第7期 2.5 全等三角形(SAS,ASA)（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 !"#$%&'()*+,% ， -)./0123 45" ， 6-)./012$5" ． 789!"#$% :12&;/<=>? ， @ABCD2 ． EF ： G, １， "H34IJ （ !"# ） K-34L M5" ． -NOPQRS ： TS ＡＢ＝ＣＤ（ $% ）， UV ＡＢ＋ ＢＤ＝ＣＤ＋ＢＤ， W ＡＤ＝ＣＢ； XTS ＡＤ＝ＣＢ（ $% ）， U V ＡＤ－ＢＤ＝ＣＢ－ＢＤ， W ＡＢ＝ＣＤ． ! １　（２０２３ &'()*+ , ） G, ２， Y Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 9-Z [3J ，ＡＦ＝ＤＥ，∠Ａ＝∠Ｄ， ＡＣ ＝ ＤＢ． \ 1 ：△ＡＢＦ ≌ △ＤＣＥ． "# ： TS ＡＣ＝ＤＢ， UV ＡＣ－ＢＣ＝ＤＢ－ＢＣ， W ＡＢ＝ＤＣ． 9△ＡＢＦ]△ＤＣＥ&， ＡＦ＝ＤＥ， ∠Ａ＝∠Ｄ， ＡＢ＝ＤＣ { ， UV△ＡＢＦ≌ △ＤＣＥ（ＳＡＳ）． '^_`.a/ “ "H34IJ （ !"# ） "H3 4LM5" ” \b ． ! ２　（２０２３ -.+, ） G, ３， ＡＤ，ＢＣ 5cdY Ｏ， e ＯＢ＝ＯＣ，ＯＡ ＝ＯＤ， fH ＡＤ gY Ｆ， fH ＤＡ gY Ｅ，ＡＥ＝ＤＦ， hi ＣＦ，ＢＥ． \1 ：ＢＥ ∥ＣＦ． "# ： TS ＯＡ＝ＯＤ，ＡＥ＝ＤＦ， UV ＯＡ＋ＡＥ＝ＯＤ＋ＤＦ， W ＯＥ＝ＯＦ． 9 △ＯＢＥ] △ＯＣＦ&， ＯＥ＝ＯＦ， ∠ＥＯＢ＝∠ＦＯＣ， ＯＢ＝ＯＣ { ， UV △ＯＢＥ≌△ＯＣＦ（ＳＡＳ）． UV∠Ｅ＝∠Ｆ． UV ＢＥ∥ＣＦ． EF ： G, ４， "$IJ （ !" # ） K-$LM5" ． -NOPQRS ： TS ∠ＡＯＣ ＝∠ＢＯＤ（$%），UV ∠ＡＯＣ＋ ∠ＣＯＤ ＝ ∠ＢＯＤ ＋∠ＣＯＤ，W ∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ；XTS∠ＡＯＤ＝ ∠ＢＯＣ（$%），U V ∠ＡＯＤ －∠ＣＯＤ ＝∠ＢＯＣ－ ∠ＣＯＤ，W∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ． ! ３　（２０２３ /0+, ） G , ５， jk ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ， ∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ．\1：∠Ｂ＝ ∠Ｄ． " # ： T S ∠ＢＯＤ ＝ ∠ＡＯＣ，UV ∠ＢＯＤ－∠ＡＯＤ ＝∠ＡＯＣ－∠ＡＯＤ，W∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ． 9 △ＡＯＢ] △ＣＯＤ&， ＯＡ＝ＯＣ， ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ， ＯＢ＝ＯＤ { ， UV △ＡＯＢ≌△ＣＯＤ（ＳＡＳ）． UV∠Ｂ＝∠Ｄ． $%& ： 123456789:;7< ， =>?