第7期 13.1 三角形中的边角关系（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 上期检测卷 一、１．Ｂ；　２．Ｂ； ３．Ａ；　４．Ｃ； ５．Ａ；　６．Ｄ； ７．Ｃ；　８．Ｂ； ９．Ａ；　１０．Ａ． 二、１１．２；　１２．ｌ＝ ０．３ｎ＋１．８；　１３．＜； １４．３；　１５．１３． 三、１６．（１）设ｙ－３ ＝ｋ（ｘ＋１）．把ｘ＝－２， ｙ＝１代入，得－ｋ＝１－ ３．解得ｋ＝２．所以ｙ与 ｘ之间的函数表达式是 ｙ＝２ｘ＋５． （２）当ｘ＝３２时，ｙ ＝２×３２＋５＝８． １７．（１）因为ｙ＝ｋｘ ＋ｂ的图象经过点Ａ（－３， － ２），Ｂ（１，６）， 所 以 －３ｋ＋ｂ＝－２， ｋ＋ｂ＝６{ ． 解 得 ｋ＝２， ｂ＝４{ ．所以该一次函 数的表达式为ｙ＝２ｘ＋ ４．画图略． （２）此函数图象与 坐标轴围成的三角形的 面积为： １ ２×２×４＝４． １８．（１）根据题意， 得ｙ甲 ＝４×５０＋（ｘ－ ８）×３＝３ｘ＋１７６，ｙ乙 ＝ （４×５０＋３ｘ）×０．９＝ ２．７ｘ＋１８０． （２）当 ｘ＝１０时， ｙ甲 ＝３×１０＋１７６＝ ２０６，ｙ乙 ＝２．７×１０＋ １８０＝２０７．因为２０６＜ ２０７，所以当购买 １０个 羽毛球时，该班在甲店 购买较合算． １９．（１）２０００，２００． （２）小明从图书馆 返回家所用的时间为： ２０００ ÷ ２００ ＝ １０（ｍｉｎ），３６ ＋ １０ ＝ ４６（ｍｉｎ）．设小明从图 书馆返回家的过程中，ｙ 书 ５期２版 １２．２．３一次函数与方程、不等式 １２．２．３．１一次函数与一元一次方程 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．ｙ＝３ｘ＋２． ４．（１）因为一次函数ｙ＝ｋｘ－６的图象过点（４，０），所以４ｋ －６＝０．解得ｋ＝ ３２． （２）画图略． （３）由图象知关于ｘ的方程 －３ｘ＋３＝０的解为ｘ＝１． ５．（１）这个一次函数的表达式为ｙ＝２ｘ－１． （２）点Ｃ（１２，０）在这个一次函数的图象上．理由略． （３）由（２），得关于ｘ的一元一次方程ｋｘ＋ｂ＝０的解是ｘ＝ １ ２． 能力提高　６．Ｄ． １２．２．３．２一次函数与一元一次不等式 基础训练　１．Ａ；　２．ｘ＜０；　３．－２． ４．画图略． （１）一元一次方程 －２ｘ＋６＝０的解为ｘ＝３． （２）当 －２＜ｙ＜２时，ｘ的取值范围是２＜ｘ＜４． ５．（１）该一次函数的表达式为ｙ＝２ｘ－２． （２）关于ｘ的不等式ｋｘ＋ｂ＞４的解集为ｘ＞３． 能力提高　６．－１＜ｘ＜ １３． １２．３一次函数与二元一次方程 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．平行；　４．（－４，２）． ５．画图略．方程组 ｘ＋ｙ＝－４， ２ｘ－ｙ＝－{ ２的解是 ｘ＝－２，ｙ＝－２{ ． ６．（１）将Ｐ（－２，ａ）代入ｙ＝２ｘ－１，得ａ＝２×（－２）－１ ＝－５． （２） ｘ＝－２，{ｙ＝ａ 可看成方程组 ｙ＝２ｘ－１， ｙ＝ ５２ { ｘ 的解． （３）三角形ＡＰＯ的面积是１． ５期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ 二、９．ｙ＝－２ｘ＋７；　１０．ｘ＝２， ｙ＝４０{ ；　１１．（２，０）；　１２．ｘ＝３． 三、１３．解 ｙ＝２ｘ， ｙ＝ｘ＋２{ ，得 ｘ＝２，ｙ＝４{ ．所以直线ｙ１＝２ｘ与ｙ２＝ ｘ＋２的交点坐标为（２，４）．所以当ｘ≤２时，ｙ１≤ｙ２；当ｘ＞２时， ｙ１ ＞ｙ２． １４．（１）Ａ（－４３，０），Ｂ（０，４），画图略． （２）方程组 ３ｘ－ｙ＝－４， ｘ－２ｙ＝－{ ３的解是 ｘ＝－１，ｙ＝１{ ． １５．（１）①因为点（－１，１）在ｙ１ ＝２ｘ＋ｍ的图象上，所以 －２＋ｍ＝１．解得ｍ＝３． ②因为ｙ１＝２ｘ＋ｍ，ｙ２＝－ｍｘ＋ｍ（ｍ为常数，ｍ≠０），所 以两个函数图象与ｙ轴的交点坐标都是（０，ｍ）．