第2期 1.2 怎样判定三角形全等(AAS,SSS) 1.3 尺规作图（参考答案见4期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（青岛版）

书 在学习了探索三角形全等的条件后，我们可以借助 全等三角形的知识，根据所给的条件，用尺规作图的方 法作三角形．下面举例说明． 一、已知两边及其夹角作三角形 例１　已知一个三角形的两条边分别为 ａ，ｂ，这两 条边的夹角为∠α，如图１，求作这个三角形． 分析：根据已知条件，可以先作 ∠ＤＢＥ，使其等于 ∠α，然后分别在∠ＤＢＥ的两边上截取线段ＢＣ＝ａ，ＢＡ ＝ｂ，连接ＡＣ即可． 作法： （１）先作∠ＤＢＥ＝∠α； （２）然后分别在∠ＤＢＥ的两边上截取 ＢＣ＝ａ，ＢＡ ＝ｂ； （３）连接ＡＣ，则△ＡＢＣ即为所求（如图２）． 温馨提示：①求作三角形时，一般先作出角，然后根 据条件作出所求作的图形；② 尺规作图时，应注意作图 语言的规范性． 二、已知两角及其夹边作三角形 例２　已知一个三角形的两角分别为 ∠α，∠β，夹 边为ｃ，如图３，求作这个三角形． 分析：作出线段ＡＢ＝ｃ，即可确定三角形的两个顶点， 再在ＡＢ边的同一侧，分别以Ａ，Ｂ两点为顶点作两个角等于 已知角，这两个角的另一边的交点就是第三个顶点． 作法： （１）先作线段ＡＢ＝ｃ； （２）再分别以 Ａ，Ｂ两点为顶点，射线 ＡＢ，ＢＡ为一 边，在ＡＢ边的同一侧作∠ＤＡＢ＝∠α，∠ＥＢＡ＝∠β； （３）ＡＤ，ＢＥ交于点Ｃ，则△ＡＢＣ即为所求（如图４）． 温馨提示：由于已知条件中有一边，所以三角形的 两个顶点容易确定，关键是确定第三个顶点． 三、已知三边作三角形 例３　已知一个三角形的三条边分别为ａ，ｂ，ｃ，如图 ５，求作这个三角形． 分析：先作出△ＡＢＣ的一条边（如ＡＢ＝ｃ），确定出 两个顶点，然后分别以这两个顶点为圆心，以线段ａ，ｂ的 长为半径画出两条弧即可确定第三个顶点． 作法： （１）先作线段ＡＢ＝ｃ； （２）分别以Ｂ，Ａ为圆心，以ａ，ｂ长为半径画弧交于 点Ｃ； （３）连接ＡＣ，ＢＣ，则△ＡＢＣ即为所求（如图６）． 温馨提示：利用尺规作三角形时，一定要注意分析 条件，确定出基本的图形，画出草图，进而确定作图的方 法和步骤． 书 两个三角形全等的判定方法有“ＳＳＳ”，“ＳＡＳ”， “ＡＳＡ”，“ＡＡＳ”，它们都需要三个条件，而常见的试题却 往往只给出两个明显的已知条件，面对“二缺一”的局 面，到底选择哪种方法来判定呢？ 一、已知两边对应相等 已知条件 ＡＢ＝ＤＥ ＢＣ＝ＥＦ 方法一 找第三边对应相等：首先判断 ＡＣ＝ＤＦ，然 后应用“ＳＳＳ”判定全等 方法二 找已知两边的夹角对应相等：首先判断∠Ｂ ＝∠Ｅ，然后应用“ＳＡＳ”判定全等 例１　（２０２３成都天府新 区模拟）如图 １，已知 ＡＢ＝ ＤＥ，ＡＤ＝ＣＦ，添加下列条件， 能判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ的是 （　　） Ａ．ＡＣ＝ＤＦ Ｂ．∠Ａ＝∠ＦＤＥ Ｃ．∠ＡＣＢ＝∠Ｆ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｅ 解析：因为ＡＤ＝ＣＦ，所以ＡＤ＋ＣＤ＝ＣＦ＋ＣＤ，即 ＡＣ＝ＤＦ．要判定 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ，已经有两边对应相 等，应添加这两边的夹角对应相等或第三边对应相等． 添加ＡＣ＝ＤＦ或∠ＡＣＢ＝∠Ｆ或∠Ｂ＝∠Ｅ，不能 判定△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ； 添加 ∠Ａ＝∠ＦＤＥ，根据“ＳＡＳ”判定 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ． 