第9期 13.1 命题、定理与证明;13.2 三角形全等的判定(1)（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（华东师大版）

书 全等三角形是研究图形的重要工具，是后续研究全 等多边形的基础，而且它也为许多问题的解决提供了方 法与手段．下面就让我们一起走进全等的世界吧！ 一、正确理解全等三角形的含义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 如△ＡＢＣ和△ＤＥＦ全等，即△ＡＢＣ与△ＤＥＦ是能 够完全重合的两个三角形．互相重合的顶点、边、角分别 叫做对应顶点、对应边、对应角，我们也把它们称为全等 三角形的对应元素． 点Ａ与点Ｄ，点Ｂ与点Ｅ，点Ｃ与点Ｆ对应时，△ＡＢＣ 与△ＤＥＦ全等可记为△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ．符号“≌”直观 地反映了全等的两层含义：“∽”表示图形形状相同， “＝”表示图形大小相等． 二、准确辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素，最简单也是最有效的 方法是：先找全等三角形的对应顶点，再确定对应边和 对应角． 例　 如图１，△ＡＥＣ≌ △ＡＤＢ， 点Ｅ和点Ｄ是对应顶点，写出它们的 对应边和对应角． 分析：根据图形找到对应顶点即 可得解． 解：因为 △ＡＥＣ≌ △ＡＤＢ，点 Ｅ 和点Ｄ是对应顶点，所以点Ａ和点Ａ对应，点Ｃ和点Ｂ对 应． 所以ＡＥ和ＡＤ是对应边，ＡＣ和ＡＢ是对应边，ＥＣ和 ＤＢ是对应边； ∠Ａ和∠Ａ是对应角，∠ＡＥＣ和 ∠ＡＤＢ是对应角， ∠Ｃ和∠Ｂ是对应角． 三、熟练掌握全等三角形的基本图形 全等三角形的基本图形大致有如下几种： （１）平移型； （２）对称型（也称翻折型）； （３）旋转型． 如图 ２，是将 △ＡＢＣ沿直线 ＢＣ向右平移得到 △ＤＥＦ；如图３，是将△ＡＢＣ沿 ＢＣ翻折得到 △ＤＢＣ；如 图４，是将△ＡＢＣ绕点Ａ旋转１８０°得到△ＡＥＤ． 从图２，图３，图４中，我们分别可以得到 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ，△ＡＢＣ≌△ＤＢＣ，△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ． 对于比较复杂的图形，往往也可由这几种类型转换 得到，因此只要熟练掌握全等三角形的这几种基本图 形，并能正确地将复杂图形分解为这几种基本图形，那 么两个全等三角形的对应元素就不难找到了． 书 ７期２版 １２．５因式分解 １２．５．１因式分解的概念与提公因式法 基础训练　１．Ｃ；　２．３ｘ２ｙ２；　３．－３１； ４．（ｍ－ｙ）（ｍ＋ｘ）． ５．（１）ｍ（ｍ－３）；　（２）３ａｂ（３ｃ－２ａｂ＋４ｃ２）； （３）（ａ－３）（ａ－１）；　（４）５（ｘ２＋ｙ２）． ６．Ｍ＝（ｂ－２ａ）２－４ａ（ｂ－２ａ）＝（ｂ－２ａ）（ｂ－６ａ）． 能力提高　７．５． １２．５．２．１公式法［平方差公式］ 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３Ａ； ４．（ａ＋４ｂ）（ａ－２ｂ）；　５．６． ６．（１）２ａ（ｘ＋ｙ２）（ｘ－ｙ２）；　（２）（ｍ＋３）（ｍ－３）； （３）（ａ＋１）３（ａ－１）． ７．（１）Ｍ ＝３ｘ２－４ｘ－２０－３ｘ（ｘ－３）＝５ｘ－２０； Ｐ＝３ｘ２－４ｘ－２０＋（ｘ＋２）２ ＝３ｘ２－４ｘ－２０＋ｘ２ ＋４ｘ＋４＝４ｘ２－１６． （２）Ｐ＝４（ｘ２－４）＝４（ｘ＋２）（ｘ－２）． （３）－１６． １２．５．２．２公式法［两数和（差）的平方公式］ 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．２９（ｘ－１）２； ４．｜４ａ＋２｜． ５．（１）ｙ（２ｘ－ｙ）２；　（２）（ｍ＋ｎ－２）２； （３）－４（ｘ＋３）２；　（４）（３ｘ＋２ｙ）２（３ｘ－２ｙ）２． ６．ａ２＋４ａ＋４一定能被９整除．