因为ｍ＝３，所 以函数ｙ１与ｙ２图象的交点坐标是（０，３）． （２）当ｍ＞０，且０＜ｙ２＜ｙ１时，自变量ｘ的取值范围是０ ＜ｘ＜１． １６．（１）直线ＡＢ的函数表达式为ｙ１ ＝ｘ＋６． （２）－３，３． （３）关于ｘ的不等式ｋｘ＋ｂ＜－２ｘ－３的解集为ｘ＜－３． １７．（１）ａ＝２，ｂ＝ ５２．　（２） ｘ＝１， ｙ＝２{ ． （３）存在．过点Ｐ作ＰＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，ＰＮ⊥ｙ轴于点Ｎ，图 略．因为点Ｐ在ｙ＝２ｘ的图象上，所以设点Ｐ的坐标为（ｍ，２ｍ）． 因为直线ＡＢ的表达式是ｙ＝－１２ｘ＋ ５ ２，所以点 Ａ的坐标为 （０，５２），点 Ｂ的坐标为（５，０）．所以 ＯＡ＝ ５ ２，ＯＢ＝５．所以 Ｓ三角形ＢＯＰ ＝ １ ２ＯＢ·ＰＭ＝ １ ２ ×５×｜２ｍ｜＝５｜ｍ｜，Ｓ三角形ＡＯＰ ＝ １２ＯＡ·ＰＮ＝ １ ２× ５ ２×｜ｍ｜＝ ５ ４｜ｍ｜．根据题意，得５｜ｍ｜ ＝ ５４｜ｍ｜＋５．解得｜ｍ｜＝ ４ ３．所以ｍ＝± ４ ３．所以点Ｐ的坐标 为（ ４ ３， ８ ３）或（－ ４ ３，－ ８ ３）． 附加题　（１）ｘ＞－２． （２）①因为Ａ（０，４），Ｃ（－２，０）在一次函数ｙ１＝ｋｘ＋ｂ的图 象上，所以 ｂ＝４， －２ｋ＋ｂ＝０{ ．解得 ｋ＝２，ｂ＝４{ ．所以ｙ１ ＝２ｘ＋４．因为 不等式ｋｘ＋ｂ＞－４ｘ＋ａ的解集是ｘ＞１，所以点Ｂ的横坐标是 １．当ｘ＝１时，ｙ１ ＝２×１＋４＝６．所以点Ｂ的坐标为（１，６）． ②将点Ｂ（１，６）代入ｙ２＝－４ｘ＋ａ，得 －４×１＋ａ＝６．解 得ａ＝１０． 书 数学思想方法是数学的灵魂，是解决问题的金钥 匙．掌握一种思想方法比采用题海战术更为重要．下面 就将本章中蕴涵的一些主要数学思想提炼如下． 一、整体思想 研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成 部分为着眼点，而是将待解决的问题看作一个整体，从 而达到解决问题的目的． 例１　如图１，在△ＡＢＣ中， ∠ＡＢＣ和 ∠ＡＣＢ的平分线相交 于点Ｄ．若∠ＢＤＣ＝１２０°，则∠Ａ 的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３０° Ｂ．６０° Ｃ．９０° 　　　Ｄ．１２０° 分析：在△ＢＣＤ中，根据三角形的内角和定理求得 ∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ的度数，然后根据角平分线的定义求得 ∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ的度数，根据三角形的内角和定理即可 求得∠Ａ的度数． 解：因为∠ＢＤＣ＝１２０°， 所以∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ＝１８０°－∠ＢＤＣ＝６０°． 因为ＢＤ和ＣＤ分别是∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ的平分线， 所以∠ＡＢＣ＝２∠ＤＢＣ，∠ＡＣＢ＝２∠ＤＣＢ． 所以 ∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝２（∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ）＝ １２０°． 所以∠Ａ＝１８０°－（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝６０°． 故选Ｂ． 二、分类讨论思想 分类讨论思想使解答更加严密完整，避免漏解的情 况发生，分类时要按一定的标准，将问题分成既不重复 又不遗漏的类别． 例２　如图２，直线ｍ∥ｎ， ＢＣ为∠ＡＢＤ的三等分线，ＡＤ与 ＢＣ交于点Ｅ．已知∠ＤＡＢ＝α， ∠ＤＢＣ＝β，则∠１的度数为 （　　） Ａ．α＋２β Ｂ．２α＋β Ｃ．２β＋α或α＋１２β Ｄ．