第3期 1.5 可化为一元一次方程的分式方程（参考答案见5期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 方法一、分子化相等 如果分式方程的分子 都是常数，也可以选择利用 分式的基本性质把各分子 化为它们的最小公倍数，即 完成分子通分．由于各分式 的分子相同，要使分式左、 右两边相等，其分母也必相 等，从而得出一个一元一次 方程，解方程即可． 例 １　 方 程 １ｘ ＝ ２ ３ｘ－３的解是 （　　） Ａ．ｘ＝－２ Ｂ．ｘ＝－１ Ｃ．ｘ＝１ Ｄ．ｘ＝３ 解：由分式的基本性质，将左边分式的分子变为２， 原方程变形为 ２ ２ｘ＝ ２ ３ｘ－３．所以２ｘ＝３ｘ－３．解得ｘ＝ ３．检验：将ｘ＝３代入原分式方程，左边 ＝ １３ ＝右边． 所以原分式方程的解为ｘ＝３． 故选Ｄ． 方法二、换元 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它， 从而使问题得到简化，这种方法叫作换元法．换元的实 质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换， 目的是使复杂问题简单化，变得容易处理．若分式方程 中总是有相同的式子，可把它们用一个字母代替，即应 用换元法求解方程． 例２　解方程： １ｘ－２＋２＝ １－ｘ ２－ｘ． 解：原方程变形为 １ ｘ－２＋２＝ ｘ－１ ｘ－２．设ｙ＝ｘ－２，则 ｘ－１＝ｙ＋１．原方程可化为 １ｙ＋２＝ ｙ＋１ ｙ ．化简，得０ ＝－１，显然不成立．所以原分式方程无解． 方法三、特殊套用法 有的分式方程可逆用法则或公式求解． 例３　 解分式方程： １ｘ＋１０＋ １ （ｘ＋１）（ｘ＋２）＋ １ （ｘ＋２）（ｘ＋３）＋… ＋ １ （ｘ＋９）（ｘ＋１０）＝１０． 解：原分式方程变形为 １ ｘ＋１０＋（ １ ｘ＋１－ １ ｘ＋２）＋ （ １ ｘ＋２－ １ ｘ＋３）＋… ＋（ １ ｘ＋９－ １ ｘ＋１０）＝１０，即 １ ｘ＋１＝ １０．解得ｘ＝－９１０． 经检验，ｘ＝－９１０是原分式方程的解． 书 上期２版 １．３整数指数幂 １．３．１同底数幂的除法 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．２． ４．（１）ｍ５；　（２）－ａ３ｂ３． ５．因为４ｍ＋３×８ｍ＋１÷２４ｍ＋７＝２２（ｍ＋３）×２３（ｍ＋１）÷２４ｍ＋７＝ ２２ｍ＋６×２３ｍ＋３÷２４ｍ＋７＝２ｍ＋２＝１６＝２４，所以ｍ＋２＝４．解得 ｍ＝２． １．３．２零次幂和负整数指数幂 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．－３ｙ ３ ｘ２ ． ４．（１）－７；　（２）９４． 能力提高　５．Ｂ． １．３．３整数指数幂的运算法则 基础训练　１．Ｄ；　２．－４；　３．１１８． ４．（１）ｍ５；　（２）ｂ ８ ａ８ ；　（３）ｘ １２ ４ｙ７ ． １．４分式的加法和减法 １．４．１同分母分式的加法和减法 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．Ａ． ４．（１） ２２ｘ－１；　（２） １ ａ． ５．原式 ＝ａ＋ｃａ－ｂ．当ａ＝３，ｂ＝－２，ｃ＝－１时，原式 ＝ ２ ５． ６．根据题意，得 ａｖ ４０ －ａｖ ＝ ４０ａ ｖ － ａ ｖ ＝ ３９ａ ｖ（ｈ）． 答：飞机比船舰先到 ３９ａ ｖ ｈ． １．４．２异分母分式的加法和减法 基础训练　１．Ｂ；　２．７；　３．１． ４．（１） ２ ｘ２＋２ｘ ；　（２）２；　（３） ２－２ａｂ１＋ａ＋ｂ＋ａｂ． 