第1期 11.1 平方根与 立方根（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（华东师大版）

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" ) !& *+* M- ! !*!#'" M-]^ 书 平方根是初中数学中的一个重要概念，它的题型较 多，下面让我们一起领略一下吧！ 一、规律型 例１　阅读下面材料： １槡 ３ ＝ １槡 ２ ＝１； １３＋２槡 ３ ＝ ３槡 ２ ＝３； １３＋２３＋３槡 ３ ＝ ６槡 ２ ＝６； １３＋２３＋３３＋４槡 ３ ＝ １０槡 ２ ＝１０； …… 根据上面的规律，解决问题： （１） １３＋２３＋３３＋４３＋５３＋６槡 ３ ＝ ＝ ； （２）求 １３＋２３＋３３＋… ＋ｎ槡 ３的值（用含 ｎ的代 数式表示）． 分析：（１）观察各个等式中最左边的被开方数中各 个幂的底数的和与最右边的结果的关系即可得出结论； （２）利用发现的规律解答即可． 解：（１） ２１槡 ２，２１； （２）根 据 上 述 材 料 中 发 现 的 规 律， 可 得 １３＋２３＋３３＋… ＋ｎ槡 ３ ＝ （１＋２＋３＋… ＋ｎ）槡 ２ ＝ｎ（ｎ＋１）２ ． 二、实际应用型 例２　某小区为了促进全民健身活动的开展，决定 在一块面积为１０００ｍ２的正方形空地上建一个篮球场． 已知篮球场的面积为４２０ｍ２，其中长是宽的２８１５倍，篮球 场的四周必须留出１ｍ宽的空地，请你通过计算说明能 否按规定在这块空地上建一个篮球场？ 分析：设篮球场的宽为ｘｍ，则长为２８１５ｘｍ．要判断能 否按规定在这块空地上建一个篮球场，只需判断（ ２８ １５ｘ＋ ２）２是否小于或等于１０００即可． 解：设篮球场的宽为ｘｍ，则长为２８１５ｘｍ． 根据题意，得 ２８ １５ｘ·ｘ＝４２０． 解得ｘ＝±１５． 因为ｘ为正数， 所以ｘ＝１５． 所以该篮球场的长和两侧空地的总长为： ２８ １５ｘ＋２ ＝２８１５×１５＋２＝３０（ｍ）． 因为３０２ ＝９００＜１０００， 所以能按规定在这块空地上建一个篮球场． 书 立方根是方根家族中 的重要成员，今天立方根 “个人专辑”正式发行，下 面让我们先睹为快吧！ 曲目一、求立方根 例１　 求下列各数的 立方根： （１）－８； （２）１２５２７； （３）０．００１． 解析：求一个数的立方 根可借助立方来求，同时要 注意正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数，０的 立方根是０． （１）因为（－２）３ ＝ －８，所以 －８的立方根是 －２，即 ３－槡 ８＝－２； （２）因为（５３） ３ ＝１２５２７，所以 １２５ ２７的立方根是 ５ ３，即 ３１２５ 槡２７ ＝ ５ ３； （３）因为 ０．１３ ＝０．００１，所以 ０．００１的立方根是 ０．１，即 ３０．槡 ００１＝０．１． 曲目二、化简求值 例２　计算： ３ （－５）槡 ３ － ３ １－７槡 ８． 解析：先求立方根，然后再作加减运算即可． ３ （－５）槡 ３ － ３ １－７槡 ８ ＝－５－ １ ２ ＝－ １１ ２． 曲目三、解方程 例３　已知（２ｘ－１）３－８＝０，求ｘ的值． 解析：由已知，得（２ｘ－１）３＝８．根据立方根的意义 可知，２ｘ－１是８的立方根．又知８的立方根是２，所以２ｘ －１＝２．解得ｘ＝ ３２． 曲目四、实际应用 例４　一块长方体红砖，体积为１７２８立方厘米， 长、宽、高的比是４∶２∶１，求它的长、宽、高． 解析：设这个长方体红砖的长是４ｘ厘米，宽是２ｘ厘 米，高是ｘ厘米． 根据题意，得４ｘ·２ｘ·ｘ＝１７２８，即８ｘ３ ＝１７２８． 解得ｘ＝６． 所以４ｘ＝２４，２ｘ＝１２． 答：这个长方体红砖的长是２４厘米，宽是１２厘米， 高是６厘米． 