故选Ｂ． 二、已知两角对应相等 已知条件 ∠Ａ＝∠Ｄ ∠Ｂ＝∠Ｅ 方法一 找已知两角的夹边对应相等：首先判断 ＡＢ ＝ＤＥ，然后应用“ＡＳＡ”判定全等 方法二 找已知一角的对边相等：首先判断ＡＣ＝ＤＦ 或者ＢＣ＝ＥＦ，然后应用“ＡＡＳ”判定全等 例２　（２０２３银川兴庆区一 模）如图 ２，ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ， ∠Ａ＝∠Ｄ，请你再补充一个条 件，使△ＡＯＢ≌△ＤＯＣ，你补充的 条件是 ． 解析：由对顶角相等，得 ∠ＡＯＢ＝∠ＤＯＣ．要判定 △ＡＯＢ≌△ＤＯＣ，应添加一组边对应相等． 添加ＡＯ＝ＤＯ，根据“ＡＳＡ”判定△ＡＯＢ≌△ＤＯＣ； 添加ＡＢ＝ＤＣ或ＢＯ＝ＣＯ，根据“ＡＡＳ”判定△ＡＯＢ ≌△ＤＯＣ． 故填ＡＯ＝ＤＯ或ＡＢ＝ＤＣ或ＢＯ＝ＣＯ． 三、已知一边、一角对应相等 已知条件 ＡＢ＝ＤＥ ∠Ｂ＝∠Ｅ 方法一 找已知角的另一邻边对应相等：首先判断 ＢＣ＝ＥＦ，然后应用“ＳＡＳ”判定全等 方法二 找已知边的另一邻角对应相等：首先判断 ∠Ａ＝∠Ｄ，然后应用“ＡＳＡ”判定全等 方法三 找已知边的对角对应相等：首先判定 ∠Ｃ ＝∠Ｆ，然后应用“ＡＡＳ”判定全等 例３　（２０２３昆明一模）如 图３，已知 ∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＢ，点 Ａ，Ｂ，Ｅ共线，添加下列条件不能 判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ的是 （　　） Ａ．∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ Ｂ．∠Ｄ＝∠Ｃ Ｃ．ＤＡ＝ＣＡ Ｄ．ＤＢ＝ＣＢ 解析：由图可知，ＡＢ是公共边． 添加∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ，因为∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＢ，所以 ∠ＤＢＥ－∠ＤＡＢ＝∠ＣＢＥ－∠ＣＡＢ，即∠Ｄ＝∠Ｃ，根据 “ＡＡＳ”判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ； 添加 ∠Ｄ ＝∠Ｃ，根据“ＡＡＳ”判定 △ＤＡＢ≌ △ＣＡＢ； 添加ＤＡ＝ＣＡ，根据“ＳＡＳ”判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ； 添加ＤＢ＝ＣＢ，无法判定△ＤＡＢ≌△ＣＡＢ． 故选Ｄ． 书 上期２版 １．１全等三角形 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．９０°；　４．５０°；　５．８． ６．因为△ＡＢＥ≌△ＤＣＥ，所以∠Ａ＝∠ＥＤＣ．因为∠Ｆ＝ ∠Ａ，所以∠Ｆ＝∠ＥＤＣ．所以ＡＤ∥ＢＦ． ７．如图所示： 能力提高　８．３或５． １．２怎样判定三角形全等 １．２．１边角边（ＳＡＳ） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．ＡＦ＝ＤＥ． ４．（１）在△ＣＤＡ与△ＢＥＦ中，因为ＣＤ＝ＢＥ，∠１＝∠Ｂ， ＣＡ＝ＢＦ，由ＳＡＳ，所以△ＣＤＡ≌△ＢＥＦ．所以∠Ｄ＝∠２． （２）因为ＥＦ∥ＡＣ，所以∠２＝∠ＢＡＣ＝８０°．所以∠Ｄ＝ ８０°． ５．（１）因为 ＣＥ∥ ＡＢ，所以 ∠Ｂ＝∠ＤＣＥ．在 △ＡＢＣ与 △ＤＣＥ中，因为ＢＣ＝ＣＥ，∠Ｂ＝∠ＤＣＥ，ＢＡ＝ＣＤ，由ＳＡＳ，所以 △ＡＢＣ≌△ＤＣＥ． （２）由（１）知△ＡＢＣ≌△ＤＣＥ．所以∠Ａ＝∠Ｄ．因为∠Ｄ ＝２２°，所以∠Ａ＝２２°．又因为∠Ｂ＝５０°，所以∠ＡＧＦ＝∠Ｂ＋ ∠Ｄ＝７２°．