第6期 12.3 乘法公式;12.4 整式的除法（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（华东师大版）

书 乘法公式是整式运算中十分重要的公式，更是今后 学习其他知识的基础，它的应用也十分广泛．为了更好 地熟悉并掌握乘法公式，请同学们一起观看乘法公式的 几个节目： 节目一、乘法公式的结构特征 １．平方差公式：（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２．公式的左 边是两个二项式，在这两个二项式中，有一项完全相同， 另一项互为相反数；公式的右边是左边乘式中两项的平 方差（相同项的平方减去相反项的平方）． ２．两数和（差）的平方公式：（ａ＋ｂ）２ ＝ａ２＋２ａｂ＋ ｂ２；（ａ－ｂ）２ ＝ａ２－２ａｂ＋ｂ２．公式的左边是两数和（或 差）的平方，右边是一个二次三项式，其中第一、三项是 公式左边括号中二项式每一项的平方，中间一项是左边 括号中二项式两项乘积的２倍．可形象地叙述为：首平 方、尾平方，首尾乘积的 ２倍在中 央． 节目二、乘法公式的几何意义 图１中阴影部分的面积为（ａ＋ ｂ）（ａ－ｂ），若把小长方形②移到① 的位置，此时阴影部分的面积又可以看成边长为ａ的大 正方形的面积减去边长为ｂ的小正方形的面积，即Ｓ１＋ Ｓ２ ＝Ｓ１＋Ｓ３ ＝ａ ２－ｂ２，故（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２． 图２中大正方形的面积可表示为 （ａ＋ｂ）２，也可以表示为Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＋ Ｓ４ ＝ａｂ＋ａ ２＋ｂ２＋ａｂ，故（ａ＋ｂ）２ ＝ ａ２＋２ａｂ＋ｂ２．同理可证（ａ－ｂ）２ ＝ａ２ －２ａｂ＋ｂ２． 节目三、乘法公式中字母的广泛意义 在乘法公式中，字母 ａ，ｂ都具有广泛的意义，它们 既可以分别表示具体的数，也可以表示一个单项式或一 个多项式．如（５ｎ＋２ｍ）（２ｍ－５ｎ）＝（２ｍ＋５ｎ）（２ｍ－ ５ｎ）＝４ｍ２－２５ｎ２，这里的２ｍ相当于公式中的ａ，５ｎ相当 于公式中的ｂ． 节目四、运用乘法公式的注意事项 计算时，要先观察题目的结构特征是否符合公式的 条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再 利用公式进行计算；若不能变为符合公式条件的形式， 则应运用整式的乘法法则进行计算． 书 两数和（差）的平方公式是整式乘法中非常重要的 一个公式，在解题时，可以对这个公式进行灵活变形，使 它的应用更加广泛 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 殏 殏殏 殏 ． 变式１：ａ２＋ｂ２ ＝（ａ＋ｂ）２－２ａｂ． 例１　若ｍ＋ｎ＝１０，ｍｎ＝５，所以ｍ２＋ｎ２的值为 ． 解：因为ｍ＋ｎ＝１０，ｍｎ＝５，所以ｍ２＋ｎ２ ＝（ｍ＋ ｎ）２－２ｍｎ＝９０．故填９０ 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 殏 殏殏 殏 ． 变式２：ａ２＋ｂ２ ＝（ａ－ｂ）２＋２ａｂ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例２ 若ｘ－ｙ＝４，ｘｙ＝６，则ｘ２＋ｙ２＝ ． 