第5期 2.1 三角形 2.2 命题与证明（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 ３期２版 １．５可化为一元一次方程的分式方程 １．５．１分式方程的概念及解法 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．４；　４．２ｙ２－３ｙ＋１＝０． ５．（１）ｘ＝１１４；　（２）ｘ＝ ２ ５；　（３）ｘ＝７；　（４）无解． 能力提高　６．２ｍｘ＋１－ ｍ＋１ ｘ２＋ｘ ＝ １ｘ两边乘ｘ（ｘ＋１），得２ｍｘ －（ｍ＋１）＝ｘ＋１．整理，得（２ｍ－１）ｘ＝ｍ＋２．因为方程 ２ｍｘ＋１ －ｍ＋１ ｘ２＋ｘ ＝ １ｘ有增根，所以ｘ＝０或ｘ＝－１．所以ｍ＋２＝０或 １－２ｍ＝ｍ＋２．解得ｍ＝－２或ｍ＝－１３． １．５．２分式方程的应用 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．２００． ５．设从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需时间 为ｘ小时． 根据题意，得 ５３０ ｘ ＝２．８× ５３０ ｘ＋３．解得ｘ＝ ５ ３． 经检验，ｘ＝ ５３是原分式方程的解，且符合题意． 答：从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需时间 为 ５ ３小时． ６．（１）１２０，１６０． （２）设乙每天加工服装ｍ件，则甲每天加工服装（ｍ－５）件． 根据题意，得 １２０ ｍ－５＝ １６０ ｍ．解得ｍ＝２０． 经检验，ｍ＝２０是原分式方程的解，且符合题意． 答：乙每天加工服装２０件． ７．（１）设乙图书每本价格为 ｘ元，则甲图书每本价格为 ２．５ｘ元． 根据题意，得 ８００ ｘ － ８００ ２．５ｘ＝２４．解得ｘ＝２０． 经检验，ｘ＝２０是原分式方程的解，且符合题意． 所以２．５ｘ＝５０． 答：甲图书每本价格为５０元，乙图书每本价格为２０元． （２）设购买甲图书ａ本，则购买乙图书（２ａ＋８）本． 根据题意，得５０ａ＋２０（２ａ＋８）＝１０６０．解得ａ＝１０． 所以２ａ＋８＝２８． 答：该图书室可以购买２８本乙图书． 能力提高　８．（１）设甲班有ｘ人，则乙班有（ｘ＋３）人． 根据题意，得 ７ ６ × ８８２ ｘ ＝ １０９２ ｘ＋３．解得ｘ＝４９． 经检验，ｘ＝４９是原分式方程的解，且符合题意． 所以ｘ＋３＝５２． 答：甲班有４９人，乙班有５２人． （２）设购买Ａ种手套ａ包，则购买Ｂ种手套（５－ａ）包． 根据题意，得ａｍ＋（５－ａ）（ｍ＋１８）＝８８２＋１０９２． 化简，得ｍ＝１８８４＋１８ａ５ ． 因为ａ，５－ａ均为正整数，所以ａ的值为１或２或３或４． 当ａ＝１时，ｍ＝１８８４＋１８×１５ ＝ １９０２ ５ ，不合题意，舍去； 当ａ＝２时，ｍ＝１８８４＋１８×２５ ＝３８４，符合题意；当ａ＝３时， ｍ＝１８８４＋１８×３５ ＝ １９３８ ５ ，不合题意，舍去；当ａ＝４时，ｍ＝ １８８４＋１８×４ ５ ＝ １９５６ ５ ，不合题意，舍去． 综上所述，符合条件的整数ｍ的值为３８４． ３期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ 二、９．ｘ（ｘ＋１）；　１０．１；　１１．－２；　１２．１５；　１３．０或３． 三、１４．（１）ｘ＝４；　（２）无解． １５．原式 ＝ １ ｘ２＋ｘ ．方程 ｘ ２ ｘ－２－ ｘ－３ ２－ｘ＝ｘ＋ ９ ２的解为ｘ＝ ４，所以原式 ＝ １２０． １６．设规定的时间为ｘ小时． 根据题意，得 ２１０ ｘ－２＝２× ２１０ ｘ＋１．解得ｘ＝５． 经检验，ｘ＝５是原分式方程的解，且符合题意． 答：规定的时间为５小时． １７．３＋２－ｋｘｘ－３＝ １ ３－ｘ两边乘（ｘ－３），得３（ｘ－３）＋２－ｋｘ ＝－１．