第4期 2.1～2.3（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（青岛版）

书 轴对称图形和成轴对称图形是“亲兄弟”，相貌比较 相近，但二者之间既有区别又有联系，因而同学们在学 习这两个概念时，容易相互混淆．请同学们一起进入轴 对称的“直播间”，对这两个概念进行比较和辨析． 一、区别 １．定义不同 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠 后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做 轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴． 成轴对称图形：如果两个平面图形沿一条直线对折 后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直 线叫做这两个图形的对称轴． ２．图形个数不同 轴对称图形是对一个图形而言，即一种具有特殊性 质的图形，它能被一条直线分割为两部分，沿这条直线 折叠后，其中一部分能与这个图形的另一部分互相重合． 成轴对称图形是对两个图形而言的，是指两个图形 之间的关系，这两个图形沿一条直线对折后能够完全 重合． ３．对称点不同 轴对称图形的对称点在同一个图形上． 成轴对称图形的对称点分别在两个图形上． ４．对称轴的条数不同 轴对称图形不一定只有一条对称轴．如：长方形有 两条对称轴，而圆有无数条对称轴． 成轴对称的两个图形只有一条对称轴． 二、联系 １．轴对称图形和成轴对称图形都有对称轴，都是沿 对称轴折叠后能够完全重合． ２．如果把轴对称图形被对称轴分成的两部分看成 两个图形，那么这两个图形关于这条直线成轴对称；如 果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一 个轴对称图形．可见，它们在一定的条件下，可以相互转 化，由轴对称图形的性质能研究成轴对称图形的性质． 三、典例精析 例１　下列图形中，是轴对称图形的是 （　　） 解析：根据轴对称图形的定义即可作答．故选Ｂ． 例２　下列图形中，左、右两个图形成轴对称的是 （填序号）． 解析：根据两个图形成轴对称的概念作答．故填①②． 书 一、品牌标识与轴对称 例１　（２０２３吉林二模）下列图形是某些品牌的 ＬＯＧＯ，其中是轴对称图形的是 （　　） 解析：根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形 沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么 这个图形叫做轴对称图形，可知选项Ｄ符合该定义． 故选Ｄ． 二、剪纸与轴对称 例２　剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下 学生剪纸作品中，是轴对称图形的是 （　　） 解析：观察可知，选项Ｄ的剪纸图案是轴对称图形． 故选Ｄ． 三、折纸与轴对称 例３　将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面 扎出字母“Ｂ”，再把它展开铺平，你看到的图形是 （　　） 解析：对折展开后的两个图形成轴对称，对应点所 连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等．观察图形， 符合这一特征的图形是选项Ｃ． 故选Ｃ． 四、美术字与轴对称 例４　（２０２３天津滨海新区二模）天津市的旅游形 象宣传口号是“天天乐道，津津有味”，下列汉字中是轴 对称图形的是 （　　） 解析：根据轴对称图形的定义进行分析即可． 故选Ｃ． ! ! ! ! ! ! ! ! " ! # $ " ! # $ ! " # $ " ! # $ " ! # $ 书 一、求角度 例１　如图１，在直角三 角形 ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°， ∠Ｂ＝５０°，ＡＤ⊥ ＢＣ，垂足为 Ｄ，△ＡＤＢ与△ＡＤＢ′关于直线 ＡＤ对称，点 Ｂ的对称点是点 Ｂ′，则∠ＣＡＢ′的度数为 （　　） Ａ．