理由如下： 设ａ除以３余１的商为ｂ，则ａ＝３ｂ＋１．所以ａ２＋４ａ ＋４＝（ａ＋２）２＝（３ｂ＋３）２＝［３（ｂ＋１）］２＝９（ｂ＋１）２． 所以ａ２＋４ａ＋４一定能被９整除． 能力提高　７．１２． ７期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ 二、９．（ｘ２＋２）２；　１０．５；　１１．６；　１２．７． 三、１３．（１）２（ｘ－ｙ）（ａ－３ｂ）；　（２）－２ａ（ａ－３）２； （３）（ｍ＋５）（ｍ－２）（ｍ＋１）（ｍ＋２）． １４．（１）原式 ＝ａｂ（ａ＋ｂ）２． 当ａ＋ｂ＝ １２，ａｂ＝－ ３ ８时，原式 ＝－ ３ ３２． （２）原式 ＝ｘｙ（２ｘ＋３ｙ）（２ｘ－３ｙ）． 当ｘ＝－１，ｙ＝２时，原式 ＝６４． １５．因为ａ３＋ａ２＋ａ＋１＝０，所以１＋ａ＋ａ２＋ａ３＋ … ＋ａ２０１２＝１＋ａ（１＋ａ＋ａ２＋ａ３）＋ａ５（１＋ａ＋ａ２＋ａ３） ＋… ＋ａ２００９（１＋ａ＋ａ２＋ａ３）＝１． １６．（１）（ｍ＋１）（ｍ－５）； （２）ａ２＋ｂ２－４ａ＋６ｂ＋１８＝（ａ－２）２＋（ｂ＋３）２＋ ５．当ａ－２＝０，ｂ＋３＝０，即ａ＝２，ｂ＝－３时，多项式ａ２ ＋ｂ２－４ａ＋６ｂ＋１８有最小值，最小值为５． （３）ａ２－２ａｂ＋２ｂ２－２ａ－４ｂ＋２７＝ａ２－２ａ（ｂ＋１） ＋（ｂ＋１）２＋（ｂ－３）２＋１７＝（ａ－ｂ－１）２＋（ｂ－３）２ ＋１７．当ａ－ｂ－１＝０，ｂ－３＝０，即ａ＝４，ｂ＝３时，多 项式ａ２－２ａｂ＋２ｂ２－２ａ－４ｂ＋２７有最小值，最小值为 １７． 附加题　１．因为ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ＝４，所以（ｍ＋ｎ）（ｐ ＋ｑ）＝ｍｐ＋ｍｑ＋ｎｐ＋ｎｑ＝１６．因为ｍｐ＋ｎｑ＝４，所以 ｍｑ＋ｎｐ＝１２．所以（ｍ２＋ｎ２）ｐｑ＋ｍｎ（ｐ２＋ｑ２）＝ｍ２ｐｑ＋ ｎ２ｐｑ＋ｍｎｐ２＋ｍｎｑ２ ＝ｍｐ·ｍｑ＋ｎｐ·ｎｑ＋ｍｐ·ｎｐ＋ｍｑ ·ｎｑ＝（ｍｐ＋ｎｑ）（ｍｑ＋ｎｐ）＝４×１２＝４８． ２．（１）ｘ２－ｙ２＋ｘ－ｙ＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＋（ｘ－ｙ）＝ （ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ＋１）． （２）１４（ｍ－ｎ） ２＝（ｐ－ｎ）（ｍ－ｐ）等式两边展开、 移项，得 １ ４ｍ ２－１２ｍｎ＋ １ ４ｎ ２＋ｍｎ－ｐｍ－ｐｎ＋ｐ２ ＝０． 整理，得（ １ ４ｍ ２＋１２ｍｎ＋ １ ４ｎ ２）－ｐ（ｍ＋ｎ）＋ｐ２＝０，即 ［ １ ２（ｍ＋ｎ）－ｐ］ ２ ＝０．所以１２（ｍ＋ｎ）－ｐ＝０．所以２ｐ ＝ｍ＋ｎ． 书 在求解有关全等三角形的动点问题时，要研究基本 图形及动点的运动状态，进而确定时间范围，借助方程 求解．解题过程中要注意有时需要分类讨论． 一、单向运动 例１　如图１，在正 △ＡＢＣ 中，ＡＢ＝８，Ｄ为边 ＢＣ上一点， 且ＢＤ＝６．动点Ｐ从点Ｃ出发沿 ＣＡ边以每秒２个单位的速度向 点Ａ运动，连结 ＡＤ，ＢＰ，设点 Ｐ 运动的时间为 ｔ秒．当 ｔ的值为 时，△ＡＢＤ和△ＢＡＰ全等． 解：因为△ＡＢＣ是正三角形，ＡＢ＝８，所以ＡＣ＝８， ∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＰ． 因为△ＡＢＤ和△ＢＡＰ全等，所以ＢＤ＝ＡＰ＝６． 所以ＣＰ＝ＡＣ－ＡＰ＝２． 所以ｔ＝２÷２＝１． 故填１． 例２　如图２，ＡＢ＝４ｃｍ， ＡＣ＝ＢＤ＝３ｃｍ，∠Ａ＝∠Ｂ，点 Ｐ在线段ＡＢ上以１ｃｍ／ｓ的速度 由点Ａ向点 Ｂ运动，同时，点 Ｑ 在线段 ＢＤ上由点 Ｂ向点 Ｄ运 动．设运动时间为ｔｓ，当点Ｑ的 运动速度为 ｃｍ／ｓ时，△ＡＣＰ与△ＢＰＱ全等． 解：设点Ｑ的运动速度是ｘｃｍ／ｓ． 因为∠Ａ＝∠Ｂ，所以△ＡＣＰ与△ＢＰＱ全等有两种 情况： ①ＡＰ＝ＢＰ，ＡＣ＝ＢＱ＝３ｃｍ，则ｔ＝１２×４÷１＝ ２，所以ｘ＝３÷２＝１．