第7期 12.5因式分解（参考答案见9期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（华东师大版）

书 众所周知，利用提公因 式法分解因式的关键是正 确找出公因式．下面举例介 绍公因式的几种类型，供同 学们赏析． 一、单项式公因式 单项式公因式要做到 “三看”： 一看系数：若各项系数 都是整数，则应选取各项系 数的最大公约数； 二看字母：选取各项都 含有的字母； 三看字母的次数：选取 各个字母的最低次数． １．数字公因式 例１　 分解因式：３ｍ２ －３＝ ． 分析：根据提公因式法 和公式法进行因式分解． 解：原式 ＝３（ｍ２－１）＝３（ｍ＋１）（ｍ－１）． 故填３（ｍ＋１）（ｍ－１）． ２．字母公因式 例２　分解因式：ｍ２＋３ｍ＝ ． 分析：利用提公因式法求解． 解：原式 ＝ｍ（ｍ＋３）． 故填ｍ（ｍ＋３）． ３．组合公因式 例３　分解因式：２ｘ３＋４ｘ２＋２ｘ＝ ． 分析：先提取公因式２ｘ，再利用两数和（差）的平方 公式法分解因式即可． 解：原式 ＝２ｘ（ｘ２＋２ｘ＋１）＝２ｘ（ｘ＋１）２． 故填２ｘ（ｘ＋１）２． 二、多项式公因式 在进行多项式公因式的提取时，要注意符号的变 化，有时需要将式子进行变形． 例４　将多项式（ａ－１）２－ａ＋１因式分解，结果正 确的是 （　　） Ａ．ａ－１ Ｂ．（ａ－１）（ａ－２） Ｃ．（ａ－１）２ Ｄ．（ａ＋１）（ａ－１） 分析：通过将原多项式变形可以提取公因式（ａ－ １），进而分解因式得出答案． 解：原式＝（ａ－１）２－（ａ－１） ＝（ａ－１）（ａ－１－１） ＝（ａ－１）（ａ－２）． 故选Ｂ． 书 上期２版 １２．３乘法公式 １２．３．１两数和乘以这两数的差 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．ｘ＝２．　 ４．（１）１１６ｘ ２－９ｙ２；　（２）ｍ４－４ｎ６； （３）２５ｙ２－１６ｘ２；　（４）－４９ｘ２ｙ２＋ｙ２． 能力提高　５．４或 －４． １２．３．２两数和（差）的平方公式 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．０；　４．７． ５．（１）３６ａ２－１２ａｂ＋ｂ２；　（２）３８８０９； （３）９ｙ２－１２ｘｙ． 能力提高　６．设其中较长的一段的长为 ｘｃｍ，则 另一段的长为（２０－ｘ）ｃｍ． 根据题意，得（ １ ４ｘ） ２－［１４（２０－ｘ）］ ２ ＝５． 解得ｘ＝１２． 所以２０－ｘ＝８． 答：两段铁丝的长分别为１２ｃｍ和８ｃｍ． １２．４整式的除法 １２．４．１单项式除以单项式 基础训练　１．Ｃ；　２．ｘ３ｙ２；　３．Ｃ，Ａ，Ｃ． ４．（１）６ａｂｃ；　（２）９ａ１２；　（３）ｘｙ． １２．４．２多项式除以单项式 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．ｘ＋ｙ． ４．（１）３ａｂ＋２ａ；　（２）３ｘ４＋４ｘ２－２；　（３）ａ－５． ５．根据题意，得 Ａ＝［２ｘ（ｘ２ｙ－ｘｙ２）－ｘｙ（２ｘｙ－ ｘ２）］÷ｘ２ｙ＝（３ｘ３ｙ－４ｘ２ｙ２）÷ｘ２ｙ＝３ｘ－４ｙ． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ 二、９．２ｘｙ２；　１０．３；　１１．２９；　１２．２４． 三、１３．（１）－３ｘ２ｙ２＋４ｘｙ；　（２）ｘ２；　（３）１． １４．