第5期 2.4～2.6（参考答案见7期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（青岛版）

!"#!"#$%&'! ()*+,!"#$%&'()#* +,-./012%3456! !"$-&'!#./ ()*+, 7890":;)<% ,-=>?%@ABC! !"% 012-3 ()*+,DEFGHIJ: KLHMJ:K%,-*NO! 书 附加题　连接ＡＡ′ 交ＢＣ于点 Ｄ，延长 Ａ′Ａ 交Ｂ′Ｃ′于点Ｅ，图略． 因为点 Ａ关于 ＢＣ 边的对称点是Ａ′， 所以 ＤＡ′＝ ＤＡ， ＡＡ′⊥ＢＣ． 因为点 Ｂ关于 ＡＣ 边的对称点是Ｂ′， 所以ＢＡ＝Ｂ′Ａ． 因为点 Ｃ关于 ＡＢ 边的对称点是Ｃ′， 所以ＡＣ＝ＡＣ′． 在 △ＡＢＣ 和 △ＡＢ′Ｃ′中， 因为 ＢＡ ＝ Ｂ′Ａ， ∠ＢＡＣ ＝ ∠Ｂ′ＡＣ′，ＡＣ ＝ＡＣ′， 由 ＳＡＳ， 所 以 △ＡＢＣ≌△ＡＢ′Ｃ′． 所以 ＢＣ ＝Ｂ′Ｃ′， ∠Ｂ＝∠Ｃ′Ｂ′Ａ． 所以ＣＢ∥Ｂ′Ｃ′． 因为ＡＤ⊥ＢＣ， 所以ＡＥ⊥Ｂ′Ｃ′． 所以 １ ２ＢＣ·ＡＤ＝ １ ２Ｂ′Ｃ′·ＡＥ． 所以ＡＤ＝ＡＥ． 所以Ａ′Ｅ＝３ＡＤ． 所 以 Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＝ １ ２Ｂ′Ｃ′· Ａ′Ｅ ＝３× （ １ ２ＡＤ·ＢＣ）＝３Ｓ△ＡＢＣ ＝３． 书 上期２版 ２．１图形的轴对称 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．２． ４．图略． ５．（１）因为△ＡＢＣ中点Ａ，Ｂ，Ｃ关于直线ＭＮ的对称 点分别为点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，ＡＣ＝８ｃｍ，所以ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，Ａ′Ｃ′ ＝ＡＣ＝８ｃｍ．因为Ａ′Ｃ＝１２ｃｍ，所以△Ａ′Ｂ′Ｃ′的周长 为：Ａ′Ｂ′＋Ｂ′Ｃ′＋Ａ′Ｃ′＝Ａ′Ｃ＋ＡＣ＝１２＋８＝２０（ｃｍ）． （２）图略．根据轴对称的性质，得 ∠Ａ′＝∠Ａ＝ ９０°．所以△Ａ′ＣＣ′的面积为：１２Ａ′Ｃ·Ａ′Ｃ′＝４８ｃｍ ２． ６．（１）因为△ＡＣＥ和△ＡＤＥ关于直线ＡＥ对称，所 以△ＡＣＦ和△ＡＤＦ关于直线 ＡＥ对称．所以 ∠ＡＣＤ＝ ∠ＡＤＣ．因为 ∠ＣＡＢ＝３６°，所以 ∠ＡＤＣ＝ １２（１８０°－ ∠ＣＡＢ）＝７２°． （２）因为∠ＣＡＢ＝３６°，∠Ｂ＝４８°，所以∠ＡＣＢ＝ １８０°－∠Ｂ－∠ＣＡＢ＝９６°．因为△ＡＣＥ和△ＡＤＥ关于 直线ＡＥ对称，所以∠ＡＤＥ＝∠ＡＣＥ＝９６°．所以∠ＤＥＢ ＝∠ＡＤＥ－∠Ｂ＝４８°． ２．２轴对称的基本性质 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．相互垂直； ４．（－６－ｍ，ｎ）． ５．（１）图略，Ａ１（－１，－３），Ｂ１（２，０），Ｃ１（－３，１）． （２）Ｓ△ＡＢＣ ＝４×５－ １ ２×２×４－ １ ２×５×１－ １ ２× ３×３＝９． 能力提高　６．（１）（３，２）． （２）点Ａ，Ｂ沿直线ｘ轴翻折后的对应点的坐标分别 为Ｃ（－１，－１），Ｄ（－４，－１）．点Ｃ，Ｄ沿直线ｍ翻折后 的对应点的坐标分别为（３，－１），（６，－１）．所以点Ａ，Ｂ 的 ＜ｘ轴，ｍ ＞伴随图形点 Ａ′，Ｂ′的坐标分别为（３， －１），（６，－１）． ２．３轴对称图形 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．等边三角形． ５．图略． ６．图略． