ｂ．∠Ａ＝∠ＦＤＥ Ｃ．∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｅ 解析：因为ＡＤ＝ＣＦ，所以ＡＤ＋ＣＤ＝ＣＦ＋ＣＤ，即 ＡＣ＝ＤＦ．要判定 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ，已经有两边对应相 等，应添加这两边的夹角对应相等或第三边对应相等． 添加ＡＣ＝ＤＦ或∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ或∠Ｂ＝∠Ｅ，不 能判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ； 添加 ∠Ａ＝∠ＦＤＥ，根据“ＳＡＳ”判定 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ． 故选Ｂ． 二、已知两角对应相等 已知条件 ∠Ａ＝∠Ｄ ∠Ｂ＝∠Ｅ 方法一 找已知两角的夹边对应相等：首先判断 ＡＢ ＝ＤＥ，然后应用“ＡＳＡ”判定全等 方法二 找已知一角的对边相等：首先判断ＡＣ＝ＤＦ 或者ＢＣ＝ＥＦ，然后应用“ＡＡＳ”判定全等 例２　（２０２３银川兴庆区一 模）如图 ２，ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ， ∠Ａ＝∠Ｄ，请你再补充一个条 件，使△ＡＯＢ≌△ＤＯＣ，你补充的 条件是 ． 解析：由对顶角相等，得 ∠ＡＯＢ＝∠ＤＯＣ．要判定 △ＡＯＢ≌△ＤＯＣ，应添加一组边对应相等． 添加ＡＯ＝ＤＯ，根据“ＡＳＡ”判定△ＡＯＢ≌△ＤＯＣ； 添加ＡＢ＝ＤＣ或ＢＯ＝ＣＯ，根据“ＡＡＳ”判定△ＡＯＢ ≌△ＤＯＣ． 故填ＡＯ＝ＤＯ或ＡＢ＝ＤＣ或ＢＯ＝ＣＯ． 三、已知一边、一角对应相等 已知条件 ＡＢ＝ＤＥ ∠Ｂ＝∠Ｅ 方法一 找已知角的另一邻边对应相等：首先判断 ＢＣ＝ＥＦ，然后应用“ＳＡＳ”判定全等 方法二 找已知边的另一邻角对应相等：首先判断 ∠Ａ＝∠Ｄ，然后应用“ＡＳＡ”判定全等 方法三 找已知边的对角对应相等：首先判定 ∠Ｃ ＝∠Ｆ，然后应用“ＡＡＳ”判定全等 例３　（２０２３昆明一模）如 图３，已知 ∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＢ，点 Ａ，Ｂ，Ｅ共线，添加下列条件不能 判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ的是 （　　） Ａ．∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ Ｂ．∠Ｄ＝∠Ｃ Ｃ．ＤＡ＝ＣＡ Ｄ．ＤＢ＝ＣＢ 解析：由图可知，ＡＢ是公共边． 添加∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ，因为∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＢ，所以 ∠ＤＢＥ－∠ＤＡＢ＝∠ＣＢＥ－∠ＣＡＢ，即∠Ｄ＝∠Ｃ，根据 “ＡＡＳ”判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ； 添加 ∠Ｄ ＝∠Ｃ，根据“ＡＡＳ”判定 △ＤＡＢ≌ △ＣＡＢ； 添加ＤＡ＝ＣＡ，根据“ＳＡＳ”判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ； 添加ＤＢ＝ＣＢ，无法判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ． 故选Ｄ．