（１）Ｍ＝（ｘ＋２）２＋（８－ｘ）（８＋ｘ）－２＝ｘ２＋ ４ｘ＋４＋６４－ｘ２－２＝４ｘ＋６６． （２）（ｘ＋１）２－ｘ２＝ｘ２＋２ｘ＋１－ｘ２＝２ｘ＋１＝５． 解得ｘ＝２．将ｘ＝２代入Ｍ，得Ｍ ＝４×２＋６６＝７４． １５．（１）因为Ａ＝ｘ３ｙ－６ｘｙ２，Ａ÷Ｂ＝－３ｘｙ，所以Ｂ ＝（ｘ３ｙ－６ｘｙ２）÷（－３ｘｙ）＝－１３ｘ ２＋２ｙ． （２）丽丽能报一个整式．理由如下： 由题意得Ａ＝（ｘ３ｙ－６ｘｙ２）·（－３ｘｙ）＝－３ｘ４ｙ２＋ １８ｘ２ｙ３．所以丽丽报的整式为 －３ｘ４ｙ２＋１８ｘ２ｙ３． １６．（１）（２×５＋１）２＝（６×１０＋１）２－（６×１０）２． （２）第ｎ个等式为：（２ｎ＋１）２＝［（ｎ＋１）·２ｎ＋１］２ －［（ｎ＋１）·２ｎ］２．理由如下： 因为（２ｎ＋１）２＝４ｎ２＋４ｎ＋１，［（ｎ＋１）·２ｎ＋１］２ －［（ｎ＋１）·２ｎ］２＝［（ｎ＋１）·２ｎ］２＋２（ｎ＋１）·２ｎ＋ １－［（ｎ＋１）·２ｎ］２ ＝４ｎ２＋４ｎ＋１，所以等式成立． 附加题　１．原式 ＝２×［（１－１２）（１＋ １ ２）（１＋ １ ２２ ）（１＋１ ２４ ）（１＋１ ２８ ）］＋１ ２１５ ＝２×［（１－１ ２２ ）（１＋１ ２２ ）（１＋１ ２４ ）（１＋１ ２８ ）］＋１ ２１５ ＝２×［（１－１ ２４ ）（１＋１ ２４ ）（１＋１ ２８ ）］＋１ ２１５ ＝２×［（１－１ ２８ ）（１＋１ ２８ ）］＋１ ２１５ ＝２×（１－１ ２１６ ）＋１ ２１５ ＝２－１ ２１５ ＋１ ２１５ ＝２． ２．因为ａ＋ｂ＋ｃ＝１，所以（ａ＋ｂ＋ｃ）２ ＝ａ２＋２ａｂ ＋ｂ２＋２ａｃ＋２ｂｃ＋ｃ２ ＝１．因为ａ２＋ｂ２＋ｃ２ ＝２，所以２ ＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａｃ＝１．所以ａｂ＋ｂｃ＋ａｃ＝－１２． 书 同学们在做因式分解 的题目时，由于种种原因， 常会出现这样或那样的错 误，现针对这些常见的错 误进行剖析，希望同学们 有则改之，无则加勉． 易错点１：对因式分解 的定义理解不透 例１　因式分解：ｘ２－ ４－３ｘ． 错解：原式 ＝（ｘ＋ ２）（ｘ－２）－３ｘ． 剖析：因式分解的结 果是几个整式的积的形 式，出现错解的原因是对 因式分解的定义理解不 透，概念模糊． 正解：原式 ＝（ｘ２ － １）－（３ｘ＋３）＝（ｘ＋１）（ｘ －１）－３（ｘ＋１）＝（ｘ＋１）（ｘ－４）． 易错点２：公因式提不“净” 例２　因式分解：４ｍ－２ｍ２ ＝ ． 错解：原式 ＝２（２ｍ－ｍ２）．故填２（２ｍ－ｍ２）． 剖析：错解的原因是没有把括号中多项式的公因 式ｍ提取出来． 正解：原式 ＝２ｍ（２－ｍ）． 故填２ｍ（２－ｍ）． 易错点３：提公因式后丢项 例３　多项式２ｘ３－４ｘ２＋２ｘ因式分解的结果为 ． 错解：原式 ＝２ｘ（ｘ２－２ｘ）．故填２ｘ（ｘ２－２ｘ）． 剖析：在提取公因式时，如果一个多项式有 ｎ项， 那么提取公因式后，剩下的多项式仍为ｎ项．出现错解 的原因是提出公因式２ｘ后，剩下的多项式漏掉一项． 正解：原式 ＝２ｘ（ｘ２－２ｘ＋１）＝２ｘ（ｘ－１）２． 故填２ｘ（ｘ－１）２． 易错点４：公式混乱 例４　因式分解：２ｘ３－８ｘ． 错解：原式 ＝２ｘ（ｘ２－４）＝２ｘ（ｘ－２）２． 剖析：出现错解的原因是把平方差公式法 ａ２－ｂ２ ＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）与两数和（差）的平方公式法 ａ２± ２ａｂ＋ｂ２＝（ａ±ｂ）２混为一谈．