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｂ Ａ Ｃ 二、９．②；　１０．４；　１１．１５；　１２．Ｄ；　１３．４５°； １４．１６． 三、１５．（１）图略．　（２）８． １６．（１）点Ａ与点Ｄ，点Ｂ与点Ｅ，点Ｃ与点Ｆ分别是 对应点． （２）∠Ｆ＝９０°． （３）△ＤＥＦ的周长为３０ｃｍ，面积为３０ｃｍ２． １７．（１）图略． （２）图略．因为点Ｄ关于直线ＡＢ的对称点是Ｅ，所 以 ∠ＤＡＢ ＝∠ＥＡＢ，∠Ｄ ＝∠ＡＥＢ．因为 ∠ＤＡＢ ＝ ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＢＡＥ＝∠ＡＢＣ．所以 ＡＥ∥ ＢＣ．所以 ∠ＡＥＢ＋∠ＥＢＣ＝１８０°．所以∠Ｄ＋∠ＥＢＣ＝１８０°． １８．（１）∠１＋∠２＝２∠Ａ．理由如下： 由折叠的性质，得 ∠ＡＤＥ ＝∠Ａ′ＤＥ，∠ＡＥＤ ＝ ∠Ａ′ＥＤ．所以 ∠１＋∠２＝１８０°－∠ＡＤＥ－∠Ａ′ＤＥ＋ １８０°－∠ＡＥＤ－∠Ａ′ＥＤ＝３６０°－２（∠ＡＤＥ＋∠ＡＥＤ）＝ ３６０°－２（１８０°－∠Ａ）＝２∠Ａ． （２）猜想：∠１－∠２＝２∠Ａ．证明如下： 由折叠的性质，得 ∠ＡＤＥ ＝∠Ａ′ＤＥ，∠ＡＥＤ ＝ ∠Ａ′ＥＤ．所以 ∠１－∠２＝１８０°－∠ＡＤＥ－∠Ａ′ＤＥ－ （∠Ａ′ＥＤ－∠ＤＥＢ） ＝１８０°－２∠ＡＤＥ－∠Ａ′ＥＤ＋ ∠ＤＥＢ＝１８０°－２∠ＡＤＥ－∠ＡＥＤ＋∠Ａ＋∠ＡＤＥ＝ ２∠Ａ． 书 （上接第２版） ２．６．２等边三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，ａ∥ ｂ，△ＡＢＣ为等边三角形．若 ∠１＝ ４５°，则∠２的度数为 （　　） Ａ．１０５° Ｂ．１２０° Ｃ．７５° Ｄ．４５° ２．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝２，∠Ａ＝６０°，则ＢＣ＝ （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ３．如图２，在等边△ＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ边上的中线， 点Ｅ在线段ＡＤ上，∠ＥＢＣ＝４５°，则∠ＡＥＢ＝ ． ４．如图３，已知线段 ＡＢ，分别以 点Ａ和点Ｂ为圆心，ＡＢ的长为半径作 弧，两弧相交于点Ｃ，连接ＡＣ，ＢＣ，则 ∠ＢＡＣ的度数为 ． ５．如图４，∠ＡＣＢ＝９０°，△ＣＡＰ 和△ＣＢＱ都是等边三角形，ＢＱ和ＣＰ 交于点Ｈ．试说明：ＢＱ⊥ＣＰ． ６．如图５，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｍ是ＡＣ边上的点， Ｎ是△ＡＢＣ内一点，ＭＮ∥ＡＢ，且ＡＭ＝ＭＮ＝ＮＢ＝ＢＣ． 试说明：△ＮＢＣ是等边三角形． （上接第３版） （以下试题供各地根据实际情况选用） 如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝４，△ＡＢＣ的面积 为１２，ＡＢ的垂直平分线ＥＦ交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＣ于点Ｆ． 若Ｄ为 ＢＣ边的中点，Ｍ为线段 ＥＦ上的一动点，求 △ＢＤＭ周长的最小值                                             ． 书 角平分线的性质：角平分线上的点，到这个角的两 边的距离相等． 角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等 的点在角的平分线上． 