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`+Qa bcd ^Qe1\+fg _hi1jk1]lmQ `nopqr ?sac tquvwo+xy1 z{Q|1 \}N~ €‚1 ‚tbWƒ„ …or \†‡`ˆ1 ‰Š ‹ŒQopr tqŽ xI1 ‘’“c” •Y\1\–t_—˜1 ™šm‚P›œžr ?\Ÿm+xy/ Q  opNnpW¡¢‚/ £tq›¤m+QR› ¥Wr ¦§]¨Q©ª op/ «¬R­®+[ ¯¨°D±op²‚}_ ³1´µ‚¶1·Qo p¸¨¹º+1 »Œq ¸¨¼Œr ½ °t¬W1 \}¾ Y¿p1 ƒ„À¬Á› +›Âr zÃÄÅ1ÆÇ ÈY\+ÉMÊËÌm ‚1«\¯¨hšcÀr ?\ÍÎÀtopx1 \ÏÐÑÒ£PqQÓ ÔÕY+Öp×1Ø ÙÓÖpÚÛYÜÝr NÞvk/ ¬ÓZ [gqQÓß^+[/ [Òà\¶D±áâ¨ã äjåæ+[r ½ \çY¶D±hè/ µ¨_åæ/ «¬éê ëεìíîGMào p+ïðr ½ ñ¢};^fò/ séhóôõö ìí÷ G+[øø3ùúûH ü1òýþÿ+!"r ! @V WQX ) *+ YZ[ , ) *+ \]^ , # - .+ _`[ , ) *+ a b , ) *+ c d -./01+ _ e 23/01+ _fg -4506+ h i -4578+ jkl ]mn o p qr* C s tuv \wx Cyf z k {|* }~Z o€ $ \Z‚ ƒdE „…p † v ‡ˆ‰ ]Š‹ 91-.+ $ 91:;+ o Œ <=-.+ \Ž >?-.+ \ @ABC+ ‘’ @A“”•3–— @A“•I˜™š›œž @A“•Ÿ ¡¢£¤¥¦–§ F¨©ª«¬­® ª¯;YZ[ °±²³´µ­®¶·; +,"(-././0 ¸ 1 2 # ¹©º»º® # ¼$-­® # «¬ÀÁÂ; .#&"-&!/"!&' # ¹©ÃÄ;@AÅÆÇÈrÉÊËÌÍ "#! ·F¨©ªDEF3«¬À # ÎÏ«Ð; .#...' # ÈÑÀÒ©ÓÔ; .#&"$&!/""!& .#&"$&!/"!#/ ՛Ö2 # Ò×;ØÙ¹©ÈÑÀÄÚÛ+°ÜÝÎÞÕß2 # ÎÏÒ×ÓÔ; """*& # àáâãÒäåÒæçÒ # ¹©è+°ÜÅ0È2LIéêë© # ìí¡¢îàï·; "(....(..."". # ìíÀÁÂ; .#&"$&!/"!&& # ¹©ðñ(Vò›œóô£¤¥¦0õöÈ÷øÊùúûüý™šþ "" ÿ2!ó"#£ó$%&'("ØÙ¹©ÈÑÀÄÚ)* 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．（２０２３佛山南海区模拟）要使图１的木架不变形， 至少需要再钉上几根木条？ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１根 Ｂ．２根 Ｃ．３根 Ｄ．４根 ２．如图２，ＡＣ平分∠ＢＡＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，ＡＢ＝８ｃｍ， 则ＡＤ＝ （　　） Ａ．６ｃｍ Ｂ．８ｃｍ Ｃ．１０ｃｍ Ｄ．４ｃｍ ３．如图３，以△ＡＢＣ的顶点Ａ为圆心，ＢＣ长为半径作 弧；再以顶点Ｃ为圆心，ＡＢ长为半径作弧，两弧交于点Ｄ； 连接ＡＤ，ＣＤ．若∠Ｂ＝５５°，则∠ＡＤＣ的度数为 （　　） Ａ．４５° Ｂ．５０° Ｃ．５５° Ｄ．６０° ４．如图４，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＢＥ是△ＡＢＣ的 角平分线，ＥＤ⊥ ＢＣ于点 Ｄ，ＣＤ＝４，△ＣＤＥ的周长为 １２，则ＡＣ的长是 （　　） Ａ．１４ Ｂ．８ Ｃ．１６ Ｄ．６ ５．（２０２３太原万柏林区期中）利用尺规作图，不能 作出惟一三角形的是 （　　） Ａ．已知两边及其中一边的对角 Ｂ．已知三边 Ｃ．已知两边及其夹角 Ｄ．已知两角及其夹边 ６．