第一章 坐标平面上的直线（压轴专练）（九大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第一章 坐标平面上的直线（压轴专练）（九大题型） 题型1：函数与直线 1．已知函数，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有1个实根 D．有1个实根 【答案】B 【分析】先设点的坐标，把函数转化为，再结合图形特征得出最小值即可. 【解析】是抛物线上一点， 到直线的距离为 到点的距离为， 所以 当共线时，取最小值， 最小值为到的距离. 因为， 且的最小值为， 所以的最小值为9，且在交点或处取到， 故选：B. 2．已知函数，给出下列四个结论： ①函数的图像是轴对称图形；    ②函数在上单调递减； ③函数的值域是；    ④方程有4个不同的实数解． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据函数解析式的几何意义，数形结合判断选项正误. 【解析】表示x轴上的点到，和的距离之差的绝对值. 对于①，当点在左右对称位置时，到，和的距离之差的绝对值相等，所以的图象是轴对称图形，①正确； 对于②，时，点从左向右靠近，到，和的距离之差的绝对值变小，所以在上单调递减，②正确； 对于③，当点在时，，取最小值0，又因为，所以值域为，③正确； 对于④，由③得，当时，，所以在上有两个不同的解，，和各有两个解，故有4个实数解，④正确. 故选：D. 【点睛】④中方程解的个数问题，注意的值域为，所以的解需在上，才能有两个解. 3．已知函数的定义域为，其最小值为2．点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．其中为坐标原点．给出下列四个结论： ①；     ②不存在点，使得； ③的值恒为；     ④四边形面积的最小值为． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由函数在定义域内的最小值求出的值验证结论①；设，点到直线的距离表示出，由是否有解判断结论②；计算的值判断结论③；④四边形面积表示成的函数，利用基本不等式求最小值判断结论④. 【解析】函数的定义域为，其最小值为2， 当时，在上单调递增，没有最小值，不合题意，则有， ，当且仅当，即时等号成立， 所以在上有最小值，得，解得，结论①成立； ，设，则，，    由点到直线的距离可得，， 时，解得，此时，结论②错误； ，结论③成立； 所在直线方程为，与方程联立，解得， 则有，则， 四边形面积 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以四边形面积的最小值为，结论④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛： 由函数在定义域内的最小值求出的值，得到的解析式，设坐标，表示出 和，判断是否有解，计算是否为定值，利用基本不等式求四边形面积的最小值. 4．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【答案】9 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【解析】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 题型2：最值问题 5．已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求. 【解析】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，    则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形， 则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值，而， 所以的最小值为= 故答案为： 【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程. （2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径. （3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗. 6．已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为. (1)试用来表示点和的坐标； (2)求的面积关于直线的斜率的函数关系式； (3)当为何值时，取得最大值？并求此最大值. 【答案】(1)， (2) (3)当时，取最大值为 【分析】（1）由直线与线段有公共点，可得的取值范围，联立直线可得交点坐标； （2）根据点到直线的距离及两点间距离可得三角形面积； （3）设，结合基本不等式可得最值. 【解析】（1）如图所示， 设直线， 又直线与线段，均相交， 则， 直线方程为， 直线方程为， 联立，解得，即， 联立，解得，即； （2）又，又，则， 点到直线，即点到直线的距离， 所以的面积， （3）由（2）得， 设，即， 则， 又，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 即当时，取最大值为. 7．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长AB为2，宽AD为1，AB，AD边分别为x轴正半轴，y轴正半轴，以A为坐标原点，将矩形折叠，使A点落在线段DC上包括端点. （1）若折痕所在直线的斜率为k，求折痕所在直线方程； （2）当时，求折痕长的最大值； （3）当时，折痕为线段PQ，设，试求t的最大值 【答案】（1）；（2） ；（3）． 【分析】（1）根据对折的对称性可得，若折叠后A点落在G点，则斜率相乘为，从而得到G点的坐标关于的表达式，写出折痕所在的直线方程 （2）当，分析可得折痕交在和轴上，求出交点坐标，求出折痕长度关于的表达式，结合的范围求出最大值 （3）当时，折痕交在和轴上，求出PQ的表达式，代入求出关于的表达式，结合的范围求出的最大值 【解析】（1）①当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程； ②当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为， 所以A与G关于折痕所在的直线对称， 有， 故G点坐标为， 从而折痕所在的直线与OG的交点坐标，即线段OG的中点为， 折痕所在的直线方程，即， 由①②得折痕所在的直线方程为：； （2）当时，折痕的长为2， 当折痕刚好经过B点时，将代入直线方程得：，或（此时，A点不在线段DC上，舍） 当时，折痕两个端点一定在和轴上，直线交BC于点，交y轴于， 折痕长度的最大值为 ， 而， 故折痕长度的最大值为 ； 当时，折痕的两个端点一定在和轴上，直线交DC于，交x轴于， ， ， ， 当且仅当时取“”号， 当时，t取最大值，t的最大值是． 