一、求点到直线的距离 例 １　（２０２３温州鹿城区模 拟）如图 １，在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ９０°．若ＡＣ＝９，ＤＣ＝１３ＡＣ，ＢＤ平 分∠ＡＢＣ，则点Ｄ到ＡＢ的距离等 于 ． 解：过点Ｄ作ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，如图１．因为ＡＣ＝ ９，ＤＣ＝１３ＡＣ，所以ＤＣ＝３．因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠Ｃ ＝９０°，ＤＨ⊥ＡＢ，所以ＤＨ＝ＤＣ＝３，即点Ｄ到ＡＢ的 距离等于３．故填３． 二、求三角形的面积 例２　（２０２３北京西城区模 拟）如图２，已知在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＤＥ⊥ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＡＢ ＝６，ＤＥ＝４，则△ＡＢＤ的面积是 ． 解：过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＢ交ＢＡ 的延长线于点Ｆ，如图２．又因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＤＥ⊥ ＢＣ，所以 ＤＥ＝ＤＦ＝４．因为 ＡＢ＝６，所以 Ｓ△ＡＢＤ ＝ １ ２ＡＢ·ＤＦ＝１２．故填１２． 三、求角度 例３　 如图 ３，ＡＣ，ＢＤ是四 边形 ＡＢＣＤ的对角线，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，２∠ＡＣＤ ＝ ∠ＡＢＣ ＋ ∠ＢＡＣ．已知 ∠ＣＡＤ ＝４３°，则 ∠ＢＤＣ＝ ． 解：过点Ｄ分别作ＤＥ⊥ＢＣ 交ＢＣ的延长线于点Ｅ，ＤＦ⊥ＡＢ 交ＢＡ的延长线于点 Ｆ，ＤＧ⊥ ＡＣ于点 Ｇ，如图３．因为 ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，ＤＥ⊥ ＢＣ，ＤＦ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＤＢＣ＝ １ ２∠ＡＢＣ，ＤＦ＝ＤＥ．因为２∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ， ∠ＡＣＥ＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ，所以 ∠ＡＣＥ＝２∠ＡＣＤ，即 ＣＤ平分∠ＡＣＥ．又因为ＤＥ⊥ＢＣ，ＤＧ⊥ＡＣ，所以ＤＥ＝ ＤＧ．所以ＤＦ＝ＤＧ．所以ＡＤ平分∠ＣＡＦ．因为∠ＣＡＤ＝ ４３°，所以∠ＣＡＦ＝２∠ＣＡＤ＝８６°．所以∠ＢＡＣ＝１８０° －∠ＣＡＦ＝９４°．所以 ∠ＢＤＣ＝∠ＤＣＥ－∠ＤＢＣ＝ １ ２∠ＡＣＥ－ １ ２∠ＡＢＣ ＝ １ ２（∠ＡＣＥ －∠ＡＢＣ） ＝ １ ２∠ＢＡＣ＝４７°．故填４７°． 书 “三线合一”是等腰三角形所特有的性质，即等腰 三角形的底边上的高、底边上的中线及顶角的平分线相 互重合． 该性质其实包括以下三方面的内容： 如图１，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，Ｄ是ＢＣ边上的一点． （１）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ底 边ＢＣ上的中线，那么ＡＤ是顶角 ∠ＢＡＣ的平分线，也是底边 ＢＣ 上的高． （２）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ顶角∠ＢＡＣ的平分线，那 么ＡＤ是底边ＢＣ上的中线，也是底边ＢＣ上的高． （３）若ＡＤ是等腰△ＡＢＣ底边ＢＣ上的高，那么ＡＤ 是顶角∠ＢＡＣ的平分线，也是底边ＢＣ上的中线． “三线合一”的性质给我们提供了说明角相等、直 线垂直、线段相等的新思想和新方法．