整理，得（３－ｋ）ｘ＝６．因为分式方程３＋２－ｋｘｘ－３＝ １ ３－ｘ无 解，所以３－ｋ＝０或ｘ＝３．解得ｋ＝３或ｋ＝１． １８．（１）ｘ＝６．　（２） １ｘ＋７－ １ ｘ＋６＝ １ ｘ＋４－ １ ｘ＋３． （３）答案不惟一，如 １ｘ－ｎ＋２－ １ ｘ－ｎ＋１＝ １ ｘ－ｎ－１－ １ ｘ－ｎ－２，这个方程的解为ｘ＝ｎ． 书 数学思想方法是数学的灵魂，是解决问题的金钥 匙．掌握一种思想方法比采用题海战术更为重要．下面 就将本章中蕴涵的一些主要数学思想提炼如下． 一、方程思想 例１　（２０２３郧西模拟）如果三角形的一个外角等 于与它相邻的内角的４倍，等于与它不相邻的一个内角 的２倍，则此三角形最小内角的度数是 ． 分析：根据题意列方程即可得解． 解：因为三角形的一个外角等于与它相邻的内角的 ４倍，所以可设这一内角为ｘ，则与它相邻的外角为４ｘ． 所以ｘ＋４ｘ＝１８０°．解得ｘ＝３６°． 所以４ｘ＝１４４°． 因为这个外角还等于与它不相邻的一个内角的２ 倍，所以与这个外角不相邻的内角都是７２°． 所以此三角形最小内角的度数是３６°． 故填３６°． 二、整体思想 例２　（２０２３扶风一模）如 图 １，在 △ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ和 ∠ＡＣＢ的平分线相交于点 Ｄ．若 ∠ＢＤＣ＝１２０°，则∠Ａ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３０° Ｂ．６０° Ｃ．９０° Ｄ．１２０° 分析：在 △ＢＣＤ中，根据三角形内角和定理求得 ∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ的度数，然后根据角平分线的定义求得 ∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ的度数，根据三角形内角和定理即可求 得∠Ａ的度数． 解：因为 ∠ＢＤＣ＝１２０°，所以 ∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ＝ １８０°－∠ＢＤＣ＝６０°． 因为ＢＤ和ＣＤ分别是∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ的平分线， 所以∠ＡＢＣ＝２∠ＤＢＣ，∠ＡＣＢ＝２∠ＤＣＢ． 所以 ∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝２（∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ）＝ １２０°． 所以∠Ａ＝１８０°－（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝６０°． 故选Ｂ． 三、分类讨论思想 例３　（２０２３大连模拟）如 图２，直线ｍ∥ｎ，ＢＣ为∠ＡＢＤ的 三等分线，∠ＤＡＢ＝α，∠ＤＢＣ＝ β，则∠１的度数为 （　　） Ａ．α＋２β Ｂ．２α＋β Ｃ．２β＋α或α＋１２β Ｄ．２α＋β或２β＋α 分析：分∠ＤＢＣ＝１３∠ＡＢＤ和∠ＤＢＣ＝ ２ ３∠ＡＢＤ 两种情况求解即可． 解：当∠ＤＢＣ＝ １３∠ＡＢＤ时，∠ＡＢＣ＝２β， 所以∠１＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＤ＝２β＋α； 当∠ＤＢＣ＝ ２３∠ＡＢＤ时，∠ＡＢＣ＝ １ ２β， 所以∠１＝∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＣ＝α＋１２β． 综上所述，∠１的度数为２β＋α或α＋１２β． 故选Ｃ． 