第1期 1.1 全等三角形 1.2 怎样判定三角形全等(SAS,ASA)（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（青岛版）

书 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 一、全等三角形的性质“独奏” 例１　（２０２３昌江一模）如图１， 已知 △ＣＡＤ≌ △ＣＢＥ．若 ∠Ａ＝ ２０°，∠Ｃ＝６０°，则∠ＣＥＢ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．８０° Ｂ．９０° Ｃ．１００° Ｄ．１１０° 解：因为∠Ａ＝２０°，∠Ｃ＝６０°，所以∠ＣＤＡ＝１８０° －∠Ａ－∠Ｃ＝１００°．因为△ＣＡＤ≌△ＣＢＥ，所以∠ＣＥＢ ＝∠ＣＤＡ＝１００°． 故选Ｃ． 二、全等三角形的判定“独奏” 例２　（２０２３化州一模） 如图２，在四边形 ＡＢＣＤ中， ＡＢ∥ ＣＤ，ＢＥ⊥ ＡＣ，ＤＦ⊥ ＡＣ，垂足分别为点 Ｅ，Ｆ，且 ＡＥ＝ＣＦ．试说明：△ＡＥＢ≌ △ＣＦＤ． 解：因为ＢＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，所以∠ＢＥＡ＝∠ＤＦＣ ＝９０°．因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ．在△ＡＥＢ 与△ＣＦＤ中，因为∠ＢＥＡ＝∠ＤＦＣ，ＡＥ＝ＣＦ，∠ＢＡＥ＝ ∠ＤＣＦ，由ＡＳＡ，所以△ＡＥＢ≌△ＣＦＤ． 三、全等三角形的性质与判定“合奏” 例３　（２０２３韶关曲江区一模）如图 ３，ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ＝２５°，∠Ｄ ＝８０°，则∠ＢＣＡ的度数为 （　　） Ａ．２５° Ｂ．５０° Ｃ．６５° Ｄ．７５° 解：在△ＡＢＣ与△ＡＤＣ中，因为ＡＢ＝ ＡＤ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ，ＡＣ＝ＡＣ，由 ＳＡＳ，所以 △ＡＢＣ≌ △ＡＤＣ．所以∠Ｂ＝∠Ｄ＝８０°．所以 ∠ＢＣＡ＝１８０°－ ∠ＢＡＣ－∠Ｂ＝７５°． 故选Ｄ． 例４　如图４，在 △ＡＢＣ中，已 知∠Ｂ＝４０°，∠Ａ＝∠Ｃ，ＡＥ＝ＣＦ， ∠ＡＥＦ＝∠ＣＦＤ，求∠ＥＦＤ的度数． 解：在△ＡＥＦ与△ＣＦＤ中，因为 ∠Ａ ＝ ∠Ｃ，ＡＥ ＝ ＣＦ，∠ＡＥＦ ＝ ∠ＣＦＤ，由 ＡＳＡ，所以 △ＡＥＦ≌ △ＣＦＤ．所以∠ＡＦＥ＝∠ＣＤＦ．因为∠Ｂ＝４０°，所以∠Ａ ＝∠Ｃ＝１２（１８０°－∠Ｂ）＝７０°．所以∠ＥＦＤ＝１８０°－ ∠ＡＦＥ－∠ＣＦＤ＝１８０°－∠ＣＤＦ－∠ＣＦＤ＝∠Ｃ＝７０°． 书 学习全等三角形时，我们用全等符号“≌”来表示 全等．但实际上，全等与“≌”的意义是不相同的．当我 们说△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ时，表明ＡＢ的对应边是ＤＥ，ＡＣ的 对应边是 ＤＦ，ＢＣ的对应边是 ＥＦ；∠ＡＢＣ的对应角是 ∠ＤＥＦ，∠ＡＣＢ的对应角是 ∠ＤＦＥ，∠ＢＡＣ的对应角是 ∠ＥＤＦ．