【点睛】本题综合考查了直线方程、函数的最值、均值不等式，考查了数形结合和分类讨论的数学思想，属难题． 8．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长，宽，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，如下图所示．将矩形折叠，使A点落在线段DC上． (1)求折叠前直线AC与直线BD所成角（锐角）的余弦值； (2)若折痕所在直线的斜率为k，求折痕所在直线的方程（用斜率k表示）； (3)求折痕的长的最大值． 可能用到的结论：函数在上递减，在上递增． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理即可求解，或者利用向量的夹角公式求解，也可以利用两点斜率公式，结合到角公式，即可利用三角恒等变换求解， （2）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程．当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，可知：与关于折痕所在的直线对称，有，解得．故点坐标为，可得中点的坐标，利用点斜式求得折痕所在的直线方程． （3）分三种情况先求得、的坐标，再利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性，即可得出的最大值． 【解析】（1）法一：设AC与BD交于点O，则． 在中，， 在中，由余弦定理得， 故直线AC与直线BD所成角的余弦值为． 法二：由题设得． ， ， 故直线AC与直线BD所成角的余弦值为． 法三：由题设得． ， ， ， 故直线AC与直线BD所成角的余法弦为 （2）①当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程． ②当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为， 所以A与G关于折痕所在的直线对称，有，即． 故G点坐标为 从而折痕所在的直线与AG的交点坐标（即线段AG的中点）为． 折痕所在的直线方程，即． 由①②得折痕所在的直线方程为． （3）（i）当时，折痕的长为2； （ii）当时， ①如下图，折痕所在的直线与边AD．BC的交点坐标为． 这时,则故． ②如下图，折痕所在的直线与边AD、AB的交点坐标为． 这时，则． 令，其中，则，令． 函数在上递减，在上递增． 在上递减，在上递增． ． ，即 ③如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为． 这时． 综上述，即折痕的长度平方的最大值为， 所以折痕的长度的最大值． 【点睛】方法点睛：本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，利用直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性求解. 题型3：取值范围问题 9．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可. 【解析】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边，   的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. ，，，. 则的取值范围是：. 故答案为：. 10．如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．    (1)求直线的倾斜角的取值范围． (2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）观察点运动时，直线与线段（不包括端点）有无公共点，数形结合可得出直线的倾斜角的取值范围； （2）假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上，求出直线的斜率，由题意可知，求出直线的斜率，结合（1）中的结论判断即可； （3）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当轴时，直接求出的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，求出点、的坐标，可求出面积的取值范围，进而可得出的取值范围，综合可得出结论. 【解析】（1）解：由图可知，点在第一象限，设点， 因为，，则， 所以，，解得，即点， 由题图可知，当点从原点沿着轴的正方向移动时，直线的倾斜角在逐渐增大， 当直线与直线重合时，设直线交轴的交点为，如下图所示：    当点在线段上运动时，直线与线段（不包括端点）没有公共点， 当点在线段（不包括点）上运动时，直线与线段（不包括端点）有公共点， 且直线的斜率为，直线的倾斜角为， 综上所述，直线倾斜角的取值范围是. （2）解：由（1）可知，、，则直线的斜率为， 假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上， 此时，，则， 此时，直线的倾斜角满足，不合乎题意， 因此，不存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上. （3）解：当轴时，此时，为线段的垂直平分线， 此时，； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，其中， 直线的方程为，即， 联立可得，即点， 联立可得，即点， 所以，， 所以， ， 因为，则，所以，， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问在求解三角形面积的取值范围时，要注意对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在设出直线的方程后，关键要求出点、的坐标，再利用三角形的面积公式以及函数思想求范围. 