高二上学期期中数学模拟卷（范围：空间向量，直线与圆，椭圆）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（青海专用）

绝密★考试结束前 2024-2025学年高二上学期期中数学模拟试卷01 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（    ） A． B． C．12 D． 3．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 4．设为实数，已知直线，若，则（    ） A．6 B． C．6或 D．或3 5．已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 6．已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在四棱锥中，平面，是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，若点是中点，则四棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D．1 8．已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（   ） A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B．方程能表示平面内经过两点的任何直线 C．圆的圆心为，半径为 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 10．如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ）    A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的正弦值为   11．下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线关于点对称的直线方程为 ． 13．在正三棱锥中，是的中心，，则 ． 14．已知圆：与圆：外切，则实数 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 16．（本题15分）已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 17．（本题15分）已知直线与椭圆相交于不同的两点. (1)求实数的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求实数的值. 18．（本题17分）已知圆经过点，且圆与轴相切． (1)求圆的方程； (2)设是圆上的动点，点的坐标为，求线段CP的中点的轨迹方程． 19．（本题17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)求直线与面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 2024-2025学年高二上学期期中数学模拟试卷01 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出. 【详解】设直线的倾斜角为，， 由，得， 所以. 故选：B. 2．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（    ） A． B． C．12 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以， 即实数的值为12. 故选：C 3．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得的重心的坐标为，再求得和的垂直平分线所在直线方程，联立方程组，求得外心的坐标，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】解：因为的顶点，可得的重心的坐标为， 由，可得，所以的垂直平分线所在直线的斜率为， 可得的垂直平分线所在直线的方程为， 又由，可得的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程组，解得，即的外心的坐标为， 则，所以的方程为，即， 所以的欧拉线方程为. 故选：C. 4．设为实数，已知直线，若，则（    ） A．6 B． C．6或 D．或3 【答案】A 【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可. 【详解】因为，所以，解得：或. 当时，，平行； 当时，，可判断此时重合，舍去. 故选：A 5．已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最小值，根据三角形性质，当三点共线得答案. 【详解】 ，为一个焦点，设另一焦点为， 且， 因为，所以在椭圆外部， 所以， 即求的最小值， 由于，当三点共线时取到最小值， 此时，， 所以的最小值为1. 故选：D 6．已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共面基本定理可得结果. 【详解】由于，，， 由空间向量共面基本定理知，，，均与共面， 不能构成一组基底，故ABD均错误. 故选：C. 7．如图，在四棱锥中，平面，是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，若点是中点，则四棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先根据两两垂直建立空间直角坐标系，然后得到各点的坐标，再应用二面角的空间向量解法得到参数的关系式，最后根据体积公式得到最值即可. 【详解】因为平面且所以以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为已知Q是四边形内部一点，所以设，其中且（即点Q在平面且内部），则， 因为平面平面，所以平面的法向量为， 又因为， 设平面的法向量为， 则，即，由题易得，令，则，所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以，即， 解得①，因为点M是PC中点， 所以M到平面的距离为，所以要使得四棱锥体积的最大，则，即要取到最大值，由①知时，， 此时点不在四边形内部，矛盾， 故当时，体积取到最大值，此时点， 所以， 故选：B. 【点睛】方法点睛：碰到两两垂直的线段时，往往可以借助空间向量法来解决，需要在求解法向量的时候注意不求错即可. 8．已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可. 【详解】设，，由中点坐标公式得， 所以，故， 因为A在圆上运动， 所以， 化简得，故B正确. 故选：B 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（   ） A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B．方程能表示平面内经过两点的任何直线 C．圆的圆心为，半径为 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】利用倾斜角与斜率的相关定义可判定A，利用直线方程与点的关系可判定B，利用圆的一般方程化为标准方程可判定C，利用直线过定点，结合图象建立不等式计算可判定D. 