５； ②ＡＰ＝ＢＱ，ＡＣ＝ＢＰ＝３ｃｍ，则ｔ＝（４－３）÷１＝ １，所以ｘ＝１÷１＝１． 故填１．５或１． 二、往返运动 例３　如图３，在△ＡＢＣ中， ＢＣ ＝８ｃｍ，ＡＧ∥ ＢＣ，ＡＧ ＝ ８ｃｍ，点Ｆ从点Ｂ出发，沿线段 ＢＣ以４ｃｍ／ｓ的速度连续做往返 运动，点Ｅ从点Ａ出发沿线段ＡＧ 以２ｃｍ／ｓ的速度运动至点Ｇ，Ｅ，Ｆ两点同时出发，当点Ｅ 到达点Ｇ时，Ｅ，Ｆ两点同时停止运动，ＥＦ与 ＡＣ交于点 Ｄ，设点Ｅ的运动时间为 ｔ秒，当 ｔ的值为 时， △ＡＤＥ≌△ＣＤＦ． 解：点Ａ到达点Ｇ所用的时间是：８÷２＝４（ｓ）． 点Ｆ到达点Ｃ所用的时间是：８÷４＝２（ｓ）． 因为△ＡＤＥ≌△ＣＤＦ，所以ＡＥ＝ＣＦ． ①当点Ｆ从点Ｂ运动至点Ｃ时，０＜ｔ≤２，８－４ｔ＝ ２ｔ，解得ｔ＝ ４３； ②当点Ｆ从点Ｃ返回至点Ｂ时，２＜ｔ≤４，４ｔ－８＝ ２ｔ，解得ｔ＝４． 故填 ４ ３或４． 书 全等三角形中有两个基本图形，一个可用来证明线 段相等，另一个可用来证明角相等．它们在全等三角形 的证明中应用非常广泛，下面举例说明． 性质：如图１，等长线段加上（或减去）同一线段后 仍相等． 一般推理步骤为：因为ＡＢ＝ＣＤ（已知），所以ＡＢ＋ ＢＤ＝ＣＤ＋ＢＤ，即ＡＤ＝ＣＢ；或因为ＡＤ＝ＣＢ（已知）， 所以ＡＤ－ＢＤ＝ＣＢ－ＢＤ，即ＡＢ＝ＣＤ． 例１　如图２，点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 在一条直线上，ＥＡ∥ ＦＢ，ＥＡ＝ ＦＢ，ＡＢ＝ＣＤ． （１）求证：∠Ｅ＝∠Ｆ； （２）若 ∠Ａ＝４０°，∠Ｄ＝ ８０°，求∠Ｅ的度数． 解：（１）证明：因为ＥＡ∥ＦＢ，所以∠Ａ＝∠ＦＢＤ．因 为ＡＢ＝ＣＤ，所以ＡＢ＋ＢＣ＝ＣＤ＋ＢＣ，即ＡＣ＝ＢＤ．在 △ＥＡＣ和△ＦＢＤ中，因为ＥＡ＝ＦＢ，∠Ａ＝∠ＦＢＤ，ＡＣ＝ ＢＤ，所以△ＥＡＣ≌△ＦＢＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以∠Ｅ＝∠Ｆ． （２）由（１）知△ＥＡＣ≌△ＦＢＤ．所以∠ＥＣＡ＝∠Ｄ ＝８０°．因为∠Ａ＝４０°，所以∠Ｅ＝１８０°－∠Ａ－∠ＥＣＡ ＝６０°． 性质：如图３，等角加上（或减 去）同一角后仍相等． 一般推理步骤为：因为∠ＡＯＣ ＝∠ＢＯＤ（已知），所以 ∠ＡＯＣ＋ ∠ＣＯＤ ＝∠ＢＯＤ ＋∠ＣＯＤ，即 ∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ；或因为 ∠ＡＯＤ ＝∠ＢＯＣ（已知），所以 ∠ＡＯＤ－∠ＣＯＤ＝∠ＢＯＣ－ ∠ＣＯＤ，即∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ． 例２　如图４，已知ＯＡ＝ ＯＣ，ＯＢ ＝ ＯＤ，∠ＡＯＣ ＝ ∠ＢＯＤ． 求 证：△ＡＯＢ ≌ △ＣＯＤ． 证明：因为 ∠ＡＯＣ ＝ ∠ＢＯＤ，所以∠ＡＯＣ－∠ＡＯＤ ＝∠ＢＯＤ－∠ＡＯＤ，即 ∠ＣＯＤ＝∠ＡＯＢ．在 △ＡＯＢ和 △ＣＯＤ中，因为ＯＡ＝ＯＣ，∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，ＯＢ＝ＯＤ， 所以△ＡＯＢ≌△ＣＯＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " # $ ! ! " # $ " ! %& '() !" # $ ! ! # " ! $ % ! # ! " & $ # ! ! # & $ ' " ! ! " ! ( # " )* $ ! # # $ " ! % ! $ "!#$ (* ! " " *+ ,-. 书 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， 简记为Ｓ．Ａ．Ｓ．（或边角边）． 一、全等三角形的性质“独奏” 例 １　 如图 １，△ＡＢＣ≌ △ＤＥＣ，点 Ａ和点 Ｄ是对应顶 点，点Ｂ和点 Ｅ是对应顶点，过 点Ａ作ＡＦ⊥ＣＤ，垂足为点Ｆ，若 ∠ＢＣＥ＝６５°，则∠ＣＡＦ的度数为 （　　） Ａ．３０°　　　　　　　　　Ｂ．２５° Ｃ．３５° Ｄ．