但当我们说△ＡＢＣ与△ＤＥＦ全等时，却不能确 定两个三角形中的对应角与对应边，需要根据问题的具 体条件进行判断． 一、图形特征法 １．有公共边的，公共边一定是对应边． 如图１，△ＡＤＢ和△ＤＡＣ全等，则ＡＤ和ＤＡ一定是两 个三角形的对应边． ２．有公共角的，公共角一定是对应角． 如图２，△ＡＢＤ和△ＡＣＥ全等，则 ∠ＤＡＢ和 ∠ＥＡＣ 是对应角． ３．有对顶角的，对顶角一定是对应角． 如图３，△ＡＢＥ和△ＣＤＥ全等，则∠１和∠２是对应 角． ４．对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对 应角． ５．两个全等三角形的最大边（角）是对应边（角）， 最小边（角）是对应边（角）． 二、分离图形法 从复杂的图形中，找出全等三角形的对应部分比较 困难，这时可把要说明全等的两个三角形从复杂图形中 分离出来，用不同颜色标出或另画，图形简单明了，便可 找出对应元素． 例　如图４，△ＡＣＤ和△ＢＣＥ 都是等边三角形，若 △ＡＣＥ和 △ＤＣＢ全等，且ＢＤ＝８ｃｍ，∠ＤＢＣ ＝２５°，∠ＡＣＥ＝１１５°． （１）求ＡＥ的长； （２）求∠ＤＣＢ与∠ＢＤＣ的度数． 解析：将图４分解为如图５所示的图形，则容易找出 △ＡＣＥ和△ＤＣＢ的对应边和对应角： ＡＣ和ＤＣ，ＥＣ和ＢＣ，ＥＡ和ＢＤ分别是对应边； ∠ＡＥＣ 和 ∠ＤＢＣ，∠ＥＡＣ 和 ∠ＢＤＣ，∠ＡＣＥ 和 ∠ＤＣＢ分别是对应角．所以 （１）ＡＥ＝ＢＤ＝８ｃｍ． （２）∠ＤＣＢ ＝∠ＡＣＥ ＝１１５°，∠ＢＤＣ ＝１８０°－ ∠ＤＢＣ－∠ＤＣＢ＝４０°． 书 全等三角形是初中数 学的重要内容，它存在于 众多的情境中，下面举例 加以说明，供同学们赏析． 一、网格中的全等三 角形 例 １　 如图 １是由 ４个相同的小正方形组成 的网格图，则∠１＋∠２＝ （　　） Ａ．１５０° Ｂ．１８０° Ｃ．２１０° Ｄ．２２５° 解：在△ＡＢＣ与△ＥＤＣ中， 因为ＡＢ＝ＥＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，ＢＣ＝ＤＣ， 由ＳＡＳ，所以△ＡＢＣ≌△ＥＤＣ． 所以∠ＢＡＣ＝∠１． 所以∠１＋∠２＝１８０°． 故选Ｂ． 二、平面直角坐标系中的全等三角形 例２　在平面直角坐标系中，点 Ａ（－３，０），Ｂ（２， ０），Ｃ（－１，２），Ｅ（４，２）．如果△ＡＢＣ与△ＥＦＢ全等，那 么点Ｆ的坐标可以是 （　　） Ａ．（６，０）　　　　　　　　　Ｂ．（４，０） Ｃ．（４，－２） Ｄ．（４，－３） 解：Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３，Ｆ４的坐标 分别为（６，０），（４，０），（４， －２），（４，－３），过点Ｃ作ＣＤ ⊥ＡＢ于点Ｄ，如图２． 根据题意，得ＡＢ＝５． 在 △ＥＦ１Ｂ中，最长边 ＢＦ１ ＝４； 在△ＥＦ２Ｂ中，最长边ＢＥ＜４； 在△ＥＦ３Ｂ中，最长边ＥＦ３ ＝４． 