书 平方根、算术平方根和立方根是三个重要的知识 点，频繁出现在各种不同类型的考试题中，这“三兄弟” 经常一起出场，互相搭桥，联合演绎一道道好题．下面撷 取几例，供同学们参考． 一、平方根联合立方根 例１　已知一个正数ｘ的两个平方根是ａ＋１和ａ－ ５，求ｘ－８的立方根． 解：根据题意，得ａ＋１＋ａ－５＝０． 解得ａ＝２． 所以ａ＋１＝３． 所以ｘ＝９． 所以ｘ－８＝１． 因为１的立方根是１， 所以ｘ－８的立方根是１． 例２　已知４ａ＋７的立方根是３，求６ａ＋６的平方根． 解：根据题意，得４ａ＋７＝２７． 解得ａ＝５． 所以６ａ＋６＝３６． 因为３６的平方根是 ±６， 所以６ａ＋６的平方根是 ±６． 二、平方根、立方根联合算术平方根 例３　已知某正数的两个平方根是 －１和ａ－４，ｂ＋ １２的立方根是 －２，求ａ－ｂ的算术平方根． 解：根据题意，得ａ－４＝１，ｂ＋１２＝－８． 解得ａ＝５，ｂ＝－２０． 所以ａ－ｂ＝２５． 因为２５的算术平方根是５， 所以ａ－ｂ的算术平方根是５． 三、立方根、算术平方根联合立方根 例４　已知２ａ＋１的算术平方根是３，３ａ－ｂ－１的 立方根是２，求ａ＋２０ｂ的立方根． 解：根据题意，得２ａ＋１＝９，３ａ－ｂ－１＝８． 解得ａ＝４，ｂ＝３． 所以ａ＋２０ｂ＝６４． 因为６４的立方根是４， 所以ａ＋２０ｂ的立方根是４． 热身练习 １．已知ｘ＋２的平方根是 ±２，２ｘ＋ｙ＋７的立方根是 ３，求ｘ２＋ｙ的立方根． ２．已知３ａ－１０的平方根是 ±槡１７，３ａ＋２ｂ－１１的 算术平方根是６，求ａ＋４ｂ的平方根． 书 与平方根和立方根有关的题目，为了考查对概念的 理解和性质的掌握情况，常会设置一些“陷阱”，解题时 稍有不慎便会出错．下面就让我们一起来识破这些“陷 阱”吧！ 一、利用平方运算设置“陷阱” 例１　求（－７）２的平方根． 错解：（－７）２的平方根是－７． 剖析：错解习惯性认为 －７的平方为（－７）２，则 （－７）２的平方根就是 －７，没有进一步想到一个正数的 平方根有两个，且它们互为相反数，错解漏掉了一个正 的平方根． 正解：因为（－７）２ ＝４９，４９的平方根是 ±７，所以 （－７）２的平方根是 ±７． 二、利用根号设置“陷阱” 例２　计算：槡６４． 错解：因为（±８）２ ＝６４，所以槡６４＝±８． 剖析：错解混淆了平方根和算术平方根的概念．因 为槡６４表示的是６４的算术平方根，所以本题实际上是 求６４的算术平方根，而不是求６４的平方根． 正解：槡６４＝８． 例３　填空： （１）槡１６的算术平方根是 ； （２） ３槡２７的立方根是 ． 错解：（１）４；　（２）３． 剖析：由于槡１６表示的是算术平方根， ３ 槡２７表示的 是立方根，从而给审题不仔细者一种错觉：（１）是求１６ 的算术平方根，（２）是求２７的立方根．事实上，槡１６＝ ４，所以（１）小题实际上是求４的算术平方根；同样，３槡２７ ＝３，所以（２）小题实际上是求３的立方根． 正解：（１）因为槡１６＝４，所以槡１６即４的算术平方 根是２．故填２． （２）因为 ３槡２７＝３，所以 ３ 槡２７即３的立方根是 ３ 槡３．故 填 ３ 槡３． 三、利用被开方数为带分数设置“陷阱” 例４　求 １９槡１６的值． 错解： １９槡１６＝１＋ ３ ４ ＝１ ３ ４． 剖析：若被开方数为带分数，开方时应先将带分数 转化为假分数后再开方． 正解： １９槡１６＝ ２５ 槡１６＝ ５ ４． 四、利用隐含条件设置“陷阱” 例５　（π－３．１４２）２的算术平方根是 ． 错解：π－３．１４２． 剖析：错解忽视了π－３．１４２＜０的隐含条件，事实 上，一个非负数的算术平方根仍然是一个非负数． 正解：３．１４２－π． 书 已知一个正数的平方 根求这个正数时，需正确 理解题意，依据平方根的 性质列方程求解．下面举 例说明． 