@ ABCD8;7EFGHI8JK ， LM “ GHIN" ， OHINP ” QRS2TUVW567348+WA B ， XYSZ ． 书 全等三角形是研究图形的重要工具，是后续研究全 等多边形的基础，而且它也为许多问题的解决提供了方 法与手段．下面就让我们一起走进全等的世界吧！ 一、正确理解全等三角形的含义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 如△ＡＢＣ和△ＤＥＦ全等，即△ＡＢＣ与△ＤＥＦ是能 够完全重合的两个三角形．互相重合的顶点、边、角分别 叫做对应顶点、对应边、对应角，我们也把它们称为全等 三角形的对应元素． 点Ａ与点Ｄ，点Ｂ与点Ｅ，点Ｃ与点Ｆ对应时，△ＡＢＣ 与△ＤＥＦ全等可记为△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ．符号“≌”直观 地反映了全等的两层含义：“∽”表示图形形状相同， “＝”表示图形大小相等． 二、准确辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素，最简单也是最有效的 方法是：先找全等三角形的对应顶点，再确定对应边和 对应角． 例１　如图１，△ＡＥＣ≌△ＡＤＢ，点Ｅ和点Ｄ是对应 顶点，写出它们的对应边和对应角． 分析：根据图形找到对应顶点即可得解． 解：因为 △ＡＥＣ≌ △ＡＤＢ，点 Ｅ 和点Ｄ是对应顶点，点 Ａ是公共点， 所以点Ｃ和点Ｂ对应． 所以 ＡＥ和 ＡＤ是对应边，ＡＣ和 ＡＢ是对应边，ＥＣ和ＤＢ是对应边； ∠Ａ是公共角，∠ＡＥＣ和 ∠ＡＤＢ是对应角，∠Ｃ和 ∠Ｂ是对应角． 三、全等三角形的性质与判定 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长 相等，面积相等，对应边上的高、中线和角平分线相等． 判定：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全 等；两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；两角 和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等；三边分 别相等的两个三角形全等（后面两个判定方法见下期）． 例２　（２０２３如皋一模）如图２，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一 条直线上，ＡＢ＝ＣＤ＝ １３ＢＣ，ＡＥ＝ＤＦ，ＡＥ∥ＤＦ． （１）求证：△ＡＥＣ≌△ＤＦＢ； （２）若Ｓ△ＡＥＣ ＝６，求四边形ＢＥＣＦ的面积． 分析：此题考查的是全等三角形的判定与性质，正 确作出辅助线是解决此题的关键． 解：（１）因为ＡＥ∥ＤＦ，所以∠Ａ＝∠Ｄ． 因为ＡＢ＝ＣＤ，所以ＡＢ＋ＢＣ＝ＣＤ＋ＢＣ，即ＡＣ＝ＤＢ． 在△ＡＥＣ和△ＤＦＢ中， ＡＥ＝ＤＦ， ∠Ａ＝∠Ｄ， ＡＣ＝ＤＢ { ， 所以△ＡＥＣ≌ △ＤＦＢ（ＳＡＳ）． （２）过点Ｅ作ＥＨ⊥ＡＣ于点Ｈ，过点Ｆ作ＦＭ⊥ＡＣ 于点Ｍ，如图３． 