所以∠ＡＦＧ＝１８０°－∠Ａ－∠ＡＧＦ＝８６°． 能力提高　６．（３，－２）或（－３，２）或（－３，－２）． １．２．２角边角（ＡＳＡ） 基础训练　１．Ｂ；　２．７．５；　３．５． ４．因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＡＤＢ＝∠ＥＢＣ．因为ＣＥ⊥ＢＤ，所 以∠ＣＥＢ＝∠Ａ＝９０°．在 △ＡＢＤ与 △ＥＣＢ中，因为 ∠Ａ＝ ∠ＣＥＢ，ＡＤ＝ＥＢ，∠ＡＤＢ＝∠ＥＢＣ，由 ＡＳＡ，所以 △ＡＢＤ≌ △ＥＣＢ．所以ＡＢ＝ＥＣ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ Ｂ Ｄ Ａ 二、９．６；　１０．不一定；　１１．（６，－４）；　１２．３； １３．１３；　１４．６或８． 三、１５．因为△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ，所以∠Ｄ＝∠Ｂ．因为∠ＡＦＤ ＝∠ＥＦＢ，∠Ｄ＋∠ＢＡＤ＋∠ＡＦＤ＝１８０°，∠Ｂ＋∠ＥＦＢ＋∠ＢＥＤ ＝１８０°，所以∠ＢＥＤ＝∠ＢＡＤ＝３５°． １６．因为∠Ｅ＋∠ＣＢＥ＝１８０°，∠ＡＢＣ＋∠ＣＢＥ＝１８０°，所 以∠Ｅ＝∠ＡＢＣ．因为ＡＤ＝ＢＥ，所以ＡＤ＋ＤＢ＝ＢＥ＋ＤＢ，即 ＡＢ＝ＤＥ．在△ＡＢＣ与△ＤＥＦ中，因为∠Ａ＝∠ＥＤＦ，ＡＢ＝ＤＥ， ∠ＡＢＣ＝∠Ｅ，由ＡＳＡ，所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ．所以ＡＣ＝ＤＦ． １７．因为∠ＡＥＢ＝９０°，ＡＤ⊥ＤＣ，ＢＣ⊥ＤＣ，所以∠ＡＥＢ＝ ∠ＡＤＥ＝∠ＢＣＥ＝９０°．所以∠ＡＥＤ＋∠ＤＡＥ＝９０°，∠ＡＥＤ＋ ∠ＢＥＣ＝９０°，∠ＢＥＣ＋∠ＥＢＣ＝９０°．所以∠ＤＡＥ＝∠ＣＥＢ， ∠ＡＥＤ＝∠ＥＢＣ．因为ＡＥ＝ＢＥ，由ＡＳＡ，所以△ＡＤＥ≌△ＥＣＢ． 所以ＡＤ＝ＣＥ，ＤＥ＝ＢＣ．所以ＤＣ＝ＤＥ＋ＣＥ＝ＢＣ＋ＡＤ＝３５０ ＋１５０＝５００（米）． 答：两个排污口之间的水平距离ＤＣ为５００米． １８．延长ＥＤ至点Ｇ，使ＤＧ＝ＤＥ，连接ＣＧ，ＦＧ，图略．因为 ＤＥ⊥ＤＦ，所以∠ＥＤＦ＝∠ＧＤＦ＝９０°．在△ＥＤＦ与△ＧＤＦ中， 因为ＥＤ＝ＧＤ，∠ＥＤＦ＝∠ＧＤＦ，ＦＤ＝ＦＤ，由ＳＡＳ，所以△ＥＤＦ ≌△ＧＤＦ．所以ＥＦ＝ＧＦ．因为Ｄ为ＢＣ的中点，所以ＢＤ＝ＣＤ． 由对顶角相等，得∠ＢＤＥ＝∠ＣＤＧ．在△ＥＤＢ与 △ＧＤＣ中，因 为ＢＤ＝ＣＤ，∠ＢＤＥ＝∠ＣＤＧ，ＥＤ＝ＧＤ，由ＳＡＳ，所以△ＥＤＢ≌ △ＧＤＣ．所以ＢＥ＝ＣＧ．在△ＣＦＧ中，由三角形的三边关系，得 ＣＧ＋ＣＦ＞ＦＧ．所以ＢＥ＋ＣＦ＞ＥＦ． 附加题　ＡＣ＝ＣＭ．理由如下： 因为Ｆ为ＢＣ的中点，所以ＢＦ＝ＣＦ．在 △ＢＦＥ与 △ＣＦＭ 中，因为 ＢＦ＝ＣＦ，∠ＢＦＥ＝∠ＣＦＭ，ＥＦ＝ＭＦ，由 ＳＡＳ，所以 △ＢＦＥ≌△ＣＦＭ．所以ＢＥ＝ＣＭ．因为ＡＤ⊥ＢＣ，所以∠ＢＤＥ＝ ∠ＡＤＣ＝９０°．在△ＢＤＥ与△ＡＤＣ中，因为ＢＤ＝ＡＤ，∠ＢＤＥ＝ ∠ＡＤＣ，ＤＥ＝ＤＣ，由ＳＡＳ，所以△ＢＤＥ≌△ＡＤＣ．所以ＢＥ＝ＡＣ． 所以ＡＣ＝ＣＭ． 书 用尺规作三角形要求同学们能根据要求正确作出 三角形，并能根据三角形全等说明这样作的理由．现将 与作三角形有关的创新题型归类如下： 一、选择作图顺序 例１　已知∠α和线段ｍ，ｎ，求作△ＡＢＣ，使ＢＣ＝ ｍ，ＡＢ＝ｎ，∠ＡＢＣ＝∠α，作法的合理顺序为 （填序号即可）． ①在射线ＢＤ上截取线段ＢＡ＝ｎ；②作一条线段ＢＣ ＝ｍ；③以Ｂ为顶点，以ＢＣ为一边，作∠ＤＢＣ＝∠α； ④连接ＡＣ，则△ＡＢＣ就是所求作的三角形． 分析：利用基本作图，使三角形的两边及夹角等于 已知边及夹角作答即可． 解：作图的步骤应该是：② 作一条线段 ＢＣ＝ｍ； ③以Ｂ为顶点，以ＢＣ为一边，作∠ＤＢＣ＝∠ａ；①在射 线ＢＤ上截取线段ＢＡ＝ｎ；④连接ＡＣ，则△ＡＢＣ就是所 求作的三角形． 