如图５，已知ＢＥ⊥ＡＤ于点Ｅ，ＣＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，且 ＢＥ＝ＣＦ，则ＡＤ是△ＡＢＣ的 （　　） Ａ．中线 Ｂ．高线 Ｃ．角平分线 Ｄ．无法确定 ７．如图６，在 △ＡＣＤ和 △ＢＣＥ中，ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ ＢＥ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＥ＝５５°，∠ＢＣＤ＝１５５°，ＡＤ与ＢＥ相 交于点Ｐ，则∠ＢＰＤ的度数为 （　　） Ａ．１４５° Ｂ．１４０° Ｃ．１３５° Ｄ．１３０° ８．如图 ７，在同一平 面内，直线ｌ同侧有三个正 方形 Ａ，Ｂ，Ｃ．若 Ａ，Ｃ的面 积分别为１６和９，则阴影 部分的总面积为 （　　） Ａ．９ Ｂ．１２ Ｃ．１６ Ｄ．无法确定 二、细心填一填（每小题４分，共２０分） ９．如图８，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接 成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的 （填“稳定性”或“不稳定性”）． １０．如图９，已知∠Ａ＝∠Ｅ，∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＥ，要运 用“ＡＡＳ”判定 △ＡＢＣ≌ △ＥＤＣ，应添加的条件是 ． １１．如图１０，已知∠ＡＯＢ，以点 Ｏ为圆心，任意长度 为半径画弧①，分别交ＯＡ，ＯＢ于点Ｅ，Ｆ，再以点Ｅ为圆 心，ＥＦ的长为半径画弧，交弧① 于点 Ｄ，画射线 ＯＤ．若 ∠ＡＯＢ＝２６°，则∠ＢＯＤ的度数为 ． １２．如图１１，ＡＤ∥ ＭＮ∥ ＢＣ，∠ＡＤＣ＝９０°，ＡＤ＝ ＢＣ，ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｍ，那么图中的全等三角形共有 对． １３．如图１２，在四边形ＡＢＣＤ 中，∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＤ＝１０５°，∠Ｂ ＝∠Ｄ＝４５°，则ＣＤ与ＡＢ的数 量关系为 ． 三、耐心解一解（共４８分） １４．（８分）如图１３，已知∠α，∠β，线段ａ． 求作：△ＡＢＣ，使得∠Ａ＝１２∠α，∠Ｂ＝∠β，ＡＢ＝ ａ（尺规作图，不要求写作法，只保留作图痕迹）． １５．（８分）如图 １４，已知 ∠Ｃ＝∠Ｄ，∠ＣＡＢ＝ ∠ＤＢＡ，ＡＣ与ＢＤ交于点Ｅ．求证：ＤＥ＝ＣＥ． １６．（１０分）如图１５，ＯＥ，ＯＦ分别是 ＡＣ，ＢＤ的垂直 平分线，垂足分别为 Ｅ，Ｆ，且 ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＯ＝７９°， ∠ＣＤＢ＝３８°，求∠ＤＯＦ的度数． １７．（１０分）小明在物理课上学习了发声物体的振 动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆 点Ｏ处用一根细绳悬挂一个小球Ａ，小球 Ａ可以自由摆 动，如图１６，ＯＡ表示小球静止时的位置．当小明用发声 物体靠进小球时，小球从 ＯＡ摆到 ＯＢ位置，此时过点 Ｂ 作ＢＤ⊥ＯＡ于点Ｄ，当小球摆到ＯＣ位置时，ＯＢ与ＯＣ恰 好垂直（图中的Ａ，Ｂ，Ｏ，Ｃ在同一平面上），过点Ｃ作ＣＥ ⊥ＯＡ于点Ｅ，测得ＣＥ＝１５ｃｍ，ＡＤ＝２ｃｍ． （１）求证：ＯＥ＝ＢＤ； （２）求ＯＢ的长． １８．