第2期 1.3 整数指数幂 1.4 分式的加法和减法（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 上期２版 １．１分式 １．１．１分式的概念 基础训练　１．Ｄ；　２．４． ３．（１）ｍ≠０；　（２）ｘ为全体有理数； （３）２ａ≠ｂ；　（４）ｘ≠３且ｘ≠２． ４．（１）乙车跑完Ａ，Ｂ两地的路程需要 ｖｖ－５小时； （２）批发商共赚３０００ａ 元． １．１．２分式的基本性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ； ３．②④； ４．（１）２ａ２＋２ａｂ，（２）－ａ－ｂ． ５．（１）－６ａ；　（２）１ｂ；　（３） １ ｘ２＋２ｘ＋１ ． ６．（１）原式 ＝ｍ＋３ｍ－２． 当ｍ＝－３时，原式 ＝０． （２）原式 ＝ １ ｘｙ－２ｙ２ ． 当ｘ＝４，ｙ＝１时，原式 ＝ １２． １．２分式的乘法和除法 １．２．１分式的乘除 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．２ａ－３ｂ２ａｂ ． ４．（１） ２ａ－４；　（２） ｘ＋３ｙ ｘ＋ｙ；　（３） １ ｘ－２． １．２．２分式的乘方 基础训练　１．Ｂ；　２．ｘ ｙ３ ． ３．（１）－３ｘ ３ ４ｙ；　（２）－ ９ｘ２ ｙ３ ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ 二、９． １ａ－２；　１０．－６；　１１．－４；　１２．－ ｘ－ｙ ｘ２＋ｘｙ ； １３．２． 三、１４．（１）－ ２ ３ａ３ｂ ；　（２）４ｘ＋６． １５．原式 ＝ａ＋２ｂａ－２ｂ． 当ａ＝－２，ｂ＝ １２时，原式 ＝ １ ３． １６．因为ａｂｃ＝１，所以 １ａｂ＋ｂ＋１＝ ａｂｃ ａｂ＋ｂ＋ａｂｃ＝ ａｃ ａ＋１＋ａｃ， １ ｂｃ＋ｃ＋１＝ ａ ａ（ｂｃ＋ｃ＋１）＝ ａ ａｂｃ＋ａｃ＋ａ ＝ ａ１＋ａｃ＋ａ． １７． ａ＋ｂａ＋（ａ－ｂ）．证明如下： ａ３＋ｂ３ ａ３＋（ａ－ｂ）３ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ ２－ａｂ＋ｂ２） ［ａ＋（ａ－ｂ）］［ａ２－ａ（ａ－ｂ）＋（ａ－ｂ）２］ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ ２－ａｂ＋ｂ２） ［ａ＋（ａ－ｂ）］（ａ２－ａｂ＋ｂ２） ＝ ａ＋ｂａ＋（ａ－ｂ）． １８．（１）根据题意，得 ａ（ｖ甲 ＋ｖ乙）＝ａ， ｂ（ｖ甲 －ｖ乙） { ＝ａ．所以ｖ甲 ＝ ａ＋ｂ ２ｂ，ｖ乙 ＝ ｂ－ａ ２ｂ． （２）因为 ｖ甲 ｖ乙 ＝ａ＋ｂｂ－ａ＝ ７ ３，所以ａ＋ｂ＝ ７ ３ｂ－ ７ ３ａ． 所以 １０ ３ａ＝ ４ ３ｂ．所以 ａ ｂ ＝ ２ ５． （３） ｔ１ ｔ２ ＝ ａａ＋ｂ ２ｂ ÷ ａ ２×ｂ－ａ２ｂ ＝ ２ａｂａ＋ｂ÷ ａｂ ｂ－ａ＝ ２ａｂ ａ＋ｂ· ｂ－ａ ａｂ ＝ ２ｂ－２ａ ａ＋ｂ． 书 分式的运算是本节的重点知识，有关分式运算的新 题型层出不穷，现撷取几例分析如下，供同学们参考． 一、说理题 例１　 坤坤在求（ ｘ ２－４ ｘ２－４ｘ＋４ ＋２－ｘｘ＋２）÷ ｘ ｘ－２－ ８ ｘ＋２的值时，把ｘ＝２３看成了ｘ＝７３，答案也正确，请问 为什么？ 