书 如图１，线段ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，连接 ＡＤ，ＢＣ，我们把 △ＡＯＤ和 △ＢＯＣ叫做“对顶三角形”． 根据三角形外角的性质，得 ∠ＢＯＤ ＝∠Ａ＋∠Ｄ；∠ＢＯＤ ＝ ∠Ｂ＋∠Ｃ，从而有∠Ｂ＋∠Ｃ＝∠Ａ＋∠Ｄ，这一结论称 为“对顶三角形”的性质． 利用这一结论可巧妙地解决一些数学问题，下面分 类探索它的应用，供同学们参考． 探索一：求角度 例１　（２０２３深圳龙华区一 模）如图２，线段ＡＤ，ＢＣ交于一 点，∠Ｃ ＝∠Ａ ＝９０°，∠Ｂ ＝ ２５°，则∠Ｄ的度数是 （　　） Ａ．５５° Ｂ．３５° Ｃ．２５° Ｄ．２０° 分析：根据“对顶三角形”的性质求解即可． 解：设ＡＤ，ＢＣ交于点Ｏ． 由图２知△ＡＯＢ和△ＣＯＤ是“对顶三角形”． 根据“对顶三角形”的性质，得∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｃ＋ ∠Ｄ，即９０°＋２５°＝９０°＋∠Ｄ． 解得∠Ｄ＝２５°． 故选Ｃ． 探索二：探索角之间的关系 例２　一副三角板如图３所 示摆放，则∠α与∠β的数量关 系为 （　　） Ａ．∠α＋∠β＝１８０° Ｂ．∠α＋∠β＝２２５° Ｃ．∠α＋∠β＝２７０° Ｄ．∠α＝∠β 分析：根据三角形的内角和、三角形外角的性质和 “对顶三角形”的性质即可得到结论． 解：如图４． 根据三角形的内角和，得 ∠Ａ＝１８０°－９０°－∠Ｆ＝６０°． 根据三角形外角的性质，得 ∠ＡＣＢ＝∠α－∠Ａ＝∠α－ ６０°． 由对顶角相等，得∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ． 由图４知△ＣＤＥ和△ＥＦＧ是“对顶三角形”． 根据“对顶三角形”的性质，得∠ＤＣＥ＋∠Ｄ＝∠Ｆ ＋∠ＥＧＦ，即∠α－６０°＋４５°＝３０°＋１８０°－∠β． 化简，得∠α＋∠β＝２２５°． 故选Ｂ． ! ! ! " # $ % !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "#! $%! ! " ! " % & ' ! ( " ) "#! $%! ! " ! $ " !" #$% ! & ( " ! % ! ( % " ! ! % ! ( ! " ! " * + ! & " &' ()* 书 一、一副三角尺重叠 例１　（２０２３海口模拟）如图１，将一副三角尺叠在 一起，则图中∠α的度数是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．５０° Ｂ．６０° Ｃ．７５° Ｄ．８５° 解：如图２． 由题意，得∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ＝９０°． 所以∠ＡＢＣ＋∠ＢＣＤ＝１８０°． 所以ＡＢ∥ＣＤ． 所以∠ＡＥＤ＝∠Ａ＝３０°． 所以∠α＝∠Ｄ＋∠ＡＥＤ＝７５°． 故选Ｃ． 二、一副三角尺有一个交点 例２　（２０２３天门一模）一副直角三角尺按如图３ 所示方式放置，点Ｃ在ＦＤ的延长线上，ＡＢ∥ＦＣ，∠Ｆ＝ ∠ＡＣＢ＝９０°，则∠ＤＡＣ＝ （　　） Ａ．３０° 　　　Ｂ．１８° Ｃ．１５° 　　　Ｄ．１０° 解：由题意，得 ∠ＥＤＦ ＝ ４５°，∠ＢＡＣ＝３０°． 因为ＡＢ∥ＦＣ，所以∠ＢＡＤ ＝∠ＥＤＦ＝４５°． 所以∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＤ－∠ＢＡＣ＝１５°． 故选Ｃ． 例３　（２０２３太和一模）将 一副三角尺按如图４所示的位置 摆放，其中Ｏ，Ｅ，Ｆ在直线ｌ上，点 Ｂ恰好落在ＤＥ边上，∠１＝２０°， ∠Ａ＝４５°，∠ＡＯＢ＝∠ＤＥＦ＝ ９０°，则∠ＡＢＥ的度数为 （　　） Ａ．６０° Ｂ．６５° Ｃ．７０° Ｄ．