解：因为ｘ－ｙ＝４，ｘｙ＝６，所以ｘ２＋ｙ２ ＝（ｘ－ｙ）２ ＋２ｘｙ＝４２＋２×６＝２８．故填２８ 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 殏 殏殏 殏 ． 变式３：ａｂ＝ １２［（ａ＋ｂ） ２－（ａ２＋ｂ２）］． 例３　已知（ａ＋ｂ）２ ＝６４，ａ２＋ｂ２ ＝３４，则ａｂ的值 为 ． 解：因为（ａ＋ｂ）２ ＝６４，ａ２＋ｂ２ ＝３４，所以 ａｂ＝ １ ２［（ａ＋ｂ） ２－（ａ２＋ｂ２）］＝１５．故填１５ 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 殏 殏殏 殏 ． 变式４：ａｂ＝ １２［（ａ ２＋ｂ２）－（ａ－ｂ）２］． 例４　已知ａ２＋ｂ２ ＝８，ａ－ｂ＝３，则ａｂ的值为 （　　） Ａ．３２ Ｂ．３ Ｃ．－ １ ２ Ｄ．５ 解：因为ａ２＋ｂ２＝８，ａ－ｂ＝３，所以ａｂ＝１２［（ａ ２＋ ｂ２）－（ａ－ｂ）２］＝－１２．故选Ｃ 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 殏 殏殏 殏 ． 变式５：ａｂ＝ １４［（ａ＋ｂ） ２－（ａ－ｂ）２］． 例５　已知（ｘ＋ｙ）２ ＝２５，（ｘ－ｙ）２ ＝９，则 ｘｙ＝ ． 解：因为（ｘ＋ｙ）２＝２５，（ｘ－ｙ）２＝９，则ｘｙ＝１４［（ｘ ＋ｙ）２－（ｘ－ｙ）２］＝４．故填４． 评注：在上述五种变形中，主要揭示了ａ＋ｂ，ａ－ｂ， ａｂ和ａ２＋ｂ２这四者的关系，相信大家已经熟练掌握了这 些变形公式，在具体解题过程中，要根据题意灵活选用， 以便解决一些求值问题． 书 上期２版 １２．２整式的乘法 １２．２．１单项式与单项式相乘 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．ｘ７ｙ２； ４．２ａ２或 －２ｂ２． ５．（１）－６ａ２ｂ２ｃ；　（２）－１６ｘ１３ｙ１７；　（３）－９ｍ３ｎ４． ６．绿化的面积是：３５ｘ ２ｙ２· ３４ｘｙｚ＝ ９ ２０ｘ ３ｙ３ｚ（ｍ２）， 剩下的面积是（ｘ３ｙ４ｚ－９２０ｘ ３ｙ３ｚ）ｍ２． 能力提高 　７．原式 ＝（ａ３ｍ）２ ＋ｂ３ｎ －ａ６ｍｂ３ｎ ＝ （ａ３ｍ）２＋ｂ３ｎ－（ａ３ｍ）２ｂ３ｎ． 当ａ３ｍ ＝３，ｂ３ｎ ＝２时，原式 ＝－７． １２．２．２单项式与多项式相乘 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．ａ２； ４．－５；　５．（４ｘ３ｙ２＋４ｘｙ３）米． ６．（１）ｘ３－２ｘ；　（２）ｍ４－２０ｍ３－１２ｍ２； （３）６ａ３－３５ａ２＋１３ａ． ７．原式 ＝ｘ２＋１． 当ｘ＝３时，原式 ＝１０． ８．原式 ＝７ａ２－７ｋａｂ－３ｂ２＋４２ａｂ＋３＝７ａ２－３ｂ２ ＋（４２－７ｋ）ａｂ＋３． 根据题意，得４２－７ｋ＝０．解得ｋ＝６． １２．２．３多项式与多项式相乘 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．１０． ４．（１）３ｍ２＋１４ｍ－５；　（２）－４ｘ＋２； （３）ｘ３－３ｘ２ｙ＋６ｘｙ２－８ｙ３． ５．（１）根据题意，得扩大后长方形的面积是：（２ｘ＋ ２）（２ｘ－３＋２）＝（２ｘ＋２）（２ｘ－１）＝４ｘ２－２ｘ＋４ｘ－ ２＝（４ｘ２＋２ｘ－２）ｃｍ２． （２）当ｘ＝３时，扩大后长方形的面积是：４×９＋２ ×３－２＝４０（ｃｍ２）． 