第6期 2.3 等腰三角形 2.4 线段的垂直平分线（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 等腰三角形的性质定理———“等边对等角”及判定 定理———“等角对等边”是一对重要定理，下面列举试 题加以分析说明． 一、等腰三角形的性质定理———“等边对等角” 例１　 如图１，在 △ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝２４°，延 长ＢＣ到点Ｄ，使ＣＤ＝ＡＣ，连 接ＡＤ，则∠Ｄ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３９° Ｂ．４０° Ｃ．４９° Ｄ．５１° 分析：利用“等边对等角”求得 ∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝ ７８°，∠Ｄ＝∠ＣＡＤ，然后利用三角形外角的性质求出答 案即可． 解：因为ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝２４°， 所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝ １２（１８０°－∠ＢＡＣ）＝７８°． 因为ＣＤ＝ＡＣ，所以∠Ｄ＝∠ＣＡＤ． 因为∠ＡＣＢ＝∠Ｄ＋∠ＣＡＤ， 所以∠Ｄ＝∠ＣＡＤ＝ １２∠ＡＣＢ＝３９°． 故选Ａ． 二、等腰三角形的判定定理———“等角对等边” 例２　如图２，已知在△ＡＢＣ中， ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝３６°，ＣＤ是△ＡＢＣ的 角平分线．求证：ＡＤ＝ＢＣ． 分析：利用“等边对等角”求得 ∠Ｂ和∠ＡＣＢ的度数，根据三角形的 角平分线的定义可得∠ＡＣＤ的度数， 再由等腰三角形的判定定理即可得出结论． 证明：因为ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝３６°， 所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝ １２（１８０°－∠Ａ）＝７２°． 因为ＣＤ是△ＡＢＣ的角平分线， 所以∠ＡＣＤ＝ １２∠ＡＣＢ＝３６°＝∠Ａ． 所以ＡＤ＝ＣＤ． 因为∠ＢＤＣ＝∠Ａ＋∠ＡＣＤ＝７２°， 所以∠Ｂ＝∠ＢＤＣ． 所以ＢＣ＝ＣＤ． 所以ＡＤ＝ＢＣ． 书 策略１：三边相等的三 角形是等边三角形 例１　 如图１，在等腰 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＦ为 ＢＣ边上的中线，Ｄ为 ＡＦ上 的一点，且 ＢＤ的垂直平分 线过点Ｃ并交ＢＤ于点Ｅ．求 证：△ＢＣＤ是等边三角形． 证明：因为 ＡＢ＝ＡＣ， ＡＦ为ＢＣ边上的中线，所以 ＡＦ⊥ ＢＣ，ＢＦ＝ＣＦ．所以 ＢＤ＝ＤＣ．因为ＣＥ是ＢＤ的垂直平分线，所以ＢＣ＝ＤＣ． 所以ＢＤ＝ＤＣ＝ＢＣ．所以△ＢＣＤ是等边三角形． 策略２：三个角都相等的三角形是等边三角形 例２　 如图 ２，四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ∥ ＤＣ，ＤＢ平分 ∠ＡＤＣ，∠Ａ ＝６０°．求证：△ＡＢＤ是等边三角 形． 证明：因为 ＡＢ∥ ＤＣ，∠Ａ＝ ６０°，所以 ∠ＡＢＤ ＝∠ＣＤＢ，∠ＡＤＣ＝１８０°－∠Ａ＝ １２０°．因为 ＤＢ平分 ∠ＡＤＣ，所以 ∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ＝ １ ２∠ＡＤＣ＝６０°．