一、已知一个正数的 平方根是两个式子 例１　已知一个正数 ａ的平方根是 ２ｍ－１和 －３ｍ＋５２，则这个正数 ａ 为 ． 分析：利用平方根的 性质可知２ｍ－１＋（－３ｍ ＋５２）＝０，求出 ｍ的值， 进而可得出答案． 解：因为一个正数ａ的平方根是２ｍ－１和 －３ｍ＋ ５ ２，所以２ｍ－１＋（－３ｍ＋ ５ ２）＝０． 解得ｍ＝ ３２． 所以ａ＝（２×３２－１） ２ ＝４． 故填４． 说明：如果已知一个正数的两个平方根，那么这两 个平方根互为相反数，根据互为相反数的两个数的和 为零，列方程即可解决问题． 二、已知两个式子是一个正数的平方根 例２　若３－ａ和２ａ＋３都是某正数的平方根，则 这个数为 ． 分析：３－ａ和２ａ＋３都是某正数的平方根，可能存 在两种情况：一种情况是３－ａ与２ａ＋３表示一个正数 的同一个平方根，此时３－ａ＝２ａ＋３；另一种情况是３ －ａ与２ａ＋３表示一个正数的两个不同的平方根，此时 ３－ａ与２ａ＋３互为相反数．由此即可得出答案． 解：分两种情况讨论： ①当３－ａ与２ａ＋３表示一个正数的同一个平方根 时，此时３－ａ＝２ａ＋３． 解得ａ＝０． 所以３－ａ＝３． 因为３２ ＝９，所以这个数为９． ②当３－ａ与２ａ＋３表示一个正数的两个不同的平 方根时，此时３－ａ＋２ａ＋３＝０． 解得ａ＝－６． 所以３－ａ＝９． 因为９２ ＝８１，所以这个数为８１． 综上所述，这个数为９或８１． 故填９或８１． 说明：已知两个式子表示同一个正数的平方根，此 时存在两种情况，一是两个式子相等，二是两个式子互 为相反数，需分类讨论求解． ! # $ % & ' ! () *+, 书 平方根、算术平方根和立方根是初中数学的重要知 识，因为它们的概念相近，表示形式相似，所以初学者很 容易混淆．为了帮助同学们正确理解和区分，解读如下： 一、概念对比 １．平方根：如果一个数的平方等于ａ，那么这个数叫 做ａ的平方根． ２．算术平方根：正数ａ的正的平方根，叫做ａ的算术 平方根． ３．立方根：如果一个数的立方等于ａ，那么这个数叫 做ａ的立方根． 温馨提示：算术平方根从属于平方根，是平方根的 一部分，知道了一个正数的平方根也就知道了这个正数 的算术平方根，同样，知道了一个正数的算术平方根，也 就知道了这个正数的平方根． ４．开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开 平方． ５．开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方． 温馨提示：开平方与平方互为逆运算，开立方与立 方互为逆运算，因此可根据这种关系求一个数的平方根 和立方根． 二、符号对比 １．一个非负数ａ的平方根记作 ±槡ａ，如２的平方根 记作±槡２；一个非负数ａ的算术平方根记作槡ａ，如２的算 术平方根记作槡２． 温馨提示：±槡ａ是槡ａ与 －槡ａ（ａ＞０）的合写，槡ａ ≠－槡ａ，所以我们要分清 ±槡ａ，槡ａ，－槡ａ（ａ＞０）这三种 形式的区别． ２．一个数ａ的立方根记作３槡ａ，如２的立方根记作 ３ 槡２． 温馨提示：对于符号“ ｎ 槡ａ”，ｎ表示根指数，ａ表示被 开方数，在符号“±槡ａ”中，根指数ｎ＝２，可以省略不写， 而在符号“ ３ 槡ａ”中，根指数ｎ＝３，不能省略． 三、性质对比 １．平方根的性质：一个正数的平方根有两个，它们 互为相反数，０的平方根是０，负数没有平方根，如４９有 两个平方根，为７和 －７，它们互为相反数． ２．算术平方根的性质：一个正数ａ的算术平方根有 一个，是ａ的正的平方根，０的算术平方根是０，负数没有 算术平方根，如４９的算术平方根只有一个，是７． ３．