题型4：直线方程的实际应用 11．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置. 【答案】 【分析】若选择线路，设，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用基本不等式可求得的值及的长；若选择线路，若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，利用斜率公式、两角差的正切公式以及基本不等式可求得结果. 【解析】若选择线路，设，其中，，， 则，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置； 若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，， 直线的方程为，设点，其中， ，， 所以， ， 令，则， 所以， ， 当且仅当时，即当，即当时，等号成立， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 此时，， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置. 故答案为：；. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 12．公路AM，AN围成的是一块顶角为的角形耕地，其中在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km、现要过点P修建一条直线型公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，如图． （1）记，并设，试确定k的取值范围； （2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S表示成k的函数； （3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积． 【答案】（1）；（2）；（3）当点B距离点A5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为． 【分析】（1）由倾斜角的范围得出斜率范围； （2）以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系，得到直线AN的方程是， 设点，根据点P到直线的距离公式得到P点坐标，显然直线BC的斜率存在， 设直线BC的方程为，求出B点坐标，由直线联立，得到C点坐标，表示出的面积为S，建立关于k的函数关系式． （3）由（2）得由解得S的范围，得出结果． 【解析】（1）由题意得，所以， 即． （2）以点A为原点，AM所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则由已知得AN所在直线的方程为，即． 根据已知设P点坐标为，由点P到公路AN的距离为得． 解得或当时，点P不在指定区域，故舍去，所以． 所以公路BC所在直线的方程为． 令，得，即． 将代入得，， 即 所以． （3）由（2）得． 有解得舍或． 当时，，满足条件． 故面积的最小值为15，此时． 综上所述，当点B距离点A5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为． 题型5：分类讨论、与向量结合 13．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】先求得横截距和纵截距，然后根据三角形的面积列方程，解方程求得正确答案. 【解析】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或, 所以或， 设，则或， 则或 解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条. 故选：D 14．如图，在与中，，，，.连接与交于，则 .      【答案】 【分析】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，根据长度关系得到每个点相应的坐标，联立直线，的方程即可计算出点的坐标，再根据平面向量数量积的坐标公式就能算出答案. 【解析】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图：    由，，，， 可得，，， 则， ，， 所以直线的方程可表示为， 直线的方程可表示为， 联立解得， 代入 则交点的坐标是， 由， ， 所以 ， 故答案为：. 题型6：直线有关的综合辨析 15．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【答案】D 【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解. 【解析】因为可以转化为， 故直线恒过定点A，故A选项正确； 又因为：即恒过定点B， 由 和 , 满足 ， 所以 , 可得 , 故B选项正确； 所以 , 故C选项正确; 因为 , 设为锐角, 则, 所以, 所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误. 故选：D. 16．已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】BCD 【分析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断. 【解析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为， 可知， 对于选项A： 可得周长， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以周长的最小值为，故A错误；    对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为， 则， 可得， 所以的最小值为，故B正确；    对于选项C：因为， 设到直线：的距离为， 可得， 所以的最小值为，故C正确；    对于选项D：作，垂足为， 因为直线的斜率，则，可得， 则， 可得， 所以的最小值为4，故D正确；    故选：BCD. 