所以∠Ａ＝∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ＝６０°． 所以△ＡＢＤ是等边三角形． 策略３：有一个角是６０°的等腰三角形是等边三角形 例 ３　 如图 ３，在 △ＡＢＣ中， ∠ＡＣＢ＝９０°，过点Ａ沿直线ＡＥ折叠 这个三角形，使点Ｃ落在ＡＢ边上的 点Ｄ处，连接ＤＣ．若ＡＥ＝ＢＥ，求证： △ＡＤＣ是等边三角形． 证明：根据折叠的性质，得 ＡＣ＝ＡＤ，∠ＣＡＥ＝ ∠ＤＡＥ．因为ＡＥ＝ＢＥ，所以∠Ｂ＝∠ＤＡＥ．因为∠ＡＣＢ ＝９０°，所以∠Ｂ＋∠ＣＡＢ＝３∠Ｂ＝９０°．解得∠Ｂ＝ ３０°．所以∠ＣＡＢ＝６０°．所以△ＡＤＣ是等边三角形． 书 “三线合一”是等腰三角形所特有的性质，即等腰 三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相 互重合． 该性质其实包括以下三方面的内容： 如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， Ｄ是ＢＣ上的一点． （１）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ底 边ＢＣ上的中线，那么ＡＤ是顶角 ∠ＢＡＣ的平分线，也是底边 ＢＣ 上的高． （２）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ顶角∠ＢＡＣ的平分线，那 么ＡＤ是底边ＢＣ上的中线，也是底边ＢＣ上的高． （３）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ底边ＢＣ上的高，那么ＡＤ 是顶角∠ＢＡＣ的平分线，也是底边ＢＣ上的中线． “三线合一”的性质给我们提供了说明角相等、直 线垂直、线段相等的新思想和新方法．在解答一些与图 形有关的问题时，要注意灵活运用它，下面举例来说明 这一性质的重要应用． 例　如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，ＤＥ⊥ ＡＢ 于点Ｅ，ＢＦ⊥ＡＣ于点Ｆ．若ＤＥ＝ ２．５ｃｍ，则ＢＦ＝ ｃｍ． 分析：根据等腰三角形的“三线合一”得出 ＢＤ＝ ＣＤ．所以Ｓ△ＡＢＣ ＝２Ｓ△ＡＢＤ ＝２× １ ２ＡＢ·ＤＥ＝ＡＢ·ＤＥ． 又Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＦ，将ＡＣ＝ＡＢ代入即可求出ＢＦ． 解：因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ， 所以ＢＤ＝ＣＤ． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝２Ｓ△ＡＢＤ ＝２× １ ２ＡＢ·ＤＥ＝２．５ＡＢ． 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＦ， 所以 １ ２ＡＣ·ＢＦ＝２．５ＡＢ． 因为ＡＣ＝ＡＢ，所以 １２ＢＦ＝２．５． 解得ＢＦ＝５ｃｍ． 故填５． 如图 ３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上的中线． 已知∠ＢＡＤ＝６０°，则∠Ｃ＝ ． ! !" #$% ! ! ! " # $ ! " $ # " % & ! ! & ' ( ) * "#! % $ ! # """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! +" (,- " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " $ # ! ! ! ! " $ " # ! $ # " ! ! # ! " # ! " $ 书 上期２版 ２．