专题02 有关绝对值的化简求值（四大题型突破练） 压轴题常考题型突破分类专练 -2024-2025学年人教版七年级数学上册

专题02 有关绝对值的化简求值【四大题型突破练】 【解题必备知识】 1.绝对值的定义 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 2.绝对值的意义 1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离；离原点越远，绝对值越大，反之越小； 2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。即一个数取绝对值的结果总是正数或．即：。 整理为： 3）两个正数，绝对值大的数越大；两个负数，绝对值大的数反而小。 3.绝对值的化简 1）判断绝对值符号里式子的正负； 2）将绝对值符号改为小括号：若是正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若是负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）； 3）去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号； 4）化简。 特别注意，当绝对值符号里的数（式）正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，等于0，小于0三种情况讨论：①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么． 4.绝对值的非负性 1）任何一个有理数的绝对值都是非负数（正数或），即a取任意有理数，都有 2）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则a=0且b=0．还有：几个非负数相加的和为0，则这几个非负数分别为0。数学模块有：若|a|+c2=0 ，则有 a=0 且c=0 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 根据数轴上点的位置化简绝对值 【题型2】 用分类讨论思想对绝对值化简求值 【题型3】 利用绝对值和平方的非负性化简求值 【题型4】 由绝对值的几何意义求最值 【题型1】 根据数轴上点的位置化简绝对值 【例1】有理数、、在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0． （2）化简：． 【答案】（1），，； （2）-2b 【分析】（1）根据数轴判断出、、的正负情况，然后分别判断即可； （2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）由图可知，，，且， 所以，，，； 故答案为：，，； （2） ． 【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出、、的正负情况是解题的关键． 【变式1-1】已知a，b两数在数轴上的位置如图所示 代数式= 【答案】3 【分析】本题考查了利用数轴比较大小以及化简绝对值：先得，再逐一化简绝对值，运用整式的加减混合运算合并同类项，即可作答． 【解答】解：根据a，b两数在数轴上的位置，得 则 【变式1-2】已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． （1） ， ； （2）化简：． 【答案】(1)0， (2) 【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及利用数轴判断式子符号、化简绝对值： （1）结合数轴以及，得与是相反数，即可作答． （2）由数轴得，，得出，接着化简，即可作答． 【解答】（1）解：依题意，∵ ∴， ∴， 故答案为：0，； （2）解：∵ ∴ ∴ 【变式1-3】已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查数轴和有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键，先根据数轴，求出的取值范围，依此确定的取值范围，再去绝对值符号计算即可． 【解答】解：根据数轴得： ∴，，，， ∴， 故答案为：2． 【变式1-4】 已知p、q、r、s在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于 （   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】 A． 【分析】先根据数轴判断p、q、r、s四个数的大小，再去绝对值得出等式，然后整体代入计算即可． 【解答】解：由数轴可知： ∵，，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1-5】如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查数轴上两点距离关系，根据终端两线段列式求解即可得到答案； （2）本题根据数轴化简绝对值，根据数轴得到数字关系得到式子的正负，化简绝对值即可得到答案； 【解答】（1）解：∵点B是线段的中点，数轴上点A，B，C，O分别表示有理数a，b，c，0， ∴b = ， 故答案为：； （2）解：由数轴可得， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 【变式1-6】如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（   ） A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 【答案】 B． 【分析】已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点， 可得，从而可得 ；然后根据选项判断，，的符号，进行化简即可求解． 【解答】解： 是的中点， ， ； A． 在的左边，，，， ， 故此项不符合题意； B． 在与之间时，，，， ， 故此项符合题意； C．在与之间时，，，， ， 故此项不符合题意； D．在的右边时，，，， ， 故此项不符合题意； 故选：B． 【题型2】 用分类讨论思想对绝对值化简求值 【例2】若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【答案】 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【解答】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ①， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 【变式2-1】 已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故选：D． 【变式2-2】已知，则值为 ． 【答案】或3． 【分析】根据已知等式得到，确定出，，中负因式有0个或2个，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【解答】解：由，得到， ，，中有0个或2个负数， 当2个都为负数时，原式； 当0个为负数时，原式． 或3， 故答案为：或3． 【点评】此题考查了绝对值，以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2-3】如果a，b，c为非零有理数且a + b + c = 0，那么的所有可能的值为（ ） A．0 B．1或- 1 C．2或- 2 D．0或- 2 【答案】A 【分析】根据题意确定出a，b，c中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【解答】解：∵a、b、c为非零有理数，且a+b+c=0 ∴a、b、c只能为两正一负或一正两负． ①当a、b、c为两正一负时，设a、b为正，c为负， 原式=1+1+（-1）+（-1）=0， ②当a、b、c为一正两负时，设a为正，b、c为负 原式1+（-1）+（-1）+1=0， 综上，的值为0， 故答案为：0． 