所以Ｓ△ＡＥＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＥＨ，Ｓ△ＢＥＣ ＝ １ ２ＢＣ·ＥＨ． 因为ＡＢ＝ １３ＢＣ，所以ＢＣ＝ ３ ４ＡＣ． 所以Ｓ△ＢＥＣ ＝４．５． 因为△ＡＥＣ≌△ＤＦＢ，所以Ｓ△ＡＥＣ ＝Ｓ△ＤＦＢ． 所以ＥＨ＝ＦＭ． 所以Ｓ△ＢＥＣ ＝Ｓ△ＣＦＢ． 所以Ｓ四边形ＢＥＣＦ ＝２Ｓ△ＢＥＣ ＝９． 书 在求解有关全等三角形的动点问题时，要研究基本 图形及动点的运动状态，进而确定时间范围，借助方程 求解．解题过程中要注意有时需要分类讨论． 一、单向运动 例１　如图１，在△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ ＝６， ＢＣ＝８，点Ｃ在直线ｌ上．点 Ｐ从点Ａ出发，在三角形边上 沿Ａ→Ｃ→Ｂ的路线向终点 Ｂ运动；点Ｑ从Ｂ点出发，在 三角形边上沿Ｂ→Ｃ→Ａ的路线向终点Ａ运动，点Ｐ和 Ｑ分别以１单位 ／秒和２单位 ／秒的速度同时开始运动． 在运动过程中，若有一点到达终点，另一个点也随之停 止运动．分别过点Ｐ和Ｑ作ＰＥ⊥直线ｌ于点Ｅ，ＱＦ⊥直 线ｌ于点Ｆ，当△ＰＥＣ与△ＣＦＱ全等时，点Ｐ的运动时间 为 秒． 解：设点Ｐ的运动时间为ｔ秒．因为△ＰＥＣ与△ＣＦＱ 全等，所以ＣＰ＝ＣＱ．分三种情况： ①当０＜ｔ≤４时，点Ｐ在ＡＣ上，点Ｑ在ＢＣ上，因 为ＣＰ＝ＣＱ，所以６－ｔ＝８－２ｔ，解得ｔ＝２； ②当４＜ｔ≤６时，点Ｐ，Ｑ都在ＡＣ上，因为ＣＰ＝ ＣＱ，所以６－ｔ＝２ｔ－８，解得ｔ＝１４３； ③当６＜ｔ≤７时，点Ｐ在ＢＣ上，点Ｑ在ＡＣ上，因 为ＣＰ＝ＣＱ，所以ｔ－６＝２ｔ－８，解得ｔ＝２，不符合题意， 舍去． 故填２或１４３． 例２　如图２，ＡＢ＝４ｃｍ，ＡＣ＝ＢＤ＝３ｃｍ，∠Ａ＝ ∠Ｂ，点Ｐ在线段ＡＢ上以１ｃｍ／ｓ的速度由点Ａ向点Ｂ运 动，同时，点Ｑ在线段ＢＤ上由点Ｂ向点Ｄ运动．设运动 时间为 ｔｓ，当点 Ｑ的运动速度为 ｃｍ／ｓ时， △ＡＣＰ与△ＢＰＱ全等． 解：设点 Ｑ的运动速度是 ｘｃｍ／ｓ．因为 ∠Ａ＝∠Ｂ，所以 △ＡＣＰ与 △ＢＰＱ全等有两种情 况： ①ＡＰ＝ＢＰ，ＡＣ＝ＢＱ＝３，则 ｔ＝ １２×４÷１＝２．所以ｘ＝３÷２＝１．５； ②ＡＰ＝ＢＱ，ＡＣ＝ＢＰ＝３，则ｔ＝（４－３）÷１＝１． 所以ｘ＝１÷１＝１． 故填１．５或１． 二、往返运动 例３　如图３，在△ＡＢＣ中， ＢＣ ＝８ｃｍ，ＡＧ∥ ＢＣ，ＡＧ ＝ ８ｃｍ，点Ｆ从点 Ｂ出发，沿线段 ＢＣ以４ｃｍ／ｓ的速度连续做往返 运动，点Ｅ从点Ａ出发沿线段ＡＧ 以２ｃｍ／ｓ的速度运动至点Ｇ，Ｅ，Ｆ两点同时出发，当点Ｅ 到达点Ｇ时，Ｅ，Ｆ两点同时停止运动，ＥＦ与 ＡＣ交于点 Ｄ．设点 Ｅ的运动时间为 ｔｓ，当 ｔ的值为 时， △ＡＤＥ≌△ＣＤＦ． 解：点Ｅ到达点Ｇ所用的时间是：８÷２＝４（ｓ）．点Ｆ 到达点Ｃ所用的时间是：８÷４＝２（ｓ）．因为 △ＡＤＥ≌ △ＣＤＦ，所以ＡＥ＝ＣＦ． ①当点Ｆ从点Ｂ运动至点Ｃ时，０＜ｔ≤２，８－４ｔ＝ ２ｔ，解得ｔ＝ ４３； ②当点Ｆ从点Ｃ返回至点Ｂ时，２＜ｔ≤４，４ｔ－８＝ ２ｔ，解得ｔ＝４． 故填 ４ ３或４． ! !" #$% ! " # $ % & ! ! & ' ! % () # ! " # ! & ! # * 书 性质：全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等． 