立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立 方根是负数，０的立方根是０，如 ３槡２１６＝６， ３－槡 ２１６＝ －６，３槡０＝０． """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! -. / 0 !"# #+#%$(%$& !"#$ !"#$%&'() ' " ! (' !"#$) % ! *+,- 123456789:;<! ! " !"#$%&'" ()*+,-'. * +, =>? - * +, *@A - ( . /, BC? - * +, D E - * +, F G ./012, B H 34015, BIJ .6718, K L .679:, MNO @PQ R S TUV W X YZ[ *\] W^I _ N `&V 0a> Rbc db' *>e fG2 ghS % [ ijk @lm ;5./, @ n ;5<=, _ o >?./, *pq @A./, *rr BCDE, stu !!"!vwxyzwx 4{|}~!"!"#$%&'(#$ %)*+, -.'(#$%/#$%) 01234" #"!"5$%)*+,6789:)5$ %" $";<#$/=#$>5$/=5$?@ )A4" %" 6BCD'E789FG:H '(#$%2IJ89:H5$%" €‚~!"6789FG:H# $%2'(#$%" #" 0K5$%/#$%HLMNO 6PQRS" ! ƒ „ * … > " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 书 观察下列计算过程，猜想立方根． １３ ＝１，２３ ＝８，３３ ＝２７，４３ ＝６４，５３ ＝１２５，６３ ＝ ２１６，７３ ＝３４３，８３ ＝５１２，９３ ＝７２９． （１）小明是这样求出１９６８３的立方根的．先估计 １９６８３的立方根的个位数，猜想它的个位数为 ，又由２０３ ＜１９０００＜３０３，猜想１９６８３的立 方根十位数为 ，验证得 １９６８３的立方根是 ． （２）请你根据（１）中小明的方法猜想 －３７３２４８的 立方根，写出过程并验证． " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! †. ‡ˆ> """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! -7 ‰LC """""""""""""""""""" -.8Š94‹Œ -.89Ž‘’“” -.89•–—˜™š›œ‹ 3žŸ ¡¢£¤  ¥¦=>? §¨©ª«¬£¤­®¦,-!%.+(+(/̄ 0° ±²³®¦#!.#+' #´µƒ¶ƒ¤ #·d»£¤ #¡¢¼½¾¦+$&!.&#(!#&' #´µ¿À¦-.ÁÂÃÄUÅÆÇÈÉ !$#®3žµ Ê234¡¢¼ #±Ë¡Ì¦+$+++' #ÄͼεÏЦ+$&!"&#(!!#& +$&!"&#(!#$(̄ ‘Ñ° #ÎÒ¦Óy´µÄͼÀÔÕÖ§×رÙ̄ Ú° #±ËÎÒÏЦ!!!)& #ÛÜÝÞÎßàÎáâÎ #´µãÖ§×Á̄ Ä°<äåæµ #†ç—˜èÛ鮦!%++++%+++!!+ #†ç¼½¾¦+$&!"&#(!#&& #´µêëì7w‘’í›œ̄ ïðÄñòÆóôõö÷ø !! ®°ùíúû™íüýþÿ!úÓy´µÄͼÀÔ"# 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．１６的平方根为 （　　） Ａ．±４ Ｂ．４ Ｃ．－４ Ｄ．８ ２．下列各数中，没有算术平方根的是 （　　） Ａ．０．１ Ｂ．９ Ｃ．（－１）３ Ｄ．０ ３．利用教材中的计算器依次按键如下：ＳＨＩＦＴ 槡■ ６ ４ ＝，则计算器面板显示的结果为 （　　） Ａ．±８ Ｂ．８ Ｃ．±４ Ｄ．４ ４．