分析：此类问题要先化简，通过化简可发现最后的 结果里没有ｘ项，所以ｘ的值不影响结果． 解：原式 ＝［（ｘ＋２）（ｘ－２） （ｘ－２）２ ＋２－ｘｘ＋２］· ｘ－２ ｘ － ８ ｘ＋２ ＝（ｘ＋２ｘ－２－ ｘ－２ ｘ＋２）· ｘ－２ ｘ － ８ ｘ＋２ ＝（ｘ＋２） ２－（ｘ－２）２ （ｘ－２）（ｘ＋２） · ｘ－２ ｘ － ８ ｘ＋２ ＝ ８ｘ （ｘ－２）（ｘ＋２）· ｘ－２ ｘ － ８ ｘ＋２ ＝ ８ｘ＋２－ ８ ｘ＋２＝０． 因为该式子的值与ｘ的值无关，所以无论ｘ＝２３还 是ｘ＝７３，他算出的结果仍然正确． 二、判断题 例２　有一道分式化简题： ２ｘ＋１＋ ｘ＋５ ｘ２－１ ，甲、乙两 位同学的解答过程分别如下： 甲同 学： ２ ｘ＋１＋ ｘ＋５ ｘ２－１ ＝ ２ （ｘ＋１）（ｘ－１） ＋ ｘ＋５ （ｘ＋１）（ｘ－１）＝ ２＋ｘ＋５ ｘ２－１ ＝ｘ＋７ ｘ２－１ ； 乙同 学： ２ ｘ＋１＋ ｘ＋５ ｘ２－１ ＝ ２（ｘ－１） （ｘ＋１）（ｘ－１） ＋ ｘ＋５ （ｘ＋１）（ｘ－１）＝２ｘ－２＋ｘ＋５＝３ｘ＋３． 下列说法正确的是 （　　） Ａ．只有甲同学的解答过程正确 Ｂ．只有乙同学的解答过程正确 Ｃ．两人的解答过程都正确 Ｄ．两人的解答过程都不正确 分析：根据异分母分式的加法法则比较甲、乙两人 的解答过程即可． 解：原式 ＝ ２（ｘ－１） （ｘ＋１）（ｘ－１）＋ ｘ＋５ （ｘ＋１）（ｘ－１）＝ ２ｘ－２＋ｘ＋５ （ｘ＋１）（ｘ－１）＝ ３ｘ＋３ （ｘ＋１）（ｘ－１）＝ ３（ｘ＋１） （ｘ＋１）（ｘ－１） ＝ ３ｘ－１．所以两人的解答过程都不正确．故选Ｄ． 三、开放题 例３　先化简：（１－３ａ－１０ａ－２）÷ ａ－４ ａ２－４ａ＋４ ，然后选 择一个合适的ａ值代入求值． 分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化 简，再选出合适的 ａ的值代入进行计算即可，在选择合 适的ａ求值时要保证选取的ａ不能使得分式的分母为０． 解：原式 ＝ａ－２－３ａ＋１０ａ－２ · （ａ－２）２ ａ－４ ＝－２（ａ－４）ａ－２ · （ａ－２）２ ａ－４ ＝－２（ａ－２）＝－２ａ＋４． 根据分式的值存在的条件，得ａ－２≠０，ａ－４≠０． 解得ａ≠２且ａ≠４． 答案不惟一，如：当ａ＝３时，原式 ＝－２． ! !" #$% 书 分式的加减运算应用广泛，下面举例加以说明，供 同学们参考． 一、判断关系 例１　已知分式Ａ＝ ４ ｘ２－４ ，Ｂ＝ １ｘ＋２＋ １ ２－ｘ，其中 ｘ≠±２，则Ａ与Ｂ的关系是 （　　） Ａ．Ａ＝Ｂ Ｂ．Ａ＝－Ｂ Ｃ．Ａ＞Ｂ Ｄ．Ａ＜Ｂ 分析：利用异分母分式的加法法则化简 Ｂ，从而得 到Ａ与Ｂ的数量关系． 解：Ｂ＝ １ｘ＋２＋ １ ２－ｘ＝ ２－ｘ＋ｘ＋２ （ｘ＋２）（２－ｘ）＝ ４ ４－ｘ２ ＝－ ４ ｘ２－４ ＝－Ａ．所以Ａ＝－Ｂ． 故选Ｂ． 二、求待定字母 例２　已知 Ａｘ－１－ Ｂ ２－ｘ＝ ２ｘ－６ （ｘ－１）（ｘ－２），则Ａ－ Ｂ＝ ． 分析：根据异分母分式的减法法则计算等式的左 边，根据题意列出方程组，解方程组即可． 解： Ａ ｘ－１ － Ｂ ２－ｘ ＝ Ａ（２－ｘ）－Ｂ（ｘ－１） （ｘ－１）（２－ｘ） ＝ （－Ａ－Ｂ）ｘ＋（２Ａ＋Ｂ） （ｘ－１）（２－ｘ） ＝ （Ａ＋Ｂ）ｘ－（２Ａ＋Ｂ） （ｘ－１）（ｘ－２） ． 