（１２分）如图１７－①，△ＡＢＣ中，∠Ａ＝∠ＡＢＣ， 延长ＡＣ到Ｅ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｆ， 延长ＣＢ到Ｇ，过点Ｇ作ＧＨ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｈ， 且ＥＦ＝ＧＨ． （１）求证：△ＡＥＦ≌△ＢＧＨ； （２）如图１７－②，连接ＥＧ与ＦＨ相交于点Ｄ，若ＡＢ ＝４，求ＤＨ的长                                                                                                                                                                 ． ! ! ! " # $ 书 ２．５全等三角形 ２．５．４角角边（ＡＡＳ） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，已知∠１＝∠２， ＡＣ＝ＡＤ，增加下列条件，不能 使△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ的是 （　　） Ａ．ＢＣ＝ＥＤ Ｂ．ＡＢ＝ＡＥ Ｃ．∠Ｃ＝∠Ｄ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｅ ２．如图２，△ＡＢＣ中 ＢＣ边上的高为 ｈ１，△ＤＥＦ中 ＤＥ边上的高为ｈ２，下列结论正确的是 （　　） Ａ．ｈ１ ＞ｈ２ Ｂ．ｈ１ ＝ｈ２ Ｃ．ｈ１ ＜ｈ２ Ｄ．无法确定ｈ１，ｈ２的大小 ３．（２０２３咸阳一模）如图３，ＡＢ＝ＡＥ，ＡＢ∥ ＤＥ， ∠ＡＣＢ＝∠Ｄ．求证：△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ． ４．如图４，要测量河两岸上Ａ，Ｂ两点的距离，在点Ｂ 所在河岸一侧平地上取一点 Ｃ，使 Ａ，Ｂ，Ｃ在一条直线 上，另取点Ｄ，使ＣＤ＝ＢＣ，测得∠ＤＣＢ＝１００°，∠ＡＤＣ ＝６５°，在ＣＤ的延长线上取点Ｅ，使∠ＢＥＣ＝１５°．这时 测得ＤＥ的长就是Ａ，Ｂ两点的距离，为什么？ ５．如图５，在△ＡＢＣ中， ＢＣ ＝ ＡＣ，∠Ｂ ＝ ３５°， ∠ＥＣＭ＝１５°，ＡＦ⊥ＣＭ．若 ＡＦ＝２．５，则ＡＢ的长为 （　　） Ａ．５ Ｂ．５．５ Ｃ．７ Ｄ．６ ６．如图６，△ＡＢＣ是等边三角形，Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ及 ＡＣ延长线上的一点，且ＢＤ＝ＣＥ，连接 ＤＥ交 ＢＣ于点 Ｍ．求证：ＭＤ＝ＭＥ． ２．５．５边边边（ＳＳＳ） １．如图１是李老师去某 地旅游拍摄的“山谷中的铁 架桥”，铁架桥框架做成了三 角形的形状，该设计是利用 （　　） Ａ．垂线段最短 Ｂ．两点之间，线段最短 Ｃ．两点确定一条直线 Ｄ．三角形的稳定性 ２．如图２，已知ＡＣ＝ＦＥ，ＢＣ ＝ＤＥ，点 Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｆ在一条直线 上，要利用“ＳＳＳ”证明 △ＡＢＣ≌ △ＦＤＥ，可以添加的一个条件是 （　　） Ａ．ＡＤ＝ＦＢ Ｂ．ＤＥ＝ＢＤ Ｃ．ＢＦ＝ＤＢ Ｄ．以上都不对 ３．如图 ３，其中具有稳定性的是 （填序 号）． ４．如图４，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＥ＝ＣＦ，ＢＥ＝ ＡＦ，则∠Ｅ＝∠ ，∠ＣＡＦ＝∠ ． ５．如图５，已知△ＡＢＣ与△ＤＥＦ，Ｂ，Ｅ，Ｃ，Ｄ四点在 同一条直线上，其中 ＡＢ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＥＦ，ＡＣ＝ＤＥ， ∠ＡＦＥ＝１５０°，则∠ＡＣＢ＝ ． ６．如图６，已知ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＣＢ．求证：△ＡＢＤ≌ △ＣＤＢ． ７．如图７，点Ｃ在线段ＡＢ上，ＣＤ＝ＣＥ，ＤＥ交ＡＢ于 点Ｆ，且ＢＥ＝ＢＦ，ＡＤ＝ＢＣ＝ＡＦ． （１）求证：ＡＤ∥ＢＥ； （２）若∠ＣＤＥ＝５０°，∠ＢＣＥ＝２０°，求∠Ｂ的度数． ２．