故填②③①④． 二、补充作图过程 例２　如图１，已知线段ａ， ｃ和∠α，求作：△ＡＢＣ，使ＢＣ＝ ａ，ＡＢ＝ｃ，∠ＡＢＣ＝∠α．根据图 ２的作图步骤在下面空格填上 适当的文字或字母． （１）如图２－①，作∠ＮＢＭ ＝ ； （２）如图２－②，在射线ＢＭ上截取ＢＣ＝ ， 在射线ＢＮ上截取ＢＡ＝ ； （３）连接 ，如图２－③，△ＡＢＣ就是所求作 的三角形． 分析：根据作图步骤填空，注意使用规范用语． 解：（１）如图２－①，作∠ＮＢＭ ＝∠α； （２）如图２－②，在射线ＢＭ上截取ＢＣ＝ａ，在射线 ＢＮ上截取ＢＡ＝ｃ； （３）连接ＡＣ，如图２－③，△ＡＢＣ就是所求作的三角 形． 故填（１）∠α；　（２）ａ，ｃ；　（３）ＡＣ． 三、还原图形 例３　如图 ３是一块三角尺模具（阴影部分已破 损），能否到店铺加工一块与原来的模具 △ＡＢＣ的形状 和大小完全相同的模具 △Ａ′Ｂ′Ｃ′？请用尺规作出模具 △Ａ′Ｂ′Ｃ′． 分析：观察可知原模具的两边 ＡＣ，ＢＣ及它们的夹角 ∠ＡＣＢ没有破损，根据“ＳＡＳ”可画出与原模具一样的三角形． 解：能到店铺加工一块与原来的模具△ＡＢＣ完全相 同的模具△Ａ′Ｂ′Ｃ′．作法如下： （１）作∠ＥＣ′Ｆ＝∠ＡＣＢ； （２）在Ｃ′Ｅ，Ｃ′Ｆ上分别截取Ｃ′Ａ′＝ＣＡ，Ｃ′Ｂ′＝ＣＢ； （３）连接 Ａ′Ｂ′，则 △Ａ′Ｂ′Ｃ′就是所求作的三角形 （如图４）． 书 变脸是川剧中的一项绝 活，这不，全等三角形也玩开了 “变脸”，它以各种不同的面孔 出现在我们面前，但只要同学 们认真观察图形，熟练掌握了 它的判定方法 ———“ＳＳＳ”，就 能透过假面具看清其真面目， 从而说明两个三角形全等． 真面目：如图 １，△ＡＢＣ和 △ＤＥＦ是两个能完全重合的三 角形，则△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ． 变脸一：两个三角形有部 分公共边 例１　 如图２，已知 ＡＢ＝ ＤＥ，ＡＣ＝ＤＦ，ＢＦ＝ＥＣ，那么△ＡＢＣ和△ＤＥＦ全等吗？ 请说明理由． 分析：条件中已经知道了 两组对边相等，我们再知道一 组对边相等即可判定全等．由 已知中的 ＢＦ＝ＥＣ，我们再结 合图形，不难得到ＢＣ＝ＥＦ，依 据“ＳＳＳ”即可说明全等． 解：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ．理由是： 因为ＢＦ＝ＥＣ， 所以ＢＦ＋ＦＣ＝ＥＣ＋ＦＣ，即ＢＣ＝ＥＦ． 在△ＡＢＣ与△ＤＥＦ中， 因为ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＥＦ， 由ＳＳＳ，所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ． 评注：尽可能从已知条件中发现隐含的等量关系 是解决此类问题的关键． 变脸二：两个三角形有一条边重合 例２　 如图３，已知 ＡＢ＝ ＤＣ，ＡＣ＝ＤＢ，试说明：△ＡＢＣ ≌△ＤＣＢ． 分析：在 △ＡＢＣ与 △ＤＣＢ 中，已经给出了两组对边相等： ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＤＢ，要说明三角形全等还缺少一个条 件．已知两边相等，我们通常考虑应用“ＳＡＳ”或“ＳＳＳ”， 找ＡＢ与ＡＣ的夹角∠Ａ，ＤＣ与ＤＢ的夹角∠Ｄ是否相等 或第三条边ＢＣ与ＣＢ是否相等．而由于ＢＣ与ＣＢ是公 共边，故ＢＣ＝ＣＢ，依据“ＳＳＳ”，问题得解． 解：在△ＡＢＣ与△ＤＣＢ中， 因为ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＤＢ，ＢＣ＝ＣＢ， 由ＳＳＳ，所以△ＡＢＣ≌△ＤＣＢ． 评注：本题要抓住公共边，依据全等三角形的判定 方法“ＳＳＳ”，说明两个三角形全等． 