平方差公式法只含有两 项，而两数和（差）的平方公式法则含有三项；平方差 公式法中的平方项是异号的，而两数和（差）的平方公 式法中的平方项是同号的． 正解：原式 ＝２ｘ（ｘ２－４）＝２ｘ（ｘ＋２）（ｘ－２）． 易错点５：提出“－”后不变号 例５　因式分解：－ａ２－４ｂ２＋４ａｂ＝ ． 错解：原式 ＝－（ａ２＋４ｂ２＋４ａｂ）＝－（ａ＋２ｂ）２． 故填 －（ａ＋２ｂ）２． 剖析：如果多项式的第一项的系数是负数，一般要 提出“－”，使括号中的第一项的系数为正．在提出“－” 后，要注意改变各项的符号． 正解：原式 ＝－（ａ２－４ａｂ＋４ｂ２）＝－（ａ－２ｂ）２． 故填 －（ａ－２ｂ）２． 易错点６：分解不彻底 例６　将ｍ３ｎ－ｍｎ进行因式分解，正确的是 （　　） Ａ．ｍ（ｍ２ｎ－ｎ）　　　　　Ｂ．ｍｎ（ｍ－１）２ Ｃ．ｍｎ（ｍ＋１）（ｍ－１） Ｄ．ｍｎ（ｍ２－１） 错解：原式 ＝ｍｎ（ｍ２－１）．故选Ｂ． 剖析：提取公因式后，括号内还可以继续分解，要 牢记分解因式一定要分解到不能再分解为止． 正解：原式 ＝ｍｎ（ｍ２－１）＝ｍｎ（ｍ＋１）（ｍ－１）． 故选Ｃ． 书 因式分解的方法有提公因式法、公式法等，同学们 在因式分解时往往会使用多种方法相结合．所以在因式 分解时，应根据所给多项式的结构特征，确定分解方法 以及使用顺序，做到目的明确、思路清晰、方法恰当． 一、提公因式法 ＋平方差公式法 例１　分解因式：３ｘ２ｙ－３ｙ＝ ． 分析：先提取公因式３ｙ，再利用平方差公式法分解 因式即可． 解：原式 ＝３ｙ（ｘ２－１）＝３ｙ（ｘ＋１）（ｘ－１）． 故填３ｙ（ｘ＋１）（ｘ－１）． 二、提公因式法 ＋两数和（差）的平方公式法 例２　因式分解：ａ３－６ａ２＋９ａ＝ ． 分析：先提取公因式 ａ，再利用两数和（差）的平方 公式法分解因式得出答案． 解：原式 ＝ａ（ａ２－６ａ＋９）＝ａ（ａ－３）２． 故填ａ（ａ－３）２． 三、整式的乘法 ＋两数和（差）的平方公式法 例３　因式分解：ｘ２－ｙ（２ｘ－ｙ）＝ ． 分析：先运用单项式与多项式相乘的法则计算，再 运用两数和（差）的平方公式法分解因式即可． 解：原式 ＝ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２ ＝（ｘ－ｙ）２． 故填（ｘ－ｙ）２． 四、拆项法 ＋分组分解法 例４　把多项式分解因式：ｘ３－２ｘ２＋１＝ ． 分析：先将 －２ｘ２拆成 －ｘ２－ｘ２，再用分组分解法分 解因式即可． 解：原式＝ｘ３－ｘ２－ｘ２＋１ ＝ｘ２（ｘ－１）－（ｘ＋１）（ｘ－１） ＝（ｘ－１）（ｘ２－ｘ－１）． 故填（ｘ－１）（ｘ２－ｘ－１）． 五、拼凑法 ＋平方差公式法 例５　分解因式：４ｘ４＋１． 分析：将此多项式先加上４ｘ２凑成一个完全平方式， 再减去４ｘ２，利用平方差公式法分解因式即可． 解：原式＝４ｘ４＋１＋４ｘ２－４ｘ２ ＝（２ｘ２＋１）２－（２ｘ）２ ＝（２ｘ２＋２ｘ＋１）（２ｘ２－２ｘ＋１）． 六、十字相乘法 ＋两数和（差）的平方公式法 例６　分解因式：（ｘ２－４ｘ）２＋７（ｘ２－４ｘ）＋１２． 分析：将ｘ２－４ｘ看成一个整体，利用十字相乘法和 两数和（差）的平方公式法分解因式即可． 解：原式＝（ｘ２－４ｘ＋４）（ｘ２－４ｘ＋３） ＝（ｘ－２）２（ｘ－１）（ｘ－３）． 书 因式分解是初中数学中的一种重要的恒等变形，指 的是把一个多项式表示成若干个整式的积的形式．正确 理解因式分解的概念是进行因式分解的前提和基础．