能力提高　５．Ｃ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ 二、９．ｍ；　１０．＜；　１１．②； １２．１０；　１３． １ｘ－１． 三、１４．（１）－２ｍ ８ ９ｎ；　（２） ４ ｘ－ｙ． １５．原式 ＝ｘ＋１ｘ－１．当ｘ＝１０时，原式 ＝ １１ ９． １６．原式 ＝ １２ｘ－ １ ｘ＋ｙ· ｘ＋ｙ ２ｘ － １ ｘ＋ｙ·（－ｘ－ｙ）＝ １ ２ｘ－ １ ２ｘ＋１＝１．所以无论ｘ，ｙ取何值（ｘ，ｙ的取值要保证式子有意 义），原式的值都为１，保持不变． １７．（１）－２ｘ ２－４ｘ ｘ２－４ 与 ｘ２ ｘ－２是一对整合分式．理由如下： 因为 －２ｘ２－４ｘ ｘ２－４ ＋ ｘ ２ ｘ－２ ＝ －２ｘ２－４ｘ＋ｘ２（ｘ＋２） ｘ２－４ ＝ ｘ３－４ｘ ｘ２－４ ＝ｘ，所以－２ｘ ２－４ｘ ｘ２－４ 与 ｘ２ ｘ－２是一对整合分式． （２）答案不惟一，如Ｎ１ ＝ ２ｂ－ａ ａ＋ｂ，Ｎ２ ＝ ａ＋４ｂ ａ＋ｂ． １８．（１）将 等 号 右 边 通 分， 得 Ａｘ＋６ ＋ Ｂ ４－３ｘ ＝ Ａ（４－３ｘ）＋Ｂ（ｘ＋６） （ｘ＋６）（４－３ｘ） ＝ （－３Ａ＋Ｂ）ｘ＋（４Ａ＋６Ｂ） －３ｘ２－１４ｘ＋２４ ＝ １１ｘ －３ｘ２－１４ｘ＋２４ ．所以 －３Ａ＋Ｂ＝１１， ４Ａ＋６Ｂ＝０{ ． 解得 Ａ＝－３， Ｂ＝２{ ． （２）在已知等式中取ｘ＝３，有Ｃ＋Ｄ＝６．取ｘ＝１，有 －Ｃ ＋Ｄ＝４．解 Ｃ＋Ｄ＝６， －Ｃ＋Ｄ＝４{ ，得 Ｃ＝１， Ｄ＝５{ ． 书 我们在解分式方程时，经常会遇到含有参数的分式 方程，现针对这类题型归纳总结如下，供同学们参考 学习． 模型一、已知分式方程的解，求参数的值 例１　（２０２３株洲荷塘区二模）ｘ＝２是分式方程 ２ｘ ＋ ａｘ－１＝２的解，则ａ的值为 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 解：把ｘ＝２代入 ２ｘ＋ ａ ｘ－１＝２，得１＋ａ＝２．解得 ａ＝１． 故选Ａ． 模型二、已知分式方程有增根，求参数的值 例２　（２０２３无锡一模）若关于 ｘ的方程ｍ＋１ｘ－２－ ２ｘ ２－ｘ＝０有增根，则ｍ的值为 （　　） Ａ．－５ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２ 解： ｍ＋１ ｘ－２－ ２ｘ ２－ｘ＝０两边乘（ｘ－２），得ｍ＋１＋２ｘ ＝０．解得ｘ＝－ｍ＋１２ ．因为方程 ｍ＋１ ｘ－２－ ２ｘ ２－ｘ＝０有增 根，所以ｘ＝２．所以 －ｍ＋１２ ＝２．解得ｍ＝－５． 故选Ａ． 模型三、已知分式方程无解，求参数的值 例３　若关于ｘ的方程 ２ｘ＝ ｍ ２ｘ＋１无解，则ｍ的值 为 （　　） Ａ．０ Ｂ．４或６ Ｃ．６ Ｄ．０或４ 解： ２ ｘ ＝ ｍ ２ｘ＋１两边乘ｘ（２ｘ＋１），得４ｘ＋２＝ｍｘ． 整理，得（４－ｍ）ｘ＝－２．因为 ２ｘ＝ ｍ ２ｘ＋１无解，所以４－ ｍ＝０或ｘ＝－１２．解得ｍ＝４或ｍ＝０． 故选Ｄ． 模型四、已知分式方程有解，求参数满足的条件 例４　若关于ｘ的分式方程 １ｘ－２＋ ２ ｘ＋２＝ ｘ＋２ｍ ｘ２－４ 有解，则ｍ满足的条件是 ． 解： １ ｘ－２＋ ２ ｘ＋２＝ ｘ＋２ｍ ｘ２－４ 两边乘（ｘ＋２）（ｘ－２）， 得 ｘ＋２＋２ｘ－４＝ｘ＋２ｍ．解得ｘ＝ｍ＋１．因为 １ｘ－２＋ ２ ｘ＋２＝ ｘ＋２ｍ ｘ２－４ 有解，所以ｍ＋１≠２，且ｍ＋１≠－２．解 得ｍ≠１，且ｍ≠－３． 故填ｍ≠１且ｍ≠－３． 书 解分式方程的基本思路就是把分式方程转化为整 式方程． 其一般步骤为： （１）去分母．