【点评】此题考查了绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2-4】如果，那么的值是 ． 【答案】0或2 【分析】当时，，当时，，结合可知，a，b，c中至少有2个负数，再分情况讨论即可求解． 【解答】当时，，当时， 同理可得， ∵，∴a，b，c中至少有2个负数 ①若a，b，c中有2个负数，1个正数 则，三个数中有2个负数，1个正数 此时 ②若a，b，c中有3个负数， 则，三个数都大于0 此时 综上，的值为0或2 故答案为：0或2． 【点评】本题考查绝对值的化简，解题的关键是掌握当时，，当时，． 【变式2-5】在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，0，1这三个数值中的一个，若，则 ． 【答案】 或4． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是分析判断5个字母的值的和为0时，这5个字母可能是什么数．根据已知条件中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，，求出其中个字母的值的和为，进行推导即可． 【解答】解：中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，，， 有个字母的值分别为，，，另个字母的值的和为， 这个字母的值分别为：，，，，或，，，，， 这个字母的值分别为，，，，，，，或，，，0，0，0，0，， ， ， ； 或 ， ； 故答案为：或4． 【变式2-6】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知，是不为0的有理数，当时，则的值是 ； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】（1）0； （2）1或-3； （3）-1. 【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可； （2）（3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出，，中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【解答】解：（1），是不为0的有理数，当时，，，或，， 当，时，； 当，时，． 故答案为：0． （2）， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当、、都是负数，即，，时， 则：； ②、、有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则； （3），，为三个不为0的有理数，且得，，，． ，，中只有一个负数，另两个为正数时，设，，， ． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母范围和字母的值是关键． 【题型3】 利用绝对值和平方的非负性化简求值 【例3】已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 【答案】1或2或3或4 【分析】此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键．首先根据，，均为整数得，均为非负整数，再根据即可得出①，，②，，③，，据此根据每一种情况求出的值即可． 【解答】解：，，均为整数， ，均为非负整数， 又， ，，或，，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，，， ； ③当，时，此时或2， 或． 综上所述，的值是1或2或3或4． 故此题答案为：1或2或3或4． 【变式3-1】已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 【答案】 D． 【分析】先根据相反数的定义以及绝对值的定义求得a、b的值，再根据非负数的性质求得m、n的值，然后计算即可．掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解题的关键． 【解答】解：∵与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数， ∴， ∵， ∴或， 又∵，或，， ∴或， ∴或， ∴或， ∴的值为3或5． 故选：D． 【变式3-2】若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的概念及绝对值的知识．根据互为相反数的两个数的和为0，可得与的和为0，再根据绝对值和偶次方的非负性即可分别求出，． 【解答】 与互为相反数 ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3-3】适合 的整数a的值有（    ） A．5个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】 D． 【分析】本题主要考查数轴，绝对值的几何意义，此方程可理解为数轴上a到和3的距离的和，由此可得出a的值，进而可得出答案． 【解答】解： ， 可理解为数轴上a到和3的距离的和， 和3之间的距离为8， 当时，均满足， a为整数， 可以为，，，，，0，1，2，3，共9个， 故选D． 【变式3-4】设a，b，c为整数，且，则 【答案】2 【分析】根据题意可得得到a，b，c之间的关系，从而可得得到所求式子的值． 【解答】解：∵a，b，c为整数，且， ∴或， 当时，， ∴； 当时，，∴， 故答案为：2． 【点评】此题考查了绝对值的性质，化简绝对值，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 【变式3-5】若a、b、c是整数，且，则 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可． 【解答】解：a、b、c是整数， ，是整数， ， 又， 时，则或时，则， 当时， 则， ； 当时， 则， ； 当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：， 故答案为：1． 【变式3-6】、、、为互不相等的有理数，且，，则 ． 【答案】或6 【分析】分类讨论，当和时，然后利用得出的值． 【解答】当时， ∵，即， ∴与必互为相反数（否则，不合题意）， ∴， ∴，， ∵，即， ∴或， ∴(不合题意，舍去)，， ∴， ∴ 当时， ∵，即， ∴与必互为相反数（否则，不合题意）， ∴， ∴，， ∵，即， ∴或， ∴，(不合题意，舍去)， ∴， ∴ 故答案为：6或2 【点评】本题主要考查了根据已知条件确定符号及去绝对值的运算，解题的关键是分类讨论去绝对值符号． 【题型4】 由绝对值的几何意义求最值 【例4】下列说法正确的序号是 ． ①已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知，，是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知x＜4时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，，当，，时，，的值为． 【答案】①③④⑤． 【分析】根据绝对值的意义以及题中条件，逐个分析论证即可． 【解答】解：①已知，，是非零的有理数， 当时， 则，分两种情况：一是、、皆为负数，此时； 二是、、中只有一个负数，令，、此时，故①正确； ②， ，，， 则， 由于时， 当、、皆为负数，此时与矛盾，故不存在； 、、中只有一个负数， 令，，， 原式，故②错； ③当x＜4时，分两种情况： 当x＜-3时，， 当-3＜x＜4时，， 故x＜4时的最大值为7，最小值为，故③正确； ④由且， 、互为相反数， ， ， 不妨，， 则则式子 ，故④正确； ⑤当时， 、异号， 又， 负数的绝对值大于正数得绝对值， 又， ，， ， 根据，， ，，故④正确． 故正确答案为：①③④⑤． 【点评】本题考查绝对值的意义，难度较大，一定要细心认真． 【变式4-1】的最小值是（   ） A．1 B．1010 C．1021110 D．