１０°　　　Ｂ．２０°　　　Ｃ．３０°　　　Ｄ．４０° 分析：利用轴对称的性质得出∠ＢＡＤ＝∠Ｂ′ＡＤ，再 利用直角三角形的性质即可求出∠ＢＡＤ的度数，最后根 据角之间的关系即可求出∠ＣＡＢ′的度数． 解：因为△ＡＤＢ与△ＡＤＢ′关于直线ＡＤ对称，点Ｂ 的对称点是点Ｂ′， 所以∠ＢＡＤ＝∠Ｂ′ＡＤ． 因为ＡＤ⊥ＢＣ，所以∠ＡＤＢ＝９０°． 因为∠Ｂ＝５０°， 所以∠ＢＡＤ＝∠Ｂ′ＡＤ＝９０°－∠Ｂ＝４０°． 因为∠ＢＡＣ＝９０°， 所以∠ＣＡＢ′＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＤ－∠Ｂ′ＡＤ＝１０°． 故选Ａ． 二、求周长 例２　如图２，点Ｐ为∠ＡＯＢ内一 点，分别作出点 Ｐ关于 ＯＡ，ＯＢ的对称 点Ｐ１，Ｐ２，连接Ｐ１Ｐ２，交 ＯＡ于点 Ｍ，交 ＯＢ于点Ｎ．若线段Ｐ１Ｐ２的长为１２ｃｍ， 则△ＰＭＮ的周长为 ｃｍ． 分析：根据轴对称的性质可知， Ｃ△ＰＭＮ ＝Ｐ１Ｐ２． 解：因为点 Ｐ关于 ＯＡ，ＯＢ的对称点分别为 Ｐ１，Ｐ２， 所以ＮＰ＝ＮＰ２，ＭＰ＝ＭＰ１． 所以△ＰＭＮ的周长为：ＮＰ＋ＭＮ＋ＭＰ＝ＮＰ２＋ＭＮ ＋ＭＰ１ ＝Ｐ１Ｐ２ ＝１２ｃｍ． 故填１２． 三、求面积 例３　如图３，正方形ＡＢＣＤ的边 长为４ｃｍ，求阴影部分的面积． 分析：根据轴对称的性质知，阴 影部分的面积是正方形面积的一半． 解：阴影部分的面积为： １ ２×４× ４＝８（ｃｍ２）． %&'!"#$%& '()*+!"#$%&'()*+ ,-./0123456,-.%-789- 7:;<-7=! !!!!!!%&%$%&#,-./ '()*+>?,-.%@ABCD0E FGHI"0JKL45%,-.45/D0 MN=OPQRHST%,-.UI! %&( $%&!" '()*+ VW+XST%,-.4 5YG-.,! 0123+ >?,-.45<234 56,-.Z[%\X]^Q! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! 45 678 ! ( ! " # $ % % % ) " % ! & ' ( ! % # "!$ " ! ! ! 书 上期检测卷 一、１．Ｂ；　２．Ｂ； ３．Ａ；　４．Ｃ；　５．Ｄ； ６．Ｃ；　７．Ｂ；　８．Ｃ． 二、９．２７；　１０．１６； １１．１１０；　１２．５； １３．α＝２β； １４．１或３或４． 三、１５．对应顶点：Ａ和 Ｇ，Ｂ和 Ｈ，Ｃ和 Ｉ，Ｄ和 Ｊ，Ｅ 和 Ｆ；因为两个五边形全 等，所以 ａ＝１２，ｂ＝１０，ｃ ＝６，ｄ＝１１，α＝９０°． １６．图略． １７．因为ＡＢ＝ＡＤ，ＡＢ ＋ＣＤ＝ＤＥ，所以ＡＤ＋ＣＤ ＝ＡＣ＝ＤＥ．在 △ＡＢＣ和 △ＤＡＥ中，因为ＡＢ＝ＤＡ， ＡＣ ＝ＤＥ，ＢＣ ＝ＡＥ，由 ＳＳＳ， 所 以 △ＡＢＣ ≌ △ＤＡＥ． １８．根 据 题 意，得 ∠ＯＡＢ＝∠Ｃ ＝９０°．在 △ＡＯＢ和 △ＣＯＤ中，因为 ＡＢ＝ＣＤ，∠ＯＡＢ＝∠Ｃ， ＡＯ＝ＣＯ，由 ＳＡＳ，所以 △ＡＯＢ≌ △ＣＯＤ．所 以 ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ．因为点 Ａ，Ｏ，Ｃ在一条直线上，所 以点 Ｄ，Ｏ，Ｂ三点共线，即 钻头正好从点Ｂ处打出． １９．（１）因为 ∠ＢＥＤ ＝１３０°，∠Ｄ ＝７０°，所以 ∠Ｆ ＝∠ＢＥＤ －∠Ｄ ＝ ６０°． 因 为 △ＡＢＣ ≌ △ＤＥＦ，所以∠ＡＣＢ＝∠Ｆ ＝６０°． （２）因为２ＢＥ＝ＥＣ， ＥＣ＝６，所以ＢＥ＝３．所以 ＢＣ ＝９．因为 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ，所以ＥＦ＝ＢＣ＝９． 所以ＢＦ＝ＢＥ＋ＥＦ＝１２． ２０．（１）因为 ∠Ｃ ＝ ９０°，ＤＥ⊥ＢＣ，所以 ＤＥ∥ ＡＣ．所以∠Ａ＝∠ＥＤＢ．在 △ＡＢＣ与 △ＤＥＢ中，因为 ∠Ａ＝∠ＥＤＢ，ＡＢ＝ＤＥ， ∠ＡＢＣ＝∠Ｅ，由 ＡＳＡ，所 以△ＡＢＣ≌△ＤＥＢ． （２）因为 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＢ，ＡＣ＝８，所以ＢＤ＝ ＡＣ＝８，ＡＢ＝ＤＥ．