在分式方程的左、右两边都乘最简公 分母，把分式方程转化为整式方程． （２）解整式方程． （３）检验．把整式方程的解代入最简公分母，使最 简公分母不等于０的解就是原方程的解；若最简公分母 等于０，则原方程无解． 温馨提示：（１）去分母时，在分式方程两边都乘以 最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项．（２）解分式 方程不要忘记检验． 例１　分式方程ｘ＋１２ｘ－１＝１的解为 ． 解： ｘ＋１ ２ｘ－１＝１两边乘（２ｘ－１），得ｘ＋１＝２ｘ－１． 解得ｘ＝２． 检验：当ｘ＝２时，２ｘ－１≠０． 所以原分式方程的解为ｘ＝２． 故填ｘ＝２． 例２　解方程：ｘ＋１ｘ－１－ ４ ｘ２－１ ＝１． 解： ｘ＋１ ｘ－１－ ４ ｘ２－１ ＝１两边乘（ｘ＋１）（ｘ－１），得（ｘ ＋１）２－４＝（ｘ＋１）（ｘ－１）．解得ｘ＝１． 检验：当ｘ＝１时，（ｘ＋１）（ｘ－１）＝０，因此ｘ＝１ 不是原分式方程的解． 所以原分式方程无解． 小编献策：最简公分母有两个作用：一是为了去分 母将分式方程化为整式方程；二是为了检验求出的未知 数的值是否使分母为０． 检验最常用的方法有两种： （１）把解得的值代入最简公分母进行检验，使最简 公分母为０的值不是原分式方程的解；否则，即为原分 式方程的解． （２）将解得的值分别代入原分式方程的左边和右 边，若左边等于右边，此解即为原分式方程的解；否则， 就不是原分式方程的解． ! !" #$% """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! & ' ( ) ) ! *' +,- ! " #! !"#$ " $"% ! !"!# & $ ' %$ ( !"#$ !"#$%&' % ! ()*+ !"#$%&'" ()*+,-'. ./012345678 ! 9 %&' :;<=>=?@ABCD@A 1EFG! %& "#$%&'()*+, -$%.' & !& ,/0123456$%.'7 8- & HIJK! "9$%.:(- ;<=/>?@ & 书 列分式方程解决实际问题是一类常考题，这种考题 形式活泼多样，背景千变万化，下面举例说明两种常见 问题． 一、工程问题 例１　为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定 对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长 ３６００米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划 提高了２０％，按这样的进度可以比原计划提前１０天完 成任务． （１）求实际施工时，每天改造管网的长度； （２）施工进行２０天后，为了减少对交通的影响，施 工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期为４０天， 那么以后每天改造管网还要增加多少米？ 解：（１）设原计划每天改造管网ｘ米． 根据题意，得 ３６００ ｘ － ３６００ （１＋２０％）ｘ＝１０． 解得ｘ＝６０． 经检验，ｘ＝６０是原分式方程的解，且符合题意． 所以（１＋２０％）ｘ＝７２． 答：实际施工时，每天改造管网的长度是７２米． （２）设以后每天改造管网还要增加ｍ米． 根据题意，得（４０－２０）（７２＋ｍ）＝３６００－７２×２０． 解得ｍ＝３６． 答：以后每天改造管网还要增加３６米． 