７５° 解：因为∠１＝２０°，∠Ａ＝４５°，∠ＡＯＢ＝９０°， 所以∠ＡＢＯ＝１８０°－∠ＡＯＢ－∠Ａ＝４５°，∠ＢＯＥ ＝１８０°－∠ＡＯＢ－∠１＝７０°． 因为∠ＤＥＦ＝９０°， 所以∠ＯＢＥ＝∠ＤＥＦ－∠ＢＯＥ＝２０°． 所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＯ＋∠ＯＢＥ＝６５°． 故选Ｂ． 书 三角形的三边之间存在如下的关系：“三角形的任 意两边之和大于第三边”．利用这个关系可以解决与三 角形三边有关的题目．现举例剖析如下，供同学们参考． 考点一、判断三条线段能否组成三角形 例１　下列长度的三条线段能组成三角形的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３，３，６ Ｂ．３，５，１０ Ｃ．４，６，９ Ｄ．４，５，９ 解：因为３＋３＝６，所以长度为３，３，６的三条线段不 能组成三角形，故选项Ａ不符合题意； 因为３＋５＜１０，所以长度为３，５，１０的三条线段不 能组成三角形，故选项Ｂ不符合题意； 因为４＋６＞９，所以长度为４，６，９的三条线段能组 成三角形，故选项Ｃ符合题意； 因为４＋５＝９，所以长度为４，５，９的三条线段不能 组成三角形，故选项Ｄ不符合题意．故选Ｃ． 温馨提示：判断给定的三条线段能否组成三角形， 关键是看三条线段是否满足任意两边之和大于第三边． 但在实际操作中，不必一一加以验证，只需判断两条较 短线段的长度和是否大于最长线段即可． 考点二、确定三角形的第三边长 例２　（２０２３衢州柯城区一模）已知在 △ＡＢＣ中， ＡＢ＝４，ＢＣ＝７，则边ＡＣ的长可能是 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．１１ 解：因为２＋４＜７，３＋４＝７，４＋４＞７，４＋７＝１１， 所以边ＡＣ的长可能是４．故选Ｃ． 温馨提示：后面会学到“三角形的任意两边之差小 于第三边”，可以得出第三边长的取值范围，从而判断各 选项是否满足题意． 考点三、计算等腰三角形的周长 例３　以方程组 ｘ＋２ｙ＝８， ２ｘ＋ｙ＝{ １０的解作为等腰三角形 两边的长，则得到的三角形的周长是 （　　） Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．８或１０ 解：解方程组 ｘ＋２ｙ＝８， ２ｘ＋ｙ＝１０{ ，得 ｘ＝４， ｙ＝２{ ． 若腰长为４，底边长为２，４＋２＞４，则此三角形的周 长为：４＋４＋２＝１０； 若腰长为２，底边长为４，２＋２＝４，不能构成三角形． 故选Ｃ． 温馨提示：涉及等腰三角形边的问题时，一般需要 分情况讨论，然后看它们是否满足三角形的三边关系， 不满足的要舍去，既不能多解，也不能漏解． ! +, -./ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! $%! "#! " ! ! ! & $%! "#! " % , & ! ( !% ) ( " & ! " ! &0 123 - )& # ( % ! " ! $ 书 上期检测卷 一、１．Ｂ；　２．Ａ； ３．Ａ；　４．Ａ；　５．Ｄ； ６．Ａ；　７．Ｂ；　８．Ｂ； ９．Ｄ；　１０．Ｄ． 二、１１．０；　１２．６； １３．８ｍ ４ ｎ５ ；　１４．７； １５．０；　１６．５； １７．５４；　１８．－１． 三、１９．（１）－２ｂｄ５ａｃ； （２） １ｘ＋３． ２０．（１）无解； （２）ｘ＝－３７． ２１．原式 ＝ｘ＋１． 要 使 分 式 （ ｘ２－ｘ ｘ２－２ｘ＋１ ＋ ２１－ｘ）÷ ｘ－２ ｘ２－１ 的值存在，所以ｘ －１≠０，ｘ＋１≠０，ｘ－２ ≠０．解得 ｘ≠ １，ｘ≠ －１，ｘ≠２．所以ｘ＝３． 当ｘ＝３时，原式 ＝４． ２２．设上个月鸭蛋 的价格为ｘ元／千克，则 本月鸭蛋的价格为（１＋ ２５％）ｘ元 ／千克． 