因为ＡＤ ＝２，所以ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ＝ １０．所以ＤＥ＝１０． ２１．ＥＧ⊥ ＤＦ．理由如 下： 因为 ＡＤ∥ ＢＣ，所以 ∠ＡＤＥ＝∠ＢＦＥ．因为Ｅ是 ＡＢ的中点，所以ＡＥ＝ＢＥ． 由对顶角相等，得 ∠ＡＥＤ ＝∠ＢＥＦ．由 ＡＡＳ，所以 △ＡＤＥ≌△ＢＦＥ．所以 ＤＥ ＝ＦＥ．在△ＥＦＧ与△ＥＤＧ 中，因为 ＦＥ＝ＤＥ，ＦＧ＝ ＤＧ，ＥＧ＝ＥＧ，由ＳＳＳ，所以 △ＥＦＧ≌ △ＥＤＧ．所 以 ∠ＦＥＧ ＝ ∠ＤＥＧ．因 为 ∠ＦＥＧ＋∠ＤＥＧ＝１８０°， 书 ２期２版 １．２．３角角边（ＡＡＳ） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ． ３．因为ＡＢ∥ＤＥ，所以∠Ｅ＝∠ＢＡＣ．在△ＡＢＣ与 △ＥＡＤ 中，因为∠ＡＣＢ＝∠Ｄ，∠ＢＡＣ＝∠Ｅ，ＡＢ＝ＥＡ，由 ＡＡＳ，所以 △ＡＢＣ≌△ＥＡＤ． ４．因为∠ＤＣＢ＝１００°，∠ＡＤＣ＝６５°，所以 ∠Ａ＝１８０°－ ∠ＤＣＢ－∠ＡＤＣ＝１５°＝∠ＢＥＣ．在△ＢＣＥ与△ＤＣＡ中，因为 ∠ＢＥＣ＝∠Ａ，∠Ｃ＝∠Ｃ，ＣＢ＝ＣＤ，由 ＡＡＳ，所以 △ＢＣＥ≌ △ＤＣＡ．所以ＣＥ＝ＣＡ．因为ＣＢ＝ＣＤ，所以ＣＡ－ＣＢ＝ＣＥ－ＣＤ， 即ＡＢ＝ＤＥ．所以测得ＤＥ的长就是Ａ，Ｂ两点间的距离． １．２．４边边边（ＳＳＳ） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｆ，ＡＢＥ；　３．５２°． ４．在△ＡＢＤ与△ＣＤＢ中，因为ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＣＢ，ＢＤ＝ ＤＢ，由ＳＳＳ，所以△ＡＢＤ≌△ＣＤＢ． ５．（１）因为ＡＦ＝ＢＣ，所以ＡＦ－ＣＦ＝ＢＣ－ＣＦ，即ＡＣ＝ ＢＦ．因为ＢＥ＝ＢＦ，所以ＡＣ＝ＢＥ．在△ＡＣＤ与△ＢＥＣ中，因为 ＣＤ＝ＥＣ，ＡＣ＝ＢＥ，ＡＤ＝ＢＣ，由ＳＳＳ，所以△ＡＣＤ≌△ＢＥＣ．所 以∠Ａ＝∠Ｂ．所以ＡＤ∥ＢＥ． （２）因为∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝５０°，所以 ∠ＤＣＥ＝１８０°－ ∠ＣＤＥ－∠ＣＥＤ ＝８０°．因为 ∠ＢＣＥ＝２０°，所以 ∠ＤＣＢ＝ ∠ＤＣＥ－∠ＢＣＥ＝６０°．由（１）知△ＡＣＤ≌△ＢＥＣ，所以∠ＡＤＣ ＝∠ＢＣＥ＝２０°．所以∠Ａ＝∠ＤＣＢ－∠ＡＤＣ＝４０°．所以∠Ｂ ＝４０°． １．３尺规作图 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ． ３．作图略．∠ＡＯＢ＞∠ＤＣＥ． ４．（１）作图略． （２）能．作图略． （３）４． ２期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｂ Ａ 二、９．ＳＳＳ；　１０．答案不惟一，如∠ＢＤＥ＝∠ＢＤＣ； １１．８０°；　１２．３；　１３．（ａ－ｂ，－ａ）；　１４．３０． 三、１５．图略． １６．因为∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ，∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ，所以１８０°－ ∠ＢＡＤ－∠ＡＢＤ＝１８０°－∠ＢＣＤ－∠ＣＢＤ，即∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ． 因为ＰＭ⊥ ＡＤ，ＰＮ⊥ ＣＤ，所以 ∠ＰＭＤ＝∠ＰＮＤ＝９０°．在 △ＰＭＤ与△ＰＮＤ中，因为∠ＰＭＤ＝∠ＰＮＤ，∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ， ＰＤ＝ＰＤ，由ＡＡＳ，所以△ＰＭＤ≌△ＰＮＤ．所以ＰＭ＝ＰＮ． １７．（１）因为ＯＢ⊥ＯＣ，所以∠ＢＯＤ＋∠ＣＯＥ＝９０°．因为 ＣＥ⊥ＯＡ，ＢＤ⊥ＯＡ，所以∠ＣＥＯ＝∠ＯＤＢ＝９０°．所以∠ＢＯＤ ＋∠Ｂ＝９０°．所以∠ＣＯＥ＝∠Ｂ．