例３　如图４，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ ＝ＤＢ，试说明：ＡＢ∥ＣＤ． 分析：要说明 ＡＢ∥ ＣＤ，只 需 ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＤＣＢ，要说明 ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＤＣＢ，只需 说 明 △ＡＢＣ≌△ＤＣＢ． 解：在△ＡＢＣ与△ＤＣＢ中， 因为ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＤＢ，ＢＣ＝ＣＢ， 由ＳＳＳ，所以△ＡＢＣ≌△ＤＣＢ． 所以∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ． 所以ＡＢ∥ＣＤ． 评注：在利用“ＳＳＳ”来说明两个三角形全等时，一 定要看清楚是否是这两个三角形的对应边相等，否则 容易产生错误． ! " # $ ! ! ! ! " " % & ! # & " % ' ( ! ! ! " # $ % ! ! '"($ ! $ ! ) * ! ! ! !% & ' & # " &! #! "! ( ' ! ! ! " """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! $ + " & # , + " & # , + & , " # $ " # $ ! % % & ' ! & * ) - % & ' ( ) ! " ! " ) ! " ! ! $ " # ! ! # % & " ! ' ' ! * - ! """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! (% )*+ #($ ,-./012345))*+***6 789:;!"#$%&'()*+, !))*+***"#-./0123456$ % % <=>?; 789:;*#$+,34 %&'()*56( ,(! @ABC 789:;<=>*?@AB7/ 0CDE%&'$ <=>?;FGEH+,*IF J( D , E ,(,()%&' ,(' KL#$%&'( )M*)*B)*)N D ' E ,(' KL#$%&'( )O))*B***P ,(! CDEH D ! E Q()%&'RSTUV W D " E '(,H'*XYZ '(' XYZ*[\J] '(! XYZH' D % E '(" ^_*`abc^ '(% &bc^*J] '(& )d%&' D & E QH'*XYZRSTU VW D - E efghOiN D . E efghOjN D / E !(,ck*[\J] !($ ck*lc !(! ck*m,no, D ,0 E !(" ck*pc !(% ck*q,nr, !(& stsu D ,, E !(-vwxiyiz+{ *ck+{ D ,' E QckRSTUVW D ,! 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ÌHOP«FGH7TU¾ #ÍÎTÏ;0!000& #ÆоÑPÒÓ;0!%,"%'-,,'% 0!%,"%'-,'!-¶žÔ6 #ÑÕ;Ö׸PÆоÂØÙ3¯ÚÛÍܶÝ6 #ÍÎÑÕÒÓ;,,,.% #ÞßàáÑâãÑäåÑ #¸Pæ3¯ÚöÆ6NšçèéP #ê뤥ìÞíÌ;,"0000"000,,0 #ê뾿À;0!%,"%'-,'%% #¸PîïYðñžŸò󦧨©¶ôõÆö÷Èøùúûüœý ,, Ì6þòÿ!¦ò"#$%&ÿÖ׸PÆоÂØ'( 书 １．２．３角角边（ＡＡＳ） １．