第02讲 4.2.1等差数列的概念（知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第02讲 4.2.1等差数列的概念 课程标准 学习目标 ①理解等差数列的定义.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等差中项的概念。 ②能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.能运用等差数列的性质解决有关问题。 能应用等差数列的定义判断等差数列，会应用等差数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等差数列的性质解决与等差数列相关的问题 知识点01：等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 知识点02：等差中项 由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 . 【即学即练1】（24-25高二上·全国·随堂练习）若，是方程的两根，则，的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 知识点03：等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 【即学即练2】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为（    ） A．52 B．62 C． D． 知识点04：等差数列与一次函数 等差数列 一次函数 表达式： 不同点 ①定义域*. ②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点. ①定义域为. ②图象是一条直线. 相同点 ①当时,等差数列的通项公式与一次函数的 解析式都是关于自变量的一次式. ②等差数列中的,,,四个量中知三求一和 一次函数中求,的方法都是解方程(组). 知识点05：等差数列的单调性 ①当，等差数列为递增数列 ②当，等差数列为递减数列 ③当，等差数列为常数列 【即学即练3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点06：等差数列的四种判断方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 知识点07：等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） ③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 . ④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列. ⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列. ⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. 【即学即练4】（24-25高二上·全国·课前预习）在等差数列中，，求. 题型01等差数列的判定 【典例1】（23-24高二上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【典例2】（23-24高二上·江苏·课前预习）设为数列的前项和，. (1)求及； (2)判断这个数列是否是等差数列. 【变式1】（23-24高二上·吉林·期末）已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列数列是否为等差数列： (1)； (2) 题型02 等差数列的通项公式及其应用 【典例1】（23-24高二下·河南郑州）已知数列满足， 且 ，则等于（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式 ． 【典例3】（23-24高二下·广东汕尾·阶段练习）已知数列的前项和（其中为常数，），写出使为等差数列的一个通项公式 . 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，，，则 . 【变式3】（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知等差数列满足，，则通项公式为 . 题型03 等差数列通项公式基本量计算 【典例1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知数列是等差数列，若，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【典例2】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）在数列中，.若为等差数列，则 . 【典例3】（2024·四川·模拟预测）已知数列中，，且满足，若的前3项构成等差数列，则 ． 【变式1】（2024·辽宁大连·一模）数列中， ，若数列是等差数列，则最大项为（   ） A． B．或 C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课堂例题）若关于的方程和（且）的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差 ，的值为 ． 【变式3】（24-25高二上·全国·随堂练习）三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 题型04 等差中项及其应用 【典例1】（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【典例2】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为m，a，4m，b，则等于（    ） A． B． C． D．4 【典例3】（23-24高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知，.若a，b，c成等差数列，则 . 【变式1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）若等差数列的前三项依次为，，，则实数的值为 . 【变式3】（23-24高二下·上海·期中）若与a的等差中项为18，则实数a的值为 ． 题型05 等差数列性质的应用 【典例1】（2024·山西运城·三模）已知数列是等差数列，，则（    ） A．4 B． C． D． 【典例2】（2024·全国·模拟预测）在数列中，已知，且，则（    ） A．256 B．196 C．144 D．96 【变式1】（23-24高一下·上海闵行·期末）在等差数列中，则 . 【变式2】（23-24高二上·西藏拉萨·期末）在等差数列中，，则 . 题型06 等差数列的单调性 【典例1】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·四川·阶段练习）在正项等差数列中，，则公差的取值范围是 ． 【变式1】（2024·广东广州）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（    ） A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d 【变式2】（23-24高二上·吉林长春·）在公差为d的等差数列中，“”是“是递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型07 等差数列中的最大（小）项 【典例1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则 【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）设等差数列的通项公式为，且，则正整数m的最大值是 A．4 B．5 C．6 D．7 【典例3】（23-24高三上·浙江绍兴）已知公差为2的等差数列，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，求数列的最小项. 【变式1】（23-24高二下·江西宜春·开学考试）等差数列中，设为其前项和，且，，则当为 时，最大. 【变式2】（2024·安徽）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 ． 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知等差数列，，，…的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值． 题型08 构造等差数列 【典例1】（23-24高二下·广西桂林·期末）已知数列的各项均不为0，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【典例3】（23-24高二下·河北承德·开学考试）已知数列满足，则 ， . 【变式1】（23-24高二上·四川广安·阶段练习）在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足，则 ． 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足：，且．求； 题型09 等差数列的实际应用 【典例1】（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 . 【典例2】（23-24高二上·安徽合肥·期末）某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则的值为 ． 【典例3】（23-24高三上·山东潍坊·期中）诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 ． 【变式1】（23-24高三上·上海嘉定·期中）中国一带一路成果丰硕，2013年我国在印尼投资有2.8亿美元，仅排列外资中的第12位.10年后的今天，我国在印尼全年投资已达86亿美元.