一个自然数的一个平方根是 ａ，则比这个自然数 大１的自然数的平方根是 （　　） Ａ．± ａ＋槡 １ Ｂ．ａ＋１ Ｃ．ａ２＋１ Ｄ．± ａ２＋槡 １ ５．将一个体积为６４ｃｍ３的正方体锯成８个同样大 小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为 （　　） Ａ．２ｃｍ Ｂ．３ｃｍ Ｃ．４ｃｍ Ｄ．５ｃｍ ６．下列说法不正确的是 （　　） Ａ．０的平方根是０ Ｂ．（－２）２的平方根是２ Ｃ．正数的平方根互为相反数 Ｄ．一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反 数 ７．已知｜ｘ３－１８｜＋（ｙ－４） ２＝０，则２ｘ－ｙ的立方 根是 （　　） Ａ．３ Ｂ．－３ Ｃ．３槡３ Ｄ．－ ３ 槡３ ８．若规定［ａ］表示不超过 ａ的最大整数，例如： ［４．３］＝４，［５］＝５．若ｘ＝［π－２］，ｙ＝［－槡１１］，则 在此规定下［ｘ－３４ｙ］的算术平方根为 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．不存在 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．－２７的立方根是 ． １０．若 ６是 ５ｘ＋１的一个平方根，则 ｘ的值为 ． １１．已知 ａ是 槡５７的整数部分，则 ａ－３ ２ 槡３（填“＞”“＜”或“＝”）． １２．已知 ３１．槡 １２≈１．０３８， ３１１．槡 ２≈２．２３７， ３ 槡１１２≈ ４．８２０，则 ３槡１１２００≈ ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１６分）求下列各式的值： （１）± ０．槡 ６４； （２）－ ３ ０．６槡 ３； （３） ５１槡１６； （４）－ ３ －５１２槡１２５． １４．（１０分）求下列各式中ｘ的值： （１）８ｘ３＋２７＝０； （２）（ｘ－３）２－４＝２１． １５．（１２分）已知２ａ－７和ａ＋１是某正数的平方根， ｂ－７的立方根为 －２． （１）求ａ，ｂ的值； （２）求ａ－ｂ的算术平方根． １６．（１４分）规定（ａ，ｂ）表示一对数对，给出如下定 义：ｍ＝１ 槡ａ ， 槡ｎ＝ ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）．将（ｍ，ｎ）与（ｎ，ｍ）称 为数对（ａ，ｂ）的一对“对称数对”．例如：当ａ＝４，ｂ＝１ 时，ｍ＝ １ 槡４ ＝ １２，ｎ＝槡１＝１，所以数对（４，１）的一对 “对称数对”为（ １ ２，１）与（１， １ ２）． （１）数对（９，５）的一对“对称数对”是 与 ； （２）若数对（１６，ｙ）的一对“对称数对”相同，求ｙ的 值； （３）若数对（ｘ，３）的一个“对称数对”是（槡３，１），求 ｘ的值． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（１０分）已知９，４，ａ这三个数满足一个数是另外 两个数乘积的一个平方根，求ａ的值． ２．（１０分）对于结论：当ａ＋ｂ＝０时，ａ３＋ｂ３＝０也 成立．若将ａ看成ａ３的立方根，ｂ看成ｂ３的立方根，由此 得出这样的结论：“如果两个数的立方根互为相反数，那 么这两个数也互为相反数．” （１）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立？ （２）若 ３８槡 －ｙ和 ３２ｙ－槡 ５互为相反数，且ｘ＋９的 一个平方根是２，求ｘ＋ｙ的立方根                                                                                                                                                                 ． 