判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， 通常可简写成“ＳＡＳ”； 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，通常可 简写成“ＡＳＡ”． 一、全等三角形的性质“独奏” 例 １　 如 图 １，△ＡＢＣ≌ △ＤＥＣ，点Ａ和点Ｄ是对应顶点， 点Ｂ和点Ｅ是对应顶点，过点 Ａ 作 ＡＦ⊥ ＣＤ，垂足为点 Ｆ，若 ∠ＢＣＥ＝６５°，则 ∠ＣＡＦ的度数 为 （　　） Ａ．３０°　　　Ｂ．２５°　　　Ｃ．３５°　　　Ｄ．６５° 解：因为△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ，所以∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ． 所以∠ＡＣＢ－∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＥ－∠ＡＣＥ，即∠ＢＣＥ ＝∠ＡＣＤ＝６５°． 因为ＡＦ⊥ＣＤ，所以∠ＡＦＣ＝９０°． 所以∠ＣＡＦ＝１８０°－∠ＡＦＣ－∠ＡＣＦ＝２５°． 故选Ｂ． 二、全等三角形的判定“独奏” 例２　 如图２，点 Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｅ 在同一条直线上，ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ ∥ＤＦ，ＢＣ∥ＥＦ． 求证：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ． 证明：因为ＡＣ∥ＤＦ， 所以∠Ａ＝∠ＦＤＥ． 因为ＢＣ∥ＥＦ， 所以∠ＣＢＡ＝∠Ｅ． 在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中， ∠Ａ＝∠ＦＤＥ， ＡＢ＝ＤＥ， ∠ＣＢＡ＝∠Ｅ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＡＳＡ）． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! & % # ) ! ! # " &' ()* + , - . # + , - . ! &% ! # ! # ! % & # + ! $ ) # ! & % ' + ! " & + # % ! % ! ! /0 123 % & ) ! # ' ! ! ) % & ! # ' ! ! ) % & ! # ' , ! " - 书 上期２版 ２．３等腰三角形 ２．３．１等腰三角形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．４０°． ４．因为∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，所以∠ＣＡＢ＝∠Ｂ ＝ １２（１８０°－∠ＡＣＢ）＝４５°．因为ＡＣ＝ＡＤ，ＡＥ⊥ＣＤ， 所以∠ＥＡＤ＝１２∠ＣＡＢ＝２２．５°．