２α＋β或２β＋α 分析：分∠ＤＢＣ＝１３∠ＡＢＤ和∠ＤＢＣ＝ ２ ３∠ＡＢＤ 两种情况求解即可． 解：①当∠ＤＢＣ＝ １３∠ＡＢＤ时，∠ＡＢＣ＝２β， 所以∠ＡＥＢ＝１８０°－∠ＡＢＣ－∠ＢＡＤ＝１８０°－２β －α， 所以∠１＝１８０°－∠ＡＥＢ＝２β＋α； ②当∠ＤＢＣ＝ ２３∠ＡＢＤ时，∠ＡＢＣ＝ １ ２β， 所以∠ＡＥＢ＝１８０°－∠ＡＢＣ－∠ＢＡＤ＝１８０°－α －１２β， 所以∠１＝１８０°－∠ＡＥＢ＝α＋１２β． 综上所述，∠１的度数为２β＋α或α＋１２β． 故选Ｃ． 书 数学来源于生活，又广 泛应用于生活．三角形的应 用在生活中随处可见，下面 让我们一起领略三角形的 魅力吧！ 一、三角形的三边关系 献计 例１　 嘉嘉家和琪琪 家到学校的直线距离分别 是３ｋｍ和１ｋｍ，他们两家 的直线距离可能是 （　　） Ａ．１ｋｍ Ｂ．３ｋｍ Ｃ．５ｋｍ Ｄ．７ｋｍ 解：设嘉嘉家和琪琪家 的直线距离为ｄｋｍ． 根据三角形的三边关 系和实际，得３－１≤ｄ≤３ ＋１，即２≤ｄ≤４． 故选Ｂ． 例２　如图１，ＡＢＣＤ是一个 四边形木框，为了使它保持稳定 的形状，需在ＡＣ或ＢＤ上钉上一 根木条，现量得 ＡＢ＝４ｃｍ，ＢＣ ＝８ｃｍ，ＣＤ＝６ｃｍ，ＡＤ＝５ｃｍ， 试问一根长为３ｃｍ的木条能否满足要求，并说明理由． 解：能满足要求．理由如下： 连接ＡＣ，ＢＤ，图略．因为ＡＢ＝４ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ，ＣＤ ＝６ｃｍ，ＡＤ＝５ｃｍ，所以在△ＡＢＣ中，ＢＣ－ＡＢ＜ＡＣ＜ ＡＢ＋ＢＣ，即４ｃｍ＜ＡＣ＜１２ｃｍ；在△ＡＣＤ中，ＣＤ－ＡＤ ＜ＡＣ＜ＡＤ＋ＣＤ，即１ｃｍ＜ＡＣ＜１１ｃｍ；在△ＡＢＤ中， ＡＤ－ＡＢ＜ＢＤ＜ＡＢ＋ＡＤ，即１ｃｍ＜ＢＤ＜９ｃｍ；在 △ＢＣＤ中，ＢＣ－ＣＤ＜ＢＤ＜ＢＣ＋ＣＤ，即２ｃｍ＜ＢＤ＜ １４ｃｍ． 所以４ｃｍ＜ＡＣ＜１１ｃｍ，２ｃｍ＜ＢＤ＜９ｃｍ． 所以一根长为３ｃｍ的木条能满足要求． 二、三角形的稳定性献力 例３　要使图２的木架不变 形，至少需要再钉上几根木条？ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１根 Ｂ．２根 Ｃ．３根 　　Ｄ．４根 解：根据三角形的稳定性可知，要使六边形木架不 变形，至少需要再钉上３根木条． 故选Ｃ． 三、三角形的内角献策 例４　如图３，在△ＡＢＣ 中，∠Ｂ＋∠Ｃ＝α，按图进 行翻折，使 Ｂ′Ｄ∥ Ｃ′Ｇ∥ ＢＣ，Ｂ′Ｅ∥ＦＧ，则∠Ｃ′ＦＥ的 度数是 （　　） Ａ．α２ 　　　Ｂ．９０°－ α ２ Ｃ．α－９０° 　　　Ｄ．２α－１８０° 解：设 ∠ＡＤＢ′＝γ，∠ＡＧＣ′＝β，∠ＣＥＢ′＝ｙ， ∠Ｃ′ＦＥ＝ｘ． 因为Ｂ′Ｄ∥Ｃ′Ｇ，所以γ＋β＝∠Ｂ＋∠Ｃ＝α． 因为Ｂ′Ｅ∥ＦＧ，所以∠ＣＦＧ＝∠ＣＥＢ′＝ｙ． 所以ｘ＋２ｙ＝１８０°． 因为γ＋ｙ＝２∠Ｂ，β＋ｘ＝２∠Ｃ， 所以γ＋ｙ＋β＋ｘ＝２α． 所以ｘ＋ｙ＝α． 所以∠Ｃ′ＦＥ＝ｘ＝２α－１８０°． 故选Ｄ． 书 三角形内角和定理是初中数学的重要定理之一，常 常与平行线、角平分线、垂线等结合在一起考查．下面举 例加以说明，供同学们参考． 一、平行线 例 １　 如 图 １， 在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，点 Ｄ 在 ＡＣ上，ＤＥ∥ ＡＢ．若 ∠ＣＤＥ＝１６０°，则∠Ｂ的度 数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４０° Ｂ．５０° Ｃ．６０° Ｄ．７０° 分析：利用平角的定义得出 ∠ＡＤＥ的度数，再根据 平行线的性质得出∠Ａ的度数，最后由三角形内角和定 理即可得解． 解：因为 ∠ＣＤＥ＝１６０°，所以 ∠ＡＤＥ＝１８０°－ ∠ＣＤＥ＝２０°．因为ＤＥ∥ＡＢ，所以∠Ａ＝∠ＡＤＥ＝２０°． 所以∠Ｂ＝１８０°－∠Ａ－∠Ｃ＝７０°．故选Ｄ． 二、角平分线 例２　 如图２，在 △ＡＢＣ 中，ＣＤ是∠ＡＣＢ的平分线．