能力提高　６．因为（ｘ＋３）（６ｘ＋２）－６ｘ（ｘ＋４）＋ ４（ｘ＋１）＝６ｘ２＋２ｘ＋１８ｘ＋６－６ｘ２－２４ｘ＋４ｘ＋４＝１０． 所以代数式的值与ｘ无关． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ Ａ Ｂ Ｂ 二、９．２ａ２＋ａ－３；　１０．２８ａｂ２；　１１．－４；　１２．－４． 三、１３．（１）８ｘ３ｙ３；　（２）１３ａ２ｂ－４ａｂ２； （３）３ｘ２－３ｘｙ． １４．由题意，得３ｘ－（ｘ－２ｙ）＝２ｘ＋２ｙ．所以（２ｘ＋ ２ｙ）（ｘ－２ｙ）＝２ｘ２－４ｘｙ＋２ｘｙ－４ｙ２＝２ｘ２－２ｘｙ－４ｙ２． 答：得到的结果应该是２ｘ２－２ｘｙ－４ｙ２． １５．（１）这块用地的总面积为：［（３ａ＋２ｂ）＋（２ａ－ ｂ）］·４ａ＝（５ａ＋ｂ）·４ａ＝（２０ａ２＋４ａｂ）平方米． （２）商厦的用地面积为：（２ａ－ｂ）（４ａ－３ａ）＝（２ａ２ －ａｂ）平方米． 当ａ＝３０，ｂ＝５０时，原式 ＝２×３０２－３０×５０＝ ３００（平方米）． 答：商厦的用地面积为３００平方米． １６．（１）（３，２，－１）． （２）因为（１，４，４）的特征多项式为ｘ２＋４ｘ＋４，（１， －４，４）的特征多项式为 ｘ２－４ｘ＋４，所以（ｘ２＋４ｘ＋ ４）（ｘ２－４ｘ＋４）＝ｘ４－４ｘ３＋４ｘ２＋４ｘ３－１６ｘ２＋１６ｘ＋ ４ｘ２－１６ｘ＋１６＝ｘ４－８ｘ２＋１６． （３）－６． 附加题　１．［（ａ＋ｂ）ｂ］＋［（ｂ－ａ）ｂ］ ＝［（ａ＋ｂ）ｂ＋（ａ＋ｂ）－ｂ］＋［（ｂ－ａ）ｂ＋（ｂ－ａ）－ｂ］ ＝ａｂ＋ｂ２＋ａ＋ｂ－ｂ＋ｂ２－ａｂ＋ｂ－ａ－ｂ ＝２ｂ２． ２．（１）原式 ＝２ｍｘ－３ｍ＋２ｍ２－３ｘ＝（２ｍ－３）ｘ＋ ２ｍ２－３ｍ．因为（２ｘ－３）ｍ＋２ｍ２－３ｘ的值与ｘ的取值无 关，所以２ｍ－３＝０．解得ｍ＝ ３２． （２）因为Ａ＝（２ｘ＋１）（ｘ－１）－ｘ（１－３ｙ），Ｂ＝－ｘ２ ＋ｘｙ－１，所以３Ａ＋６Ｂ＝３［（２ｘ＋１）（ｘ－１）－ｘ（１－３ｙ）］ ＋６（－ｘ２＋ｘｙ－１）＝３（２ｘ２－２ｘ－１＋３ｘｙ）－６ｘ２＋６ｘｙ －６＝６ｘ２－６ｘ－３＋９ｘｙ－６ｘ２＋６ｘｙ－６＝１５ｘｙ－６ｘ－ ９＝（１５ｙ－６）ｘ－９．因为３Ａ＋６Ｂ的值与ｘ无关，所以１５ｙ －６＝０．解得ｙ＝ ２５． （３）设ＡＢ＝ｘ． 由图可知Ｓ１＝ａ（ｘ－３ｂ），Ｓ２＝２ｂ（ｘ－２ａ）．所以Ｓ１ －Ｓ２ ＝ａ（ｘ－３ｂ）－２ｂ（ｘ－２ａ）＝（ａ－２ｂ）ｘ＋ａｂ．因为 当ＡＢ的长变化时，Ｓ１－Ｓ２的值始终保持不变，所以Ｓ１－ Ｓ２的值与ｘ无关．所以ａ－２ｂ＝０．所以ａ＝２ｂ． 书 乘法公式的题型多种 多样、精彩万分，下面让我 们一起参观乘法公式的题 型展吧！ 一、纠错型 例１　小红在计算ａ（１ ＋ａ）－（ａ－１）２时，解答过 程如下： 小红的解答从第 步开始出错，请写出正确的 解答过程． 分析：根据单项式与多 项式相乘、乘法公式及整式 的加减进行判断即可． 解：一． ａ（１＋ａ）－（ａ－１）２ ＝ａ＋ａ２－（ａ２－２ａ＋１） ＝ａ＋ａ２－ａ２＋２ａ－１ ＝３ａ－１． 二、求值型 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例２ 已知４（ｘ－９）２＋（２３－２ｘ）２ ＝８，则（ｘ－ ９）（２３－２ｘ）的值为 ． 