根据题意，得 Ａ＋Ｂ＝２， ２Ａ＋Ｂ＝６{ ． 解得 Ａ＝４， Ｂ＝－２{ ． 所以Ａ－Ｂ＝６． 故填６． 三、求代数式的值 例３　 若 １ｘ＋ １ ｙ ＝－２，则分式 ｘ－ｘｙ＋ｙ ３ｘ＋５ｘｙ＋３ｙ＝ ． 分析：运用分式的加法法则将已知等式进行通分变 形，然后利用整体思想代入求值． 解：因为 １ ｘ＋ １ ｙ＝ ｙ＋ｘ ｘｙ ＝－２，所以ｘ＋ｙ＝－２ｘｙ． 所以原式 ＝ （ｘ＋ｙ）－ｘｙ３（ｘ＋ｙ）＋５ｘｙ＝ －２ｘｙ－ｘｙ ３×（－２ｘｙ）＋５ｘｙ＝３． 故填３． """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! &' ()* 书 一、理解概念 １．一般地，一个小于１ 的正数可以表示为ａ×１０－ｎ 的形式，其中１≤ａ＜１０，ｎ 是正整数，这种记数方法也 是科学记数法． ２．把一个小于 １的正 数用科学记数法表示分两 步：①确定ａ，１≤ ａ＜１０， 它是将原数小数点向右移 动后的结果；②确定ｎ，ｎ是 正整数，它等于原数化为 ａ 后小数点移动的位数． ３．利用科学记数法表 示数，不仅简便，而且更便 于比较数的大小，如：２．５７ ×１０－５ 显然大于 ２．５７× １０－８，前者是后者的１０３倍． 二、应用举例 例１　我国古代数学家祖冲之推算出 π的近似值 为 ３５５ １１３，它与 π的误差小于０．００００００３．将０．００００００３ 用科学记数法可以表示为 （　　） Ａ．３×１０－７ Ｂ．０．３×１０－６ Ｃ．３×１０－６ Ｄ．３×１０７ 分析：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般 形式为ａ×１０－ｎ，其中１≤ａ＜１０，ｎ为正整数．ｎ的值等 于将原数写成科学记数法ａ×１０－ｎ时，小数点移动的位 数． 解：０．００００００３＝３×１０－７．故选Ａ． 例２　一个数用科学记数法表示为５．０１×１０－２，则 这个数是 （　　） Ａ．５．０１ Ｂ．０．５０１ Ｃ．０．０５０１ Ｄ．０．００５０１ 分析：本题考查写出用科学记数法表示的原数．将 科学记数法ａ×１０－ｎ表示的数，“还原”成通常表示的 数，就是把ａ的小数点向左移动ｎ位所得到的数．把一个 数表示成科学记数法的形式和把用科学记数法表示的 数还原，是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学 记数法表示一个数是否正确的方法． 解：５．０１×１０－２ ＝０．０５０１．故选Ｃ． 书 一、运用乘法分配律简化运算 例１　化简：（ ２ｍ ｍ２－４ ＋ １２－ｍ）÷ １ ｍ＋２＝ ． 分析：先把除法运算转化为乘法运算，然后运用乘 法分配律求解即可． 解：原式 ＝［ ２ｍ （ｍ＋２）（ｍ－２）＋ １ ２－ｍ］·（ｍ＋２） ＝ ２ｍ （ｍ＋２）（ｍ－２）·（ｍ＋２）＋ １ ２－ｍ·（ｍ＋２） ＝ ２ｍｍ－２－ ｍ＋２ ｍ－２＝ ２ｍ－ｍ－２ ｍ－２ ＝ ｍ－２ ｍ－２＝１． 故填１． 二、运用乘法公式简化运算 例２　计算：（ｙｘ－ ｘ ｙ）（ ｙ ｘ＋ ｘ ｙ）（ ｙ２ ｘ２ ＋ｘ ２ ｙ２ ）． 分析：本题符合平方差公式的特点，应连续运用平 方差公式后求解． 解：原式＝（ｙ ２ ｘ２ －ｘ ２ ｙ２ ）（ ｙ２ ｘ２ ＋ｘ ２ ｙ２ ）＝ｙ ４ ｘ４ －ｘ ４ ｙ４ ＝ｙ ８－ｘ８ ｘ４ｙ４ ． 