二、销售问题 例２　为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部 分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的 价格少２３元，且８４元购买绳子的数量与３６０元购买实心 球的数量相同． （１）绳子和实心球的单价各是多少元？ （２）如果本次购买的总费用为５１０元，且购买绳子 的数量是实心球数量的３倍，那么购买绳子和实心球的 数量各是多少？ 解：（１）设绳子的单价是ｘ元． 根据题意，得 ８４ ｘ ＝ ３６０ ｘ＋２３．解得ｘ＝７． 经检验，ｘ＝７是原分式方程的解，且符合题意． 所以ｘ＋２３＝３０． 答：绳子的单价是７元，实心球的单价是３０元． （２）设购买实心球的数量是ｍ个． 根据题意，得７×３ｍ＋３０ｍ＝５１０．解得ｍ＝１０． 所以３ｍ＝３０． 答：购买绳子３０条，实心球１０个． 温馨提示：列分式方程解决实际问题的一般步骤： （１）审：审清题意，弄清已知量和未知量之间的关系； （２）找：找出题目中的等量关系； （３）设：根据题意设出未知数； （４）列：列出分式方程； （５）解：解这个分式方程； （６）验：检验，既要检验所得的解是否是原分式方 程的解，又要检验解是否符合题意； （７）答：写出答案． 书 一、新定义型 例１　定义ａｂ＝２ａ ＋１ｂ，则方程３ｘ＝４２ 的解为 （　　） Ａ．ｘ＝ １５ Ｂ．ｘ＝ ２５ Ｃ．ｘ＝ ３５ Ｄ．ｘ＝ ４５ 分析：利用题中的新定 义得到关于ｘ的分式方程， 按照分式方程的解法求解 即可． 解：根据题中的新定 义，得３ｘ＝２×３＋１ｘ， ４２＝２×４＋１２． 因为３ｘ＝４２，所以２×３＋１ｘ＝２×４＋ １ ２． 解得ｘ＝ ２５． 经检验，ｘ＝ ２５是原方程的解． 故选Ｂ． 二、纠错型 例２　小明解分式方程 １ｘ＋１＝ ２ｘ ３ｘ＋３－１的过程如 下： 解：去分母，得３＝２ｘ－（３ｘ＋３）． ① 去括号，得３＝２ｘ－３ｘ＋３． ② 移项、合并同类项，得 －ｘ＝６． ③ 化系数为１，得ｘ＝－６． ④ 以上步骤中，开始出错的一步是 （　　） Ａ．①　　　　　　　　　　Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．④ 分析：按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可 得出答案． 解：去分母，得３＝２ｘ－（３ｘ＋３）． 去括号，得３＝２ｘ－３ｘ－３． 移项、合并同类项，得 －ｘ＝６． 化系数为１，得ｘ＝－６． 所以开始出错的一步是②． 故选Ｂ． 三、程序运算型 例３　按照如下图所示的流程，若输出的Ｍ＝－６， 则输入的ｍ为 （　　） Ａ．３　　　　Ｂ．１　　　　Ｃ．０　　　　Ｄ．－１ 分析：根据题中的程序，利用分类讨论的方法可以 分别求得ｍ的值，注意检验ｍ是否满足条件． 解：当ｍ２－２ｍ≥０时， ６ｍ－１＝－６． 解得ｍ＝０． 检验：当ｍ＝０时，ｍ－１≠０，ｍ２－２ｍ＝０． 当ｍ２－２ｍ＜０时，ｍ－３＝－６． 解得ｍ＝－３． 此时ｍ２－２ｍ＝１５＞０． 综上所述，输入的ｍ为０． 故选Ｃ． """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" AB ! A6 " "# ( !$% "#!$) ! ! *!!