已 知∠Ａ＝７４°，∠Ｂ＝４６°，则 ∠ＢＤＣ的度数为 ． 分析：由三角形内角和定理可求得 ∠ＡＣＢ的度数， 再由角平分线的定义求得∠ＢＣＤ的度数，最后利用三角 形内角和定理即可得解． 解：因为∠Ａ＝７４°，∠Ｂ＝４６°，所以∠ＡＣＢ＝１８０° －∠Ａ－∠Ｂ＝６０°．因为 ＣＤ是 ∠ＡＣＢ的平分线，所以 ∠ＢＣＤ＝１２∠ＡＣＢ＝３０°．所以∠ＢＤＣ＝１８０°－∠Ｂ－ ∠ＢＣＤ＝１０４°．故填１０４°． 三、垂线 例３　 如图 ３，在 △ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°，点 Ｄ在 ＡＣ上，ＤＥ⊥ ＡＢ．若∠ＡＤＥ＝１２０°，则∠Ｂ的度 数为 （　　） Ａ．４０° 　　　Ｂ．５０° Ｃ．６０° 　　　Ｄ．７０° 分析：根据平角的定义得出 ∠ＡＤＦ的度数，再根据 三角形内角和定理即可得解． 解：如图３，设直线ＤＥ交ＡＢ于点Ｆ．因为ＤＥ⊥ＡＢ， 所以∠ＡＦＤ＝９０°．因为∠ＡＤＥ＝１２０°，所以∠ＡＤＦ＝ １８０°－∠ＡＤＥ＝６０°．所以∠Ａ＝１８０°－∠ＡＦＤ－∠ＡＤＦ ＝３０°．因为∠Ｃ＝９０°，所以∠Ｂ＝１８０°－∠Ｃ－∠Ａ＝ ６０°．故选Ｃ． ! " # $ ! ! ! $ # % & "#!" ! " ! $ & # % ! $ ' 书 三角形的三边之间存在如下关系：“三角形中任何 两边的和大于第三边”和“三角形中任何两边的差小于 第三边”．利用这个关系可以解决与三角形三边有关的 题目．现举例剖析如下，供同学们参考． 考点一、判断三条线段能否组成三角形 例１　下列长度的三条线段能组成三角形的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３，３，６ Ｂ．３，５，１０ Ｃ．４，６，９ Ｄ．４，５，９ 分析：根据三角形的三边关系判断即可． 解：因为３＋３＝６，所以长度为３，３，６的三条线段不 能组成三角形，故选项Ａ不符合题意； 因为３＋５＜１０，所以长度为３，５，１０的三条线段不 能组成三角形，故选项Ｂ不符合题意； 因为４＋６＞９，所以长度为４，６，９的三条线段能组 成三角形，故选项Ｃ符合题意； 因为４＋５＝９，所以长度为４，５，９的三条线段不能 组成三角形，故选项Ｄ不符合题意．故选Ｃ． 温馨提示：判断给定的三条线段能否组成三角形， 关键是看三条线段是否满足任意两边之和大于第三边． 但在实际操作中，不必一一加以验证，只需判断两条较 短线段的长度和是否大于最长线段即可． 考点二、确定三角形的第三边长 例２　已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝７，则边ＡＣ的 长可能是 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．１１ 分析：根据三角形的三边关系列出不等式，判断即可． 解：因为ＡＢ＝４，ＢＣ＝７，所以７－４＜ＡＣ＜７＋４， 即３＜ＡＣ＜１１．所以边ＡＣ的长可能是４．故选Ｃ． 温馨提示：由“两边之差的绝对值 ＜ＡＣ＜两边之和” 得出ＡＣ的取值范围，从而判断各选项是否满足题意． 考点三、计算等腰三角形的周长 例３　以方程组 ｘ＋２ｙ＝８， ２ｘ＋ｙ＝{ １０的解作为等腰三角形 两边的长，则得到的三角形的周长是 （　　） Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．８或１０ 分析：根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系 即可得出结论． 解：解方程组 ｘ＋２ｙ＝８， ２ｘ＋ｙ＝１０{ ，得 ｘ＝４， ｙ＝２{ ． 若腰长为４，底边长为２，４＋２＞４，则此三角形的周 长为：４＋４＋２＝１０； 若腰长为２，底边长为４，２＋２＝４，不能构成三角形． 故选Ｃ． 温馨提示：涉及等腰三角形边的问题时，一般需要 分情况讨论，然后看它们是否满足三角形的三边关系， 不满足的要舍去，既不能多解，也不能漏解． ! !" #$% !