分析：设２（ｘ－９）＝ａ，２３－２ｘ＝ｂ，则（ａ＋ｂ）２＝２５， 根据两数和（差）的平方公式的变形即可得解． 解：设２（ｘ－９）＝ａ，２３－２ｘ＝ｂ． 所以ａ＋ｂ＝２ｘ－１８＋２３－２ｘ＝５． 所以（ａ＋ｂ）２ ＝２５． 因为４（ｘ－９）２＋（２３－２ｘ）２ ＝ａ２＋ｂ２ ＝８， 所以（ｘ－９）（２３－２ｘ）＝ １２ａｂ＝ １ ４［（ａ＋ｂ） ２ －（ａ２＋ｂ２）］＝１７４． 故填 １７ ４． 三、实际应用型 例３　从前，古希腊一位庄园主把一块边长为ａ米 （ａ＞６）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张 老汉说：“我把这块地的一边增加６米，相邻的另一边减 少６米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没 有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面 积会 （　　） Ａ．没有变化 Ｂ．变大了 Ｃ．变小了 Ｄ．无法确定 分析：长方形土地的面积为（ａ＋６）（ａ－６）平方米， 根据平方差公式即可得出答案． 解：长方形土地的长为（ａ＋６）米，宽为（ａ－６）米， 则面积为：（ａ＋６）（ａ－６）＝（ａ２－３６）平方米． 所以长方形土地的面积比正方形土地的面积ａ２小 了３６平方米． 故选Ｃ． 书 学习了乘法公式之后，在进行多项式的乘法运算 时，先不要急着去括号，应先注意看看能否借变形之力 应用乘法公式． 一、位置变形 例１　运用乘法公式计算（４＋ｘ）（ｘ－４）的结果是 （　　） Ａ．ｘ２－１６ Ｂ．１６－ｘ２ Ｃ．ｘ２＋１６ Ｄ．ｘ２－８ｘ＋１６ 分析：两个多项式中，含字母ｘ的项完全相同，常数项 互为相反数．根据加法交换律将完全相同的项移到前面，互 为相反数的项移到后面，即可利用平方差公式计算． 解：原式 ＝（ｘ＋４）（ｘ－４）＝ｘ２－１６． 故选Ａ． 例２　计算：（ｘ－ｙ）（ｘ２＋ｙ２）（ｘ＋ｙ）（ｘ４＋ｙ４）． 分析：观察本题的特点，可利用乘法交换律，把多项 式（ｘ＋ｙ）放到最前面，再连续运用平方差公式求解． 解：原式＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）（ｘ２＋ｙ２）（ｘ４＋ｙ４） ＝（ｘ２－ｙ２）（ｘ２＋ｙ２）（ｘ４＋ｙ４） ＝（ｘ４－ｙ４）（ｘ４＋ｙ４）＝ｘ８－ｙ８． 二、符号变形 例３　计算（２－ｘ）（ｘ－２）的结果为 （　　） Ａ．４－ｘ２ Ｂ．ｘ２－４ Ｃ．－４－４ｘ－ｘ２ Ｄ．－４＋４ｘ－ｘ２ 分析：两个多项式中，含字母 ｘ的项的系数和常数 项都互为相反数．若变换第二个多项式中各项的符号， 使ｘ－２变为 －（２－ｘ），则可以利用两数和（差）的平方 公式求解． 解：原式＝－（２－ｘ）２ ＝－（４－４ｘ＋ｘ２）＝－４＋４ｘ－ｘ２． 故选Ｄ． 三、分组变形 例４　计算：（ｍ＋２ｎ－３ｐ）２． 分析：计算三个数的和或差的平方，可先添括号将 其中两项看成一个整体，再运用两数和（差）的平方公 式进行计算． 解：原式＝［ｍ＋（２ｎ－３ｐ）］２ ＝ｍ２＋２ｍ（２ｎ－３ｐ）＋（２ｎ－３ｐ）２ ＝ｍ２＋４ｍｎ－６ｍｐ＋４ｎ２－１２ｎｐ＋９ｐ２． 例５　计算：（ｘ－３ｙ－２ｚ）（ｘ－３ｙ＋２ｚ）． 分析：第一个多项式与第二个多项式的前两项完全 相同，且它们的第三项的系数互为相反数．可将完全相 同的两项看成一个整体，再利用乘法公式进行计算． 