#" C D ! * L M N O ! PQ RST " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " UVWXY EFG+ HIJH KL(M+NOPQRS TU+ VWXYZ ([\+]^V_`aS bIM7cdefg+ hCTiT\jk`a lSVmnmo+pqr ijs`+ tuV`( a+TIIvwxyz+ {|}~S Y€Vc‚I Mƒ„+c…†‡+ˆ` ab‰Š‹ŒvQƒ Ž+C‘fu’“+ ”V•“–—S T˜™šTIka (›œMžŸ< TM ž˜(’ + bIM¡ ¢£iœ¤+œM¥¦+ T§¨™©ªHS V« qq¬B­®ž¯+° -­±²³+ tuV¬ ƒ´µ(¶·+ ¸¹p ºS Z[\] »u¼½ Œ(i3¾Q‹Œ+7 ¿uÀÁ(ÂþšŒ ÄÅ(ÆÇ+ bÈCÉ ÊËeuÉÊ(ÌÍS ^_`abc d ÎO(ÏÐYZC TIÑHǜ(YZ+ VNÒÓFÈÔÕY efg ! h " i/jk !"lmZ1no !"lZ4pqrstuv !"lZwxyz{|}~n 0€‚ƒ„…i ‚†‡ˆ‰Š ‹Œ=Ž…i‘‡ +,%#*"$"$- e . ’ ) *+ ˆ‰Š , ) *+ “”• , # - .+ –—Š , ) *+ ˜ ™ , ) *+ š › -./01+ – œ 23/01+ –ž -4506+ Ÿ N -4578+  ¡¢ ”£¤ R ¥ ¦§¨ © ª «¬­ “®¯ ©° ± ¡ ²³¨ ´µ‰ R¶· ¸¶¹ “‰º »›/ ¼½¥ ¾ ­ ¿ÀÁ ”Âà 91-.+ ¸¶¹ 91:;+ R Ä <=-.+ “ÅÆ >?-.+ “ÇÇ @ABC+ ÈÉÊ $ ˁÌÍÌi $ θхi $ ƒ„ÒÓԇ ")'%*'!$%!'( $ ˁÕև!"×ØÙÚ§ÛÜÝÞß %)! ‘0€‚./01ƒ„Ò $ àáƒâ‡ ")"""( $ ÚãÒäåæ‡ ")'%#'!$%%!' ")'%#'!$%!)$ esçk $ äè‡éWˁÚãÒÖêëì‹íîàïeðk $ àáäèåæ‡ %%%/' $ :ñòóäôõäö÷ä $ ˁøì‹í×ùÚk74úûü $ ýþyzÿ:!‘‡ %#""""#"""%%" $ ýþÒÓԇ ")'%#'!$%!'' $ ˁ"&'#@st$%{|}~ù&'Ú()Ü+*+,-qr. %% ‘k/0h1{023456héWˁÚãÒÖê78 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列关于ｘ的方程中，不是分式方程的是（　　） Ａ．１ｘ ＝２ Ｂ． ２ｘ ３ ＝ ３ π Ｃ． １ｘ－１＝ ４ ｘ Ｄ． ｘ２－１ ｘ＋１＝２ ２．分式方程 １ｘ＋１＝１的解为 （　　） Ａ．ｘ＝－１ Ｂ．ｘ＝０ Ｃ．ｘ＝１ Ｄ．ｘ＝２ ３．如图１，在框中解分式方程的４个步骤中，根据等 式的基本性质的是 （　　） 解分式方程： ｘ ｘ－２－ ３－ｘ ｘ－２＝１． 解：ｘ－（３－ｘ）＝ｘ－２． ① ｘ－３＋ｘ＝ｘ－２． ② ｘ＋ｘ－ｘ＝－２＋３． ③ ｘ＝１． ④ 经检验，ｘ＝１是原分式方程的解． 图１ Ａ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．③④ ４．使分式 ３ｘ－３和分式 １ ｘ－１相等的ｘ值是 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．３ Ｄ．－１ ５．已知方程 ２１－ｘ＝ ｘ ｘ－１－３的解为ｘ＝ ５ ２，则方 程 ２ １－２ｙ＝ ２ｙ ２ｙ－１－３的解为ｙ＝ （　　） Ａ．５ Ｂ．５２ Ｃ． ５ ３ Ｄ． ５ ４ ６．关于ｘ的分式方程 ｍｘ＋６＝１，下列说法正确的是 （　　） Ａ．方程的解是ｘ＝ｍ－６ Ｂ．当ｍ＜６时，方程的解是负数 Ｃ．当ｍ＞６时，方程的解是正数 Ｄ．以上说法均不正确 ７．