在解答一些与图 形有关的问题时，要注意灵活运用它，下面举例来说明 这一性质的重要应用． 例　如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ，ＤＥ⊥ ＡＢ 于点Ｅ，ＢＦ⊥ＡＣ于点Ｆ．若ＤＥ＝ ２．５ｃｍ，则ＢＦ＝ ｃｍ． 分析：根据等腰三角形的“三线合一”得出 ＢＤ＝ ＣＤ．所以Ｓ△ＡＢＣ ＝２Ｓ△ＡＢＤ ＝２× １ ２ＡＢ·ＤＥ＝ＡＢ·ＤＥ． 又Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＦ，将ＡＣ＝ＡＢ代入即可求出ＢＦ． 解：因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ，所以ＢＤ＝ＣＤ． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝２Ｓ△ＡＢＤ ＝２× １ ２ＡＢ·ＤＥ＝２．５ＡＢ． 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＦ， 所以 １ ２ＡＣ·ＢＦ＝２．５ＡＢ． 因为ＡＣ＝ＡＢ，所以 １２ＢＦ＝２．５． 解得ＢＦ＝５． 故填５． 如图 ３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上的中线． 已知∠ＢＡＤ＝６０°，则∠Ｃ＝ ． 答案：３０°． 书 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，同 学们在求解有关等腰三角形的多解问题时一定要注意 对等腰三角形进行分类讨论，现举例说明如下． 一、角不确定，按顶角和底角分类 例１　已知△ＡＢＣ是等腰三角形．若∠Ａ＝４０°，则 △ＡＢＣ的顶角度数是 ． 解：当∠Ａ是顶角时，△ＡＢＣ的顶角度数是４０°； 当∠Ａ是底角时，△ＡＢＣ的顶角度数是：１８０°－２× ４０°＝１００°． 综上所述，△ＡＢＣ的顶角度数是４０°或１００°． 故填４０°或１００°． 二、边不确定，按腰和底边分类 例２　若等腰三角形的两条边长分别是３和５，则这 个等腰三角形的周长是 ． 解：当３是腰长时，３，３，５能组成三角形，所以周长 是：３＋３＋５＝１１； 当５是腰长时，５，５，３能组成三角形，所以周长是：５ ＋５＋３＝１３． 综上所述，这个等腰三角形的周长是１１或１３． 故填１１或１３． 三、高不确定，按高的位置分类 例３　在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＣＤ是ＡＢ边上的高． 若∠ＡＣＤ＝２０°，求∠Ｂ的度数． 解：在△ＡＢＣ中，因为ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ． 如图１，当点Ｄ在线段ＡＢ上时．因为ＣＤ是ＡＢ边上 的高，所以∠ＡＤＣ＝９０°．因为∠ＡＣＤ＝２０°，所以∠Ａ＝ ９０°－∠ＡＣＤ＝７０°．所以∠Ｂ＝１２（１８０°－∠Ａ）＝５５°． 如图２，当Ｄ在线段 ＢＡ的延长线上时．因为 ＣＤ是 ＡＢ边上的高，所以∠ＡＤＣ＝９０°．因为∠ＡＣＤ＝２０°，所 以∠ＢＡＣ＝∠Ｄ＋∠ＡＣＤ＝１１０°．所以∠Ｂ＝１２（１８０° －∠ＢＡＣ）＝３５°． 综上所述，∠Ｂ的度数为３５°或５５°． ! & " # $ % ! ! % $ # & ' " ! 