2.6 等腰三角形&专题二-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（青岛版）

第2章 图形的轴对称 2.6 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 NO.1/课前自主预习 知识点二 等边对等角 巧梳程、精拢括、落实点 1. 的三角形是等腰三角形. 5.如图,AB/CD,点E在线段BC上,CD (简写成 2.等腰三角形两个底角 CE.若 ABC-30*,则 D的度数为 -_ ) ). 3.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中 线、底边上的高 (简写成 A NO2/课堂巩固训练 练基础,练方法。能力提升 A.85。 B.75* C.65* 知识点一 等腰三角形的有关概念 D.30* 1.如图所示,直线AD是等腰 6.如图,DE是△ABC的边AB的垂直平分线, 三角形ABC的对称轴,点 分别交AB、BC于D,E,AE平分BAC,若 E,F是AD上的两点,若BD B-30{,则 C的度数为 -2.AD一3,则图中阴影部 分的面积是 2.下列说法中,正确的有 ) 7.若等腰三角殖的一个内角等于50{},则其他 ①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形的 ( 两个内角分别为 ) 两底角相等;③等腰三角形底边上的中线与 A.65{,65* B.80{,50{ 底边上的高相等;④等腰三角形是轴对称 C. 65^{*,65{}或80{},50{*}D.无法确定 图形. B.2个 A.1个 8.如图,在△ABC中,AD BC C.3个 D.4个 于D,AB+BD一CD,求证 ) B-2/C 3.等腰三角形的对称轴是 A.顶角的平分线 B.底边上的高 C.底边上的中线 D.底边上的高所在的直线 4.如图,把一张对边平行的纸条如图 折叠,重合部分是 r A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.无法确定 2 数学八年级上册 知识点三 三线合一 6.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E. 条 9.等边三角形是轴对称图形,它有 使CE-BD,连结AE,如果 ADB=30^*$$$ 则乙E一 对称轴,分别是 度. 10.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC 边上的中线,BEIAC于点E 试说明:CBE- BAD 7.(多选)如图、△ABC中, ACB=90{,把△ABC沿AC 翻折,使点B落在点D的位 置,则关于线段AC的说法,正 . 确的是 r A.是△ABD中BD边上的中线 NO.3/课后提升训练 练技巧,拨考向,冲刺满分 B.是△ACD中CD边上的高 1.如图所示,点D是△ABC的边 C.是△ABD中BAD的平分线 AC上一点(不含端点),AD D.是△ABD的对称轴 BD,则下列结论正确的是( 8.如图,在△ABC中,AB B.AC-BC A.AC>BC 4.BC-6, B-60{*,将三 C. A>ABC D. A-ABC 角形ABC沿着射线BC的 2.已知 AOB-30{},点P在 AOB的内部.P与 方向平移2个单位后,得到三角形ABC,连 P关于OB对称,P与P关于OA对称,则O. 接AC,则△ABC的周长为 P,P*三点所构成的三角形是 ) ( 9.过等腰三角形顶角顶点的一条直线,将该等腰 A.直角三角形 B.钝角三角形 三角形分成的两个三角形均为等腰三角形,则 C.等腰三角形 D.等边三角形 原等腰三角形的底角度数为 3.在等边△ABC中,D,E分 10.求证:等腰三角形的两个底角相等 别为AB,AC边上的动点, BD三2AE,连接DE,以 DE为边在△ABC内作等 边△DEF,连接CF,当D (请根据图用符号表示已知和求证,并写出 从点A向B运动(不与点B重合)时, 证明过程) ECF的变化情况是 ) ( 已知: A.不变 B.变小 C.变大 D.先变大后变小 求证: 4.正△ABC的两条角平分线BD和CE交于 点I,则BIC等于 ) 证明: B.90。 C.120{* A.60。 D.150* 5.如图,在平面直角坐标 系中,点A(2,3),点P 在x轴上,若以P、O、A 为顶点的三角形是等腰 三角形,则满足条件的三角形共有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 28 第2章 图形的轴对称 第2课时 等腰三角形的判定 NO.1//课前自主预习 巧梳理、精批括、落实点 6.如图,在△ABC中,AB-AC,BD是AC边 上的高,CE是AB边上的高,它们相交于点 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角 (简写成" 0.