如图１，已知∠１＝∠２， ＡＣ＝ＡＤ，增加下列条件，不能 使△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ＢＣ＝ＥＤ Ｂ．ＡＢ＝ＡＥ Ｃ．∠Ｃ＝∠Ｄ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｅ ２．如图２，△ＡＢＣ中 ＢＣ边上的高为 ｈ１，△ＤＥＦ中 ＤＥ边上的高为ｈ２，下列结论正确的是 （　　） Ａ．ｈ１ ＞ｈ２ Ｂ．ｈ１ ＝ｈ２ Ｃ．ｈ１ ＜ｈ２ Ｄ．无法确定ｈ１，ｈ２的大小 ３．（２０２３咸阳一模）如图３，已知 ＡＢ＝ＡＥ，ＡＢ∥ ＤＥ，∠ＡＣＢ＝∠Ｄ．试说明：△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ． ４．如图４，要测量河两岸上Ａ，Ｂ两点的距离，在点Ｂ 所在河岸一侧平地上取一点 Ｃ，使 Ａ，Ｂ，Ｃ在一条直线 上，另取一点 Ｄ，使 ＣＤ＝ＣＢ，测得 ∠ＤＣＢ＝１００°， ∠ＡＤＣ＝６５°，在 ＣＤ的延长线上取点 Ｅ，使 ∠ＢＥＣ＝ １５°．这时测得ＤＥ的长就是Ａ，Ｂ两点间的距离，为什么？ １．２．４边边边（ＳＳＳ） １．如图１，已知ＡＣ＝ＦＥ，ＢＣ ＝ＤＥ，点 Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｆ在一条直线 上，要利用“ＳＳＳ”证明 △ＡＢＣ≌ △ＦＤＥ，可以添加的一个条件是 （　　） Ａ．ＡＤ＝ＦＢ Ｂ．ＤＥ＝ＢＤ Ｃ．ＢＦ＝ＤＢ Ｄ．以上都不对 ２．如图２，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＥ＝ＣＦ，ＢＥ＝ ＡＦ，则∠Ｅ＝∠ ，∠ＣＡＦ＝∠ ． ３．如图３，已知∠ＡＯＢ，以点Ｏ为圆心，任意长度为 半径画弧①，分别交 ＯＡ，ＯＢ于点 Ｅ，Ｆ，再以点 Ｅ为圆 心，ＥＦ的长为半径画弧，交弧①于点Ｄ，画射线ＯＤ．若 ∠ＡＯＢ＝２６°，则∠ＢＯＤ的度数为 ． ４．如图４，已知ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＣＢ．试说明：△ＡＢＤ ≌△ＣＤＢ． ５．如图５，点Ｃ在线段ＡＢ上，ＣＤ＝ＣＥ，ＤＥ交ＡＢ于 点Ｆ，且ＢＥ＝ＢＦ，ＡＤ＝ＢＣ＝ＡＦ． （１）试说明：ＡＤ∥ＢＥ； （２）若∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝５０°，∠ＢＣＥ＝２０°，求 ∠Ｂ的度数． １．３尺规作图 １．（２０２３太原万柏林区期中）利用尺规作图，不能 作出惟一三角形的是 （　　） Ａ．已知两边及其中一边的对角 Ｂ．已知三边 Ｃ．已知两边及其夹角 Ｄ．已知两角及其夹边 ２．（２０２３宁乡期末）如图１，己知线段ａ，∠１，求作 △ＡＢＣ，使ＢＣ＝ａ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＡ＝∠１，张蕾的作法 如图２所示，则下列说法中一定正确的是 （　　） Ａ．作△ＡＢＣ的依据为ＡＳＡ Ｂ．弧ＥＦ是以ＡＣ长为半径画的 Ｃ．弧ＭＮ是以点Ａ为圆心，ａ为半径画的 Ｄ．弧ＧＨ是以ＣＰ长为半径画的 ３．（２０２３佛山禅城区月考）如图３，已知 ∠ＤＣＥ， ∠ＡＯＢ，利用尺规作图比较它们的大小（不写作法，保留 作图痕迹）． ４．（２０２３南京鼓楼区期中）已知一个三角形的两条 边长分别是１ｃｍ和２ｃｍ，一个内角为４０°． （１）请你借助如图４所示的图形，画出一个满足条 件的三角形（请在你画的图中标出已知角的度数和已 知边的长度，不要求写作法，保留作图痕迹）； （２）你是否还能画出既满足题目条件，又与（１）中 所画的三角形不全等的三角形？