６５° 解：因为△ＡＢＣ≌ △ＤＥＣ，所以 ∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ． 所以∠ＡＣＢ－∠ＡＣＥ＝∠ＤＣＥ－∠ＡＣＥ，即∠ＢＣＥ＝ ∠ＡＣＤ＝６５°．因为ＡＦ⊥ＣＤ，所以∠ＡＦＣ＝９０°．所以 ∠ＣＡＦ＝９０°－∠ＡＣＦ＝２５°． 故选Ｂ． 二、全等三角形的判定“独奏” 例２　如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＞ＡＣ，点Ｄ在边ＡＢ 上，且ＢＤ＝ＣＡ，过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ， 并截取ＤＥ＝ＡＢ，且点Ｃ，Ｅ在ＡＢ同 侧，连结ＢＥ．求证：△ＤＥＢ≌△ＡＢＣ． 证明：因为 ＤＥ∥ ＡＣ，所以 ∠ＥＤＢ＝∠ＢＡＣ．在△ＤＥＢ和△ＡＢＣ 中，因为 ＤＥ＝ＡＢ，∠ＥＤＢ＝∠ＢＡＣ，ＢＤ＝ＣＡ，所以 △ＤＥＢ≌△ＡＢＣ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 三、全等三角形的性质与判定“合奏” 例３　如图３，是由４个相同的小正 方形组成的网格图，则∠１＋∠２＝ （　　） Ａ．１５０° Ｂ．１８０° Ｃ．２１０° Ｄ．２２５° 解：在△ＡＢＣ和△ＥＤＣ中，因为 ＡＢ＝ＥＤ，∠Ｂ＝ ∠Ｄ，ＢＣ＝ＤＣ，所以 △ＡＢＣ≌ △ＥＤＣ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以 ∠ＢＡＣ＝∠１．所以∠１＋∠２＝１８０°． 故选Ｂ． 书 上期检测卷 一、１．Ｄ；　２．Ｂ； ３．Ｃ；　４．Ａ；　５．Ｃ； ６．Ｄ；　７．Ｂ；　８．Ｃ； ９．Ｄ；　１０．Ａ； １１．Ａ；　１２．Ｄ． 二、１３．－ｘ； １４．４００１４； １５．６； １６．２１． 三、１７． （１）（ｘ － ３）（ｘ＋２）； （２）（３ａ － １ ＋ ２ｂ）（３ａ－１－２ｂ）． １８．（１）－ｙ７； （２）－４ｘ＋２ｙ． １９．根据题意，得原 多项式为：（８ａ４ｂ－４ａ３ ＋２ａ２）÷１２ａ＝１６ａ ３ｂ－ ８ａ２＋４ａ．所以正确的结 果是：（１６ａ３ｂ－８ａ２ ＋ ４ａ）÷ １２ａ＝３２ａ ２ｂ－ １６ａ＋８． ２０．因为（ｘ＋ｙ）２ ＝５，（ｘ－ｙ）２ ＝４１，所 以（ｘ＋ｙ）２＋（ｘ－ｙ）２ ＝ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２＋ｘ２－ ２ｘｙ＋ｙ２＝２（ｘ２＋ｙ２）＝ ４６，（ｘ＋ｙ）２－（ｘ－ｙ）２ ＝ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２－ｘ２＋ ２ｘｙ－ｙ２ ＝４ｘｙ＝－３６． 所以 ｘ２ ＋ｙ２ ＝２３，ｘｙ ＝－９．所以ｘ３ｙ＋ｘｙ３＝ ｘｙ（ｘ２＋ｙ２）＝－９×２３ ＝－２０７． （下转２，３版中缝） !"# "%"$$&%"&& !"#$ !"#$%&'() ' " ! (' !!"!) % ! *+,- /0123456789:; ! < !"#$%&'" ()*+,-'. 书 命题是表示判断的语 句，命题叙述的长短与否， 与条件和结论两部分有关． 那么，如何确定命题的条件 和结论呢？ 一、以“如果 ……，那 么……”的形式叙述的命 题，“如果”引出的部分是 条件，“那么”引出的部分 是结论． 例１　命题“如果两个 角的和是１８０°，那么称这两 个角互为补角”的条件是 ，结论是 ． 解：条件是：两个角的 和是１８０°；结论是：这两个 角互为补角． 评注：以“如果 ……，那么 ……”一般形式叙述的 命题的条件和结论比较明显，但值得注意的是，不要把 “如果”“那么”写入命题的条件和结论，而是写它们后 面的部分． 二、命题的叙述中间有逗号时，一般地，逗号前是条 件，逗号后是结论． 例２　命题“两直线平行，同旁内角互补”的条件是 ，结论是 ． 解：条件是：两直线平行；结论是：同旁内角互补． 评注：这种命题的叙述格式简洁明了，条件和结论 一目了然． 三、命题的叙述非常简单时，一般将其扩写成“如果 ……，那么……”的形式． 