若假设中国从2013年开始投入印尼的资金逐年成等差数列增长，则从 年后开始，全年投入印尼资金达100亿美元，中国将成为外国直接投资的最大贡献者. 【变式2】（23-24高二上·福建龙岩·期中）潮涌杭州，亚运来了！2023年9月23日，第19届亚运会在杭州盛大开幕，这是杭州历史上的一件大事，也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办的大型国际体育赛事.某网站全程转播了该次赛事，为庆祝本次赛事，该网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被3整除余1且被5整除余1的可以获得精品吉祥物一套；②对于不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2023人（编号为1号到2023号，中间没有空缺），则获得精品吉祥物的人数为 . 题型10等差数列在传统文化中的应用问题 【典例1】（23-24高二上·湖南·期中）南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·山东滨州·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教十伟列亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3整除余2（如）且被5整除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ） A．32 B．47 C．62 D．77 【典例3】（23-24高三上·云南楚雄·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，我们把取整函数，称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如，.已知等差数列满足，，，则 . 【变式1】（23-24高二下·山东淄博·期中）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（    ） A．15 B．17 C．18 D．19 【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）“孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加密､秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列单调递增，且由被2除余数为1的所有正整数构成，现将的末位数按从小到大排序作为加密编号，则该加密编号为（    ） A．1157 B．1177 C．1155 D．1122 【变式3】（2024·北京大兴·三模）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为 . A夯实基础 B能力提升 C素养提升 A夯实基础 1．（23-24高二下·四川泸州·期中）等差数列5，8，11，14，…的第11项为（    ） A．29 B．32 C．35 D．37 2．（23-24高二下·江西萍乡·期中）等差数列中，，则（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 3．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1901年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到520这520个数中，能被3除余1且被4除余1的数从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 4．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知在等差数列 中， ，则 （    ） A．15 B．30 C．45 D．60 5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器.三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米.为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降.假设每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 6．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知为等差数列，若，则的公差为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·浙江·期中）对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 二、多选题 9．（23-24高二下·广东广州·期中）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则（    ） A．数列的前60项和 B．数列的前60项和 C．数列的通项公式是 D．数列的通项公式是 10．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在等差数列中，，则 . 12．（23-24高二下·上海·阶段练习）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被4除余数为，被5除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为 四、解答题 13．（2024高二下·全国·专题练习）若数列中，且（），求它的通项公式 B能力提升 1．（2024·广西贵港·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为（    ） A．4047 B．4046 C．2024 D．4048 2．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.设甲：数列满足；乙：数列是公差为2的等差数列或公和为2的等和数列，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）等差数列按照如图的方式排列成一个的方阵，并从里到外分为n层. 设第n层内的所有数字和为，且有，则数列的公差为 ． 4．（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若数列对任意正整数n都有恒成立，求实数λ的取值范围． C素养提升 1．（2024·广东·模拟预测）定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列具有“性质1”.已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质1”. (1)若，且，写出所有可能的的值； (2)若，证明：“”是“”的充要条件； (3)若，证明：或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 4.2.1等差数列的概念 课程标准 学习目标 ①理解等差数列的定义.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等差中项的概念。 ②能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.能运用等差数列的性质解决有关问题。 能应用等差数列的定义判断等差数列，会应用等差数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等差数列的性质解决与等差数列相关的问题 知识点01：等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 知识点02：等差中项 由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 . 【即学即练1】（24-25高二上·全国·随堂练习）若，是方程的两根，则，的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】等差中项的应用 【分析】应用韦达定理及等差中项计算即可. 【详解】因为, 所以的等差中项为. 故选：C. 知识点03：等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 【即学即练2】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为（    ） A．52 B．62 C． D． 【答案】A 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由题意先求出等差数列的首相和公差，可求出等差数列的通项公式，令即可得出答案. 【详解】由题意设等差数列的首相和公差分别为， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 知识点04：等差数列与一次函数 等差数列 一次函数 表达式： 不同点 ①定义域*. ②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点. ①定义域为. ②图象是一条直线. 相同点 ①当时,等差数列的通项公式与一次函数的 解析式都是关于自变量的一次式. ②等差数列中的,,,四个量中知三求一和 一次函数中求,的方法都是解方程(组). 