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 书 一、自我介绍 三角形中，连接一个顶 点与它对边中点的线段叫 做三角形的中线． 例 １　 如图 １，ＡＥ是 △ＡＢＣ的中线，点 Ｄ是 ＢＥ 上一点．若 ＢＤ＝５，ＣＤ＝ ９，则ＣＥ的长为 （　　） Ａ．５　　　　Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ 解：因为ＢＤ＝５，ＣＤ＝ ９，所以 ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝ １４．因为ＡＥ是 △ＡＢＣ的中 线，所以 ＣＥ＝ １２ＢＣ＝７． 故选Ｃ． 二、能力展示 三角形的一条中线分成的两个三角形面积相等． 例２　如图２，ＡＤ是△ＡＢＣ的 中线，点 Ｅ，Ｆ分别是 ＡＤ，ＣＥ的中 点．若Ｓ△ＡＢＣ ＝４ｃｍ ２，则阴影部分 的面积为 ｃｍ２． 解：因为ＡＤ是△ＡＢＣ的中线， Ｓ△ＡＢＣ ＝４ｃｍ ２，所以Ｓ△ＡＢＤ ＝Ｓ△ＡＣＤ ＝１２Ｓ△ＡＢＣ ＝２ｃｍ ２．因为点Ｅ为ＡＤ 的中点，所以Ｓ△ＢＤＥ ＝ １ ２Ｓ△ＡＢＤ ＝１ｃｍ ２，Ｓ△ＣＤＥ ＝ １ ２Ｓ△ＡＣＤ ＝１ｃｍ２．所以Ｓ△ＢＣＥ ＝Ｓ△ＢＤＥ＋Ｓ△ＣＤＥ ＝２ｃｍ ２．因为点Ｆ 为ＣＥ的中点，所以Ｓ△ＢＥＦ ＝ １ ２Ｓ△ＢＣＥ ＝１ｃｍ ２．故填１． 三、个人特色 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．若点Ｏ 是△ＡＢＣ的重心，则Ｓ△ＯＡＢ ＝Ｓ△ＯＢＣ ＝Ｓ△ＯＡＣ ＝ １ ３Ｓ△ＡＢＣ． 例３　如图３，在△ＡＢＣ中， ∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝５ｃｍ，ＢＣ＝ ７ｃｍ，点Ｉ为重心，ＨＩ⊥ＢＣ于点 Ｈ，则ＨＩ＝ ｃｍ． 解：如图３，连接ＣＩ．因为点 Ｉ为△ＡＢＣ的重心，所以Ｓ△ＩＢＣ ＝ １ ３Ｓ△ＡＢＣ．因为ＡＣ＝５ｃｍ，ＢＣ＝７ｃｍ，所以 １ ２×７ＨＩ＝ １ ３× １ ２×５×７．解得ＨＩ＝ ５ ３ｃｍ．故填 ５ ３．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`a0bcdef !O[]ghijklmn^o ,pqrstu7 rvwxyz {|}~€u7‚w)*"&+%,%,-4.8 ) *+ xyz , ) *+ ƒ„… , # - .+ T†z , ) *+ ‡ ˆ , ) *+ ‰ Š -./01+ T ‹ 23/01+ TŒ -4506+ Ž  -4578+ ‘’ „“” • – —˜™ š › œž ƒŸ  š¡¢ £ ‘ ¤L™ ¥¦y •§¨ ©§ª ƒy« ¬Š+ ­®– P ž ¯°± „²³ 91-.+ ’ ´ 91:;+ Tµ¶ <=-.+ ƒ · >?-.+ ¸ ¹ @ABC+ º»¼ #½q¾¿¾7 #À©;u7 #sÄÅÆÇw%$/"+/!,"!/# #½qÈÉw!OÊËÌ͘ÎÏÐÑÒ "$! Ó,pqrÔ+,-sÄÅ #ÕÖs×w%$%%%# #ÍØÅÙqÚÛw%$/"#/!,""!/ %$/"$/!,"!$,4cÜ8 #ÙÝwÞß½qÍØÅÉAàá{âãÕä4å8 #ÕÖÙÝÚÛw"""'/ #æçèéÙêëÙìíÙ #½qîá{âÊ4Í83`ïðñq #òóijôæõÓw"&%%%%&%%%""% #òóÅÆÇw%$/"$/!,"!// #½qöIJ÷øcdùúklûn4üýÍþÿÏ!"#$%0b& "" Ó8'ùY(kù)*+,-YÞß½qÍØÅÉA./ 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，其 中符合三角形概念的是 （　　） ２．如图 １，△ＡＢＤ的边 ＢＤ上的高是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．线段ＡＥ Ｂ．线段ＤＥ Ｃ．线段ＡＣ Ｄ．