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做３５０个零件 的时间是乙做２４０个零件所用时间的 ５４倍，两人每天共 做１３０个零件．八（１）班同学根据条件提出了不同的问 题，设出相应的未知数 ｘ，并列出如下方程，数学老师批 阅后，发现一个不正确，这个不正确的方程一定是 （　　） Ａ．３５０ｘ ＝ ５ ４× ２４０ １３０－ｘ Ｂ．５× ３５０ １３０－ｘ＝４× ２４０ ｘ Ｃ．３５０５ ４ｘ ＋２４０ｘ ＝１３０　　 　　　Ｄ． ３５０ ５ｘ＋ ２４０ ４ｘ＝１３０ ８．对于有理数 ａ，ｂ，定义一种新运算“※”：ａ※ｂ＝ １ ａ－ｂ２ ，这里等式右边是有理数运算．例如：１※３＝ １ １－３２ ＝－１８，则方程ｘ※（－２）＝ ５ ｘ－４－２的解是 （　　） Ａ．ｘ＝４ Ｂ．ｘ＝５ Ｃ．ｘ＝６ Ｄ．ｘ＝７ 二、细心填一填（每小题４分，共２０分） ９．解分式方程 ２ｘ－ １ ｘ＋１＝０去分母时，方程两边同 乘的最简公分母是 ． １０．关于ｘ的分式方程 ２ｘ－ａ＝ ３ ｘ的解是ｘ＝３，则ａ 的值为 ． １１．点Ａ，Ｂ在数轴上的位置 如图２所示，它们对应的数分别 为 －２， ｘｘ＋１，若点 Ａ，Ｂ到原点的距离相等，则 ｘ＝ ． １２．某校有２１０名学生参加课后延时服务，原计划平 均分成若干组，实际分组时每组人数是原计划的１．５倍， 最终组数比原计划少７组，则实际分组时每组的人数为 名． １３．已知分式方程 ｘｘ－１－１＝ ｍ （ｘ－１）（ｘ＋２）有增 根，则ｍ的值为 ． 三、耐心解一解（共４８分） １４．（８分）解方程： （１）８ｘ ＝ １２ ｘ＋２； （２） ３ｘ＋１＋ ５ ｘ－１＝ １０ ｘ２－１ ． １５．（８分）先化简，再求值：（１－ ２ｘ＋１）· ｘ＋１ ｘ２－ｘ － １ ｘ＋１，其中ｘ是方程 ｘ２ ｘ－２－ ｘ－３ ２－ｘ＝ｘ＋ ９ ２的解． １６．（１０分）抗洪工作中，某区有甲、乙两组志愿者 分装蔬菜各２１０吨，乙组分装的速度是甲组分装速度的 ２倍，甲组所需的时间比规定时间多１小时，乙组所需的 时间比规定时间少２小时，求规定的时间． １７．（１０分）若分式方程３＋２－ｋｘｘ－３＝ １ ３－ｘ无解，求 ｋ的值． １８．（１２分）阅读下列材料： 方程 １ ｘ＋１－ １ ｘ ＝ １ ｘ－２－ １ ｘ－３的解为ｘ＝１； 方程 １ ｘ－ １ ｘ－１＝ １ ｘ－３－ １ ｘ－４的解为ｘ＝２； 方程 １ ｘ－１－ １ ｘ－２＝ １ ｘ－４－ １ ｘ－５的解为ｘ＝３； …… （１）请直接写出方程 １ｘ－４－ １ ｘ－５＝ １ ｘ－７－ １ ｘ－８ 的解为 ； （２）观察上述方程与解的特征，写出一个解为 ｘ＝ －５的分式方程： ； （３）观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方 程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解                                                                                                                                                                 ． 书 １．５可化为一元一次方程的分式方程 １．５．１分式方程的概念及解法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．已知方程：①１－９ｘ ２ ｘ２ ＝０；②ｘ－５ｘ ＋ ｘ２ ２ ＝１；③ｘ ＋ ２ｘ＋２＝２＋ ２ ｘ－２；④（ｘ＋ ４ ５）（ｘ－６）＝－１，其中分 式方程的个数是 （　　） Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．