１三角形 ２．１．１三角形的边 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．钝角． ４．因为△ＡＢＣ是等腰三角形，所以ＡＣ＝２０或８．因为２０＋ ８＝２８＞２０，８＋８＝１６＜２０，所以ＡＣ＝２０，即２ｍ－２＝２０． 解得ｍ＝１１． ２．１．２三角形的高、中线与角平分线 基础训练　１．Ｂ；　２．△ＡＢＣ，△ＡＢＤ，１０；　３．２． ４．（１）（２）（３）图略；　（４）７． ５．（１）因为ＤＥ∥ＢＣ，∠２＝４０°，所以∠１＝∠ＡＣＢ，∠ＤＣＢ ＝∠２＝４０°．因为 ＣＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＡＣＢ＝ ２∠ＤＣＢ＝８０°．所以∠１＝８０°． （２）因为∠３＝４０°＝∠ＤＣＢ，所以ＦＨ∥ＣＤ．因为ＦＨ⊥ ＡＢ，所以ＣＤ⊥ＡＢ，即ＣＤ是△ＡＢＣ的高． 能力提高　６．９５°或３５°． ２．１．３三角形的内角 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．９０°． ４．因为∠ＢＡＣ＝６０°，∠Ｃ＝８４°，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线， 所以∠Ｂ＝１８０°－∠ＢＡＣ－∠Ｃ＝３６°，∠ＣＡＤ＝ １２∠ＢＡＣ＝ ３０°．所以∠ＡＤＣ＝１８０°－∠ＣＡＤ－∠Ｃ＝６６°．因为∠ＡＤＥ＝ １ ２∠Ｂ＝１８°，所以∠ＣＤＥ＝∠ＡＤＣ－∠ＡＤＥ＝４８°． 能力提高　５．（１）△ＡＢＣ是“三倍角三角形”．理由如下： 因为∠Ａ＝２０°，∠Ｂ＝４０°，所以∠Ｃ＝１８０°－∠Ａ－∠Ｂ ＝１２０°＝３∠Ｂ．所以△ＡＢＣ是“三倍角三角形”． （２）设△ＡＢＣ的最大内角为ｘ． 当最大内角是∠Ｂ的３倍时，ｘ＝３∠Ｂ＝９０°，满足题意； 当最大内角是∠Ａ或∠Ｃ的３倍时，１３ｘ＋ｘ＋３０°＝１８０°， 解得ｘ＝１１２．５°，满足题意； 当 ∠Ｂ是∠Ａ或∠Ｃ的３倍时，１３×３０°＋３０°＋ｘ＝１８０°， 解得ｘ＝１４０°，满足题意． 所以△ＡＢＣ中最大内角的度数为９０°或１１２．５°或１４０°． ２．１．４三角形的外角 基础训练　１．Ｃ；　２．７０°． ３．（１）因为∠Ａ＝３０°，∠ＡＢＣ＝７０°，所以∠ＢＣＤ＝∠Ａ＋ ∠ＡＢＣ＝１００°．因为 ＣＥ是 ∠ＢＣＤ的平分线，所以 ∠ＢＣＥ＝ １ ２∠ＢＣＤ＝５０°． （２）因为 ∠ＢＣＥ ＝５０°，∠ＡＢＣ ＝７０°，所以 ∠ＢＥＣ ＝ ∠ＡＢＣ－∠ＢＣＥ＝２０°．因为 ＤＦ∥ ＣＥ，所以 ∠Ｆ＝∠ＢＥＣ＝ ２０°． 能力提高　４．１２０°或９０°． ２．２命题与证明 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ； ３．如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零； ４．如果两个数互为倒数，那么这两个数的倒数的乘积为１； ５．答案不惟一，如１４． ６．（１）真命题； （２）假命题，当ａ＝－１，ｂ＝２时，ａ＋ｂ＞０； （３）假命题，如∠Ａ＝１２０°，∠Ｂ＝１５０°，则 ∠Ａ＋∠Ｂ＝ ２７０°，其和不是钝角； （４）真命题． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ Ｂ Ａ Ａ 二、９．９；　１０．两个三角形等底等高，这两个三角形的面积 相等，假；　１１．１１０°；　１２．２０；　１３．１１０． 三、１４．