线段ＢＥ ３．在△ＡＢＣ中，若∠Ａ＝９０°，∠Ｂ＝５５°，则∠Ｃ的 度数为 （　　） Ａ．３５° Ｂ．４０° Ｃ．４５° Ｄ．５０° ４．在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝∠Ｃ－∠Ｂ，则△ＡＢＣ是 （　　） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．无法确定 ５．老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相 连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为 ５ｃｍ， ９ｃｍ，１０．５ｃｍ，并且只能对１０．５ｃｍ的小木棍进行裁切 （裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们 最多能拼出不同的三角形的个数为 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ６．如图２，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝７０°，∠Ｃ＝４０°，ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，点 Ｅ在边 ＡＢ上，且 ∠ＡＤＥ ＝ ２∠ＢＤＥ，则∠ＢＤＥ的度数为 （　　） Ａ．２０° Ｂ．２５° Ｃ．３０° Ｄ．３５° ７．如图３，已知Ｇ是△ＡＢＣ的重心．若△ＣＤＧ的面积 是１，则△ＡＢＣ的面积是 （　　） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ ８．若△ＡＢＣ内有一个点Ｐ１，当Ｐ１，Ａ，Ｂ，Ｃ没有任何 三点在同一直线上时，如图４－①，可构成３个互不重叠 的小三角形；若 △ＡＢＣ内有两个点 Ｐ１，Ｐ２，其他条件不 变，如图４－②，可构成５个互不重叠的小三角形；…．若 △ＡＢＣ内有ｎ个点，其他条件不变，可构成若干个互不重 叠的小三角形，则这些小三角形的内角和为 （　　） Ａ．ｎ·１８０° Ｂ．（ｎ＋２）·１８０° Ｃ．（２ｎ－１）·１８０° Ｄ．（２ｎ＋１）·１８０° 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图５，在边长为１的正方形网格中，△ＡＢＣ的顶 点Ｂ的坐标是（１，－４），过点Ｂ作ＡＣ边上的高线，则垂 足点Ｄ的坐标是 ． １０．如图６，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝６８°，∠Ｃ＝４２°，ＤＥ ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＤＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，那么∠ＥＤＦ＝ ． １１．如图７，在 △ＡＢＣ中， ＡＤ为 ＢＣ边上的中线，ＤＥ⊥ ＡＢ于点 Ｅ，ＤＦ⊥ ＡＣ于点 Ｆ， ＡＢ＝３，ＡＣ＝４，ＤＦ＝１．５，则 ＤＥ＝ ． １２．若实数ｍ，ｎ满足等式｜ｍ－４｜＋（ｎ－８）２＝０， 且ｍ，ｎ恰好是等腰三角形ＡＢＣ的两条边的长，则△ＡＢＣ 的周长是 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）如图８，△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠１＝ ∠Ｂ．试说明：ＣＤ是△ＡＢＣ的高． １４．（８分）在 △ＡＢＣ中，已知 ∠Ａ＝ １３∠Ｂ＝ １ ５∠Ｃ，按角判断△ＡＢＣ的形状． １５．（１０分）如图９，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＥ平分 ∠ＡＢＣ，且ＢＥ∥ＡＤ．已知∠ＢＡＤ＝２０°，求∠ＡＥＢ的度 数． １６．