书 １１．１平方根与立方根 １１．１．１平方根 ①平方根 １．１２５的平方根是 （　　） Ａ．±５ Ｂ．±１５ Ｃ．－ １ ５ Ｄ． １ ５ ２．下列说法正确的有 （　　） ① －２是－４的一个平方根；②ａ２的平方根是ａ；③２ 是４的平方根；④４的平方根是 －２． Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ３．一个数的平方根等于它本身，则这个数是 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．０和１ Ｄ．±１ ４．若一个圆的面积为 ６４π，则这个圆的半径为 ． ５．已知（ｘ＋１）２－３＝３３，则ｘ的值为 ． ６．求下列各数的平方根： （１）１１； （２）０．４９； （３）（－１５）２； （４）１１１２５． ７．已知一个正数的两个平方根是３ａ－２和５ａ＋６， 求ａ的值和这个正数． ②算术平方根 １．８１的算术平方根是 （　　） Ａ．９ Ｂ．±９ Ｃ．３ Ｄ．±３ ２．利用计算器求 ０．槡 ０５９的值，正确的按键顺序为 （　　） Ａ．０ · ０ ５ ９ 槡■ Ｂ．槡■ ０ · ０ ５ ９ Ｃ．０ · ０ ５ ９ 槡■ ＝ Ｄ．槡■ ０ · ０ ５ ９ ＝ ３．已知４９的算术平方根为ｘ，４是ｙ＋１的一个平方 根，则ｘ－ｙ＝ ． ４．求下列各式的值： （１）±槡１６９；　 （２）－ ０．槡 ３６； （３） ４９槡１４４； （４） （－４）槡 ２． ５．海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象 变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时７００ ～８００千米，在几小时内就能横过大洋；波长可达数百 千米，可以传播几千米而能量损失很小．海啸的行进速 度可按 槡ｖ＝ ｇｄ计算，其中ｖ（ｍ／ｓ）表示海啸的速度， ｄ（ｍ）表示海水的深度，ｇ表示重力加速度９．８ｍ／ｓ２．若 在海洋深度２０ｍ处发生海啸，求其行进的速度． ６．已知２ａ－１的平方根是 ±３，ａ＋３ｂ－１的算术平 方根是４． （１）求ａ，ｂ的值； （２）求ａｂ＋５的平方根． 能力提高 ７．通过估算，比较下列各组数的大小． （１）２－槡１８，－槡１２； （２）槡２４－１２ ，２． １１．１．２立方根 １．２７的立方根为 （　　） Ａ．±３ Ｂ．±９ Ｃ．３ Ｄ．－９ ２．下列结论正确的是 （　　） Ａ．－１的立方根是 ±１ Ｂ．－１９没有立方根 Ｃ．若槡ａ＝ ３ 槡ａ，则ａ＝１ Ｄ．３－槡 ８＝－ ３ 槡８ ３．计算： ３ １－２６槡 ２７＝ ． ４．某病毒的形状可看成一个球体，体积大约 ２８８０００π立方纳米，则它的直径约是 纳米（球 的体积公式Ｖ＝ ４３πＲ ３）． ５．利用计算器计算：槡４－ ３ 槡３≈ （结果精 确到０．００１）． ６．求下列各式的值： （１） ３ ８ 槡３４３； （２） ３－０．槡 ０６４； （３） ３ －１０槡 ６； （４）－ ３ １８２６槡２７． ７．求下列各式中ｘ的值： （１）２ｘ３ ＝１６； （２）１５（２ｘ＋３） ３ ＝２５． ８．某金属冶炼厂将２７个大小相同的正方体钢锭在 炉火中熔化，铸成一个长方体钢锭，此长方体钢锭的 长、宽、高分别为１６０ｃｍ，８０ｃｍ和４０ｃｍ，求原来每个正 方体钢锭的棱长 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# . ! ! !"#$ ! 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