在△ＣＯＥ与△ＯＢＤ中，因为 ∠ＣＥＯ＝∠ＯＤＢ，∠ＣＯＥ＝∠Ｂ，ＯＣ＝ＢＯ，由ＡＡＳ，所以△ＣＯＥ ≌△ＯＢＤ．所以ＯＥ＝ＢＤ． （２）因为△ＣＯＥ≌△ＯＢＤ，所以ＣＥ＝ＯＤ＝１５ｃｍ．因为 ＡＤ＝２ｃｍ，所以ＯＢ＝ＯＡ＝ＯＤ＋ＡＤ＝１７ｃｍ． １８．（１）由对顶角相等，得 ∠ＡＢＣ＝∠ＧＢＨ．因为 ∠Ａ＝ ∠ＡＢＣ，所以 ∠Ａ＝∠ＧＢＨ．因为 ＥＦ⊥ ＡＢ，ＧＨ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＡＦＥ＝∠Ｈ ＝９０°．在 △ＡＥＦ与 △ＢＧＨ中，因为 ∠Ａ＝ ∠ＧＢＨ，∠ＡＦＥ＝∠Ｈ，ＥＦ ＝ＧＨ，由 ＡＡＳ，所以 △ＡＥＦ≌ △ＢＧＨ． （２）因为△ＡＥＦ≌△ＢＧＨ，所以ＡＦ＝ＢＨ．所以ＡＦ－ＢＦ＝ ＢＨ－ＢＦ，即ＡＢ＝ＦＨ＝４．由对顶角相等，得∠ＥＤＦ＝∠ＧＤＨ． 因为ＥＦ⊥ＡＢ，所以∠ＥＦＤ＝９０°＝∠Ｈ．在△ＥＦＤ与△ＧＨＤ 中，因为∠ＥＤＦ＝∠ＧＤＨ，∠ＥＦＤ＝∠Ｈ，ＥＦ＝ＧＨ，由ＡＡＳ，所 以△ＥＦＤ≌△ＧＨＤ．所以ＤＦ＝ＤＨ＝ １２ＦＨ＝２． 附加题　（１）在△ＡＢＤ与△ＣＤＢ中，因为ＡＤ＝ＣＢ，ＡＢ＝ ＣＤ，ＢＤ＝ＤＢ，由 ＳＳＳ，所以 △ＡＢＤ≌ △ＣＤＢ．所以 ∠ＡＤＢ＝ ∠ＣＢＤ．所以ＡＤ∥ＢＣ． （２）由（１）知∠ＥＤＧ＝∠ＦＢＧ．点Ｅ从点Ｄ运动到点Ａ的 时间是４秒，点Ｆ从点 Ｃ沿 Ｃ→ Ｂ→ Ｃ运动到点 Ｃ的时间是 ８ ３秒，设运动时间为ｔ秒，点Ｇ的运动速度为每秒ａ个单位． ①当０＜ｔ≤ ４３ 时，若 ＤＥ＝ＢＦ，ＤＧ＝ＢＧ，△ＤＥＧ≌ △ＢＦＧ，则ｔ＝４－３ｔ，６－ＢＧ＝ＢＧ，解得ｔ＝１，ＢＧ＝３，所以ａ ＝３÷１＝３； 若ＤＥ＝ＢＧ，ＤＧ＝ＢＦ，△ＤＥＧ≌△ＢＧＦ，则ｔ＝ＢＧ，６－ＢＧ ＝４－３ｔ，解得ｔ＝－１，ＢＧ＝－１（舍去）． ②当 ４３ ＜ｔ≤ ８ ３时，若 ＤＥ＝ＢＦ，ＤＧ＝ＢＧ，△ＤＥＧ≌ △ＢＧＦ，则ｔ＝３ｔ－４，６－ＢＧ＝ＢＧ，解得ｔ＝２，ＢＧ＝３，所以ａ ＝３÷２＝ ３２； 若ＤＥ＝ＢＧ，ＤＧ＝ＢＦ，△ＤＥＧ≌△ＢＧＦ，则ｔ＝ＢＧ，６－ＢＧ ＝３ｔ－４，解得ｔ＝ ５２，ＢＧ＝ ５ ２，所以ａ＝ ５ ２ ÷ ５ ２ ＝１． 综上所述，当点Ｇ的运动速度为每秒３个单位或 ３２个单位 或１个单位时，会出现△ＤＥＧ与△ＢＦＧ全等的情况． 书 在我们生活的世界中， 许多美丽的事物都是利用 轴对称设计的，它们不仅装 点了我们的生活，更让我们 感受到了自然界的美与和 谐．下面就让我们一起给轴 对称作图归归类吧！ 一、已知成轴对称图形 作对称轴 例 １　 如图 １，△ＤＥＦ 与△ＡＢＣ关于某条直线成 轴对称，请作出其对称轴． 分析：要作出成轴对称 的两个图形的对称轴，应根 据轴对称的性质，先在图形 中找出一组对称点，然后作 出对称点连线的垂直平分线即可． 解：①连接对称点Ｃ，Ｆ； ②分别以点 Ｃ，Ｆ为圆心， 大于 １ ２ＣＦ的长为半径作弧，两 弧交于点Ｍ，Ｎ； ③连接ＭＮ． 直线ＭＮ就是所要求作的对称轴，如图２． 二、已知对称轴作已知图形的轴对称图形 例２　如图３，已知四边形ＡＢＣＤ和直线ｌ，作出四边 形ＡＢＣＤ关于直线ｌ对称的图形． 分析：要作四边形ＡＢＣＤ关于直线ｌ对称的图形，只 要分别作出四个顶点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ关于直线ｌ的对称点Ａ′， Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′，再顺次连接，即可得到所求作的图形． 解：①过点Ａ作ＡＥ⊥ｌ于点Ｅ，延长ＡＥ至点Ａ′，使 ＥＡ′＝ＡＥ，则点Ａ′就是点Ａ关于直线ｌ的对称点； ②同样的方法可分别作出点Ｂ，Ｃ，Ｄ关于直线ｌ的 对称点Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′； ③连接Ａ′Ｂ′，Ｂ′Ｃ′，Ｃ′Ｄ′，Ｄ′Ａ′． 四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′就是所求作的图形，如图４． 例３　如图５，已知ＡＤ平分∠ＣＡＢ，ＤＣ⊥ＡＣ于点 Ｃ，请用直尺和圆规在ＡＢ上作一点Ｅ，使得点Ｃ，Ｅ关于 ＡＤ所在直线对称． 