所以 △ＥＦ１Ｂ，△ＥＦ２Ｂ，△ＥＦ３Ｂ都不与 △ＡＢＣ全 等． 在△ＢＣＤ与△Ｆ４ＢＦ２中， 因为ＣＤ＝ＢＦ２，∠ＢＤＣ＝∠Ｆ４Ｆ２Ｂ，ＢＤ＝Ｆ４Ｆ２， 由ＳＡＳ，所以△ＢＣＤ≌△Ｆ４ＢＦ２． 所以∠ＣＢＤ＝∠ＢＦ４Ｆ２，ＢＣ＝Ｆ４Ｂ． 在△ＡＢＣ与△ＥＦ４Ｂ中， 因为ＡＢ＝ＥＦ４，∠ＣＢＡ＝∠ＢＦ４Ｅ，ＢＣ＝Ｆ４Ｂ， 由ＳＡＳ，所以△ＡＢＣ≌△ＥＦ４Ｂ． 故选Ｄ． 热身练习 如图３，在 △ＡＯＢ和 △ＣＯＤ中，ＯＡ＝ＯＢ，ＯＣ＝ ＯＤ，ＯＡ＜ＯＣ，∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，连接ＡＣ，ＢＤ交于点Ｍ， 连接ＯＭ，过点Ｏ作ＯＥ⊥ＡＣ，ＯＦ⊥ＢＤ．甲、乙、丙三人 的说法如下： 甲：ＡＣ＝ＢＤ； 乙：∠ＣＭＤ＞∠ＣＯＤ； 丙：ＯＥ＝ＯＦ． 下列判断正确的是 （　　） Ａ．乙错，丙对 Ｂ．甲和乙都对 Ｃ．甲对，丙错 Ｄ．甲错，丙对 答案：Ａ． 书 在求解有关全等三角形的动点问题时，要研究基本 图形及动点的运动状态，进而确定时间范围，借助方程 求解．解题过程中要注意有时需要分类讨论． 一、单向运动 例１　如图１，在△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ ＝６， ＢＣ＝８，点Ｃ在直线ｌ上．点 Ｐ从点Ａ出发，在三角形边上 沿Ａ→Ｃ→Ｂ的路线向终点 Ｂ运动；点Ｑ从Ｂ点出发，在 三角形边上沿Ｂ→Ｃ→Ａ的路线向终点Ａ运动，点Ｐ和 Ｑ分别以１单位 ／秒和２单位 ／秒的速度同时开始运动． 在运动过程中，若有一点到达终点，另一个点也随之停 止运动．分别过点Ｐ和Ｑ作ＰＥ⊥直线ｌ于点Ｅ，ＱＦ⊥直 线ｌ于点Ｆ，当△ＰＥＣ与△ＣＦＱ全等时，点Ｐ的运动时间 为 秒． 解：设点Ｐ的运动时间为ｔ秒．因为△ＰＥＣ与△ＣＦＱ 全等，所以ＣＰ＝ＣＱ．分三种情况： ①当０＜ｔ≤４时，点Ｐ在ＡＣ上，点Ｑ在ＢＣ上，因 为ＣＰ＝ＣＱ，所以６－ｔ＝８－２ｔ，解得ｔ＝２； ②当４＜ｔ≤６时，点Ｐ，Ｑ都在ＡＣ上，因为ＣＰ＝ ＣＱ，所以６－ｔ＝２ｔ－８，解得ｔ＝１４３； ③当６＜ｔ≤７时，点Ｐ在ＢＣ上，点Ｑ在ＡＣ上，因 为ＣＰ＝ＣＱ，所以ｔ－６＝２ｔ－８，解得ｔ＝２，不符合题意， 舍去． 故填２或１４３． 例２　如图２，ＡＢ＝４ｃｍ，ＡＣ＝ＢＤ＝３ｃｍ，∠Ａ＝ ∠Ｂ，点Ｐ在线段ＡＢ上以１ｃｍ／ｓ的速度由点Ａ向点Ｂ运 动，同时，点Ｑ在线段ＢＤ上由点Ｂ向点Ｄ运动．设运动 时间为ｔｓ，当点 Ｑ的运动速度为 ｃｍ／ｓ 时，△ＡＣＰ 与 △ＢＰＱ全等． 解：设点 Ｑ的运动速度是 ｘｃｍ／ｓ．因为 ∠Ａ＝∠Ｂ，所以 △ＡＣＰ与 △ＢＰＱ全等有两种情 况： ①ＡＰ＝ＢＰ，ＡＣ＝ＢＱ＝３，则ｔ＝１２×４÷１＝２． 所以ｘ＝３÷２＝１．５； ②ＡＰ＝ＢＱ，ＡＣ＝ＢＰ＝３，则ｔ＝（４－３）÷１＝１． 所以ｘ＝１÷１＝１． 故填１．５或１． 二、往返运动 例３　如图３，在△ＡＢＣ中， ＢＣ ＝８ｃｍ，ＡＧ∥ ＢＣ，ＡＧ ＝ ８ｃｍ，点Ｆ从点 Ｂ出发，沿线段 ＢＣ以４ｃｍ／ｓ的速度连续做往返 运动，点Ｅ从点Ａ出发沿线段ＡＧ 以２ｃｍ／ｓ的速度运动至点Ｇ，Ｅ，Ｆ两点同时出发，当点Ｅ 到达点Ｇ时，Ｅ，Ｆ两点同时停止运动，ＥＦ与 ＡＣ交于点 Ｄ．