则图中除△ABC外一定是等腰三角形的 所对应的边也 ”) 是 ( ) NO2/课堂巩固训练 基础、练方法、能力提升 知识点一 等腰三角形的判定 1.三角形三个内角度数的比是 A:B:C -1:1:2,则△ABC是 ) A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 A.△ABD C.等边三角形 D.不能确定 B.△ACE C.△OBC $.如图,B= C=36*, ADE= AED= D.△OCD 72^{*,则图中的等腰三角形有 ( ) 知识点二 等腰三角形的判定和性质 7.如图,在△ABC中,ABC和ACB的平 分线交于点E,过点E作MN//BC交AB 于M,交AC于N,若MB+CN-9,则线段 MN的长为 ( - A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 3. 下列能判定三角形是等腰三角形的是( A.有两个角分别为30^{}、60。 A.6 B.7 B.有两个角分别为40{}80* C.8 D.9 C.有两个角分别为50{}、80。 8.如图,正方形的网格中,点A,B是小正 D.有两个角分别为100{}、120。 方形的顶点,如果C点也是小正方形的 4.如图,在△ABC中,A-36* 顶点,且使△ABC是等腰三角形,则点C AB=AC,BD是△ABC的角 ( 的个数为 ) 平分线,若在边AB上截取BE 一BC,连接DE,则图中等腰三 角形共有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 A.6 B.7 C.8 5.如图,已知△ABC中,AB=3,AC=5,BC D.9 7,在△ABC所在平面内有一条直线,将 9.如图是四张纸片,用剪刀沿一条直线将它们 △ABC分割成两个三角形,使其中有一个 分别剪开(只允许剪一次),不能得到两张等 一边长为3的等腰三角形,则这样的直线最 腰三角形纸片的是 ( ) 多可画 ) # A.5条 B.4条 C.3条 D.2条 r& D 数学八年级上册 NO3/课后提升训练 结技巧、技考句,冲刺满分 7.如图,AD是△ABC的边BC 1.如图, AOB=60{*},OC平分 上的中线,由下列条件中的 乙AOB,P为射线OC上一 某一个就能推出△ABC是等 腰三角形的是 点,如果射线OA上的点D满 (把所有正确答案的 足△OPD是等腰三角形,那么ODP的度 序号都填在横线上). 数为 ① BAD-ACD;②BAD+ B=$$ ( ) A.30* B. 120* CAD+C:③AB+BD=AC+CD C.30“或120* D.30*或75*或120。 ④AB-BD-AC-CD 2.若△ABC的三边长是a,b.c,且满足a=b 8.如图,已知在△ABC中,AB +c-b^},b-c+a- ^2,c-a+b- -AC. ABC 60*.ABD ~ a,则△ABC是 =60*,且ADB=90{*- -。 A.钝角三角形 B.直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等边三角形 +DC. 3.如图,AB//CD,点E在线段BC上,CD=CE 若 ABC-30^{*},则 D的度数为 ( ) A.85* B.75* C.65。 D.30{ 4.等腰三角形的周长为18,其中一条边的长 9.如图,在△ABC中,点D、E 为8,则底边长是 分别是AB、AC边上的点; 5.如图,矩形ABCD中,对角线AC=2/3,E BD = CE,ABE _ 为BC边上一点,BC=3BE,将矩形ABCE ACD,BE与CD相交于 沿AE所在的直线折叠,B点恰好落在对角 点F,请判断△ABC的形 线AC上的B处,则AB 状,并说明理由 _## 6.如图,△ABC是等边三角形,BD平分/ABC 点E在BC的延长线上,且CE-1,E-30* 则BC一 30 第2章 图形的轴对称 专题二 分类思想在等腰三角形中的应用 应用1 当顶角或底角不确定时,分类讨论 应用5 由腰上的中线引起的分类讨论 1.若等腰三角形中有一个角等于40{},则这个 7.已知等腰三角形的底边长为5cm,一腰上 等腰三角形的顶角度数为 ( ~ 的中线把其周长分成差为3cm的两部分 A.40* B.100{* 求这个等腰三角形的周长 C.40“或70* D.40“或100。 2.等腰三角形的一个外角的度数为100{*},则这 ( 个等腰三角形的底角的度数为 ) A.100* B.80* C.50。 D.50{或80* 应用2 当底和腰不确定时,分类讨论 3.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和 应用6 由点的位置不确定引起的分类讨论 ( ) 4,则该等腰三角形的周长为 8.如图,在△ABC中,ACB A.8或10 B.8 90{*.AB-2BC,在直线BC或 C.10 D.6或12 AC上取一点P,使得△PAB 4.