因为ＡＥ⊥ＣＤ，ＦＭ⊥ ＣＤ，所以ＡＥ∥ＦＭ．所以∠ＭＦＤ＝∠ＥＡＤ＝２２．５°． ２．３．２等边三角形的性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．１０°． ４．因为 △ＣＡＰ和 △ＣＢＱ都是等边三角形，所以 ∠ＡＣＰ＝∠Ｂ＝６０°．因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以∠ＢＣＨ＝ ∠ＡＣＢ－∠ＡＣＰ＝３０°．在△ＢＣＨ中，∠ＢＨＣ＝１８０°－ ∠ＢＣＨ－∠Ｂ＝９０°．所以ＢＱ⊥ＣＰ． ２．３．３等腰三角形的判定 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．２． ４．因为 ＢＣ＝ＤＣ，所以 ∠ＣＢＤ ＝∠ＣＤＢ．因为 ∠ＥＢＣ＝∠ＥＤＣ，所以 ∠ＥＢＣ－∠ＣＢＤ ＝∠ＥＤＣ－ ∠ＣＤＢ，即∠ＥＢＤ＝∠ＥＤＢ．所以△ＥＢＤ是等腰三角形． ２．３．４等边三角形的判定 基础训练　１．Ａ；　２．６０°；　３．１８． ４．连接ＡＮ，并延长交ＢＣ于点Ｄ，图略．因为ＭＮ＝ ＣＮ，∠ＡＣＮ＝２０°，所以∠ＣＭＮ＝２０°．因为ＡＭ＝ＭＮ， 所以∠ＭＡＮ＝∠ＭＮＡ＝１２∠ＣＭＮ＝１０°．因为ＭＮ∥ ＡＢ，所以∠ＢＡＮ＝∠ＭＮＡ．所以∠ＢＡＮ＝∠ＭＡＮ．又因 为ＡＢ＝ＡＣ，所以 ＡＤ⊥ ＢＣ．所以 ∠ＡＤＣ＝９０°．所以 ∠ＮＣＢ＝１８０°－∠ＡＤＣ－∠ＣＡＤ－∠ＡＣＮ＝６０°．又因 为ＮＢ＝ＮＣ，所以△ＮＢＣ是等边三角形． ２．４线段的垂直平分线 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．１４． ４．图略． ５．设ＰＡ交直线ｌ于点Ｃ，连接ＢＣ，图略．因为直线ｌ 是线段ＡＢ的垂直平分线，所以ＣＡ＝ＣＢ．所以ＰＡ＝ＣＡ ＋ＣＰ＝ＣＢ＋ＣＰ＞ＰＢ． ６．点Ｏ在边ＢＣ的垂直平分线上．理由如下： 连接ＡＯ，ＢＯ，ＣＯ，图略．因为ｌ１与ｌ２分别是ＡＢ，ＡＣ 的垂直平分线，所以 ＡＯ＝ＢＯ，ＣＯ＝ＡＯ．所以 ＢＯ＝ ＣＯ．所以点Ｏ在边ＢＣ的垂直平分线上． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ 二、９．３０°；　１０．３；　１１．７５°； １２．１０；　１３．９０°或１２０°或１５０°． 三、１４．因为ＡＢ＝ＡＣ，所以∠ＡＢＣ＝∠Ｃ．所以∠Ａ ＝１８０°－∠ＡＢＣ－∠Ｃ＝１８０°－２∠Ｃ．因为ＢＤ⊥ＡＣ， 所以∠ＢＤＣ＝９０°．所以∠ＣＢＤ＝１８０°－∠ＢＤＣ－∠Ｃ ＝９０°－∠Ｃ．所以∠Ａ＝２∠ＣＢＤ． １５．因为ＡＤ垂直平分ＢＣ，所以ＢＤ＝ＤＣ，ＡＢ＝ＡＣ． 因为ＡＢ＋ＢＤ＝ＤＥ，所以ＡＣ＋ＤＣ＝ＤＥ．又因为ＤＥ＝ ＤＣ＋ＣＥ，所以ＡＣ＝ＣＥ．所以点Ｃ在线段ＡＥ的垂直平 分线上． １６．△ＢＣＥ为等边三角形．证明如下： 因为ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ ＝４５°．因为 ∠ＤＢＣ＝３０°，所以 ∠ＡＢＤ ＝∠ＡＢＣ－ ∠ＤＢＣ＝１５°．因为△ＡＢＤ和△ＡＢＥ关于ＡＢ对称，所以 ∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＤ＝１５°，ＢＥ＝ＢＤ．