45 678 % $ # " ! ' """""""""""""""""""""" """""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! 9: ;<= ! >? @ A " # % $ ! & " # % $ ! ! 书 建筑物的选址问题 本质上就是确定点的位 置，由于选址要求不同， 确定点的位置的方法也 不同，本文将这类问题 整理分析如下，供同学 们参考． 一、运用线段的垂 直平分线的性质确定 例１　如图１，有Ａ， Ｂ，Ｃ三个居民小区的位 置呈三角形，现决定在 三个小区之间修建一个 购物超市，使超市到这 三个小区的距离相等， 请你作出超市 Ｐ的位 置． 分析：要作的点Ｐ必须满足条件ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ，故 点Ｐ必须分别满足条件ＰＡ＝ＰＢ和ＰＢ＝ＰＣ．当点Ｐ在 线段ＡＢ的垂直平分线上时，ＰＡ＝ＰＢ；当点 Ｐ在线段 ＢＣ的垂直平分线上时，ＰＢ＝ＰＣ．所以线段ＡＢ和线段 ＢＣ的垂直平分线的交点即为点Ｐ的位置． 解：如图２，分别作线段 ＡＢ 的垂直平分线ｌ１，线段ＢＣ的垂直 平分线ｌ２，则ｌ１，ｌ２的交点即为超 市Ｐ的位置． 二、运用角平分线的性质确定 例２　将例１中的“使超市到这三个小区的距离相 等”改为“使超市到三条街道ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的距离相等”， 请你作出超市Ｐ的位置． 分析：要作的点Ｐ必须满足的条件是到 △ＡＢＣ的 三边的距离相等，故点 Ｐ到 ＡＢ，ＢＣ的距离相等且到 ＡＣ，ＢＣ的距离相等．当点Ｐ在∠ＡＢＣ的平分线上时，点 Ｐ到ＡＢ，ＢＣ的距离相等；当点Ｐ在∠ＡＣＢ的平分线上 时，点Ｐ到ＡＣ，ＢＣ的距离相等．所以点Ｐ在 ∠ＡＢＣ和 ∠ＡＣＢ的平分线的交点处． 解：如图３，分别作 ∠ＡＢＣ的 平分线 ＢＥ，∠ＡＣＢ的平分线 ＣＦ， 则ＢＥ，ＣＦ的交点即为超市Ｐ的位 置． 三、联用线段的垂直平分线的性质和角平分线的 性质确定 例３　如图４，有Ａ，Ｂ，Ｃ三个居民小区，现决定在 三个小区之间修建一个购物超市，使超市到两条街道 ＡＤ，ＡＥ的距离相等，且到 Ｂ，Ｃ两个居民小区的距离也 相等，请你作出超市Ｐ的位置． 分析：由已知得点Ｐ到ＡＤ，ＡＥ的距离相等且到点 Ｂ，Ｃ的距离也相等．当点Ｐ在∠ＤＡＥ的平分线上时，点 Ｐ到ＡＤ，ＡＥ的距离相等；当点Ｐ在线段ＢＣ的垂直平分 线上时，点Ｐ到点Ｂ，Ｃ的距离相等．所以点Ｐ在∠ＤＡＥ 的平分线和线段 ＢＣ的垂直平分 线的交点处． 解：如图５，连接ＣＢ．作∠ＤＡＥ 的平分线ＡＦ，线段ＢＣ的垂直平分 线ＧＨ，则ＡＦ，ＧＨ的交点即为超市 Ｐ的位置．" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! B C D E %# ! & " ' ( & " # % ) ! ' " %# ( * & * ! ! ! # $ % & " ! # # ' + $ ( % & , " ! $ ! " ! " #! !"#$ " $"% ! !"#$ !"#$%&' !"#$%&'" ()*+,-'. % ! FGH(IJKLMNO # P ()*+ """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" % $ # & " ! ! % #" ! ' % " # ( - , ! # ! $ " # % ) . % # " / 0 & ! ! & " $ % , # ! & % & # $ ' " ! ! &% $ + # " ' ! 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