１ ２．把分式方程 ３ｘ－２＝１－ １ ２－ｘ去分母后化为整式 方程为 （　　） Ａ．－３＝ｘ－２－１ Ｂ．－３＝ｘ－２＋１ Ｃ．３＝ｘ－２＋１ Ｄ．３＝ｘ－２－１ ３．若关于ｘ的方程 ａｘ－１＝２的解是ｘ＝３，则ａ的 值为 ． ４．用换元法解方程 ２ｘｘ＋２＋ ｘ＋２ ｘ ＝３时，如果设 ｘ ｘ＋２＝ｙ，那么原方程可化为关于 ｙ的整式方程是 ． ５．解方程： （１） １ｘ－３＝ ３ ２－ｘ； （２） ２ｘｘ＋２－ ｘ ｘ－１＝１； （３） ４ ｘ２＋ｘ － ３ ｘ２－ｘ ＝０； （４）（２０２３扬州邗江区月考）５ｘ－４ｘ－２＝ ４ｘ＋１０ ３ｘ－６－１． ６．若关于ｘ的方程 ２ｍｘ＋１－ ｍ＋１ ｘ２＋ｘ ＝１ｘ有增根，求ｍ 的值． １．５．２分式方程的应用 １．某农户承包的３６亩水田和３０亩旱地需要耕作． 每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多４亩．该 农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的 一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水 田ｘ亩，则可以得到的方程为 （　　） Ａ．３６ｘ－４＝２× ３０ ｘ Ｂ． ３６ ｘ＋４＝２× ３０ ｘ Ｃ．３６ｘ ＝２× ３０ ｘ－４ Ｄ． ３６ ｘ ＝２× ３０ ｘ＋４ ２．某地为了响应习总书记提出的“绿水青山就是 金山银山”的发展理念，计划在山坡上种植树木６０００ 棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的数量比原计划 增加了２５％，结果提前３天完成任务，列出方程６０００ｘ － ６０００ １．２５ｘ＝３，则 ６０００ ｘ 表示 （　　） Ａ．原计划每天种植树木的数量 Ｂ．志愿者加入后实际每天种植树木的数量 Ｃ．原计划完成树木种植的天数 Ｄ．志愿者加入后实际完成树木种植的天数 ３．在“脱贫攻坚”检查验收期间，甲、乙两个检查组 到某县开展检查验收工作，已知乙组单独完成比甲组 单独完成多用６天；若两个组同时进行工作４天后，再 由乙组单独完成，那么乙组一共所用的时间刚好和甲 组单独完成所用的时间相同，则乙组单独完成该县检 查验收工作所需的时间是 （　　） Ａ．１２天 Ｂ．１８天 Ｃ．２４天 Ｄ．３０天 ４．某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销， 就用３２０００元购进了一批这种运动服，上市后很快脱 销，商场又用６８０００元购进第二批这种运动服，所购数 量是第一批购进数量的２倍，但每套进价多了１０元．若 这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润 率为２０％，那么每套售价是 元（利润率 ＝ 利润 成本 ×１００％）． ５．王鹏家住成都，今年暑假，他们全家计划到贵州 旅游，第一站到遵义参观遵义会议遗址．王鹏在做旅游 攻略时发现成都火车东站距离遵义火车站５３０ｋｍ，乘 坐高铁列车从成都火车东站到遵义火车站比乘坐特快 列车少用３小时，高铁列车的平均行驶速度是特快列车 的２．８倍．请你帮王鹏计算一下从成都火车东站到遵义 火车站乘坐高铁列车所需时间． ６．