（１２分）已知ａ，ｂ，ｃ是△ＡＢＣ的三边长． （１）若ａ＝４，ｂ＝６，且△ＡＢＣ的周长是小于１８的 偶数，求ｃ的长； （２）化简：｜ａ＋ｂ－ｃ｜＋｜ｂ－ａ－ｃ｜． １７．（１４分）如图 １０，△ＡＢＣ中，ＡＤ，ＡＥ分别是 △ＡＢＣ的高和角平分线，ＢＦ是△ＡＢＣ的角平分线，ＢＦ与 ＡＥ交于点 Ｏ．若 ∠ＡＢＣ＝４０°，∠Ｃ＝６０°，求 ∠ＤＡＥ， ∠ＢＯＥ的度数． （以下试题供各地根据实际情况选用） 已知△ＡＢＣ的周长为１６，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ为△ＡＢＣ的 中线，且将△ＡＢＣ分成的两个小三角形的周长的差为２， 求△ＡＢＣ各边的长                                                                                                                                                                 ． 书 １３．１三角形中的边角关系 １３．１．１三角形中边的关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，三角形的个数是 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ２．有两根１３ｃｍ，１５ｃｍ的木棒，要想以这两根木棒 做一个三角形，可以选用第三根木棒的长为 （　　） Ａ．３０ｃｍ Ｂ．２８ｃｍ Ｃ．１１ｃｍ Ｄ．２ｃｍ ３．已知三角形三条边的长度为３，ｘ，９，化简：｜ｘ－２｜ ＋｜ｘ－１３｜＝ ． ４．若等边三角形的三边长如图 ２所示，则 ｙ＝ ． ５．已知等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２０，ＢＣ＝８，ＡＣ＝２ｍ －２，求ｍ的值． ６．如图３，已知Ｐ是△ＡＢＣ内一点，试说明：ＰＡ＋ＰＢ ＋ＰＣ＞ １２（ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ）． ７．观察图形（如图４），回答下列问题： （１）第２个图形中有 个三角形；第３个图 形中有 个三角形；第４个图形中有 个 三角形；…，猜测第７个图形中有 个三角形． （２）按上面的方法继续下去，写出第ｎ个图形中三 角形的个数（用含ｎ的代数式表示）． １３．１．２三角形中角的关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝５０°，∠Ｃ＝７０°，则∠Ｂ的度 数为 （　　） Ａ．４０° Ｂ．５０° Ｃ．６０° Ｄ．７０° ２．如图１，直线 ｌ１，ｌ２分别与 △ＡＢＣ的两边 ＡＢ，ＢＣ 相交，且ｌ１∥ｌ２．若∠Ｂ＝３５°，∠１＝１０５°，则∠２的度 数为 （　　） Ａ．４５° Ｂ．５０° Ｃ．４０° Ｄ．６０° ３．如果三角形中最小的一个内角大于４５°，则这个 三角形一定是 三角形（填“锐角”“直角”或 “钝角”）． ４．一个三角形三个内角度数之比为１∶２∶３，则最 大内角的度数是 ． ５．如图２，点Ｅ，Ｄ分别在ＡＢ，ＡＣ上．若∠Ｂ＝３０°， ∠Ｃ＝５０°，则∠１＋∠２＝ °． ６．如图３，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝６０°，∠Ｃ＝８４°，点 Ｅ是边ＡＣ上一点，过点Ｅ作ＥＤ∥ＡＢ，交ＢＣ于点Ｄ，且 ∠ＡＤＥ＝ １２∠Ｂ，求∠ＣＡＤ的度数． ７．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角 的３倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例 如，三个内角分别为２５°，７５°，８０°的三角形是“三倍角 三角形”． （１）在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝２０°，∠Ｂ＝４０°，△ＡＢＣ是 “三倍角三角形”吗？