若能，请用尺规作出所 有这样的三角形；若不能，请说明理由． （３）如果将题目中的条件改为“三角形的两条边长 分别是３ｃｍ和４ｃｍ，一个内角为４０°”，那么满足这一条 件，且彼此不全等的三角形共有 个． （上接第３版） （以下试题供各地根据实际情况选用） （２０２３宝鸡渭滨区期末）如图，在四边形ＡＢＣＤ中， ＡＤ＝ＢＣ＝４，ＡＢ＝ＣＤ，ＢＤ＝６，点Ｅ从点Ｄ出发，以每 秒１个单位的速度沿ＤＡ向点Ａ匀速移动，点Ｆ从点Ｃ出 发，以每秒３个单位的速度沿Ｃ→Ｂ→Ｃ作匀速移动，点 Ｇ从点Ｂ出发沿ＢＤ向点Ｄ匀速移动，三个点同时出发， 当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． （１）试说明：ＡＤ∥ＢＣ； （２）在移动过程中，小明发现当点Ｇ的运动速度取 某个值时，有△ＤＥＧ与△ＢＦＧ全等的情况出现，请你探 究当点 Ｇ的运动速度取哪些值时，会出现 △ＤＥＧ与 △ＢＦＧ全等的情况 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２３贵阳云岩区期中）在判定三角形全等的条 件中，下列不属于判定三角形全等的条件是 （　　） Ａ．ＡＡＳ Ｂ．ＳＡＳ Ｃ．ＳＳＡ Ｄ．ＳＳＳ ２．如图１，以△ＡＢＣ的顶点Ａ为圆心，ＢＣ长为半径 作弧；再以顶点Ｃ为圆心，ＡＢ长为半径作弧，两弧交于点 Ｄ；连接ＡＤ，ＣＤ．若∠Ｂ＝６５°，则∠ＡＤＣ的度数为 （　　） Ａ．３５° Ｂ．５０° Ｃ．６５° Ｄ．７０° ３．如图２，已知ＡＤ＝ＡＢ，∠Ｃ＝∠Ｅ，∠ＣＤＥ＝５５°， 则∠ＡＢＥ的度数为 （　　） Ａ．１５５° Ｂ．１２５° Ｃ．１３５° Ｄ．１４５° ４．如图３，已知ＢＥ⊥ＡＤ于点Ｅ，ＣＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，且 ＢＥ＝ＣＦ，则ＡＤ是△ＡＢＣ的 （　　） Ａ．中线 Ｂ．高线 Ｃ．角平分线 Ｄ．无法确定 ５．如图４，已知 △ＡＢＣ与 △ＤＥＦ，Ｂ，Ｅ，Ｃ，Ｄ四点在 同一条直线上，其中 ＡＢ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＥＦ，ＡＣ＝ＤＥ，则 ∠ＡＣＢ＝ （　　） Ａ．∠ＥＦＤ Ｂ．∠ＡＢＣ Ｃ．２∠Ｄ Ｄ．１２∠ＡＦＥ ６．如图５，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，ＣＥ⊥ＡＢ于 点Ｅ，ＡＤ，ＣＥ交于点Ｆ．已知ＥＦ＝ＥＢ＝３，Ｓ△ＡＥＦ ＝６，则 ＣＦ的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．３２ Ｃ．２ Ｄ． ５ ２ ７．（２０２３哈尔滨南岗区期中）按下列给出的各条 件，能作出大小、形状固定的△ＡＢＣ的是 （　　） Ａ．ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，ＡＣ＝５ Ｂ．ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，∠ＡＢＣ＝５０° Ｃ．ＡＢ＝２，ＢＣ＝３ Ｄ．∠Ａ＝７０°，∠Ｂ＝６０°，∠Ｃ＝５０° ８．如图６，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＣ＝２，过点Ａ作 ＡＤ∥ ＢＣ，ＡＥ⊥ ＡＣ，ＡＣ＝ＡＥ，ＡＤ ＝３，连接 ＤＥ，则 △ＡＤＥ的面积为 （　　） Ａ．３ Ｂ．６ Ｃ．１２ Ｄ．１８ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图７，工人师傅要检查人字梁的 ∠Ｂ和 ∠Ｃ是 否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺，他是这 样操作的：①分别在ＢＡ和ＣＡ上取ＢＥ＝ＣＧ；②在ＢＣ上 取ＢＤ＝ＣＦ；③量出ＤＥ的长为ａｃｍ，ＦＧ的长为ｂｃｍ．