例３　命题“同角的补角相等”的条件是 ， 结论是 ． 解：将命题扩写成“如果 ……，那么 ……”的形式 为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 条件是：两个角是同一个角的补角；结论是：这两个 角相等． 评注：对于这样的命题不能机械地认为条件是“同角 的补角”，结论是“相等”．一般是将这类命题扩写成“如果 ……，那么……”的形式后，再确定它的条件和结论． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! # * " ! $ ! " ! => ?@@ " ( ! * $ # ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " AB CDE ! " * # $ ! " ! # " F > G H I !#'!JKLMNOP( 2QRST!"#$%&'()*+,-. #$(/0123' UVWXT,456#$78#$9:; <=>?@AB' !#'"YZ$[\]^M_[\YZ$`(')'('a 2QRST!' !"CDEFG@HI7J K+LMNN&OPQR' "' LST<=EFGCD@4&ABUV FVW(')'('X' UVWXT,YVFVW(')'('X4 &EFGCD9,"Z[\ ]V%]F@^$' ! " $ * # ! ! ! ! $ # $ *" ! # " ! $ # ! " # ! $ * ( " * +, bIc - * +, dGe - ( . /, fgc - * +, h i - * +, j k ./012, f l 34015, fmn .6718, o p .679:, qrs Gtu ' v wxy z { |}( d~ z€m  r ‚ƒy „…I '†‡ ˆ†‰ dIŠ ‹k0 Œv Ž ( ‘ G’“ ;5./, G ” ;5<=,  • >?./, d–— @A./, d˜˜ BCDE, ™š› =>6œ72ž =>67Ÿ ¡¢£¤¥¦ =>67§¨©ª«¬­®¯ 1N°±²³´µ ±¶TbIc ·¸¹º»¼´µ½¾T*+!$,%-%-._/a ¿ÀÁ¾T"!,"%0 #"°AÂAµ #ÈY´µ #²³ÆÇÈT%#1!,1"-!"10 #"°ÉÊT=>ËÌÍÎxÏÐÑÒÓ !#"¾1N°±/012²³Æ #¿Ô²ÕT%#%%%0 #ÎÖÆ×°ØÙT%#1!!1"-!!"1 %#1!!1"-!"#-_£Úa #×ÛTÜO"°ÎÖÆÊÝÞ[·ßà¿á_âa #¿Ô×ÛØÙT!!!&1 #ãäåæ×Lç×èé× #"°ê[·ßË_Îa:Ÿëìí° #î頻ðãP¾T!$%%%%$%%%!!% #îïÆÇÈT%#1!!1"-!"11 #"°ñ*ò5ó£¤ôõ«¬­®_ö&Î÷øÐùúûüý¡¢þ !!¾aÿô`!«ô"#$%K`ÜO"°ÎÖÆÊÝ&' 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列句子是命题的是 （　　） Ａ．延长线段ＡＢ到点Ｃ Ｂ．等角的余角相等 Ｃ．任何数的平方都不小于０吗 Ｄ．明天下雨吗 ２．如图１，已知△ＡＢＣ≌△ＣＤＡ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ， 则ＢＣ的对应边是 （　　） Ａ．ＣＤ Ｂ．ＣＡ Ｃ．ＤＡ Ｄ．ＡＢ ３．如图２，ＡＢ，ＣＤ相交于点Ｏ，△ＯＣＡ≌△ＯＢＤ，ＡＯ ＝６，ＢＯ＝４，则ＣＤ的长为 （　　） Ａ．９ Ｂ．１０ Ｃ．１１ Ｄ．１２ ４．要使图３中的两个三角 形全等，则∠１＝ （　　） Ａ．３７° Ｂ．６４° Ｃ．７９° Ｄ．无法确定 ５．下列命题：①如果ＡＣ＝ ＢＣ，那么点Ｃ是线段ＡＢ的中点；②不相等的两个角一定 不是对顶角；③如果两个实数的绝对值相等，那么这两 个数相等；④如果ａ３ ＝ｂ３，那么ａ＝ｂ，其中是真命题的 有 （　　） Ａ．４个 Ｂ．３个 Ｃ．２个 Ｄ．１个 ６．