三、运用裂项相消简化运算 例 ３　 计 算： １ｘ－１ ＋ １ （ｘ－１）（ｘ－２） ＋ １ （ｘ－２）（ｘ－３）． 分析：观察式子的后两项，我们会发现它们的分母 都是差为１的两个因式乘积的形式，且分子为１，故可用 １ ｎ（ｎ＋１）＝ １ ｎ－ １ ｎ＋１将式子变形后再计算． 解：原式＝ １ｘ－１＋ １ ｘ－２－ １ ｘ－１＋ １ ｘ－３－ １ ｘ－２ ＝ １ｘ－３． 四、运用分离整式简化运算 例４　计算：ｘ ２＋４ｘ＋５ ｘ＋２ － ｘ２＋６ｘ＋１０ ｘ＋３ ＋１． 分析：由于ｘ２＋４ｘ＋５＝（ｘ＋２）２＋１，ｘ２＋６ｘ＋１０ ＝（ｘ＋３）２＋１，故本题的两个分式都可先逆用同分母分 式的加法法则，即运用 ａ＋ｂ ｃ ＝ ａ ｃ＋ ｂ ｃ，分离出一个整 式和一个较简单的分式，合并后再通分． 解：原式＝（ｘ＋２） ２＋１ ｘ＋２ － （ｘ＋３）２＋１ ｘ＋３ ＋１ ＝ｘ＋２＋ １ｘ＋２－ｘ－３－ １ ｘ＋３＋１ ＝ １ｘ＋２－ １ ｘ＋３＝ ｘ＋３－（ｘ＋２） （ｘ＋２）（ｘ＋３） ＝ １ ｘ２＋５ｘ＋６ ． 书 学习分式的加减，我们可以类比以前学过的分数的 加减运算进行．下面选取几例分析，供同学们参考． 一、同分母分式的加减 法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加 减．用式子表示为：ａｃ± ｂ ｃ ＝ ａ±ｂ ｃ ． 温馨提示：（１）式子中的ａ，ｂ，ｃ可以是单项式，也可 以是多项式，当分子相加减时，一定要把各个分子看成 一个整体，并加上括号；（２）运算后的结果要化为最简 形式． 例１　计算ａ＋１ａ＋２＋ １ ａ＋２的结果是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．１ Ｂ． ２ａ＋２ Ｃ．ａ＋２ Ｄ． ａａ＋２ 分析：根据同分母分式的加法法则进行计算即可． 解：原式 ＝ａ＋１＋１ａ＋２ ＝ ａ＋２ ａ＋２＝１． 故选Ａ． 二、异分母分式的加减 法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式 后再加减．用式子表示为：ａｂ± ｃ ｄ＝ ａｄ ｂｄ± ｂｃ ｂｄ＝ ａｄ±ｂｃ ｂｄ ． 温馨提示：异分母分式的加减法实质分两步：第一 步通分，化异分母分式为同分母分式；第二步运用同分 母分式加减法则计算． 例２　化简 １ａ－３－ ６ ａ２－９ 的结果是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ． １ａ＋３ Ｂ．ａ－３ Ｃ．ａ＋３ Ｄ． １ａ－３ 分析：两个分式的分母不同，应先通分，再按照同分 母分式的减法法则计算即可． 解：原式 ＝ ａ＋３ （ａ＋３）（ａ－３）－ ６ （ａ＋３）（ａ－３） ＝ ａ＋３－６ （ａ＋３）（ａ－３）＝ ａ－３ （ａ＋３）（ａ－３）＝ １ ａ＋３． 故选Ａ． ! 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`% A %$ B (!' _3T"#,%& -% A %, B 6 ( 7 (789 A %-.!) B 89ab 9TU "#!#$"%!( :? 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