设点 Ｅ的运动时间为 ｔｓ，当 ｔ的值为 时， △ＡＤＥ≌△ＣＤＦ． 解：点Ｅ到达点Ｇ所用的时间是：８÷２＝４（ｓ）．点Ｆ 到达点Ｃ所用的时间是：８÷４＝２（ｓ）．因为 △ＡＤＥ≌ △ＣＤＦ，所以ＡＥ＝ＣＦ． ①当点Ｆ从点Ｂ运动至点Ｃ时，０＜ｔ≤２，８－４ｔ＝ ２ｔ，解得ｔ＝ ４３； ②当点Ｆ从点Ｃ返回至点Ｂ时，２＜ｔ≤４，４ｔ－８＝ ２ｔ，解得ｔ＝４． 故填 ４ ３或４． 书 全等三角形中有两个基本图形，一个可用来证明线 段相等，另一个可用来证明角相等．它们在全等三角形 的证明中应用非常广泛，下面举例说明． 性质：如图１，等长线段加上（或减去）同一线段后 仍相等． 一般推理步骤为：因为ＡＢ＝ＣＤ（已知），所以ＡＢ＋ ＢＤ＝ＣＤ＋ＢＤ，即ＡＤ＝ＣＢ；或因为ＡＤ＝ＣＢ（已知），所 以ＡＤ－ＢＤ＝ＣＢ－ＢＤ，即ＡＢ＝ＣＤ． 例１　（２０２３西安一模）如图２， ＡＤ，ＢＣ相交于点Ｏ，且ＯＢ＝ＯＣ，ＯＡ ＝ＯＤ，延长ＡＤ到点Ｆ，延长ＤＡ到点 Ｅ，ＡＥ＝ＤＦ，连接 ＣＦ，ＢＥ．试说明： ＢＥ∥ＣＦ． 解：因为ＯＡ＝ＯＤ，ＡＥ＝ＤＦ，所 以ＯＡ＋ＡＥ＝ＯＤ＋ＤＦ，即ＯＥ＝ＯＦ．在△ＯＢＥ与△ＯＣＦ 中，因为ＯＥ＝ＯＦ，∠ＥＯＢ＝∠ＦＯＣ，ＯＢ＝ＯＣ，由ＳＡＳ， 所以△ＯＢＥ≌△ＯＣＦ．所以∠Ｅ＝∠Ｆ．所以ＢＥ∥ＣＦ． 性质：如图３，等角加上（或减 去）同一角后仍相等． 一般推理步骤为：因为 ∠ＡＯＣ ＝∠ＢＯＤ（已知），所以 ∠ＡＯＣ＋ ∠ＣＯＤ ＝∠ＢＯＤ ＋∠ＣＯＤ，即 ∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ；或因为∠ＡＯＤ＝ ∠ＢＯＣ（已知），所以 ∠ＡＯＤ －∠ＣＯＤ ＝∠ＢＯＣ－ ∠ＣＯＤ，即∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ． 例２　（２０２３凤庆一模）如 图４，已知 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ， ∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ．试说明：∠Ｂ＝ ∠Ｄ． 解：因为 ∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ， 所以∠ＢＯＤ－∠ＡＯＤ＝∠ＡＯＣ－ ∠ＡＯＤ，即∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ．在△ＡＯＢ与△ＣＯＤ中，因 为ＯＡ＝ＯＣ，∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，ＯＢ＝ＯＤ，由 ＳＡＳ，所以 △ＡＯＢ≌△ＣＯＤ．所以∠Ｂ＝∠Ｄ． ! ! ! 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