所以∠ＥＢＣ＝∠ＡＢＥ ＋∠ＡＢＣ＝６０°．因为 ＢＤ＝ＢＣ，所以 ＢＥ＝ＢＣ．所以 △ＢＣＥ为等边三角形． （下转２，３版中缝）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" # $ % 书 ２．５全等三角形 ２．５．１全等图形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２３重庆沙坪坝区期中）下列各组给出的两个 图形中，全等的是 （　　） ２．如图 １，△ＦＡＢ≌ △ＥＣＤ， 点Ｆ，Ａ的对应点分别是点Ｅ，Ｃ，则 将△ＦＡＢ通过哪种基本变换可得 △ＥＣＤ （　　） Ａ．平移 Ｂ．轴对称 Ｃ．旋转 Ｄ．无论如何都不能 ３．如图２，已知△ＡＯＢ≌△ＣＯＤ，Ａ是Ｃ的对应点， 那么下列结论中，不一定正确的是 （　　） Ａ．∠Ｂ＝∠Ｄ Ｂ．∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ Ｃ．ＡＣ＝ＢＤ Ｄ．ＡＢ＝ＣＤ ４．如图 ３，点 Ｂ，Ｃ，Ｅ在同一条直线上，△ＡＢＣ≌ △ＥＦＣ，∠Ａ＝３５°，那么∠ＥＦＣ＝ °． ５．如图４，已知 △ＡＢＥ≌ △ＤＣＦ，Ａ，Ｅ分别是 Ｄ，Ｆ 的对应点，且Ｂ，Ｆ，Ｅ，Ｃ在同一条直线上． （１）求证：ＡＢ∥ＣＤ； （２）若ＢＣ＝１０，ＥＦ＝７，求ＢＥ的长度． ６．如图５，请你在图中画两条直线，把这个“＋”图 案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）． ７．如果△ＡＢＣ的三边长为３，５，７，△ＤＥＦ的三边长 为３，３ｘ－２，２ｙ－１．若这两个三角形全等，则 ｘ＋ｙ＝ ． ２．５．２边角边（ＳＡＳ） １．如图１是某纸伞截面示意图，伞柄 ＡＰ平分两条 伞骨所成的∠ＢＡＣ，ＡＥ＝ＡＦ．若支杆 ＤＦ需要更换，则 所换长度应与哪一段长度相等 （　　） Ａ．ＢＥ Ｂ．ＡＥ Ｃ．ＤＥ Ｄ．ＤＰ ２．如图２，已知∠１＝∠２，若用“ＳＡＳ”证明△ＡＣＢ ≌△ＢＤＡ，还需加上条件 （　　） Ａ．ＡＤ＝ＢＣ Ｂ．ＢＤ＝ＡＣ Ｃ．∠Ｄ＝∠Ｃ Ｄ．ＯＡ＝ＯＢ ３．如图 ３，下列 ４个图形中，全等的 ２个图形是 （填序号）． ４．如图 ４，ＡＢ＝ＡＤ，∠１＝∠２，ＡＣ＝ＡＥ．求证： △ＡＢＣ≌△ＡＤＥ． ５．（２０２３东莞一模）如图５，点Ｂ，Ｆ，Ｃ，Ｅ在同一条 直线上，ＤＦ＝ＡＣ，ＥＣ＝ＢＦ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ．求证： （１）△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ； （２）ＡＢ∥ＥＤ． ６．（２０２３昆山一模）如图６，△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ延长 线上一点，满足ＣＤ＝ＡＢ，过点Ｃ作ＣＥ∥ＡＢ且ＣＥ＝ ＢＣ，连接ＤＥ并延长，分别交ＡＣ，ＡＢ于点Ｆ，Ｇ． （１）求证：△ＡＢＣ≌△ＤＣＥ； （２）若∠Ｂ＝５０°，∠Ｄ＝２２°，求∠ＡＦＧ的度数． ２．５．３角边角（ＡＳＡ） １．