解：原式＝［（ｘ－３ｙ）－２ｚ］·［（ｘ－３ｙ）＋２ｚ］ ＝（ｘ－３ｙ）２－４ｚ２ ＝ｘ２－６ｘｙ＋９ｙ２－４ｚ２． 四、指数变形 例６　计算：（３ａ＋２）２（３ａ－２）２． 分析：本题若直接运用两数和（差）的平方公式展 开再相乘，计算相当繁琐．我们不妨先逆用积的乘方法 则，再运用乘法公式，便可巧妙求解． 解：原式＝［（３ａ＋２）（３ａ－２）］２ ＝（９ａ２－４）２ ＝８１ａ４－７２ａ２＋１６． !"# !"!#$$%%& !"#$ !"#$%&'() ' " ! (' !"#$) % ! *+,- !"#$%&'()*+,- ! . !"#$%&'" ()*+,-'. ! /0 123 书 整式的除法的基础是同 底数幂的除法法则．整式的除 法包括两种类型：一是单项式 除以单项式；二是多项式除以 单项式．让我们一起来学习 吧！ 一、单项式除以单项式 单项式相除，把系数、同 底数幂分别相除后，作为商的 因式，对于只在被除式里含有 的字母，则连同它的指数一起 作为商的一个因式． 说明：进行单项式除以单 项式的运算时，要注意： （１）商的系数等于被除式的系数除以除式的系数， 运算时按有理数的除法法则进行，先确定商的符号，再 把绝对值相除． （２）同底数幂相除时，底数不变，指数相减． （３）只在被除式里含有的字母，要连同它的指数一 起作为商的一个因式，千万不要把这个因式漏掉． （４）连除运算时，应从左到右分步进行除法运算． （５）单项式除以单项式，结果仍是单项式． 例１　计算（２ｘ）３÷（－ｘ２）的结果是 （　　） Ａ．－８ｘ Ｂ．－２ｘ Ｃ．２ｘ Ｄ．８ｘ 分析：先根据积的乘方化简，再根据单项式除以单 项式的法则即可得出答案． 解：原式 ＝８ｘ３÷（－ｘ２）＝－８ｘ． 故选Ａ． 二、多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别 除以单项式，再把所得的商相加． 说明：进行多项式除以单项式的运算时，要注意： （１）多项式的每一项都包括它前面的符号，单项式 也包括它前面的符号． （２）多项式除以单项式时，不要漏除，相除后，商的 项数与多项式的项数相同． （３）混合运算时，要注意运算顺序，运算过程中若 有同类项，要合并同类项． （４）多项式除以单项式，结果仍是多项式． 例２　计算：（３ａ２ｂ３＋ａｂ）÷ａｂ＝ ． 分析：运用多项式除以单项式的法则得出答案即 可． 解：原式 ＝３ａｂ２＋１． 故填３ａｂ２＋１． """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! 45 678 ! " " " ! # & # ' # ! ! " ! & ! " ! " # & # # # ! # ' ! ! ! 9 : 1 ; < &!('=>?@ $ABC!&("#$%&'()*+,-. ()/012345( !("#6789:;<3%&()*=>7 89:'<3%&()3?@AB*"/0CD 831E-5( DEFGH"FG-.%&'()9789 :'<3%&()/0H)3IJ-5( &!(#I@JK> DEFGH KLMNH)OJJ P3QR* "/0 123H)OJ- 5( " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! L: MNO """""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" !"