如 果ａ＝ｂ，则说明 ∠Ｂ和 ∠Ｃ是相等的，判定 △ＢＤＥ≌ △ＣＦＧ的理由是 ． １０．如图８，已知△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别在边ＡＣ，ＡＢ 上，连接ＢＤ，ＤＥ，∠Ｃ＋∠ＡＥＤ＝１８０°，请你添加一个条 件，使 △ＢＤＥ≌ △ＢＤＣ， 你 所 添 加 的 条 件 是 （只填一个条件即可）． １１．如图９，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＞ＡＢ，点Ｄ在边ＡＢ的延 长线上，ＡＤ＝ＡＣ，在ＢＣ上有一点Ｅ，使得ＣＥ＝ＤＥ，连 接ＡＥ．若∠ＡＥＢ＝５０°，则∠ＢＥＤ的度数为 ． １２．如图１０，已知ＡＤ∥ＭＮ∥ＢＣ，∠ＡＤＣ＝９０°，ＡＤ ＝ＢＣ，那么图中的全等三角形共有 对． １３．（２０２３高邮月考）在平面直角坐标系中，正方形 ＡＢＣＤ如图１１摆放．若顶点 Ａ，Ｂ的坐标分别为（ａ，０）， （０，ｂ），则顶点Ｄ的坐标为 ． １４．（２０２３长春二道区期末）如图１２，在△ＡＣＤ中， ∠ＣＡＤ＝９０°，ＡＣ＝５，ＡＤ＝１２，ＡＢ∥ＣＤ，Ｅ是ＣＤ上一 点，ＢＥ交ＡＤ于点Ｆ．若ＡＢ＝ＤＥ，则图中阴影部分的面 积为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（２０２３淮安清江浦区期中，８分）如图１３，已知 ∠α和线段ａ，请用尺规作△ＡＢＣ，使∠Ａ＝∠α，∠β＝ ２∠α，ＡＢ＝ａ（保留作图痕迹，不写作法）． １６．（１０分）如图１４，已知∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ，∠ＡＢＤ ＝∠ＣＢＤ，点Ｐ在ＢＤ上，ＰＭ⊥ＡＤ于点Ｍ，ＰＮ⊥ＣＤ于 点Ｎ．试说明：ＰＭ ＝ＰＮ． １７．（１２分）小明在物理课上学习了发声物体的振 动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆 点Ｏ处用一根细绳悬挂一个小球Ａ，小球 Ａ可以自由摆 动，如图１５，ＯＡ表示小球静止时的位置．当小明用发声 物体靠进小球时，小球从 ＯＡ摆到 ＯＢ位置，此时过点 Ｂ 作ＢＤ⊥ＯＡ于点Ｄ，当小球摆到ＯＣ位置时，ＯＢ与ＯＣ恰 好垂直（图中的Ａ，Ｂ，Ｏ，Ｃ在同一平面上），过点Ｃ作ＣＥ ⊥ＯＡ于点Ｅ，测得ＣＥ＝１５ｃｍ，ＡＤ＝２ｃｍ． （１）试说明：ＯＥ＝ＢＤ； （２）求ＯＢ的长． １８．（１４分）如图１６－①，△ＡＢＣ中，∠Ａ＝∠ＡＢＣ， 延长ＡＣ到Ｅ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｆ， 延长ＣＢ到Ｇ，过点Ｇ作ＧＨ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｈ， 且ＥＦ＝ＧＨ． （１）试说明：△ＡＥＦ≌△ＢＧＨ； （２）如图１６－②，连接ＥＧ与ＦＨ相交于点Ｄ，若ＡＢ ＝４，求ＤＨ的长                                                                                                                                                                 ． !" !" ! ! !" ! #$%"& '()*+, !-. !" #$ %& ! /01234"#$#%&"#%5 "#$%&'()*+, '%(")($*"$+, "#-.&'()*+, -%(")($*""$( ! ! !"#$ 6789:;<=>?@ # - %&'( ! 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