【详解】对于A，可知垂直于横轴的不同直线相互平行，但不存在斜率，故A错误； 对于B，若，过此两点的直线方程为， 方程也可化为， 若，过此两点的直线方程为， 方程也可化为， 若且，由两点式知过此两点的直线方程为， 方程也可化为， 综上方程能表示平面内经过 两点的任何直线，故B正确； 对于C，圆可化为， 该圆圆心为，半径为，故C错误； 对于D，直线方程可化为，令， 即该直线过第三象限一定点，要符合题意不过第二象限， 需该直线斜率，即，故D正确. 故选：BD 10．如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ）    A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的正弦值为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量运算可判断A、C、D，利用割补法求出四面体的体积可判断B. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，，， ，， 对于A，，， 故， 故，即直线和所成的角为，故A错误； 对于B，易得四面体为正四面体， 则，故B正确； 对于C，，，， 设平面的法向量为，则有， 令，则， 故点到平面的距离，故C正确； 对于D，设平面的法向量为，则有， 令，则，所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为，故D错误. 故选：BC.    11．下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据条件，结合也是直线的方向向量计算的值即可判断A；根据两直线互相垂直计算参数的值即可判断B，再判断正误；根据直线恒过定点可知当直线与垂直时，点到直线的距离最大即可判断C；计算直线的斜率，结合图象确定直线斜率的取值范围即可判断D. 【详解】A.由是直线的一个方向向量得也是直线的方向向量，因为是直线的方向向量，所以，选项A正确； B.由两直线互相垂直得，，解得或，可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误； C.将直线方程变形为，由得， 直线过定点，斜率为. 当直线与垂直时，点到直线的距离最大. 因为，所以，选项C正确； D. 如图，， 由图可知，当或时，直线与线段有交点. 故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【分析】在直线上取点、，求出这两点关于点的对称点的坐标，并求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 13．在正三棱锥中，是的中心，，则 ． 【答案】16 【分析】选择为空间向量的基底，表示向量，再计算数量积即可. 【详解】如图： 首先：，. 又. 所以. 故答案为：16 14．已知圆：与圆：外切，则实数 ． 【答案】或 【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和，先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据圆心距公式求出的值. 【详解】由圆：中，圆心坐标为，半径为， 圆：中，圆心坐标为，半径为， 若两圆外切，则， 即，解得：或， 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用直线平行的判定列方程求参数值，需要验证所得参数是否符合要求. （2）利用直线垂直的判定列方程求参数值即可. 【详解】（1）由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题意； 当，，，符合题意； 综上，. （2）由，则，即， 所以，即或. 16．（本题15分）已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设，由，得动点的轨迹方程； （2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程. 【详解】（1）设，则，， 由，得， 所以曲线的标准方程为. （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切； 过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即， 有圆心到直线距离，解得， 则方程为. 过点且与曲线相切的直线的方程为或. 17．（本题15分）已知直线与椭圆相交于不同的两点. (1)求实数的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求实数的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，消得到，利用，即可求解； （2）设，根据违达定量，利用（1）结果，得到，进而有，根据题设有，即可求解. 【详解】（1）由，消得到， 由题知，整理得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）设， 由（1），根据韦达定理得到， 所以， 又，所以，得到， 又，所以， 得到，整理得到，解得或， 所以实数的值为或. 18．（本题17分）已知圆经过点，且圆与轴相切． (1)求圆的方程； (2)设是圆上的动点，点的坐标为，求线段CP的中点的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出线段的中垂线方程并设出圆心坐标，再借助切线的性质求解即得. （2）设，得，再代入圆的方程即得结果. 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率为1，则线段的中垂线方程为， 设圆的圆心，由圆与轴相切，得，解得， 所以圆的圆心，半径为1，方程为. （2）设，依题意，点在圆上，即， 化简得， 所以线段CP的中点的轨迹方程. 19．（本题17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)求直线与面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3)存在，. 【分析】（1）由线面垂直的性质有，又，根据线面垂直的判定即可证结论； （2）构建以A为原点，建立空间直角坐标系，根据已知确定对应点坐标，求出平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值； （3）设，根据点共面，利用与平面一个法向量垂直，由向量垂直的坐标表示求，即可确定结果. 【详解】（1）由平面，平面，则， 又，，平面，所以平面. （2）以A为原点，平面内与垂直的直线为x轴，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 为的中点，，得，， 则有，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，得， 设直线与面所成角为，则有， 所以直线与面所成角的正弦值为1. （3）若线段上存在点使、、、四点共面，设，， 则，， 若、、、四点共面，则在平面内， 又平面的一个法向量为，则有，解得. 所以线段上存在点，使得、、、四点共面，此时. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$