题型7：存在性问题 17．已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）. (1)若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积； (2)是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）由直线的方程为，联立方程组分别求得点的坐标，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，由（1）求得， 得到，进而得到结论. 【解析】（1）    因为直线 l过点，且斜率为，所以直线的方程为， 因为直线与分别交于点，所以 ， 由 ，解得 ，即 ， 由 ，解得 ，即， 又因为的纵坐标均为正数，所以 ，即， 因为 ，所以 若时，，， 又因为点为线段中点，所以解得， 所以，，所以，的面积． （2）假设存在满足题意的，使得的值与无关， 由（1）知：， 且， 因此，， 所以， 因为 ，所以当时，为定值， 所以存在实数，使得的值与无关． 【点睛】关键点点睛：（2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，求得，， 得到，进而得到结论. 18．如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数 （1）设，求面积的最小值； （2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在； 【分析】(1)利用直线的点斜式方程直线l的方程，再利用两条直线的交点坐标得和，再结合题目条件得，当时，得直线OA的方程为， 和，以及，再利用点到直线的距离公式得点M和N到直线OA的距离，从而得面积，令，则，从而得S ，再利用基本不等式求最值，计算得结论； (2)利用(1)的结论，结合两点间的距离公式得和，计算，由得结论． 【解析】(1)因为直线l过点，且斜率为k， 所以直线l的方程为 因为直线l与，分别交于点M，N，所以， 因此由得，即， 由得，即 又因为M，N的纵坐标均为正数， 所以，即 而，因此 又因为当时，直线OA的方程为， ，，且， 所以点M到直线OA的距离为， 点N到直线OA的距离为， 因此面积 令，则且， 因此 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为，即面积的最小值为 (2)存在实数，使得的值与k无关． 由(1)知：，，且 因此，， 所以 又因为，所以当时，为定值， 因此存在实数，使得的值与k无关． 19．如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线MN的斜率为k，问： （1）求直线MN的方程； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若S为的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（2）（3）存在， 【分析】（1）利用点斜式方程，即可求得直线的方程，得到答案； （2）联立直线方程求出直线交点的坐标，进而求得的范围，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，由，即可得到答案； （3）根据有解问题最值法，先分离变量，再利用二次函数性质求函数最小值，即可求解． 【解析】（1）依题意，点，直线的斜率为， 由直线的点斜式方程，可得直线MN的方程为． （2）由题意，因为， 可得直线OA方程为，直线AB方程为， 联立方程组，解得， 因为，所以或， 又由，解得，∵，∴ 所以 由弦长公式可得， 又由点P到直线OM的距离为， 所以． （3）由题意，可得， 设， 令，即，函数在为单调递增函数， 所以当时，的最小值为，当时，的最大值为， 即，所以， 又且， 所以，可得的最小值为， 所以实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题，是一道知识交汇较好，综合性较强的题，属于难题． 20．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，和 【分析】（1）代入和的公式，即可求解； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程. 【解析】（1）， ， ； （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． （3）易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题. 题型8：轨迹问题 21．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作. (1)求点到线段l：的距离； (2)设l是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积； (3)写出到两条线段､距离相等的点的集合，其中，，，，，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出过点与直线垂直的直线，求出垂足，根据，判断出线段l：的端点使得最小；（2）不妨设线段为l，且，，画出满足的图象，求出面积；（3）根据ABCD四个点的位置，得到四边形ABCD为等腰梯形，故BC的垂直平分线即为所求. 【解析】（1）设过点与直线垂直的直线为，代入点，解得：，所以，两直线垂直，联立得：，解得：，故垂足为，显然，设线段l：的端点，则为求点到线段l：的距离. （2）不妨设线段为l，且，，此时点集D由如下曲线围成，其中由两个半圆和两条线段组成，其中两半圆圆心分别为和，半径为1，两线段分别是（ ），（），故图形面积为. （3），，故，且，，所以，故四边形ABCD为等腰梯形，故到两条线段､距离相等的点的集合为线段AD或BC的垂直平分线，其中AD中点坐标为，BC的中点为，故直线GF：. 所以 22．已知初始光线从点出发，交替经直线与轴发生一系列镜面反射，设（不为原点）为该束光线在两直线上第次的反射点，为第次反射后光线所在的直线 (1)若初始光线在轴上，求最后一条反射光线的方程； (2)当斜率为的反射光线经直线反射后，得到斜率为的反射光线时，试探求两条光线的斜率之间的关系，并说明理由； (3)是否存在初始光线，使其反射点集中有无穷多个元素？