同 学们在学习这一知识时，要认清以下几点． 一、认清因式分解与整式乘法的关系 因式分解是和差化积，整式乘法是积化和差，是两 种互逆的恒等变形的过程，所以，因式分解的结果是否 正确，可以用整式乘法来检验．如（ａ＋１）（ａ－１）＝ａ２－ １就是整式的乘法，而ａ２－１＝（ａ＋１）（ａ－１）就是因式 分解． 二、认清因式分解的对象 因式分解的对象不仅要是整式，而且还必须是多项 式，如果不是多项式也就谈不上因式分解，例如：ｘｙ２ｚ＝ ｘ·ｙ·ｙ·ｚ就不是因式分解，这是因为ｘｙ２ｚ是单项式，它 本身就是整式的积的形式．再例如：ａ－１ｂ ＝ １ ｂ（ａｂ－ １）也不是因式分解，这是因为ａ－１ｂ不是整式． 三、认清因式分解的结果 因式分解的结果是几个整式的积的形式，不是部分 的积，也不是积的和；因式要为整式．例如：ｘ２－３ｘ＋２＝ ｘ（ｘ－３）＋２，这种变形只对前面两项进行了分解，最后 的结果是和的形式，这不是因式分解；ａｂ＋ｂｃ＋ａｃ＝ ａｂｃ（１ｃ＋ １ ａ＋ １ ｂ），后面的式子的分母中出现了字母， 不是整式，因而不是因式分解． 四、认清因式分解的特殊要求 因式分解应分解到不能再分解为止，相同的因式要 写成幂的形式，每一个因式要尽量化简．例如：ａ３－６４ａ ＝ａ（ａ２－６４）这个分解就不彻底，因为ａ２－６４还可以再 分解为（ａ＋８）（ａ－８）． 例　下列等式从左到右的变形，其中属于因式分 解的是 （　　） Ａ．ｘ２－２ｘ－１＝（ｘ－１）２ Ｂ．ｘ２ｙ２＋２ｘｙ＋１＝（ｘｙ＋１）２ Ｃ．（ｘ＋３）（ｘ－３）＝ｘ２－９ Ｄ．８ａ３－２ａ＝２ａ（４ａ２－１） 分析：根据因式分解的定义逐个判断即可． 解：选项Ａ中，等式两边不相等，不属于因式分解； 选项Ｂ中，等式左右两边相等，等式左边是多项式，等式 右边是整式的积，属于因式分解；选项Ｃ中，等式从左到 右的变形属于整式乘法，不属于因式分解；选项 Ｄ中， ８ａ３－２ａ＝２ａ（４ａ２－１）＝２ａ（２ａ＋１）（２ａ－１），分解不 彻底，不属于因式分解．故选Ｂ． ! !" # $ """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! % & ' ( ) ! *& +,- !"# !"!#$$%%#& !"#$ !"#$%&'() ' " ! (' !"##) % ! *+,- ./0123456789: ! ; !"#$%&'" ()*+,-'. %!&'<=>? 1@AB!%&"#$%&#'()*+,- $%&./0%1234567'89& !& :;<=$%2>?%2@A B$%&#'CDE2& CDEFGFGHIJKABE 2LM$%&.& 书 因式分解是初中数学的重要知识，同时它也是一种 重要的数学模型，与因式分解有关的题型颇多，现撷取 几例，供同学们参考． 一、简便运算 　　　　　 　　　　 　　　　 　　例１　计算８５２－１３０×８５＋６５２的结果是 ． 分析：利用两数和（差）的平方公式法分解因式，进 而计算得出结果． 解：原式 ＝８５２－２×６５×８５＋６５２＝（８５－６５）２＝ ２０２ ＝４００． 故填４００． 二、解决整除问题 例２　（－８）５＋（－８）７能被下列数整除的是 （　　） Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．９ 分析：将（－８）５＋（－８）７提取公因式（－８）５即可求解． 解：因为（－８）５＋（－８）７＝（－８）５×［１＋（－８）２］ ＝６５×（－８）５＝１３×５×（－８）５，所以（－８）５＋（－８）７ 能被５数整除． 