2020 【答案】C 【分析】x为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|表示：点x到数轴上的2021个点（1、2、3、…2021）的距离之和，进而分析得出最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|求出即可． 【解答】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）； 所以：当1≤x≤2021时，|x-1|+|x-2021|有最小值2020； 当2≤x≤2020时，|x-2|+|x-2020|有最小值2018；… 当x=1011时，|x-1011|有最小值0． 综上，当x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值， 最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021| =1010+1009+…+0+1+2+…+1010 =1011×1010 =1021110． 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值是解题关键． 【变式4-2】同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______ ． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)有最小值，最小值是． 【分析】本题考查了数轴与绝对值，数轴上两点间的距离，理解用绝对值表示两点间的距离是解题的关键． （）根据绝对值的性质即可求解； （）由可得表示到的距离与到的距离之和，根据即可得到一定在到之间，进而可求解； （）由可得表示的是到的距离与到的距离之和，进而可得当位于和之间时，的值最小，即为到的距离，即可求解； 【解答】（1）解：， 故答案为:； （2）解：∵， ∴表示到的距离与到的距离之和， ∵， ∴一定在到之间， ∴符合条件的整数有， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值是． 理由如下： ∵， ∴表示的是到的距离与到的距离之和， 当位于和之间时，的值最小，即为到的距离， ∴ 有最小值为． 【变式4-3】点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合的思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有写出理由． (4)若表示一个有理数，求的最小值． 【答案】(1)8；12 (2) (3)有最小值，最小值为4 (4)11 【分析】本题主要考查的是数轴、绝对值，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）依据在数轴上A、B两点之间的距离求解即可； （2）依据在数轴上A、B两点之间的距离求解即可； （3）根据题意可得表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离和，即可； （4）根据题意可得表示数轴上x和的两点之间，x和5的两点之间与x和的两点之间距离和，即可． 【解答】（1）解：；； 故答案为：8；12． （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为：． （3）解：有最小值， 根据题意得：表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离和， ∵， ∴有最小值，最小值为4； （4）解：根据题意得：表示数轴上x和的两点之间，x和5的两点之间与x和的两点之间距离和， ∴当时，有最小值，最小值为． 【变式4-4】若数轴上两点分别表示数与数，则两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．    (1)已知点在数轴上表示的数分别为，且． ①______，______． ②是数轴上任意一点，且点表示的数是，求的最小值． (2)某条街上有3家新开的自习室．小东的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点．如图，小东家在处，自习室在小东家西边50米处，在小东家东边150米处，在小东家东边200米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值为多少？ 【答案】(1)①，；②3 (2)点在之间（包含在点或上）时，的值最小，最小值为400米 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，绝对值的意义， （1）①根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0可求出a，b， ②由的几何意义可求其最小值； （2）本题考查了数轴上两点间的距离，判断出点P在之间时，取最小值，设表示的数为，有最小值，得到当时求解即可． 【解答】（1）①∵ ∴， ∴，； ②表示在数轴上对应的到两点之间的距离之和． 当在左边时，． 当在2右边时，． 当在之间时（包含在和2这两个点上时），． ∴的最小值是3． （2）由（1）②可知，点在之间（包含在点或上）时，的值最小， 设表示的数为，则有当在0至150（包含0和150）时，有最小值， 当时， 原式 （米） 答：的最小值为400米． 【变式4-5】阅读下面的材料： 根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是_________；数轴上表示x与2的两点之间的距离是_______． (2)若，则_______． (3)满足的整数x有_______个． (4)当_______时，代数式的最小值是3． 【答案】(1)15； (2)0或6 (3)6 (4)或 【分析】本题考查数轴上两点间距离计算； （1）根据两点间距离公式计算； （2）根据数轴上两点间距离公式的定义，结合数轴求解； （3）由数轴上两点间距离公式，可判断x在与3之间，即可； （4）由数轴上两点间距离公式，由题意得当表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点）时，取最小值，然后分两种情况讨论，即可求解． 【解答】（1）解：数轴上表示6与的两点之间的距离是； 数轴上表示x与2的两点之间的距离是． 故答案为：15； （2）解：表示x与3的距离为3， ∴或6． 故答案为：0或6 （3）解：表示x与的距离与它与3的距离之和为5， ∴x在与3之间， ∴这样的整数x有，共6个． 故答案为：6 （4）解：的值为“表示x的点与表示的点的距离”与“表示x的点与表示的点的距离”之和． 当表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点）时，取最小值． ∴表示的点与表示的点的距离为3． 若，即， 则， ∴． 若，即， 则， ∴． 综上，当a取或时，原式的最小值是3． 故答案为：或 【变式4-6】在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 【答案】(1)； (2)5， (3)，8 (4)E，40 【分析】本题考查有理数在数轴上对应的点、绝对值： （1）根据数轴上A、B两点之间的距离计算便可； （2）当x在表示数与1的两点及两点之间时，的值最小，求出此时的值便可； （3）根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值40； 【解答】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离表示为； 数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （2）解：当时，取最小值， 其最小值为：， 满足条件的整数x的和为 故答案为：5，； （3）解：表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为8， 故答案为：，8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， ∴当时，有最小值40， ∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米， 故答案为：E，40； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有关绝对值的化简求值（四大题型突破练） 【解题必备知识】 1.