根据题意，得 １６０ ｘ － １６０ （１＋２５％）ｘ＝２．解得 ｘ＝１６． 经检验，ｘ＝１６是 原分式方程的解，且符 合题意． 所以（１＋２５％）ｘ ＝２０． 答：本月鸭蛋的价 格为２０元 ／千克． （下转２，３版中缝） ! " #! !"#$ " $"% ! &#&$ & ' ' "! ( !"#$ !"#$%&' % ! ()*+ !"#$%&'" ()*+,-'. 456789:;<=> ! ? ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 书 命题是对某一件事情 作出判断的语句 （陈述 句），命题叙述的长短与否， 与条件和结论两部分有关． 那么，如何确定命题的条件 和结论呢？ 一、以“如果 ……，那 么……”的形式叙述的命 题，“如果”引出的部分是 条件，“那么”引出的部分 是结论． 例１　命题“如果两个 角的和是１８０°，那么称这两 个角互为补角”的条件是 ，结论是 ． 解：条件是：两个角的 和是１８０°；结论是：这两个角互为补角． 评注：以“如果 ……，那么 ……”一般形式叙述的 命题的条件和结论比较明显，但值得注意的是，不要把 “如果”“那么”写入命题的条件和结论，而是写它们后 面的部分． 二、命题的叙述中间有逗号时，一般地，逗号前是条 件，逗号后是结论． 例２　命题“两直线平行，同旁内角互补”的条件是 ，结论是 ． 解：条件是：两直线平行；结论是：同旁内角互补． 评注：这种命题的叙述格式简洁明了，条件和结论 一目了然． 三、命题的叙述非常简单时，一般将其扩写成“如果 ……，那么……”的形式． 例３　命题“同角的余角相等”的条件是 ， 结论是 ． 解：将命题扩写成“如果 ……，那么 ……”的形式 为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 条件是：两个角是同一个角的余角；结论是：这两个 角相等． 评注：对于这样的命题不能机械地认为条件是“同 角的余角”，结论是“相等”．一般是将这类命题扩写成 “如果……，那么……”形式后，再确定其条件和结论． " @ 0 ( A B ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! "#$ CDE 7FGH! 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角，∠Ａ＝３８°，∠ＣＢＤ＝６８°，则∠Ｃ的度数是 （　　） Ａ．６８° Ｂ．４０° Ｃ．３８° Ｄ．３０° ４．（２０２３惠州惠山区三模）对于ａ，ｂ的值，能说明命 题“若ａ＞ｂ，则｜ａ｜＞｜ｂ｜”是假命题的是 （　　） Ａ．ａ＝３，ｂ＝２ Ｂ．ａ＝３，ｂ＝－２ Ｃ．ａ＝－３，ｂ＝－５ Ｄ．ａ＝－３，ｂ＝５ ５．在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝∠Ｃ－∠Ｂ，则△ＡＢＣ是 （　　） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．无法确定 ６．如图３，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝７０°，∠Ｃ＝４０°，ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，点 Ｅ在边 ＡＢ上，且 ∠ＡＤＥ ＝ ２∠ＢＤＥ，则∠ＢＤＥ的度数为 （　　） Ａ．２０° Ｂ．２５° Ｃ．３０° Ｄ．３５° ７．如图４，已知Ｇ是△ＡＢＣ的重心．若△ＣＤＧ的面积 是１，则△ＡＢＣ的面积是 （　　） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ ８．