&$!#%"!%&$ ! )!$! ! *%! ! *&$ )!+! ! *! ! *& )!*&( SSTCU SSTVW SSTXW ! P Q R S T - & . &&(& &'() *'( - !. &&(! +, - '. - && ./.0 1 - #. &!(&2345 - , . &!(! /637 8 - -. &!('7896: &!(#/63;8 - % . &!(, <6=> - $. - &! ./.0 1 - . . &'(& ?@AB C)DE:&'(! FGH IJ3KB%&$ - &" . &'(! FGH IJ3KB%!$ - &&. LM01 - &! . &'(' JNF GH - &' . &'(# OPQ !:&'(, R?@)RB C - &# . - &' ./. 01 - &, . &#(& STB C:&#(! 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CDKÞQ[\]^ ü_`abcde!"#µ Ë¢ŒPf…Ë\V¯ g &$&&$% 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．计算（ｘ＋５）２的结果是 （　　） Ａ．ｘ２＋１０ｘ＋２５ Ｂ．ｘ２－１０ｘ＋２５ Ｃ．ｘ２－２５ Ｄ．ｘ２＋２５ ２．若（ｘ＋３）（ｘ－３）＝５５，则ｘ的值为 （　　） Ａ．８ Ｂ．－８ Ｃ．８或 －８ Ｄ．６或８ ３．下列各式中，能用两数和（差）的平方公式计算 的是 （　　） Ａ．（３ａ－２ｂ）（－２ｂ－３ａ） Ｂ．（３ａ＋２ｂ）（－３ａ－２ｂ） Ｃ．（３ａ＋２ｂ）（－２ａ－３ｂ） Ｄ．（３ａ－２ｂ）（３ａ＋２ｂ） ４．若（２ａ２）ｍ ÷４ａ＝２ａｎ，则ｍ－ｎ的值为 （　　） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．－４ Ｄ．－２ ５．已知ｘ２－ｙ２ ＝２，则（５ｘ－ｙ）ｘ＋ｙ的值为 （　　） Ａ．５ Ｂ．１０ Ｃ．２５ Ｄ．１２５ ６．计算（ｘ－２）（２ｘ＋３）－（３ｘ＋１）２的结果中，含ｘ 项的系数为 （　　） Ａ．５ Ｂ．－５ Ｃ．７ Ｄ．－７ ７．下列计算正确的是 （　　） Ａ．１０ａ４ｂ３ｃ２÷５ａ３ｂｃ＝ａｂ２ｃ Ｂ．（ａ２ｂｃ）２÷ａｂｃ＝ａ Ｃ．（９ｘ２ｙ－６ｘｙ２）÷３ｘｙ＝３ｘ－２ｙ Ｄ．（６ａ２ｂ－５ａ２ｃ）÷（－３ａ２）＝－２ｂ－５３ｃ ８．已知（ｘ＋ｙ）２ ＝３，（ｘ－ｙ）２ ＝７，则［（２ｘｙ＋ ３）（２ｘｙ－３）＋９］÷１２ｘｙ的值为 （　　） Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．８ Ｄ．－８ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．计算：８ｘ２ｙ４÷４ｘｙ２ ＝ ． １０．若ａ２＋２ａ－２＝０，则（ａ＋１）２ ＝ ． １１．若ｘ－ｙ＝５，ｘｙ＝２，则ｘ２＋ｙ２的值为 ． １２．