绝对值的定义 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 2.绝对值的意义 1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离；离原点越远，绝对值越大，反之越小； 2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。即一个数取绝对值的结果总是正数或．即：。 整理为： 3）两个正数，绝对值大的数越大；两个负数，绝对值大的数反而小。 3.绝对值的化简 1）判断绝对值符号里式子的正负； 2）将绝对值符号改为小括号：若是正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若是负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）； 3）去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号； 4）化简。 特别注意，当绝对值符号里的数（式）正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，等于0，小于0三种情况讨论：①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么． 4.绝对值的非负性 1）任何一个有理数的绝对值都是非负数（正数或），即a取任意有理数，都有 2）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则a=0且b=0．还有：几个非负数相加的和为0，则这几个非负数分别为0。数学模块有：若|a|+c2=0 ，则有 a=0 且c=0 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 根据数轴上点的位置化简绝对值 【题型2】 用分类讨论思想对绝对值化简求值 【题型3】 利用绝对值和平方的非负性化简求值 【题型4】 由绝对值的几何意义求最值 【题型1】 根据数轴上点的位置化简绝对值 【例1】有理数、、在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0． （2）化简：． 【变式1-1】已知a，b两数在数轴上的位置如图所示 代数式= 【变式1-2】已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． （1） ， ； （2）化简：． 【变式1-3】已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则的值为 ． 【变式1-4】 已知p、q、r、s在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于 （   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【变式1-5】如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 【变式1-6】如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（   ） A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 【题型2】 用分类讨论思想对绝对值化简求值 【例2】若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【变式2-1】 已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式2-2】已知，则值为 ． 【变式2-3】如果a，b，c为非零有理数且a + b + c = 0，那么的所有可能的值为（ ） A．0 B．1或- 1 C．2或- 2 D．0或- 2 【变式2-4】如果，那么的值是 ． 【变式2-5】在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，0，1这三个数值中的一个，若，则 ． 【变式2-6】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知，是不为0的有理数，当时，则的值是 ； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，，求的值． 【题型3】 利用绝对值和平方的非负性化简求值 【例3】已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 【变式3-1】已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 【变式3-2】若与互为相反数，则 ． 【变式3-3】适合 的整数a的值有（    ） A．5个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式3-4】设a，b，c为整数，且，则 【变式3-5】若a、b、c是整数，且，则 ． 【变式3-6】、、、为互不相等的有理数，且，，则 ． 【题型4】 由绝对值的几何意义求最值 【例4】下列说法正确的序号是 ． ①已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知，，是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知x＜4时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，，当，，时，，的值为． 【变式4-1】的最小值是（   ） A．1 B．1010 C．1021110 D．2020 【变式4-2】同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______ ． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【变式4-3】点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合的思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有写出理由． (4)若表示一个有理数，求的最小值． 【变式4-4】若数轴上两点分别表示数与数，则两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．    (1)已知点在数轴上表示的数分别为，且． ①______，______． ②是数轴上任意一点，且点表示的数是，求的最小值． (2)某条街上有3家新开的自习室．小东的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点．如图，小东家在处，自习室在小东家西边50米处，在小东家东边150米处，在小东家东边200米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值为多少？ 【变式4-5】阅读下面的材料： 根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是_________；数轴上表示x与2的两点之间的距离是_______． (2)若，则_______． (3)满足的整数x有_______个． (4)当_______时，代数式的最小值是3． 【变式4-6】在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 学科网（北京）股份有限公司 $$