因为ＡＢ＝６ｃｍ，ＡＤ＝５ｃｍ，△ＡＢＤ的周长为１６ｃｍ， 所以ＢＤ＝１６－ＡＢ－ＡＤ＝５ｃｍ．因为ＡＤ是ＢＣ边上的中线，所 以 ＢＣ＝２ＢＤ＝１０ｃｍ．因为△ＡＢＣ的周长为２４ｃｍ，所以ＡＣ＝ ２４－ＡＢ－ＢＣ＝８ｃｍ． １５．（１）因为ａ＝４，ｂ＝６，△ＡＢＣ的周长是小于１８的偶数， 所以ｃ是大于２且小于８的偶数．所以ｃ的长是４或６． （２）根据题意，得ａ＋ｂ＞ｃ．所以｜ａ＋ｂ－ｃ｜＋｜ｃ－ａ－ｂ｜＝ ａ＋ｂ－ｃ－ｃ＋ａ＋ｂ＝２ａ＋２ｂ－２ｃ． １６．因为 ∠ＡＢＣ＝４０°，∠Ｃ＝６０°，所以 ∠ＢＡＣ＝１８０°－ ∠ＡＢＣ－∠Ｃ＝８０°．因为ＡＥ是△ＡＢＣ的角平分线，所以∠ＢＡＥ ＝１２∠ＢＡＣ＝４０°．因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＤＢ＝９０°． 所以 ∠ＢＡＤ＝１８０°－∠ＡＤＢ－∠ＡＢＤ＝５０°．所以 ∠ＤＡＥ＝ ∠ＢＡＤ－∠ＢＡＥ＝１０°． 因为ＢＦ是∠ＡＢＣ的平分线，∠ＡＢＣ＝４０°，所以∠ＡＢＯ＝ １ ２∠ＡＢＣ＝２０°．所以∠ＢＯＥ＝∠ＡＢＯ＋∠ＢＡＯ＝６０°． １７．（１）因为 ＤＢ∥ ＡＨ，所以 ∠Ｄ＝∠ＣＡＨ．因为 ＡＨ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以∠ＢＡＨ＝∠ＣＡＨ．因为∠Ｄ＝∠Ｅ，所 以∠ＢＡＨ＝∠Ｅ．所以ＡＨ∥ＥＣ．所以ＤＢ∥ＥＣ． （２）因为∠ＡＢＤ＝２∠ＡＢＣ，所以∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＤ＋∠ＡＢＣ ＝３∠ＡＢＣ．因为 ＤＢ∥ ＡＨ，所以 ∠ＢＡＨ＝∠ＡＢＤ＝２∠ＡＢＣ， ∠ＡＨＣ＝∠ＣＢＤ＝３∠ＡＢＣ．因为∠ＤＡＢ比∠ＡＨＣ大５°，所以 ３∠ＡＢＣ＋５°＝１８０°－４∠ＡＢＣ．解得∠ＡＢＣ＝２５°．所以∠Ｄ＝ ∠ＣＡＨ＝２∠ＡＢＣ＝５０°． １８．（１）９０，４０． （２）由（１）知∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ＝９０°．所以∠ＡＢＰ＋∠ＡＣＰ ＝（∠ＡＢＣ－∠ＰＢＣ）＋（∠ＡＣＢ－∠ＰＣＢ）＝（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ） －（∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ）＝１８０°－∠Ａ－９０°＝９０°－∠Ａ． （３）（２）中的结论不成立．结论：∠ＡＣＰ－∠ＡＢＰ＝９０°－ ∠Ａ．理由如下： 设ＡＢ与ＰＣ交于点Ｄ．由图知△ＰＢＤ和△ＡＣＤ是“对顶三 角形”．根据“对顶三角形”的性质，得 ∠Ｐ＋∠ＡＢＰ＝∠Ａ＋ ∠ＡＣＰ．因为∠Ｐ＝９０°，所以∠ＡＣＰ－∠ＡＢＰ＝∠Ｐ－∠Ａ＝ ９０°－∠Ａ． 书 等腰三角形的性质和 判定分别为：等边对等角、 等角对等边．在求解或说明 边长或角度的问题时，如果 能够巧妙地构造出等腰三 角形，就可以利用等腰三角 形的性质或判定来简便地 解决问题．下面介绍两种构 造等腰三角形的方法，供同 学们参考． 一、用“线段的垂直平 分线”构造等腰三角形 例 １　 如 图 １， 在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ ＝２２．５°，ＡＢ的垂直平分线 交ＢＣ于点 Ｄ，交 ＡＢ于点 Ｍ，ＣＤ＝８，求ＡＣ的长． 分析：由ＭＤ垂直平分 ＡＢ，联想到连接ＡＤ，可构造 出一个等腰三角形，则 ＡＤ ＝ＢＤ，所以∠Ｂ＝∠ＢＡＤ＝２２．５°，再结合等腰三角形 的判定即可求解． 解：连接ＡＤ，如图１． 因为ＭＤ垂直平分ＡＢ，所以ＢＤ＝ＡＤ． 因为∠Ｂ＝２２．５°，所以∠Ｂ＝∠ＢＡＤ＝２２．５°． 