如图 ５，在 △ＡＢＣ中，∠Ｂ＝ ∠Ｃ，Ｄ为ＢＣ边上的一点，点Ｅ在ＡＣ 边上，∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ．若 ∠ＢＡＤ＝ ２４°，则∠ＣＤＥ的度数为 （　　） Ａ．１２° 　　　Ｂ．１４° Ｃ．１６° 　　　Ｄ．２４° 二、细心填一填（每小题４分，共２０分） ９．如图６，ＡＤ是△ＡＢＣ的 中线，ＡＢ ＝４，ＡＣ ＝３．若 △ＡＣＤ的周长为８，则 △ＡＢＤ 的周长为 ． １０．命题“等底等高的两 个三角形面积相等”的条件是 ，结论 是 ，它的逆命题是 命题（填 “真”或“假”）． １１．如图７，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ ＝６８°，∠Ｃ＝４２°，ＤＥ⊥ＡＣ于点 Ｅ，ＤＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，那么∠ＥＤＦ ＝ ． １２．（２０２３南宁西乡塘区一 模）若有理数ｍ，ｎ满足等式｜ｍ －４｜＋（ｎ－８）２ ＝０，且ｍ，ｎ恰好是等腰三角形ＡＢＣ的 两条边的长，则△ＡＢＣ的周长是 ． １３．如图８，已知∠Ｂ＝２０°， ∠Ｃ＝３５°，∠Ｄ＝１６５°，则 ∠Ａ 的度数为 °． 三、耐心解一解（共４８分） １４．（８分）如图 ９，已知 △ＡＢＣ的周长为２４ｃｍ，ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ边上的中线ＡＤ＝ ５ｃｍ，△ＡＢＤ的周长为１６ｃｍ，求ＡＣ的长． １５．（８分）已知ａ，ｂ，ｃ是△ＡＢＣ的三边长． （１）若ａ＝４，ｂ＝６，且△ＡＢＣ的周长是小于１８的 偶数，求ｃ的长； （２）化简：｜ａ＋ｂ－ｃ｜＋｜ｃ－ａ－ｂ｜． １６．（２０２３西安新城区月考，１０分）如图１０，△ＡＢＣ 中，ＡＤ，ＡＥ分别是△ＡＢＣ的高和角平分线，ＢＦ是∠ＡＢＣ 的平分线，ＢＦ与ＡＥ交于点 Ｏ．若 ∠ＡＢＣ＝４０°，∠Ｃ＝ ６０°，求∠ＤＡＥ，∠ＢＯＥ的度数． １７．（１０分）如图１１，ＡＨ是△ＡＢＣ的角平分线，Ｄ，Ｅ 分别在ＣＡ，ＢＡ的延长线上，ＤＢ∥ＡＨ，∠Ｄ＝∠Ｅ． （１）求证：ＤＢ∥ＥＣ； （２）若∠ＡＢＤ＝２∠ＡＢＣ，∠ＤＡＢ比∠ＡＨＣ大５°，求 ∠Ｄ的度数． １８．（１２分）问题情景：如图１２－①，有一块直角三 角板ＰＭＮ放置在△ＡＢＣ上（点Ｐ在△ＡＢＣ内），三角板 ＰＭＮ的两条直角边ＰＭ，ＰＮ恰好分别经过点Ｂ和点Ｃ．试 问∠ＡＢＰ与∠ＡＣＰ是否存在某种确定的数量关系？ （１）特殊探究：如图 １２－①，∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ＝ 度，若 ∠Ａ ＝５０°，则 ∠ＡＢＰ＋∠ＡＣＰ ＝ 度； （２）类比探究：请类比（１），探究如图 １２－① 中 ∠ＡＢＰ＋∠ＡＣＰ与∠Ａ的关系； （３）延伸探究：如图１２－②，改变直角三角板ＰＭＮ 的位置，使点Ｐ在△ＡＢＣ外，三角板ＰＭＮ的两条直角边 ＰＭ，ＰＮ分别经过点Ｂ和点Ｃ，则（２）中的结论是否仍然 成立？若不成立，请写出你的结论，并说明理由                                                                                                                                                                 ． 书 ２．１三角形 ２．１．１三角形的边 １．如图，三角形的个数是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ 　　Ｄ．６ ２．（２０２３盐城亭湖区月考）有１３ｃｍ，１５ｃｍ的两根 木棒，要想以这两根木棒做一个三角形，可以选用第三 根木棒的长为 （　　） Ａ．３０ｃｍ Ｂ．２８ｃｍ Ｃ．