如图，是由两个相同的 大正方形（甲）、一个小正方形 （乙）和两个相同的直角三角形 （丙）无缝拼接而成的六边形， 这个六边形的面积为７２，则图中 阴影部分的面积为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１２分）计算： （１）（６ｘ４ｙ３－８ｘ３ｙ２）÷（－２ｘ２ｙ）； （２）（－ｘ＋２ｙ）（－２ｙ－ｘ）－２ｙ（ｘ－２ｙ）＋２ｘｙ； （３）２０８２－２０７×２０９． １４．（１０分）已知多项式Ｍ＝（ｘ＋２）２＋（８－ｘ）（８ ＋ｘ）－２． （１）化简多项式Ｍ； （２）若（ｘ＋１）２－ｘ２ ＝５，求Ｍ的值． １５．（１４分）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游 戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式Ａ做被除式，娜娜 报的整式Ｂ做除式，要求商式必须为 －３ｘｙ（即Ａ÷Ｂ＝ －３ｘｙ）． （１）若丽丽报的是 ｘ３ｙ－６ｘｙ２，则娜娜应报什么整 式？ （２）若娜娜也报 ｘ３ｙ－６ｘｙ２，则丽丽能报一个整式 吗？若能，则报的是什么整式？说说你的理由． １６．（１６分）观察下列等式： 第１个等式：（２×１＋１）２＝（２×２＋１）２－（２×２）２； 第２个等式：（２×２＋１）２＝（３×４＋１）２－（３×４）２； 第３个等式：（２×３＋１）２＝（４×６＋１）２－（４×６）２； 第４个等式：（２×４＋１）２＝（５×８＋１）２－（５×８）２； …… 按照以上规律，解答下列问题： （１）写出第５个等式： ； （２）写出你猜想的第 ｎ个等式（用含 ｎ的式子表 示），并说明理由． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（１０分）李明同学在计算３×（４＋１）（４２＋１）（４４ ＋１）时，把３写成４－１，发现可以连续运用平方差公式 计算，即： ３×（４＋１）（４２＋１）（４４＋１） ＝（４－１）（４＋１）（４２＋１）（４４＋１） ＝（４２－１）（４２＋１）（４４＋１） ＝（４４－１）（４４＋１） ＝４８－１． 请你借鉴李明同学的经验，计算：（１＋１２）（１＋ １ ２２ ）（１＋１ ２４ ）（１＋１ ２８ ）＋１ ２１５ ． ２．（１０分）已知ａ＋ｂ＋ｃ＝１，ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝２，求ａｂ ＋ｂｃ＋ａｃ的值                                                                                                                                                                 ． h h i j i 书 １２．３乘法公式 １２．３．１两数和乘以这两数的差 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．计算（１－２ｘ）（１＋２ｘ）的结果是 （　　） Ａ．４ｘ２＋１ Ｂ．１－４ｘ２ Ｃ．４ｘ２ Ｄ．－４ｘ２－１ ２．若ａ２－２ａ－１＝０，那么代数式（ａ＋２）（ａ－２）－ ２ａ的值为 （　　） Ａ．－１ Ｂ．－３ Ｃ．１ Ｄ．３ ３．方程（４ｘ－７）（ｘ－１）－（２ｘ＋３）（２ｘ－３）＝－６ 的解是 ． ４．计算： （１）（－１４ｘ－３ｙ）（－ １ ４ｘ＋３ｙ）； （２）（ｍ２＋２ｎ３）（ｍ２－２ｎ３）； （３）（４ｘ＋５ｙ）（５ｙ－４ｘ）； （４）ｘ２（ｘ－７ｙ）（ｘ＋７ｙ）－（ｘ２＋ｙ）（ｘ２－ｙ）． 