若存在，求出所有的方程；若不存在，求出点集元素个数的最大值，以及使得取到最大值时所有第一个反射点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的最大值为取最大值4时，的轨迹方程为或 【分析】（1）根据题意确定即可确定最后一条反射光线的方程； （2）由于和直线的夹角相等得，即可得两条光线的斜率之间的关系； （3）由题意得当且时停止反射，设的斜率为，对进行分类讨论确定每种情况下的反射次数，即可得的最大值，及的轨迹方程. 【解析】（1）由题可得的斜率为，故的方程为， 联立，解得，则， 设关丁的对称点为，所以， 则关丁的对称点为， 经过和，故的直线方程为， 所以，的斜率为，故的直线方程为， 后面不会再进行反射，所以最后一条反射光线的方程为. （2）由于和直线的夹角相等得夹角正切值相等，则， 所以或， 解得（舍）或. （3）由题意得当且时光线停止反射，设的斜率为， 1）当在直线上时，或不存在， ①当时，，反射1次； ②当时，，反射2次； ③当时，，反射3次； ④当时，不存在，不存在，，反射3次； ⑤当时，，反射4次； ⑥当不存在时，，反射1次； 2）当在轴上时，或不存在， ①当时，，反射2次； ②当时，，反射1次； ③当时，，反射4次； ④当时，反射3次； ⑤当不存在时，不存在，，反射2次； 综上，的最大值为4，由1），2）可知，取最大值4时，的轨迹方程为或. 【点睛】关键点睛，本题第3小问的解决关键是结合题意，确定当且时光线停止反射，同时，光线与轴发生镜面反射时，前后光线斜率关系为；光线，光线与直线发生镜面反射时，前后光线斜率关系为，由此得解. 题型9：新定义解答题 23．已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． (1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； (2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； (3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】(1)直接利用点到直线的有向距离公式进行计算即可. (2)分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别利用点到直线的有向距离公式进行化简，即可求出直线方程. (3)分和，分别计算出，然后根据题意 可得出关于和的等量关系，进行求出的结果. 【解析】（1）由直线，直线，根据点到直线的有向距离公式得， ，； 即， （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，舍去； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 由题意,所以直线可化为， 假设，则，解得或． 所以存在直线的方程为或； （3）当时，直线， ， 由，整理得 ，，，，即， 当时，直线， 得， 由， 即， 或，解得 或， 由题意对任意的参数都有恒成立，所以， 综上所述，存在实数满足题目条件，即 24．过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线． (1)已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由． (2)在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标． (3)已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围． 【答案】(1)存在，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论； （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，利用定积直线的定义可得或，进而，计算即可； （3）设直线，直线，其中，计算得，利用基本不等式可求的取值范围. 【解析】（1）存在点，使得，是定积直线，理由如下： 由题意可得， 由，解得， 故存在点，使得，是定积直线，且． （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的斜率为． 依题意得，得，即或． 直线的方程为，因为点在直线上，所以． 因为点在第一象限，所以，解得或（舍去），，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由，得，即点的坐标为． （3）设直线，直线，其中， 则 ， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，故的取值范围为． 【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用. 25．已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； (2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到，的夹角的最小值； （2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线PR与直线PQ的方程，联立得P的坐标； （3）设出直线，的方程，求出原点到它们的距离，计算，转化变形后结合基本不等式可得取值范围． 【解析】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 则 ， 等号成立的条件是，所以的最小值为， 则两直线的夹角的最小值为； （2）设直线的斜率分别为， 则，得或， 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，； 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，，与点C重合，舍去； 故所求为； （3）由题意可设即，即，其中， 故 由于（等号成立的条件是）， 所以，故即， 所以. 【点睛】方法点睛:“新定义"主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说"新题"不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 26．