如图 １，已知 ＡＣ＝ＤＦ，∠１＝∠２，如果根据 “ＡＳＡ”判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，那么需要补充的条件是 （　　） Ａ．∠Ａ＝∠Ｄ Ｂ．ＡＢ＝ＤＥ Ｃ．ＢＦ＝ＣＥ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｅ ２．如图２，已知 △ＡＢＣ的面积为１５ｃｍ２，ＢＰ平分 ∠ＡＢＣ，过点Ａ作ＡＰ⊥ＢＰ于点Ｐ，则△ＰＢＣ的面积为 （　　） Ａ．５ｃｍ２ Ｂ．７．５ｃｍ２ Ｃ．１０ｃｍ２ Ｄ．无法确定 ３．（２０２３深圳南山区期中） 如图３，ＡＢ∥ＣＤ，ＢＣ∥ＡＤ，ＢＥ ＝ＤＦ，图中全等的三角形的对 数是 ． ４．如图４，点Ｄ，Ｅ分别在ＡＣ，ＡＢ上，∠Ｂ＝∠Ｃ，ＡＢ ＝ＡＣ．求证：ＢＤ＝ＣＥ． ５．（２０２３长沙芙蓉区月考）麒麟某数学兴趣小组的 同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图５，点 Ｂ，Ｆ，Ｃ，Ｅ在直线ｌ上（点Ｆ，Ｃ之间不能直接测量，为池 塘的长度），点 Ａ，Ｄ在 ｌ的异侧，且 ＡＢ∥ ＤＥ，∠Ａ＝ ∠Ｄ，测得ＡＢ＝ＤＥ． （１）求证：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ； （２）若ＢＥ＝１００ｍ，ＢＦ＝３０ｍ，求池塘ＦＣ的长 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （上接４版参考答案） １７．小虎说的正确． 理由如下： 因 为 ∠ＡＣＢ ＝ ９０°，所以 ∠Ａ＋∠Ｂ＝ １８０°－∠ＡＣＢ＝９０°．因 为 ＢＤ ＝ ＢＣ， 所 以 ∠ＢＣＤ ＝ ∠ＢＤＣ ＝ １ ２（１８０°－∠Ｂ）＝９０° － １２∠Ｂ．因为 ＡＥ ＝ ＡＣ， 所 以 ∠ＡＣＥ ＝ ∠ＡＥＣ ＝ １２（１８０°－ ∠Ａ）＝９０°－ １２∠Ａ． 所以 ∠ＤＣＥ＝１８０°－ ∠ＤＥＣ－∠ＣＤＥ＝１８０° －（９０°－ １２∠Ａ） － （９０° － １２∠Ｂ） ＝ １ ２（∠Ａ＋∠Ｂ）＝４５°． 所以 ∠ＤＣＥ的度数是 一个定值，与 ∠Ｂ的度 数无关，即小虎说的正 确． １８．（１）因为ＤＥ是 ＡＢ的垂直平分线，所以 ＡＤ＝ＢＤ，即 △ＡＢＤ是 等腰三角形．因为 ∠Ｃ ＝９０°，所以 △ＡＣＤ是 直角三角形．所以ＡＤ是 △ＡＢＣ的一条等直分割 线段． （２）如 图，ＡＤ，ＡＥ 是△ＡＢＣ的两条等直分 割线段．所以ＡＤ＝ＢＤ， ∠ＣＡＤ ＝ ９０°，ＡＥ ＝ ＣＥ，∠ＢＡＥ＝９０°．所以 ∠Ｂ ＝∠ＢＡＤ，∠Ｃ ＝ ∠ＣＡＥ，∠ＢＡＥ－∠ＤＡＥ ＝∠ＣＡＤ－∠ＤＡＥ，即 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ．所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ．所以△ＡＢＣ 是等腰三角形． （全文完） !" ! #$%"& '()*+,-./ !"#$%&'()*+ &'(!)(*+!*,- !",-%&'()*+ &'(!)(*+!!*( . ! ! !"#$ ! 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