分析：点Ｃ，Ｅ关于ＡＤ所在直线对称，则有△ＡＤＣ≌ △ＡＤＥ，根据三角形全等的判定方法作图即可． 解法一：①在ＡＥ上截取ＡＥ＝ＡＣ； ②连接ＤＥ． 点Ｅ即为所求作的点，如图６． 解法二：在ＡＤ的下方作∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ，ＤＦ交ＡＢ 于点Ｅ，图略． 试一试：还有其他作图方法吗？ 书 在求解平面直角坐标系中的轴对称问题时，关键是 要掌握关于某条直线对称的点的坐标之间的规律，提高 学生的语言表达能力、观察能力、归纳能力，形成良好的 科学研究方法． （１）点（ａ，ｂ）关于直线 ｙ＝ｍ（各点的纵坐标都是 ｍ）对称的点的坐标为（ａ，２ｍ－ｂ）． 特殊地，当ｍ＝０，即点（ａ，ｂ）关于ｘ轴对称的点的 坐标为（ａ，－ｂ）．也可以通俗说成：求某点关于ｘ轴对称 的点的坐标时，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数， 简单说成“横坐标不变，纵坐标变（是指变成原数的相反 数）”． （２）点（ａ，ｂ）关于直线 ｘ＝ｎ（各点的横坐标都是 ｎ）对称的点的坐标为（２ｎ－ａ，ｂ）． 特殊地，当ｎ＝０，即点（ａ，ｂ）关于ｙ轴对称的点的 坐标为（－ａ，ｂ）．也可以通俗说成：求某点关于ｙ轴对称 的点的坐标时，横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变， 简单说成：“横坐标变（是指变成原数的相反数），纵坐 标不变”． 例１　（２０２３佛山高明区二模）在平面直角坐标系 中，点Ｐ（－２，３）关于ｘ轴的对称点Ｑ的坐标为（　　） Ａ．（－２，－３） Ｂ．（－３，－２） Ｃ．（２，－３） Ｄ．（２，３） 解：点 Ｐ（－２，３）关于 ｘ轴的对称点 Ｑ的坐标为 （－２，－３）．故选Ａ． 例２　（２０２３珠海香洲区一模）若点 Ａ（ａ，３）与点 Ｂ（－２，ｂ）关于ｙ轴对称，则点Ｍ（ａ，ｂ）所在的象限是 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 解：因为点Ａ（ａ，３），点Ｂ（－２，ｂ）关于ｙ轴对称，所 以ａ＝２，ｂ＝３．所以点Ｍ（ａ，ｂ）在第一象限．故选Ａ． 例３　（２０２３柳州城中区模 拟）如图，在平面直角坐标系 中，△ＡＢＣ关于直线 ｍ（直线 ｍ 上各点的横坐标都为 １）对称， 点Ｃ的坐标为（４，１），则点 Ｂ的 坐标为 （　　） Ａ．（－２，１） Ｂ．（－３，１） Ｃ．（－２，－１） Ｄ．（２，１） 解：因为△ＡＢＣ关于直线ｍ（直线ｍ上各点的横坐 标都为１）对称，所以Ｃ，Ｂ关于直线ｍ对称．所以可设点 Ｂ的坐标为（ａ，１）．因为点Ｃ的坐标为（４，１），所以４＋ａ２ ＝１．解得ａ＝－２．所以点Ｂ的坐标为（－２，１）．故选Ａ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ) ) $ *# ! 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点分别为点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，其中∠Ａ＝９０°，ＡＣ＝８ｃｍ，Ａ′Ｃ ＝１２ｃｍ． （１）求△Ａ′Ｂ′Ｃ′的周长； （２）连接ＣＣ′，求△Ａ′ＣＣ′的面积． ６．如图５，在 △ＡＢＣ中，∠ＣＡＢ＝３６°，∠Ｂ＝４８°， Ｄ，Ｅ分别是边ＡＢ和ＢＣ上的点，△ＡＣＥ和△ＡＤＥ关于直 线ＡＥ对称，ＣＤ交ＡＥ于点Ｆ． （１）求∠ＡＤＣ的度数； （２）求∠ＤＥＢ的度数． ２．２轴对称的基本性质 １．（２０２３南宁三模）在平面直角坐标系中，点Ａ（３， －４）关于ｙ轴的对称点Ｂ的坐标是 （　　） Ａ．（３，４） Ｂ．（－３，－４） Ｃ．（－３，４） Ｄ．（－４，３） ２．已知两个图形关于某条直线对称，则对称点一 定在 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．直线的两旁 Ｂ．直线的同旁 Ｃ．直线上 Ｄ．直线的两旁或直线上 ３．点Ｐ与点Ｑ关于直线ｍ成轴对称，则线段ＰＱ与 ｍ的位置关系是 ． ４．