请根据如下准备知识，解决相应的问题. ①向量的数乘:规定实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：.当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反；当时，.特别地，是一个与方向相同的单位向量. ②向量的内积：，其中为两向量的夹角.对于平面向量，若，则.特别地，，即向量的模等于它同与它同方向的单位向量的内积. ③平面内直线的法向量为，如图1所示. ④平面内点关于直线对称的基本特征：若点关于直线的对称点为，有两点连线与直线垂直，且点到直线的距离相等，即，如图2所示. (1)平面内，求点关于直线对称点的坐标是一个很常见的问题，在计算机图形学中更是一个基本的计算问题，你所见到的异彩纷呈的电脑游戏就广泛应用这些基本运算.你能否利用本题中所给的准备知识借助图3与图4给出点的计算公式？ (2)请你用上面所得的结论解决如下两个问题: ①求点关于直线的对称点坐标. ②，直线过点，为直线上的动点，若的最小值为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)①；②或. 【分析】（1）按的取值分类研究.利用准备知识结合图形，取与同方向的，可得，利用点到直线的距离公式可得，讨论的符号从而表示出，借助向量的三角形法则得，代入坐标及表达式即可得坐标，其他情况同理可转化或特殊情况验证即可； （2）①直接代入对称点的坐标计算公式可得；②设出直线的方程，整理为一般式，再利用对称点的坐标计算公式求出点对称点的坐标，由题意的最小值为可得，由两点间距离公式建立关于的方程求解可得. 【解析】（1）由准备知识③，直线的法向量为，其中. 由准备知识①，是一个与方向相同的单位向量. （i）当时，直线斜率为. 设点关于直线的对称点， 是线段的中点，由预备知识④，则． 如图3，当点在直线的上方时， 由，且与方向相同，设. 由点到直线的距离公式， 得， 由准备知识②， 可得, 所以. 如图，由点在直线上方，设直线上与点横坐标相同的点， 则，因为，所以， 故， 由， 又， 所以 则， 将式代入可得． 如图4，当点在直线的下方时， 取直线的一个法向量， 则，且与也方向相同，设. 同理可得， 如图，由点在直线下方，设直线上与点横坐标相同的点， 则，因为， 所以， 故， 由 又， 所以 则， 将式代入可得. 当在直线上时，则， 则点关于直线的对称点即点本身， 即，也满足. 综上，当时，点关于直线的对称点的计算公式为 . （ii）当时，同理可证，上述公式也成立． （iii）当时，直线方程为，直线与轴垂直， 此时点关于直线的对称点坐标为也适合公式． （iv）当时，则方程即方程，. 则由以上分析可应用计算公式，得 ， 故公式同样成立． （v）时，由，得，直线方程为，直线与轴垂直， 此时点关于直线的对称点坐标为也适合公式． 综上所述，当时，点关于直线的对称点的计算公式为 . （2）① 由题意，设点关于直线的对称点， 则应用对称点的坐标计算公式可得. 故点关于直线的对称点坐标为. ②由题意，直线不与轴重合. 由直线过点，则可设方程为，即. 设点关于直线的对称点，设， 则由计算公式可得， 如图，由对称性可知， 当且仅当三点共线时，等号成立. 故的最小值为，又， 则， 化简得，即，解得. 故直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键，在于结合图形将材料提供的准备知识与已知所学知识有机联系起来，如点关于直线对称点的坐标公式的推导过程中，需要利用准备知识中长度的表达方法，将表达为进行运算，然后结合所学点到直线的距离公式构建出等量关系从而求解系数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 坐标平面上的直线（压轴专练）（九大题型） 题型1：函数与直线 1．已知函数，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有1个实根 D．有1个实根 2．已知函数，给出下列四个结论： ①函数的图像是轴对称图形；    ②函数在上单调递减； ③函数的值域是；    ④方程有4个不同的实数解． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知函数的定义域为，其最小值为2．点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．其中为坐标原点．给出下列四个结论： ①；     ②不存在点，使得； ③的值恒为；     ④四边形面积的最小值为． 其中，所有正确结论的序号是 ． 4．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 题型2：最值问题 5．已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 6．已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为. (1)试用来表示点和的坐标； (2)求的面积关于直线的斜率的函数关系式； (3)当为何值时，取得最大值？并求此最大值. 7．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长AB为2，宽AD为1，AB，AD边分别为x轴正半轴，y轴正半轴，以A为坐标原点，将矩形折叠，使A点落在线段DC上包括端点. （1）若折痕所在直线的斜率为k，求折痕所在直线方程； （2）当时，求折痕长的最大值； （3）当时，折痕为线段PQ，设，试求t的最大值 8．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长，宽，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，如下图所示．将矩形折叠，使A点落在线段DC上． (1)求折叠前直线AC与直线BD所成角（锐角）的余弦值； (2)若折痕所在直线的斜率为k，求折痕所在直线的方程（用斜率k表示）； (3)求折痕的长的最大值． 可能用到的结论：函数在上递减，在上递增． 题型3：取值范围问题 9．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 . 10．