６用尺规作三角形 １．如图１，△ＡＢＣ是不等 边三角形，若利用尺规作图， 以 ＢＣ为公共边作一个三角 形，使所作的三角形与 △ＡＢＣ 全等，则满足条件的三角形有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ２．小安的一张地图上有 Ａ，Ｂ，Ｃ三个城市，地图上 的Ｃ城市被墨水污染了（如图 ２），但知道 ∠ＢＡＣ＝ ∠α，∠ＡＢＣ＝∠β，你能用尺规作图帮他在下图中确定 Ｃ城市的具体位置吗（不写作法，保留作图痕迹）？ ３．利用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： 已知：如图３，线段ａ，ｂ和∠α． 求作：△ＡＢＣ，使ＡＢ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，∠Ａ＝２∠α． ４．（２０２３泉州鲤城区模拟）如图４，∠ＡＢＣ＝７０°， ＡＢ＝ＢＣ，求作△ＢＣＤ和∠ＢＣＥ，使△ＢＣＤ是等边三角 形，∠ＢＣＥ＝１７０°，其中ＡＢ＝ＣＥ，点Ｄ，Ｅ，Ａ在ＢＣ的同 侧（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （上接４版参考答案） １６．（１）因为△ＡＢＤ ≌△ＣＦＤ，所以ＡＤ＝ＣＤ ＝７．因为ＢＣ＝１０，所以 ＢＤ＝ＢＣ－ＣＤ＝３． （２）因 为 ＡＤ ⊥ ＢＣ，所以∠ＡＤＢ＝９０°． 所以 ∠Ｂ＋∠ＢＡＤ ＝ １８０°－∠ＡＤＢ＝９０°．因 为△ＡＢＤ≌ △ＣＦＤ，所 以∠ＢＡＤ＝∠ＦＣＤ．所 以∠Ｂ＋∠ＦＣＤ＝９０°． 所以 ∠ＣＥＢ＝１８０°－ （∠Ｂ＋∠ＦＣＤ）＝９０°． 所以ＣＥ⊥ＡＢ． １７．（１）因为∠ＢＡＣ ＝ ∠ＢＡＥ ＋ ∠ＣＡＦ， ∠ＢＥＤ ＝ ∠ＢＡＥ ＋ ∠ＡＢＥ，∠ＣＦＤ ＝ ∠ＡＣＦ ＋ ∠ＣＡＦ， 且 ∠ＢＥＤ ＝ ∠ＣＦＤ ＝ ∠ＢＡＣ，所以 ∠ＡＢＥ＝ ∠ＣＡＦ，∠ＢＡＥ ＝ ∠ＡＣＦ．在 △ＡＢＥ和 △ＣＡＦ 中， ∠ＡＢＥ＝∠ＣＡＦ， ＡＢ＝ＣＡ， ∠ＢＡＥ＝∠ＡＣＦ { ， 所 以 △ＡＢＥ ≌ △ＣＡＦ（ＡＳＡ）． （２）ＥＦ ＋ ＣＦ ＝ ＢＥ．理由如下： 因 为 △ＡＢＥ ≌ △ＣＡＦ，所以 ＡＥ＝ＣＦ， ＢＥ＝ＡＦ．所以ＥＦ＋ＣＦ ＝ＥＦ＋ＡＥ＝ＡＦ＝ＢＥ． １８．（１）∠ＢＡＣ ＋ ∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ； （２）延长 ＣＢ至点 Ｇ，使 ＢＧ＝ＤＥ，连接 ＡＧ，图略．所以ＢＣ＋ＤＥ ＝ＢＣ＋ＢＧ＝ＣＧ．因为 ∠ＡＢＣ ＝ ９０°， 所 以 ∠ＡＢＧ＝１８０°－∠ＡＢＣ ＝９０°．在 △ＡＧＢ和 △ＡＤＥ 中， ＡＢ＝ＡＥ， ∠ＡＢＧ＝∠Ｅ， ＧＢ＝ＤＥ { ， 所 以 △ＡＧＢ ≌ △ＡＤＥ（ＳＡＳ）． 所 以 ∠ＧＡＢ＝∠ＤＡＥ，ＡＧ＝ ＡＤ． 因 为 ∠ＢＡＣ ＋ ∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ，所以 ∠ＢＡＣ ＋ ∠ＧＡＢ ＝ ∠ＣＡＤ，即 ∠ＣＡＧ ＝ ∠ＣＡＤ．在 △ＡＧＣ和 △ＡＤＣ 中， ＡＣ＝ＡＣ， ∠ＣＡＧ＝∠ＣＡＤ， ＡＧ＝ＡＤ { ， 所 以 △ＡＧＣ ≌ △ＡＤＣ（ＳＡＳ）．所以 ＣＧ ＝ＣＤ．所以ＢＣ＋ＥＤ＝ ＣＤ＝６０ｍ．所以五边形 ＡＢＣＤＥ的周长为：３× ６０＋６０＝２４０（ｍ）．所以 建造木栅栏共需花费： ２４０×５０＝１２０００（元）． （全文完） !"#$%&'()*+ "#$%&$'!(')* !",-%&'()*+ +,$%&$'!%%'$ . ! ! !"#$ ! 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