１１ｃｍ Ｄ．２ｃｍ ３．如果三角形的一个内角大于它的邻补角，则这 个三角形一定是 三角形（填“锐角”“直角”或 “钝角”）． ４．已知等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２０，ＢＣ＝８，ＡＣ＝２ｍ －２，求ｍ的值． ２．１．２三角形的高、中线与角平分线 １．下列正确画出△ＡＢＣ的边ＡＣ上的高的图形是 （　　） ２．如图１，在直角△ＡＢＣ中，ＢＣ边上依次有Ｅ，Ｄ，Ｆ 三点，ＢＤ＝ＣＤ，∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ，ＡＦ⊥ＢＣ，以ＡＤ为中 线的三角形是 ；以ＡＥ为角平分线的三角形是 ；以ＡＦ为高线的三角形有 个． ３．如图２，已知△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别是边ＢＣ，ＡＢ 的中点．若 △ＡＢＣ的面积等于８，则 △ＢＤＥ的面积为 ． ４．已知△ＡＢＣ（如图３），按下列要求画图： （１）△ＡＢＣ的中线ＡＤ； （２）△ＡＢＤ的角平分线ＤＭ； （３）△ＡＣＤ的高线ＣＮ； （４）若Ｃ△ＡＤＣ－Ｃ△ＡＤＢ ＝３（Ｃ表示周长），且ＡＢ＝４， 则ＡＣ＝ ． ５．如图４，ＣＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ∥ＢＣ，∠２ ＝∠３＝４０°，ＦＨ⊥ＡＢ于点Ｈ． （１）求∠１的度数； （２）试说明ＣＤ是△ＡＢＣ的高． ６．已知 ＡＤ是 △ＡＢＣ的一条高，∠ＢＡＤ ＝６５°， ∠ＣＡＤ＝３０°，则∠ＢＡＣ＝ ． ２．１．３三角形的内角 １．在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝５０°，∠Ｃ＝７０°，则∠Ｂ的度 数为 （　　） Ａ．４０° Ｂ．５０° Ｃ．６０° Ｄ．７０° ２．如图１，直线ｌ１，ｌ２分别与 △ＡＢＣ的两边ＡＢ，ＢＣ相交，且ｌ１ ∥ｌ２．若∠Ｂ＝３５°，∠１＝１０５°， 则∠２的度数为 （　　） Ａ．４５° Ｂ．５０° Ｃ．４０° Ｄ．６０° ３．（２０２３滨海月考）一个三角形三个内角度数之比 为１∶２∶３，则最大内角的度数是 ． ４．如图２，在 △ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝６０°，∠Ｃ＝８４°， ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，点 Ｅ是边 ＡＣ上一点，且 ∠ＡＤＥ＝ １２∠Ｂ，求∠ＣＤＥ的度数． ５．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角 的３倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例 如，三个内角分别为２５°，７５°，８０°的三角形是“三倍角 三角形”． （１）△ＡＢＣ中，∠Ａ＝２０°，∠Ｂ＝４０°，△ＡＢＣ是“三 倍角三角形”吗？为什么？ （２）若△ＡＢＣ是“三倍角三角形”，且 ∠Ｂ＝３０°， 求△ＡＢＣ中最大内角的度数． ２．１．４三角形的外角 １．（２０２３济南模拟）将一副三角板（含３０°，４５°的 直角三角形）如图１摆放，则∠１的度数是 （　　） Ａ．９０° Ｂ．１３５° Ｃ．１２０° Ｄ．１５０° ２．（２０２３城固模拟）如图２，若 ∠Ａ＝２７°，∠Ｂ＝ ４５°，∠Ｃ＝３８°，则∠ＡＦＤ的度数为 ． ３．如图３，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，∠ＡＢＣ＝７０°， △ＡＢＣ的外角∠ＢＣＤ的平分线ＣＥ交ＡＢ的延长线于点 Ｅ． （１）求∠ＢＣＥ的度数； （２）过点Ｄ作ＤＦ∥ＣＥ，交ＡＢ的延长线于点Ｆ，求 ∠Ｆ的度数． ４．