如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．    (1)求直线的倾斜角的取值范围． (2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 题型4：直线方程的实际应用 11．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置. 12．公路AM，AN围成的是一块顶角为的角形耕地，其中在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km、现要过点P修建一条直线型公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，如图． （1）记，并设，试确定k的取值范围； （2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S表示成k的函数； （3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积． 题型5：分类讨论、与向量结合 13．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 14．如图，在与中，，，，.连接与交于，则 .      题型6：直线有关的综合辨析 15．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 16．已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 题型7：存在性问题 17．已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）. (1)若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积； (2)是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由. 18．如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数 （1）设，求面积的最小值； （2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由． 19．如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线MN的斜率为k，问： （1）求直线MN的方程； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若S为的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由． 20．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 题型8：轨迹问题 21．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作. (1)求点到线段l：的距离； (2)设l是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积； (3)写出到两条线段､距离相等的点的集合，其中，，，，，. 22．已知初始光线从点出发，交替经直线与轴发生一系列镜面反射，设（不为原点）为该束光线在两直线上第次的反射点，为第次反射后光线所在的直线 (1)若初始光线在轴上，求最后一条反射光线的方程； (2)当斜率为的反射光线经直线反射后，得到斜率为的反射光线时，试探求两条光线的斜率之间的关系，并说明理由； (3)是否存在初始光线，使其反射点集中有无穷多个元素？若存在，求出所有的方程；若不存在，求出点集元素个数的最大值，以及使得取到最大值时所有第一个反射点的轨迹方程. 题型9：新定义解答题 23．已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． (1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； (2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； (3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 24．过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线． (1)已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由． (2)在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标． (3)已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围． 25．已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； (2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 26．请根据如下准备知识，解决相应的问题. ①向量的数乘:规定实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：.当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反；当时，.特别地，是一个与方向相同的单位向量. ②向量的内积：，其中为两向量的夹角.对于平面向量，若，则.特别地，，即向量的模等于它同与它同方向的单位向量的内积. ③平面内直线的法向量为，如图1所示. ④平面内点关于直线对称的基本特征：若点关于直线的对称点为，有两点连线与直线垂直，且点到直线的距离相等，即，如图2所示. (1)平面内，求点关于直线对称点的坐标是一个很常见的问题，在计算机图形学中更是一个基本的计算问题，你所见到的异彩纷呈的电脑游戏就广泛应用这些基本运算.你能否利用本题中所给的准备知识借助图3与图4给出点的计算公式？ (2)请你用上面所得的结论解决如下两个问题: ①求点关于直线的对称点坐标. ②，直线过点，为直线上的动点，若的最小值为，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$