能力 ５．已知多项式Ａ与多项式Ｂ相乘时能直接运用平方 差公式进行运算，其中Ｂ＝２ｘ－３ｙ，则当ｘ＋３２ｙ＝２时， 多项式Ａ的值是 ． １２．３．２两数和（差）的平方公式 １．计算（ｘ－９）２的结果是 （　　） Ａ．ｘ２－９ｘ＋８１ Ｂ．ｘ２－１８ｘ＋８１ Ｃ．ｘ２＋９ｘ＋８１ Ｄ．ｘ２＋１８ｘ＋８１ ２．已知（ａｘ＋４ｙ）２＝４ｘ２＋１６ｘｙ＋ｂｙ２，则ａ，ｂ的值分 别为 （　　） Ａ．４，４ Ｂ．２，４ Ｃ．４，１６ Ｄ．２，１６ ３．小淇将（４２ｘ＋４３）２展开后得到ａ１ｘ ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１；小 尧将（４３ｘ－４２）２展开后得到ａ２ｘ ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２，若两人计算 过程无误，则ｂ１＋ｂ２ ＝ ． ４．若ａ＋ｂ＝４，ａ２＋ｂ２ ＝２，则ａｂ＝ ． ５．计算： （１）（－６ａ＋ｂ）２； （２）１９７２（运用乘法公式）； （３）（ｘ－３ｙ）２－ｘ（ｘ＋６ｙ）． 能力提高 ６．把２０ｃｍ长的一根铁丝分成两段，将每一段围成 一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是５ｃｍ２，求 这两段铁丝的长． １２．４整式的除法 １２．４．１单项式除以单项式 １．计算６ａ６÷２ａ２的结果是 （　　） Ａ．３ａ３ Ｂ．４ａ３ Ｃ．３ａ４ Ｄ．４ａ４ ２．若 Ｍ·ｘ２ｙ３ ＝ｘ５ｙ５，则 Ｍ所表示的式子为 ． ３．在一次班会上，有这样一个节目：主持人小明同 学亮出了 Ａ，Ｂ，Ｃ三张卡片，上面分别写有 １６ａ３ｂ４ｃ２， ４ａ２ｂｃ，３２ａ４ｂ７ｃ３，其中有两张卡片上的单项式相除，所得 的商为２ａｂ３ｃ，这两张卡片是 和 ，作为 被除式的卡片是 （只填写卡片代号即可）． ４．计算： （１）２ａ３ｂ２ｃ÷１３ａ ２ｂ； （２）（ａ５）３－ａ１１·ａ４＋（６ａ７）２÷４ａ２； （３）２ｘ２ｙ３·５ｘｙ２÷１０ｘ２ｙ４． １２．４．２多项式除以单项式 １．计算（ｘ３－２ｘ２ｙ）÷（－ｘ２）的结果是 （　　） Ａ．ｘ－２ｙ Ｂ．－ｘ＋２ｙ Ｃ．－ｘ－２ Ｄ．－ｘ＋２ ２．某同学在计算 －３ｘ加上一个多项式时，错将加法 做成了乘法，得到的答案是３ｘ３－３ｘ２＋３ｘ，由此可以推断 出正确的计算结果是 （　　） Ａ．－ｘ２－２ｘ－１ Ｂ．ｘ２＋２ｘ－１ Ｃ．－ｘ２＋４ｘ－１ Ｄ．ｘ２－４ｘ＋１ ３．一个长方形的面积为ｘ２ｙ＋ｘｙ２，宽为ｘｙ，则该长方 形的长为 ． ４．计算： （１）（３ａ２ｂ２＋２ａ２ｂ）÷ａｂ； （２）（９ｘ５＋１２ｘ３－６ｘ）÷３ｘ； （３）（ａ＋３）（ａ－２）＋（ａ－ａ３）÷ａ． ５．多项式２ｘ（ｘ２ｙ－ｘｙ２）－ｘｙ（２ｘｙ－ｘ２）除以Ａ，商是 ｘ２ｙ，求 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 Ａ． %&'()*!&'"()&'*+ !"#$%&'()*+ $"+),+&-)&%. !",-%&'()*+ $"+),+&-))&+ . ! ! !"#$ ! 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