（２０２３宜兴月考）如图 ４，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝４５°，∠Ｃ ＝３０°，点 Ｄ在边 ＢＣ上．若 △ＡＣＤ是 直 角 三 角 形， 则 ∠ＢＤＡ的度数为 ． ２．２命题与证明 １．下列语句是命题的是 （　　） Ａ．钝角大于锐角 Ｂ．最小的自然数是０吗？ Ｃ．作∠Ａ的平分线 Ｄ．在直线ＡＢ上任取一点Ｃ ２．下列命题中，属于真命题的是 （　　） Ａ．内错角相等 Ｂ．一个角的余角大于这个角 Ｃ．三边都相等的三角形是等边三角形 Ｄ．如果｜ａ｜＝｜ｂ｜，那么ａ＝ｂ ３．把命题“互为相反数的两个数的和为零”改写成 “如果……，那么……”的形式为 ． ４．如果两个数的倒数的乘积为１，那么这两个数互 为倒数，请你写出它的逆命题： ． ５．可以用一个ｍ的值说明命题“如果 ｍ能被２整 除，那么它也能被４整除”是假命题，则 ｍ的值可以是 ． ６．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假 命题，请举出一个反例． （１）同位角相等，两直线平行； （２）若ａ＋ｂ＞０，则ａ＞０，ｂ＞０； （３）两个钝角的和是钝角； （４）两点确定一条直线 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! " # $ % !&"$# % ! ! ! " ! " # $ % !# % ! # # " % ! # " % ! # "% ! $ % & ' # " % ! ! & # # ' " $ ! % " ! ( 书 （上接１，４版中缝） ２３．由 ｘ ｘ２－３ｘ＋１ ＝ １５，知 ｘ≠ ０．所以 ｘ２－３ｘ＋１ ｘ ＝５，即ｘ＋ １ ｘ－３＝５．所以ｘ＋ １ ｘ ＝８．所以ｘ ４＋ｘ２＋１ ｘ２ ＝ ｘ２＋１ ｘ２ ＋１＝（ｘ＋１ｘ） ２ － １ ＝ ６３． 所 以 ｘ２ ｘ４＋ｘ２＋１ ＝ １６３． ２４．方程 ４ｘｘ－２－５ ＝ ｍｘ２－ｘ两边乘（ｘ－ ２），得 ４ｘ－５（ｘ－２） ＝－ｍｘ．整理，得（１－ ｍ）ｘ＝１０．因为关于 ｘ 的方 程 ４ｘ ｘ－２－５ ＝ ｍｘ ２－ｘ无解，所以 ｘ＝２ 或１－ｍ ＝０．解得 ｍ ＝－４或ｍ＝１． ２５．（１）设这项工 程的规定时间是ｘ天． 根据题意，得（ １ ｘ ＋１３ｘ）×１５＋ １０ ｘ＝１．解 得ｘ＝３０． 经检验，ｘ＝３０是 原分式方程的解，且符 合题意． 答：这项工程的规 定时间是３０天． （２）设该工程由 甲、乙队合做完成需要 ｍ天． 根据题意，得（ １ ３０ ＋ １３×３０）ｍ＝１．解得ｍ ＝２２．５． ２２．５×（６５００＋ ３５００）＝２２５０００（元）． 答：该工程的施工 费用为２２５０００元． ２６．（１）－２，－３． （２）根据题意，得 ｍｎ＝－５，ｍ＋ｎ＝－２． 所以 ｎ ｍ＋ ｍ ｎ＝ ｍ２＋ｎ２ ｍｎ ＝ （ｍ＋ｎ） ２－２ｍｎ ｍｎ ＝ －１４５． （３）原方程变为 ｘ －２＋ｋ（－２ｋ－３）ｘ－２ ＝ －ｋ－３．所以ｘ１－２＝ｋ， ｘ２－２＝－２ｋ－３．所以 ｘ１－２ ｘ２＋１ ＝ ｋ－２ｋ－１＋１ ＝－１２． （全文完） !" ( #$%"& '()*+,-./ !"#$%&'()*+ )#*!+*",!"-. !",-%&'()*+ )#*!+*",!!"* . ! ! !"#$ ! " %&'( 0123456789: ! . 0123456789: ! . !" ( #$%"& '()*+,-.; <=>?@A"#$%"&" BCA !"" CD EF3GHI JK1)LM # ! " ) " ) ! ! % ! ! !" # $ % ! " ! 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