若有理数x,y满足x-4l+(y-8)-0, C 为等腰三角形,则符合条件的 则以x,y的值为边长的等腰三角形的周长 点P共有 1_ _ 为 A.7个 B.6个 应用3 当高的位置关系不确定时,分类讨论 C.5个 D.4个 5.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 9. 如图,已知△ABC中, 25{,求这个三角形的各个内角的度数 BCAB>AC.ACB= 40{*,如果D、E是直线AB 上的两点,且AD=AC,BE=BC,求 之DCE的度数 应用4 由腰的垂直平分线引起的分类讨论 6.已知△ABC中有一个内角是30{*,AB AC.AB边的中垂线交直线BC于点D,连 接AD,求DAC的度数∴.△BCF≌△CBE(AAS), (2)如图，过点O作OD⊥BC,OE⊥AB, ∴.BF=CE, OF⊥AC,垂足分别为D,E,F 在△BFD和△CED中 因为∠ABC和∠ACB的平分 ∠BFD=∠CED 线交于点O,OD⊥BC,OE1 ∠FDB=∠EDC, AB,OF⊥AC,所以OD=OE, BF=CE OD=OF,所以OE=OF, ∴.△BFD≌△CED(AAS), 所以OA平分∠BAC. .DF=DE, (3)因为OC平分∠ACB,CP平分∠ACD,所 ∴.AD平分∠BAC 以∠AC0=2∠ACB,∠ACP=?∠ACD,所 证法二：先证△AFC≌△AEB,得到AE=AF, 再用(HL)证△AFD≌△AED,得到∠FAD= 以∠OCP=∠ACO+∠ACP=2∠ACB+2 ∠EAD,所以AD平分∠BAC 课后提升训练 ∠ACD= 号∠BCD=号×180°=90，所 2 1.D2.C3.B4.D5.B 以OC⊥CP. 6.①②④7.78.29.6010.30 11.B 2.6 等腰三角形 12.证明：(1)，OP是∠AOB的平分线， 且PC⊥OA,PD⊥OB, 第1课时等腰三角形的性质 ∴PC=PD, 课前自主预习 ∴.∠PCD=∠PDC: 1.有两条边相等2.相等等边对等角 (2),∠OCP=∠ODP=90°， 3.互相重合三线合一 在Rt△POC和Rt△POD中， 课堂巩固训练 PC=PD 1.32.D3.D4.B5.B6.90°7.C OP=OP 8.证明：作DB的延长线至E,使AB=BE,连 ∴.Rt△POC≌Rt△POD(HL), AE,则DE=DB+BA=CD,'AD⊥CD, ∴.OC=OD ∴△ACE为等腰三角形，.∠C=∠E, 设CD交OP于M ,△ABE为等腰三角形，，∠ABD=∠E十 在△OCM与△ODM中 ∠BAE=2∠E,∠B=2∠C (OC=OD ∠COP=∠DOP OM-OM ∴.△OCM≌△ODM(SAS) 9.三三边的垂直平分线 ∴.CM=DM 10.解：因为AB=AC,所以∠ABD=∠C, ∠CMO=∠DMO=90 又因为AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC. ∴OP是线段CD的垂直平分线， 因为BE⊥AC于点E, 13.解(1)因为∠A=50°，所以∠ABC+∠ACB 所以∠BEC=∠ADB=90° =180°-∠A=130°.因为∠ABC和∠ACB的 所以∠C+∠CBE=∠ABD+∠BAD=90°， 平分线交于点O,所以∠OBC=2∠ABC, 所以∠CBE=∠BAD. ∠OCB=2∠ACB,所以∠OBC+∠OCB= 课后提升训练 1.A2.D3.A4.C5.C ∠ABC+2∠ACB=65,所以∠BOC=180° 6.157.ABC8.129.36°或45 10.解：已知：△ABC中，AB=AC, -(∠OBC+∠OCB)=115°. 求证：∠B=∠C: 37 证明：如图，过A作BC⊥AD, 垂足为点D, 专题二分类思想在等腰三角形中的应用 AB=AC.AD=AD, 1.D2.D3.C4.20 在Rt△ABD与Rt△ACD中， 5.解：设AB=AC,BD⊥AC: AB=AC (1)高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC AD-AD 的内部，如图①，因为∠DBC=25°，所以∠C= ∴.Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) 90°-∠DBC=90°-25°=65°，所以∠ABC= ∴.∠B=∠C ∠C=65°，∠A=180°-2×65°=50°. 第2课时等腰三角形的判定 课前自主预习 相等等角对等边 ② 课堂巩固训练 (2)当高与另一腰的夹角为25°时， 1.B2.D3.C4.D5.B6.C7.D8.C 如图②，高在△ABC的内部， 9.B 因为∠ABD=25°， 课后提升训练 所以∠A=90°-∠ABD=65° 1.D2.D3.B4.2或8 所以∠C=∠ABC=(180°-∠A)÷2=57.5°： 5.√36.27.②③④ 如图③，高在△ABC的外部， 8.