所以∠ＡＤＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＤ＝４５°． 所以 ∠ＤＡＣ ＝１８０°－∠Ｃ－∠ＡＤＣ ＝４５°＝ ∠ＡＤＣ． 所以ＡＣ＝ＣＤ＝８． 二、用“三角形中２倍角的关系”构造等腰三角形 例 ２　 如 图 ２， 在 △ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ， ∠Ｂ＝２∠Ｃ． 求证：ＡＢ＋ＢＤ＝ＣＤ． 分析：由已知 ＡＤ⊥ ＢＣ，∠Ｂ＝２∠Ｃ，我们可以在ＣＤ上截取ＤＥ＝ＤＢ，连接 ＡＥ，就可以构造出两个等腰三角形△ＡＢＥ和△ＡＥＣ． 证明：在线段ＣＤ上截取ＤＥ＝ＤＢ，连接ＡＥ，如图２． 因为ＡＤ⊥ＢＣ，ＤＥ＝ＤＢ，所以ＡＥ＝ＡＢ． 所以∠Ｂ＝∠ＡＥＢ＝２∠Ｃ． 又因为∠ＡＥＢ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＥ， 所以∠ＣＡＥ＝∠Ｃ． 所以ＡＥ＝ＥＣ． 所以ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＥ＋ＤＥ＝ＥＣ＋ＤＥ＝ＣＤ． ! . / 0 1 2 书 一、忽视分类讨论 例１　已知等腰三角形的一个外角为１３０°，则它的 顶角的度数为 ． 错解：等腰三角形的一个外角等于１３０°，则这个等 腰三角形的顶角为：１８０°－１３０°＝５０°． 故填５０°． 剖析：已知没有指明此外角的邻补角是顶角还是底 角，所以应分两种情况进行分类讨论． 正解：等腰三角形的一个外角等于１３０°，则这个等 腰三角形的一个内角为：１８０°－１３０°＝５０°． （１）当５０°为顶角时，其他两角为６５°，６５°； （２）当５０°为底角时，其他两角为５０°，８０°． 综上所述，等腰三角形的顶角为５０°或８０°． 故填５０°或８０°． 例２　在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＢ边上的垂线与ＡＣ 所在直线相交所得的锐角为５０°，则∠Ｂ＝ ． 错解：如图 １，因为 ∠ＡＤＥ ＝ ５０°，∠ＡＥＤ＝９０°，所以∠Ａ＝１８０°－ ∠ＡＤＥ－∠ＡＥＤ＝４０°． 因为ＡＢ＝ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ ＝ １２×（１８０°－∠Ａ）＝７０°． 故填７０°． 剖析：本题没有图，△ＡＢＣ可能是锐角三角形，也可 能是钝角三角形，故应分情况讨论． 正解：（１）当△ＡＢＣ是锐角三角形时，同错解； （２）如图２，当 △ＡＢＣ为钝 角三角形时，因为∠ＡＤＥ＝５０°， ∠ＡＥＤ＝９０°，所以 ∠ＢＡＣ ＝ ∠ＡＤＥ＋∠ＡＥＤ＝１４０°． 所以∠Ｂ＝∠Ｃ＝ １２×（１８０°－∠ＢＡＣ）＝２０°． 故填７０°或２０°． 二、错用等腰三角形的性质 例３　如图３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，Ｏ是△ＡＢＣ内一点，且ＯＢ＝ＯＣ． 求证：ＡＯ⊥ＢＣ． 错证：如图３，延长 ＡＯ交 ＢＣ于点 Ｄ． 由ＯＢ＝ＯＣ，ＯＤ平分∠ＢＯＣ，根据 等腰三角形“三线合一”的性质可得ＡＯ⊥ＢＣ． 剖析：在遇到等腰三角形问题时，一些同学往往会 把非特殊线段看成特殊线段，如本例中的ＯＤ，已知中没 有说明它是角平分线，仅仅根据图形便断定它是角平分 线，导致错误． 证明：因为ＡＢ＝ＡＣ，所以点Ａ在线段ＢＣ的垂直平 分线上． 因为ＯＢ＝ＯＣ，所以点Ｏ在线段ＢＣ的垂直平分线上． 所以ＡＯ⊥ＢＣ． ! # $ # " ! 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