如图４，在 △ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ 是ＢＣ边上的两点，ＡＤ＝ＡＥ，ＢＥ ＝ＣＤ，∠１＝∠２＝１１０°，∠ＢＡＥ ＝６０°，则∠ＣＡＥ的度数为 （　　） Ａ．５０° Ｂ．６０° Ｃ．４０° Ｄ．２０° ７．如图５，点Ｐ是∠ＢＡＣ的平分线ＡＤ上的一点，ＡＣ ＝９，ＡＢ＝５，ＰＢ＝３，则ＰＣ的长可能是 （　　） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ ８．如图６，点 Ｂ在线段 ＡＣ上，点 Ｅ在线段 ＢＤ上， ∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＣ，ＡＢ＝ＤＢ，ＥＢ＝ＣＢ，Ｍ，Ｎ分别是ＡＥ， ＣＤ的中点，则ＢＭ与ＢＮ的数量关系是 （　　） Ａ．ＢＭ ＞ＢＮ Ｂ．ＢＭ ＜ＢＮ Ｃ．ＢＭ ＝ＢＮ Ｄ．无法确定 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．命题“锐角的补角是钝角”的条件是 ， 结论是 ． １０．已知△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，若ＡＢ＝５，ＢＣ＝６，ＡＣ＝ ７，则△ＤＥＦ的周长是 ． １１．如图７，△ＡＣＢ和△ＤＣＥ都是等腰直角三角形， 其中∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＣ＝４５°，Ｄ 为 ＡＢ边上一点，若 ＡＤ ＝１２，ＢＤ ＝５，则 Ｓ△ＢＤＥ ＝ ． １２．如图８，ＡＢ＝１２，ＣＡ⊥ＡＢ于点Ａ，ＤＢ⊥ＡＢ于点 Ｂ，且ＡＣ＝４，Ｐ在线段ＡＢ上，Ｑ在射线ＢＤ上，若△ＣＡＰ 与△ＰＱＢ全等，则ＡＰ＝ ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１０分）如图９，已知 △ＡＯＢ≌ △ＡＤＣ，∠Ｏ＝ ９０°，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ，且ＢＣ∥ＯＡ，若∠ＯＡＤ＝８０°，求 ∠ＡＢＯ的度数． １４．（１２分）如图１０，点Ｃ在射线ＡＥ上，请判断命题 “如果ＢＣ＝ＤＣ，∠１＝∠２，那么∠Ｂ＝∠Ｄ”的真假，并 加以证明． １５．（１４分）如图１１，沿ＡＭ方向开山修路，为了加快 施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在ＡＭ上 取一点Ｂ，在小山外取一点Ｃ，连结ＢＣ并延长，使ＣＤ＝ ＢＣ，过点Ｄ作ＡＢ的平行线ＤＥ，连结ＥＣ并延长，在延长 线上取一点Ｆ，使ＣＦ＝ＣＥ，ＦＭ与山的另一面交于点Ｎ， 沿ＦＮ方向开工就能使点Ａ，Ｍ，Ｆ成一条直线． （１）请说明其中的道理； （２）测量得ＤＥ＝１００米，ＢＭ＝４０米，ＦＮ＝２０米， 求山中隧道ＭＮ的长． １６．（１６分）如图１２，已知五边形ＡＢＣＤＥ中，ＥＣ，ＥＢ 为其对角线，ＤＥ＝ＡＥ，∠Ａ＝６０°，∠ＣＤＥ＝１２０°，且 ∠ＡＥＢ＋∠ＣＥＤ＝∠ＢＥＣ．求证：ＣＥ平分∠ＢＣＤ． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（８分）如图１，点Ｅ在△ＡＢＣ的边ＡＣ上，∠ＡＢＥ ＝∠Ｃ，在ＡＣ上截取ＡＤ＝ＡＢ，过点Ｄ作ＤＦ∥ＢＣ交ＢＥ 于点Ｆ，且ＤＦ＝ＢＦ． （１）求证：△ＡＢＦ≌△ＡＤＦ； （２）若∠ＡＢＥ＝３０°，∠ＡＥＢ＝７０°，求∠ＡＦＢ的度 数． ２．（１２分）如图２，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＢＣ＝４， ＡＤ∥ＢＣ，ＢＤ＝６，点Ｅ从Ｄ点出发，以每秒１个单位的 速度沿ＤＡ向点 Ａ匀速移动，点 Ｆ从点 Ｃ出发，以每秒 ３个单位的速度沿Ｃ→Ｂ→Ｃ作匀速移动，点Ｇ从点Ｂ 出发沿ＢＤ向点Ｄ匀速移动，三个点同时出发，当有一个 点到达终点时，其余两点也随之停止运动． （１）求证：ＡＢ＝ＣＤ； （２）在移动过程中，小明发现当点Ｇ的运动速度取 某个值时，有△ＤＥＧ与△ＢＦＧ全等的情况出现，请你探 究当点 Ｇ的运动速度取哪些值时，会出现 △ＤＥＧ与 △ＢＦＧ全等的情况                                                                                                                                                                 ． ! 