（２０２３松原宁江区三模）如 图１，在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ 与 △Ａ′Ｂ′Ｃ′成轴对称．已知点 Ａ（－６，６）的对称点 Ａ′的坐标为 （０，６），点 Ｍ（ｍ，ｎ）为图象上的一 点，则点Ｍ在图象上的对称点Ｍ′的 坐标为 ． ５．（２０２３西安灞桥区四模）如图２，在平面直角坐 标系中，网格上的每个小正方形的边长均为１，△ＡＢＣ 的顶点坐标分别为Ａ（－１，３），Ｂ（２，０），Ｃ（－３，－１）． （１）在 图 中 画 出 △ＡＢＣ关 于 ｘ轴 对 称 的 △Ａ１Ｂ１Ｃ１（点Ａ，Ｂ，Ｃ的对称点分别为 Ａ１，Ｂ１，Ｃ１），并写 出点Ａ１，Ｂ１，Ｃ１的坐标； （２）求△ＡＢＣ的面积． ６．在平面直角坐标系中，对于任意图形 Ｇ及直线 ｌ１，ｌ２，给出如下定义：将图形Ｇ先沿直线ｌ１翻折得到图 形Ｇ１，再将图形Ｇ１沿直线ｌ２翻折得到图形Ｇ２，则称图 形Ｇ２是图形Ｇ的 ＜ｌ１，ｌ２ ＞伴随图形． 例如：点Ｐ（２，１）的 ＜ｘ轴，ｙ轴 ＞伴随图形是点 Ｐ′（－２，－１）． （１）点Ｑ（－３，－２）的 ＜ｘ轴，ｙ轴 ＞伴随图形的 坐标为 ； （２）已知Ａ（－１，１），Ｂ（－４，１），直线ｍ经过点（１， １），且与ｙ轴平行，请写出点Ａ，Ｂ的 ＜ｘ轴，ｍ＞伴随图 形点Ａ′，Ｂ′的坐标． ２．３轴对称图形 １．（２０２３丽水莲都区一模）下列四个图案是历届世 界杯足球赛会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称 图形的是 （　　） ２．（２０２３北京二模）如图１中的图形为轴对称图 形，该图形的对称轴的条数为 （　　） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ ３．（２０２３石家庄藁城区二模）图２和图３中所有的 “●”都完全相同，将图２的“●”放在图３中①②③④ 的某一位置，使它与原来７个“●”组成的图形是轴对 称图形，这个位置是 （　　） Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．④ ４．（２０２３聊城东昌府区开学）在“线段、角、直角三 角形、等边三角形”这四个图形中，对称轴最多的图形 是 ． ５．请画出图４中的各个轴对称图形的对称轴． ６．在图５中分别补一个小正方形，使其成为不同的 轴对称图形． （上接第３版） （以下试题供各地根据实际情况选用） 如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，点Ａ关于ＢＣ边的 对称点为Ａ′，点Ｂ关于ＡＣ边的对称点为Ｂ′，点Ｃ关于 ＡＢ边的对称点为 Ｃ′，连接 Ａ′Ｂ′，Ｂ′Ｃ′，Ａ′Ｃ′．若 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １，求Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２３深圳模拟）下列图形是同学们生活中常见 的品牌ＬＯＧＯ，不是轴对称图形的是 （　　） ２．（２０２３龙游一模）点（３，－２）关于ｘ轴的对称点 是 （　　） Ａ．（－３，－２） Ｂ．（３，２） Ｃ．（－３，２） Ｄ．（３，－２） ３．如图１所示的正五边形的一条对称 轴与其边所夹锐角α的度数为 （　　） Ａ．３６° Ｂ．５４° Ｃ．７２° Ｄ．１０８° ４．若△ＡＢＣ是轴对称图形，中线ＡＤ所在直线为其 惟一的一条对称轴，则△ＡＢＣ的周长是 （　　） Ａ．３ＡＢ Ｂ．３ＡＤ Ｃ．２ＢＣ＋ＡＣ Ｄ．２ＡＢ＋ＢＣ ５．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子． 如图２，棋盘中心方子的位置用（－１，０）表示，右下角方 子的位置用（０，－１）表示．小莹将第４枚圆子放入棋盘 后，所有棋子构成一个轴对称图形，则她放的位置是 （　　） Ａ．（－２，１） Ｂ．（－１，１） Ｃ．（１，－２） Ｄ．（－１，－２） ６．如图３，Ｐ是∠ＡＯＢ外的一点，Ｍ，Ｎ是∠ＡＯＢ两 边上的两点，点Ｐ关于ＯＡ的对称点Ｑ恰好落在线段ＭＮ 上，点Ｐ关于ＯＢ的对称点Ｒ恰好落在ＭＮ的延长线上． 若ＰＭ ＝２．