随着高考、中考的到来，某服装店老板预测有关 “势在必得”“逢考必过”之类的短袖Ｔ恤衫能畅销，委 托某服装车间加工２８０件此类服装，现分配给甲、乙两 人加工，已知乙加工的件数比甲的２倍少８０件． （１）甲、乙加工服装的件数分别是 件和 件； （２）若乙每天比甲多加工５件，且两人所用时间相 同，求乙每天加工服装的件数． ７．在“双减”背景下，某中学为让学生们扔下繁重 的作业负担，置身于丰富多彩的阅读中，计划开展以 “我阅读，我快乐”为主题的阅读分享活动，学校图书室 计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图 书每本价格的２．５倍，用８００元单独购买甲图书比用 ８００元单独购买乙图书要少２４本． （１）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ （２）如果学校图书室计划购买乙图书的本数比购 买甲图书本数的２倍多８本，且用于购买甲、乙两种图 书的总经费为１０６０元，那么该图书室可以购买多少本 乙图书？ ８．八年级甲、乙两个班全体同学踊跃参与“携手抗 洪，共渡难关”捐款活动，甲班共捐款８８２元，乙班共捐 款１０９２元．下面是甲、乙两班同学的一段对话： （１）甲、乙班各有多少人？ （２）现甲、乙两班共同使用这笔捐款用于购买Ａ，Ｂ 两种不同型号的手套（两种手套都有购买），购买信息 如下表： 名称 单价（整数元 ／包）数量（包） 金额（元） Ａ ｍ ! ! Ｂ ｍ＋１８ ! ! 总计 ５ 两个班全部捐款额 求符合条件的整数ｍ的值 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． !"#$%&'( "#)%&* ! % " !"+)%,-.&/ ("+) # $ " 0+12 3+12 !" ! #$%"& '()*+, % -. !"#$%&'()*+ &!%'(%)#')$* !",-%&'()*+ &!%'(%)#'')% . ! ! !"#$ ! " %&'( /0123456789 ! - /0123456789 ! - !" ! #$%"& '()*+, % -. :;<=>?"#$ @A? !"" AB CD2EFG HI0)JK 'LM ' N + O0P. 45 6789:);<= >?@ABCD@EFG@ HIJKLMNO HI PQRST@>?SU@ EFGVWXY@ AB CDZ[\=]^_`= abcd=efgh=i jklABCDmn o5 QRpHI)_^ kNqqrstuvw xy z{|}~)` €y‚ƒ„…†‡@ ˆ€Ky ‰Š‹‹Œ Ž‘)’“”•O QR–S— '$$, S˜y QRt™š›œ)ž Ÿoy pHI)_`t u/ V¡ xO¢£y ¤r|¥~¦HI) §¨O ©ª«¬­® ¯HI= °©ª«±² ³´µN= u¶·¸© ¹1º€)*S»¼ ½¾¿ÀÁÂÃ= ŠÄ ÅÆÇHIO HIÈQ RÉÊËÌÍÍÎÎ= ³ÏÐÑ= ÒÓÔ¶Õ b=Ö×QRؙÙÚ= ÛÜpQRÝÞxß àO ©á= HIâãä QRÂÃO QRȒ“ Åx=ån³æ=çè» ¼"éHIÂêëìO Uíîï)HIðñ= òó)ôõöŠš/Q R½÷òøùO HI J«úû=üýþÙyÿ !Ù"#n$›Ù% &y'(QR:)n*5 QR”<+,-./ HI%Ù0þy 12n *y 345n‡Sš6 7€ya8…†yŠn9 :;%y<=>?5 @° pn=gA©9%5 p HIBC)cDA©E FGH5 ËÌyQRI: JÄòóKKLMxÙ N)N`5 QRS? O!") P€QVR÷û%ST )ôõy³UVWXYy Z[pªy \]ô’™ ^)ôõ_©`apª Bb5 " # &() ! )