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' % # * ! * ! % # ' $ ! %( ! % $ , ' # ! % % ! , " & $ # ' ! %% # - % + ' ! ! + % ! # ' % ( $ ! %, 书 １３．１命题、定理与证明 １．下列句子，是命题的是 （　　） Ａ．连结ＣＤ Ｂ．周长和面积相等的两个三角形全等 Ｃ．作∠ＡＢＣ的平分线 Ｄ．你喜欢运动吗 ２．下列命题中，不属于基本事实的是 （　　） Ａ．两点之间，线段最短 Ｂ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行 Ｃ．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 平行 Ｄ．直角三角形的两锐角互余 ３．下列命题中，为真命题的是 （　　） 槡Ａ． １３是１３的算术平方根 Ｂ．三角形的三条高交于一点 Ｃ．槡 １ ３是有理数 Ｄ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 ４．把命题“互为相反数的两个数的和为零”改写成 “如果……，那么……”的形式为 ． ５．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假 命题，请举出一个反例． （１）多边形的外角和都为３６０°； （２）若ａｂ＞０，则ａ＞０，ｂ＞０； （３）两个锐角的和是钝角； （４）两点确定一条直线． ６．下面给出了一道题的证法，请在后面的括号内 填上推理的依据： 已知：如图１，ａ∥ ｂ，ａ⊥ ｃ．求 证：ｂ⊥ｃ． 证明：因为ａ∥ｂ（　　　　）， 所以∠１＝∠２（　　　　）． 因为ａ⊥ｃ（　　　　）， 所以∠１＝９０°（　　　　）． 所以∠２＝９０°（　　　　）． 所以ｂ⊥ｃ（　　　　）． ７．如图２，ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，ＯＥ平分 ∠ＡＯＣ，ＯＦ 平分∠ＤＯＢ． 求证：ＯＥ与ＯＦ在同一条直线上． １３．２三角形全等的判定 １３．２．１全等三角形 １．如图１，△ＡＢＣ≌△ＥＢＤ，ＡＢ与ＥＢ对应，则在这 两个三角形中，边ＤＥ的对应边为 （　　） Ａ．ＢＥ Ｂ．ＡＢ Ｃ．ＣＡ Ｄ．ＢＣ ２．如图２，Ｒｔ△ＡＢＣ沿直角边 ＢＣ所在直线向右平 移到Ｒｔ△ＤＥＦ，则下列结论中，不一定正确的是（　　） Ａ．ＢＥ＝ＥＣ Ｂ．ＢＣ＝ＥＦ Ｃ．ＡＣ＝ＤＦ Ｄ．△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ ３．如图３，△ＡＢＥ≌ △ＡＣＤ，且 ∠Ｅ与 ∠Ｄ是对应 角，顶点 Ｂ与顶点 Ｃ对应，若 ＢＥ＝１０ｃｍ，则 ＣＤ＝ ． ４．如图４，已知Ｒｔ△ＡＢＤ≌Ｒｔ△ＣＤＢ，则∠ＡＤＢ＋ ∠Ｃ＝ ． ５．已知△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，ＢＣ＝ＥＦ＝４ｃｍ，△ＡＢＣ 的面积是 １６ｃｍ２，那么 △ＤＥＦ中 ＥＦ边上的高是 ｃｍ． ６．如图５，△ＡＢＥ≌△ＤＣＥ，点Ａ和点Ｄ对应，点Ｅ 在线段ＡＤ上，点Ｆ在ＣＤ延长线上，∠Ｆ＝∠Ａ．求证： ＡＤ∥ＢＦ． ７．如图 ６，△ＡＣＤ和 △ＢＣＥ都是等边三角形，若 △ＡＣＥ和△ＤＣＢ全等，且 ＢＤ＝８ｃｍ，∠ＤＢＣ＝２５°， ∠ＡＣＥ＝１１５°． （１）求ＡＥ的长； （２）求∠ＤＣＢ与∠ＢＤＣ的度数． ８．