故选Ａ． 三、求代数式的值 例３　已知ａ＋ｂ＝１，则代数式ａ２－ｂ２＋２ｂ＋９的 值为 ． 分析：先将ａ２－ｂ２因式分解为（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ），再根 据ａ＋ｂ＝１即可得解． 解：因为ａ＋ｂ＝１，所以ａ２－ｂ２＋２ｂ＋９＝（ａ＋ｂ）（ａ －ｂ）＋２ｂ＋９＝ａ－ｂ＋２ｂ＋９＝ａ＋ｂ＋９＝１０． 故填１０． 四、判断三角形的形状 例４　已知ａ，ｂ，ｃ是△ＡＢＣ的三边的长，且满足２ａ２ ＋ｂ２＋ｃ２－２ａ（ｂ＋ｃ）＝０，则△ＡＢＣ的形状为 三角形． 分析：运用两数和（差）的平方公式法进行因式分解 即可得解． 解：因为２ａ２＋ｂ２＋ｃ２－２ａ（ｂ＋ｃ）＝０，所以（ａ２－ ２ａｂ＋ｂ２）＋（ａ２－２ａｃ＋ｃ２）＝０．所以（ａ－ｂ）２＋（ａ－ｃ）２ ＝０．所以ａ－ｂ＝０，ａ－ｃ＝０．所以 ａ＝ｂ＝ｃ．所以 △ＡＢＣ的形状为等边三角形． 故填等边． 五、产生密码 例５　在日常生活中如取款、上网等都需要密码． 有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理 是：如对于多项式ｘ４－ｙ４，因式分解的结果是（ｘ－ｙ）（ｘ ＋ｙ）（ｘ２＋ｙ２），若取ｘ＝９，ｙ＝９时，则各个因式的值是 ｘ－ｙ＝０，ｘ＋ｙ＝１８，ｘ２ ＋ｙ２ ＝１６２，于是就可以把 “０１８１６２”作为一个六位数的密码，对于多项式 ４ｘ３ － ｘｙ２，取 ｘ＝１１，ｙ＝１２时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）． 分析：先将４ｘ３－ｘｙ２因式分解，然后取合适的ｘ，ｙ的 值代入即可产生密码． 解：４ｘ３－ｘｙ２ ＝ｘ（４ｘ２－ｙ２）＝ｘ（２ｘ＋ｙ）（２ｘ－ｙ）． 当ｘ＝１１，ｙ＝１２时，２ｘ＋ｙ＝２２＋１２＝３４，２ｘ－ｙ＝２２ －１２＝１０．所以产生的密码可以是１１３４１０． 故填１１３４１０． ! H I J K L ! M" NOP """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " QRS !T"U/VW XYABT Z[\]^_ NO P3QRS' TUV* WXYZ[3 \]^_`abcdO efghi]jk lmnob3Op hqrNb@Bslt juv3wx'k yAz{6O |} fg~N€'@, ‚O ƒ„/…†O Qƒ „Oaa‡‡Oˆ3‰Š ‹3ŒO Ž‹ˆ ‘’O“”3^_OQ •N'–—‹3^_˜ ™Nš'›œžŸ  ›¡¢£kQ…†O †¤¥¦¢§O Q… †¨'©ª«¬­®O ¯°y±q'NQ, ‚O™²¥N³O´µv ¶·¸“”u¹O ºº »»‹3_O ¶¼”q '½¾“”¿OÀ3OÁ …†OÙÄÅÆÇÈ ÈO ÉÊËaO ÆÇÌ ÌOÉÊËÍkÎÏ3OÐ ÐÑÒ`…†ÓÔbÕ ÖW×O ØÙڈV¼ ÛÆÜbÝ¥k ހQhihjb cdO ßÝbKŸ b ¯àá±âßbã.¼ QäåæNO çèF éê€O n3ê€Ã 3ëìˆíîO ïð3 ~ˆLá'ñòóôõO Qހb–—öy± qã÷ހ'NO ö 3øùñ'úûO ùñ '6%Qã÷µÞ€O mހ‹3~ˆLáO üýþ®ÿkÏ3OÆ! 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