５，ＰＮ＝３，ＭＲ＝７，则线段ＱＮ的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．１．５ Ｃ．２ Ｄ．２．５ ７．墙上有一面镜子，镜子对 面的墙上有一个数字式电子钟． 如果在镜子里看到该电子钟的 时间显示如图４所示，那么它的实际时间是 （　　） Ａ．１２：５１ Ｂ．１５：２１ Ｃ．１５：５１ Ｄ．１２：２１ ８．如图５，在平面直角坐标系中，对在第一象限的 △ＡＢＣ进行循环往复的轴对称变换，若原来点Ａ的坐标 是（ａ，ｂ），则第２３次变换后点Ａ的坐标是 （　　） Ａ．（ａ，ｂ） Ｂ．（ａ，－ｂ） Ｃ．（－ａ，ｂ） Ｄ．（－ａ，－ｂ） 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图６，观察下列各组图形，其中成轴对称的图形 是 （填序号）． １０．一幅轴对称图形沿对称轴对折后点Ａ与点Ｂ重 合，如果点Ａ到对称轴的距离是４ｃｍ，那么点 Ｂ到对称 轴的距离是 ｃｍ． １１．如图７，直线ｌ１，ｌ２交于点Ｏ，点Ｐ关于ｌ１，ｌ２的对 称点分别为Ｐ１，Ｐ２．若ＯＰ＝４，Ｐ１Ｐ２ ＝７，则△Ｐ１ＯＰ２的 周长是 ． １２．如图８，桌球的桌面上有Ｍ，Ｎ两个球，若要将Ｍ 球射向桌面的一边，反弹一次后击中 Ｎ球，则 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 这４个点中，可以反弹击中Ｎ球的是点 ． １３．如图９，△ＡＣＤ和△ＢＣＥ都是△ＡＣＢ的轴对称图 形，对称轴分别是直线ＡＣ，ＢＣ．若ＡＤ⊥ＢＥ，则∠ＤＣＥ＝ ． １４．如图１０，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝８，ＡＣ ＝６，ＢＣ＝１０，点Ｄ是ＢＣ上的一个动点（点Ｄ与点Ｂ不 重合），连接ＡＤ，作点Ｂ关于直线ＡＤ的对称点Ｅ，当点Ｅ 在ＢＣ的下方时，连接ＢＥ，ＣＥ，则△ＢＥＣ面积的最大值为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（２０２３咸阳渭城区模拟，８分）如图１１，在平面直 角坐标系中，四边形 ＡＢＣＤ的顶点坐标分别为 Ａ（－３， ４），Ｂ（－４，２），Ｃ（－１，１），Ｄ（－１，３），将四边形ＡＢＣＤ关 于ｙ轴对称后得到四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，且点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的对 称点分别为Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′． （１）在图中画出四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′； （２）点Ｂ，Ｂ′的距离为 ． １６．（１０分）如图１２，△ＡＢＣ与△ＤＥＦ关于直线ｌ成 轴对称，其中∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝１２ｃｍ，ＤＥ＝１３ｃｍ，ＢＣ＝ ５ｃｍ． （１）指出其中的对应点； （２）求∠Ｆ的度数； （３）求△ＤＥＦ的周长和面积． １７．（１２分）如图１３，Ｄ是 △ＡＢＣ内部一点，∠ＤＡＢ ＝∠ＡＢＣ． （１）画出点Ｄ关于直线ＡＢ的对称点Ｅ； （２）在（１）的条件下连接 ＡＥ，ＢＥ，试说明：∠Ｄ＋ ∠ＥＢＣ＝１８０°． １８．（１４分）将△ＡＢＣ的∠Ａ沿直线ＤＥ折叠，点Ａ的 对应点为点Ａ′，记∠ＣＤＡ′为∠１，∠ＢＥＡ′为∠２． （１）如图１４－①，当点Ａ的对应点Ａ′落在△ＡＢＣ内 部时，试探究∠１，∠２与∠Ａ的数量关系，并说明理由； （２）如图１４－②，当点Ａ的对应点Ａ′落在△ＡＢＣ外 部（ＡＢ的下方）时，∠１，∠２与∠Ａ又有怎样的数量关系 呢？请写出猜想，并给予证明                                                                                                                                                                 ． 