如果△ＡＢＣ的三边长为３，５，７，△ＤＥＦ的三边长 为３，３ｘ－２，２ｙ－１，若这两个三角形全等，则 ｘ＋ｙ＝ ． １３．２．２边角边（Ｓ．Ａ．Ｓ．） １．如图１，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，∠Ａ＝１０５°，∠Ｄ＝ ２５°，则∠ＡＢＥ＝ （　　） Ａ．６５° Ｂ．６０° Ｃ．５５° Ｄ．５０° ２．如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１５，ＡＣ＝８， ＡＤ平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｄ，在ＡＢ上截取ＡＥ＝ＡＣ，则 △ＢＤＥ的周长为 （　　） Ａ．１９ Ｂ．２０ Ｃ．１８ Ｄ．１７ ３．如图３，ＡＣ＝ＢＤ，∠Ａ＝ ∠Ｄ，添加条件 ， 可以直接根据“Ｓ．Ａ．Ｓ．”判定 △ＡＦＣ≌△ＤＥＢ． ４．如图４，已知∠１＝∠Ｂ，ＢＥ＝ＣＤ，ＢＦ＝ＣＡ． （１）求证：∠Ｄ＝∠２； （２）若ＥＦ∥ＡＣ，∠ＢＡＣ＝８０°，求∠Ｄ的度数． ５．如图５，已知ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ ＯＤ． （１）求证：△ＡＯＢ≌△ＣＯＤ； （２）连结ＢＣ，若ＡＢ＝８，ＢＣ＝１０，求ＯＢ的取值范 围． ６．如图６，△ＡＢＣ中，Ｄ是 ＢＣ延长线上一点，满足 ＣＤ＝ＡＢ，过点Ｃ作ＣＥ∥ＡＢ且ＣＥ＝ＢＣ，连结ＤＥ并延 长，分别交ＡＣ，ＡＢ于点Ｆ，Ｇ． （１）求证：△ＡＢＣ≌△ＤＣＥ； （２）若∠Ｂ＝５０°，∠Ｄ＝２２°，求∠ＡＦＧ的度数 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． () . *+,)- ./0123456 # , % ' $ ! * % ( ! ( ( /) % ( ! % , ! $ # % ' ! ( ' # ! % $ ! % ! $' # % ! # ! % # ' ! " , % ! $ # ' ! ) $ ! # ' % ! ! $ ! ' # % ! % ! ( ! % ' $ # % $ ! # , ' ! # ! % % , ' $ ( # ! " ! # * ' % ! ) % ! # $ , ' 0 ! ! 书 （上接１，４版中缝） ２１．（１）因为４ａ－ ３ｂ＋２＝０，所以４ａ－３ｂ ＝－２．所以３２×９２ａ＋１÷ ２７ｂ ＝３２ ×（３２）２ａ＋１ ÷ （３３）ｂ ＝３２×３４ａ＋２÷３３ｂ ＝３２＋４ａ＋２－３ｂ＝３４ａ－３ｂ＋４＝ ３－２＋４ ＝９． （２）２２ｘ＋４－２２ｘ＋２ ＝ ２２ｘ＋２×２２－２２ｘ＋２＝２２ｘ＋２ ×（２２－１）＝２２ｘ＋２×３ ＝９６．所以２２ｘ＋２ ＝３２． 所以２ｘ＋２＝５．解得ｘ ＝ ３２． （３）因为ａ２＋ａ－８ ＝０，所以ａ２＋ａ＝８．所 以（２ａ＋１，ａ－２）（３ａ ＋２，ａ－３） ＝（２ａ＋ １）（ａ－３）－（ａ－２）（３ａ ＋２）＋２＝－ａ２－ａ＋３ ＝－（ａ２＋ａ）＋３＝－５． ２２．（１）５２＋２２． （２）ｋ＝１３．理由如 下： Ｎ＝ｘ２－６ｘ＋４ｙ２＋ ８ｙ＋ｋ＝ｘ２－６ｘ＋９－９ ＋４ｙ２＋８ｙ＋４－４＋ｋ＝ （ｘ－３）２＋（２ｙ＋２）２＋ ｋ－１３． 因为Ｎ是“和数”， 所以ｋ－１３＝０．解得ｋ ＝１３． （３）因为ｍ，ｎ都是 “和数”，设ｍ＝ａ２＋ｂ２， ｎ＝ｃ２＋ｄ２，所以ｍｎ＝ （ａ２＋ｂ２）（ｃ２ ＋ｄ２）＝ ａ２ｃ２＋ａ２ｄ２＋ｂ２ｃ２＋ｂ２ｄ２ ＝ａ２ｃ２＋ｂ２ｄ２＋２ａｂｃｄ－ ２ａｂｃｄ＋ａ２ｄ２ ＋ｂ２ｃ２ ＝ （ａｃ＋ｂｄ）２ ＋（ａｄ－ ｂｃ）２．所以 ｍｎ也是“和 数”． （全文完） "#$%&'()*+, ,#)%-)($%(!+ "#-.&'()*+, ,#)%-)($%%() ! ! !"#$ ! " %&'( 789:;<=>?@ABC ! 5 789:;<=>?@ABC ! 5 () . *+,)- ./0123456 ! % , 0 $ ' # ! % ' # ! % ' # ! ( "#! % "#! (