证明：延长CD至E,使 因为∠ABD=25°， DE=BD,连AE, 所以∠BAC=180°-65°=115°， :∠ADB=90° 所以∠ABC=∠C=(180°-115)÷2=32.5°， 2∠BDC, 故三角形各内角的度数为：65°，65°，50°或65°， 57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°. ∴.∠BDC+2∠ADB=180°， 点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰” ,∠BDC+∠BDA+∠ADE=180°， 还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还 .∠ADE=∠BDA, 要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外 又，AD=AD,DE=DB, 6.解：分两种情况考虑： .△BDA≌△EDA, (1)底角∠B=30°，如图1， .∠E=∠ABD=60 因为AB=AC,所以∠C= B AE=AB=AC,BD=CE, ∠B=30°， 因为AB边的中垂线交直 图1 ∴△AEC为等边三角形， ∴AE=AB=CE=CD+DE=CD+DB,即 线BC于点D, AB-=CD+DB 所以DA=DB,所以∠BAD=∠B=30°， 9.解析△ABC是等腰三角形.理由如下： 所以∠ADC=∠BAD+∠B=30°+30°=60°， ∠DFB=∠EFC, 所以∠DAC=180°-30°-60°=90. 在△BDF与△CEF中， ∠DBF=∠ECF,所 (2)顶角∠BAC=30°，如 BD=CE, 图2， 以△BDF≌△CEF(AAS), 因为AB=AC, 所以BF=CF,所以∠FBC=∠FCB, ∠BAC=30°， 所以∠B=∠ACB= 所以∠FBC+∠ABE=∠FCB+∠ACD,即 图2 (180°-30)÷2=75°， ∠ABC=∠ACB, 因为AB边的中垂线交直线BC于点D, 所以AB=AC,所以△ABC是等腰三角形. 38 所以DA=DB,所以∠DAB=∠B=75°， 所以∠DCE'=180°-（∠ABC+∠BAC)÷2= 所以∠DAC=∠DAB-∠BAC=75°-30°=45° 180°-(180°-∠ACB)÷2=90°+∠ACB÷2= 综上，∠DAC=90°或45°. 90°+40°÷2=110°. 7.解析在△ABC中，AB=AC,BC=5cm,CD (4)当点D、E在点A的两侧，且点D在D'的位 是AB边上的中线（图略），设腰长是2xcm,分 置时，如图④， 两种情况考虑：①当AD十AC与BC十BD的差 因为AD=AC, 是3cm时，有(2.x十x)-(x十5)=3，解得x=4, 所以∠AD'C=(180°-∠BAC)÷2, 所以2.x-8,此时三角形的三边长分别为8cm, 因为BE=BC, 8cm,5cm,符合三角形的三边关系；②当BC十 所以∠BEC=(180°-∠ABC)÷2, BD与AD+AC的差是3cm时，有(x+5)一 所以∠D'CE=180°-（∠D'EC+∠ED'C)= (2x十x)=3,解得x=1,所以2x=2,此时三角 180°-（∠BEC+∠AD'C)=180°-[(180°- 形的三边长分别为2cm,2cm,5cm,不符合三 ∠ABC)÷2+(180°-∠BAC)÷2]=(∠BAC 角形的三边关系，所以这个等腰三角形的周长 +∠ABC)÷2=(180°-∠ACB)÷2=(180° 为8+8+5=21(cm). 40°)÷2=70°.综上所述，∠DCE的度数为20 8.B 或110°或70° 9.解：(1)当点D、E在点A的同侧，且都在BA的 延长线上时，如图①， 第3章分式 3.1 分式的基本性质 第1课时 认识分式 课前自主预习 1.两个整式字母 2.B≠0B=0 课堂巩固训练 x,-y.1a-1h.1 2mn a-b 因为BE=BC, 1.x+y,3,元2,2a-3: xm’a-b 所以∠BEC=(180°-∠ABC)÷2, 2(x2-2x 因为AD=AC, 所以∠ADC=(180°-∠DAC)÷2=∠BAC÷ 2.B 2,易得∠DCE=∠BEC-∠ADC, 3 5a 3.2 3a2-14 a2-1'a2-1'5a'5a 所以∠DCE-(180°-∠ABC)÷2-∠BAC÷2 4.A =(180°-∠ABC-∠BAC)÷2=∠ACB÷2= 40°÷2=20° 5.(1)x≠- 2 (2)x≠3 (2)当点D、E在点A的两侧，且点D在D'的位 6.B 置，E在E的位置时，如图②， 4 与(1)类似， 1. 8.D9.≠±2=0 也可以求得∠D'CE'=∠ACB÷2=20 课后提升训练 (3)当点D、E在点A的两侧，且E点在E'的位 1.B2.C3.B4.C5.BD6.B7.D 置时，如图③， 因为BE=BC,所以∠BEC=(180° 10.<5 任意实数1.号 ∠CBE)÷2=∠ABC÷2, 第2课时分式的基本性质 因为AD=AC,所以∠ACD=(180°-∠DAC) ÷2=∠BAC÷2, 课前自主预习 又因为∠DCE=180°-（∠BEC+∠ADC), 同一个不等于零的整式≠0整式 39