书 所以 ∠ＤＥＧ＝９０°．所以 ＥＧ⊥ＤＦ． ２２． （１）∠ＢＡＣ ＋ ∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ． （２）延长 ＣＢ至点 Ｇ， 使 ＢＧ＝ＤＥ，连接 ＡＧ，图 略．所以ＢＣ＋ＤＥ＝ＢＣ＋ ＢＧ＝ＣＧ．因为 ∠ＡＢＣ＝ ９０°，所以∠ＡＢＧ＝１８０°－ ∠ＡＢＣ＝９０°．在△ＡＧＢ和 △ＡＤＥ中，因为 ＡＢ＝ＡＥ， ∠ＡＢＧ＝∠Ｅ，ＧＢ＝ＤＥ， 由 ＳＡＳ，所以 △ＡＧＢ≌ △ＡＤＥ．所 以 ∠ＧＡＢ ＝ ∠ＤＡＥ，ＡＧ ＝ ＡＤ．因 为 ∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ， 所以 ∠ＢＡＣ＋∠ＧＡＢ ＝ ∠ＣＡＤ， 即 ∠ＣＡＧ ＝ ∠ＣＡＤ．在△ＡＧＣ和△ＡＤＣ 中，因为 ＡＣ＝ＡＣ，∠ＣＡＧ ＝∠ＣＡＤ，ＡＧ ＝ ＡＤ，由 ＳＡＳ， 所 以 △ＡＧＣ ≌ △ＡＤＣ．所以 ＣＧ＝ＣＤ．所 以ＢＣ＋ＥＤ＝ＣＤ＝６０ｍ． 所以五边形ＡＢＣＤＥ的周长 为：３×６０＋６０＝２４０（ｍ）． 所以建造木栅栏共需花 费：２４０ × ５０ ＝ １２０００（元）． ２３．（１）因为∠ＡＢＤ＝ ∠ＣＢＥ，所 以 ∠ＡＢＤ ＋ ∠ＤＢＣ ＝ ∠ＣＢＥ ＋ ∠ＤＢＣ， 即 ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＤＢＥ＝９０°．在△ＡＢＣ和 △ＤＢＥ中，因为 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＤＢＥ，ＡＢ ＝ ＤＢ，∠ＢＡＣ ＝∠ＢＤＥ，由 ＡＳＡ，所以 △ＡＢＣ≌△ＤＢＥ． （２）过点 Ａ作 ＡＭ⊥ ＢＤ于点 Ｍ，图略．所以 ∠ＡＭＢ＝９０°＝∠ＥＢＤ．因 为Ｆ是ＡＥ的中点，所以ＡＦ ＝ＥＦ．由对顶角相等，得 ∠ＡＦＭ ＝ ∠ＥＦＢ． 在 △ＡＦＭ和 △ＥＦＢ中，因为 ∠ＡＭＦ ＝ ∠ＥＢＦ，∠ＡＦＭ ＝∠ＥＦＢ，ＡＦ ＝ ＥＦ，由 ＡＡＳ， 所 以 △ＡＦＭ ≌ △ＥＦＢ．所以 ＡＭ ＝ＥＢ＝ ＢＣ，ＭＦ＝ＢＦ．所以 ＢＭ ＝ ２ＢＦ．因为∠ＤＢＣ＋∠ＡＢＦ ＝９０°，∠ＡＢＦ＋∠ＢＡＭ＝ ９０°， 所 以 ∠ＤＢＣ ＝ ∠ＢＡＭ． 在 △ＡＢＭ 和 △ＢＤＣ中，因为ＡＢ＝ＢＤ， ∠ＢＡＭ ＝ ∠ＤＢＣ，ＡＭ ＝ ＢＣ，由ＳＡＳ，所以△ＡＢＭ≌ △ＢＤＣ．所以ＢＭ＝ＣＤ．所 以ＣＤ＝２ＢＦ． ２４．（１）ＣＤ＝ＣＢ． （２）（１）中的结论仍 成立．理由如下： 过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于 点Ｅ，ＣＦ⊥ＡＤ，交ＡＤ的延 长线于点 Ｆ，图略，则 ∠ＣＥＢ＝∠ＣＦＤ＝９０°．因 为 ∠ＡＤＣ ＋ ∠ＣＤＦ ＝ １８０°，∠ＡＤＣ＝１８０°－α， 所以∠ＣＤＦ＝α＝∠Ｂ．因 为 ＡＣ平分 ∠ＢＡＤ，所以 ∠ＣＡＦ＝∠ＣＡＥ．因为 ＣＥ ⊥ ＡＢ，ＣＦ⊥ ＡＤ，所 以 ∠ＣＦＡ＝∠ＣＥＡ＝９０°．由 ＡＡＳ， 所 以 △ＣＡＦ ≌ △ＣＡＥ．所以 ＣＦ＝ＣＥ．由 ＡＡＳ， 所 以 △ＣＤＦ ≌ △ＣＢＥ．所以ＣＤ＝ＣＢ． （３）延长 ＤＯ至点 Ｎ， 使ＯＮ＝ＤＯ，连接 ＡＮ，图 略．因为Ｏ为ＡＣ的中点，所 以 ＡＯ ＝ ＣＯ． 又 因 为 ∠ＡＯＮ＝∠ＣＯＤ，由ＳＡＳ， 所以△ＡＯＮ≌ △ＣＯＤ．所 以∠Ｎ＝∠ＣＤＯ，ＡＮ＝ＣＤ ＝ＣＢ．所以ＣＤ∥ＡＮ．所以 ∠ＤＡＮ＋∠ＡＤＣ＝１８０°． 所以 ∠ＤＡＮ ＝ １８０°－ ∠ＡＤＣ＝α＝∠Ｂ．因为ＡＤ ＝ＢＭ，由ＳＡＳ，所以△ＡＮＤ ≌△ＢＣＭ．所以ＣＭ ＝ＤＮ ＝２ＤＯ．所以ＣＭＤＯ＝２． !" !" ! ! !" ! #$%"& '()*+,-./ !" #$ %& 012345!"#$!%&6 !"#$%&'()*+ '&(#)(!*#!+, !",-%&'()*+ -&(.)(!*##!( ! ! !"#$ 789:;<=>?@A # . %&'( ! 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