为什么？ （２）若△ＡＢＣ是“三倍角三角形”，且 ∠Ｂ＝３０°， 求△ＡＢＣ中最大内角的度数． １３．１．３三角形中几条重要线段 １．下列正确画出△ＡＢＣ的边ＡＣ上的高的图形是 （　　） ２．如图１，在直角△ＡＢＣ中，ＢＣ边上依次有Ｅ，Ｄ，Ｆ 三点，ＢＤ＝ＣＤ，∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ，ＡＦ⊥ＢＣ，以ＡＤ为中 线的三角形是 ；以ＡＥ为角平分线的三角形是 ；以ＡＦ为高线的三角形有 个． ３．如图２，已知△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别是边ＢＣ，ＡＢ 的中点．若 △ＡＢＣ的面积等于８，则 △ＢＤＥ的面积为 ． ４．如图３，点Ｇ是△ＡＢＣ的 重心，连接 ＢＧ并延长交 ＡＣ于 点Ｄ，则ＡＤ与ＤＣ的数量关系是 ． ５．已知△ＡＢＣ（如图４），按 要求解答下列各题： （１）画出△ＡＢＣ的中线ＡＤ； （２）画出△ＡＢＤ的角平分线ＤＭ； （３）画出△ＡＣＤ的高线ＣＮ； （４）若Ｃ△ＡＤＣ－Ｃ△ＡＤＢ ＝３（Ｃ表示周长），且ＡＢ＝４， 求ＡＣ的长． ６．如图５，ＣＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ∥ＢＣ，∠２ ＝∠３＝４０°，ＦＨ⊥ＡＢ于点Ｈ． （１）求∠１的度数； （２）试说明：ＣＤ是△ＡＢＣ的高． ７．已知 ＡＤ是 △ＡＢＣ的一条高，∠ＢＡＤ ＝６５°， ∠ＣＡＤ＝３０°，则∠ＢＡＣ的度数是 （　　） Ａ．３５° Ｂ．９５° Ｃ．３５°或５５° Ｄ．３５°或９５ 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ° ! " # $ % ! ! ! # % &'" #('$ $&)% ! $ 书 与ｘ的函数表达式为 ｙ ＝ｋｘ＋ｂ．因为点（３６， ２０００），（４６，０）在该函 数的 图 象 上， 所 以 ３６ｋ＋ｂ＝２０００， ４６ｋ＋ｂ＝０{ ． 解得 ｋ＝－２００， ｂ＝９２００{ ．所以小明 从图书馆返回家的过程 中，ｙ与ｘ的函数表达式 为 ｙ ＝－ ２００ｘ ＋ ９２００（３６≤ｘ≤４６）． （３）小明从图书馆 返回家的过程中，当 ｙ ＝１０００时，－２００ｘ＋ ９２００＝１０００．解得ｘ＝ ４１． ２０．（１）设羊腿的 售价是每斤 ａ元，羊排 的售价是每斤ｂ元． 根 据 题 意， 得 ４ａ＋３ｂ＝２７２， ２ａ＋ｂ＝１１６{ ．解 得 ａ＝３８， ｂ＝４０{ ． 答：羊腿的售价是 每斤３８元，羊排的售价 是每斤４０元． （２）设购进羊腿 ｘ斤，这批羊肉卖完时 总获利为 ｗ元．根据题 意，得ｘ≥１２０，ｗ＝６ｘ＋ ８（１８０－ｘ） ＝－２ｘ＋ １４４０．因为－２＜０，所 以 ｗ随 ｘ的增大而减 小．所以当ｘ＝１２０时，ｗ 有最大值，为：－２×１２０ ＋１４４０＝１２００，此时 １８０－１２０＝６０． 答：超市老板应该 购进１２０斤羊腿、６０斤 羊排，才能使得这批羊 肉卖完时获利最大，最 大利润是１２００元． ２１．（１）①３，－１，２． ② ｘ＝１， ｙ＝２{ ． ③因为一次函数 ｙ ＝３ｘ－１的图象与ｘ轴 交于点 Ｃ，所以 Ｃ（１３， ０）．所以 Ｓ四边形ＡＯＣＤ ＝ Ｓ三角形ＡＢＤ －Ｓ三角形ＢＯＣ ＝ １ ２×２×１－ １ ２× １ ３× １＝ ５６． （２）将 Ｂ（０，－１） 代入 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 ｂ ＝－１．所以直线 ＢＤ的 函数表达式为ｙ＝ｋｘ－ １．联立 ｙ＝ｋｘ－１， ｙ＝ｘ＋１{ ，解 得 ｘ＝ －２１－ｋ， ｙ＝－ｋ＋１１－ｋ { ．因为点 Ｄ始终在第三象限，所 以 －２ １－ｋ＜０，且 － ｋ＋１ １－ｋ ＜０．解得 －１＜ｋ＜１， 且ｋ≠０．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