知识点05：等差数列的单调性 ①当，等差数列为递增数列 ②当，等差数列为递减数列 ③当，等差数列为常数列 【即学即练3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、等差数列的单调性 【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【详解】令公差为且的无穷等差数列，且， 若为递减数列，则，结合一次函数性质， 不论为何值，存在正整数，当时，充分性成立； 若存在正整数，当时，由于，即不为常数列， 故单调递减，即，所以为递减数列，必要性成立； 所以“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C 知识点06：等差数列的四种判断方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 知识点07：等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） ③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 . ④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列. ⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列. ⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. 【即学即练4】（24-25高二上·全国·课前预习）在等差数列中，，求. 【答案】10 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】方法一：由等差数列的通项公式展开即可；方法二：由等差数列的性质计算即可. 【详解】方法一 ：设数列的公差为. 则 ，所以. 方法二：因为， 所以. 题型01等差数列的判定 【典例1】（23-24高二上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】A 【知识点】判断等差数列 【分析】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选：A. 【典例2】（23-24高二上·江苏·课前预习）设为数列的前项和，. (1)求及； (2)判断这个数列是否是等差数列. 【答案】(1)， (2)不是 【知识点】判断等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）求出，再利用求即可，注意验证； （2）直接通过来判断. 【详解】（1）由得，即， 当时，， 又时，，不符合， 故； （2）由（1）得， 则， 故数列不是等差数列. 【变式1】（23-24高二上·吉林·期末）已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断等差数列 【分析】令等差数列通项公式为，根据等差数列定义依次判断各项. 【详解】若等差数列通项公式为，此时，，，， 不为常数，所以不是等差数列； 不为常数，所以不是等差数列， 为常数，所以是等差数列， 不为常数，所以不是等差数列. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列数列是否为等差数列： (1)； (2) 【答案】(1)是等差数列 (2)不是等差数列 【知识点】判断等差数列 【分析】（1）根据等差数列的定义判断； （2）根据等差数列的定义判断. 【详解】（1）当时，， 所以这个数列是等差数列． （2）由通项公式，知，，． ，所以该数列不是等差数列． 题型02 等差数列的通项公式及其应用 【典例1】（23-24高二下·河南郑州）已知数列满足， 且 ，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用定义求等差数列通项公式 【分析】由题可知数列是等差数列，首项为，公差为，由此可以求出数列的通项，进而得到的通项. 【详解】因为， 所以知数列是等差数列，首项为，公差为， 所以， ， 所以. 故选：A. 【典例2】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式 ． 【答案】/ 【知识点】利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据等差数列的定义，结合题目中的递推公式，找出数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式，可得答案. 【详解】由，可得，则数列是等差数列，即公差， 由数列首项，则. 故答案为：. 【典例3】（23-24高二下·广东汕尾·阶段练习）已知数列的前项和（其中为常数，），写出使为等差数列的一个通项公式 . 【答案】2n 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用可得答案. 【详解】时，， 时，， 所以是首项为，公差为2的等差数列， 若为等差数列，则即， 此时. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据等差数列的定义知为首项为5，公差为的等差数列，进而求出通项公式. 【详解】依题意，，所以，即， 所以数列是首项为5，公差为的等差数列，所以. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，，，则 . 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】对取倒数得，利用等差数列定义判断并求出其通项公式，从而求出. 【详解】对取倒数得，∴， ∴是为首项，3为公差的等差数列. ∴，∴，∴. 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知等差数列满足，，则通项公式为 . 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设等差数列的公差为，解出公差由等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，，， 所以，解得，所以. 故答案为： 题型03 等差数列通项公式基本量计算 【典例1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知数列是等差数列，若，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式即可得解． 【详解】设公差为，则：， ． 故选：B． 【典例2】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）在数列中，.若为等差数列，则 . 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】设数列的公差，由求得公差，再由的通项公式求得结果. 【详解】设的公差为，所以，所以， 所以，解得. 故答案为：. 【典例3】（2024·四川·模拟预测）已知数列中，，且满足，若的前3项构成等差数列，则 ． 【答案】3 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由，得，然后两式相加，进而相减得到求解. 【详解】解：由，得， 两式相加得，故， 两式相减得， 所以数列是以6为周期的周期数列， 所以，则． 故答案为：3 【变式1】（2024·辽宁大连·一模）数列中， ，若数列是等差数列，则最大项为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的基本量确定数列的首项与公差，从而可得通项，作差确定差的符号，从而确定数列的单调性，从而可得最大项. 【详解】若数列是等差数列，则数列的首项为，公差为， 所以，则， 所以， 则当时，，则； 当时，，故此时数列单调递减，则 综上，最大项为. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·全国·课堂例题）若关于的方程和（且）的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差 ，的值为 ． 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的应用 【分析】设的根为，的根为，由韦达定理得，根据等差数列的性质可得，以及，结合韦达定理求，即可得结果． 【详解】设的根为，的根为， 则（，）． 设数列的首项为， 则根据等差数列的性质，数列的第4项为． 由题意知，则，数列的公差； 所以数列的中间两项分别为，． 可得，， 所以． 故答案为：；. 【变式3】（24-25高二上·全国·随堂练习）三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 【答案】，2，6或6，2， 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】先根据等差数列设出三个数，再根据条件得出方程计算即可. 【详解】 设这三个数分别为．由题意可得 解得或 故所求三个数为，2，6或6，2，． 故答案为：或. 题型04 等差中项及其应用 【典例1】（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【知识点】求等差中项、等差中项的应用 【分析】运用等差中项概念及性质可解. 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 【典例2】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为m，a，4m，b，则等于（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质可得的等式关系，再计算即可. 【详解】因为，，，为等差数列，所以，， 所以，，所以. 故选：A． 【典例3】（23-24高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知，.若a，b，c成等差数列，则 . 【答案】6 【知识点】等差中项的应用 【分析】用等差中项的性质求解即可. 【详解】因为，b，成等差数列， 所以，解得. 故答案为：6 【变式1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差中项的应用 【分析】根据等差中项解得，可得等差数列的首项为，公差为2，进而可得通项公式. 【详解】因为，，为等差数列， 则，解得， 可知等差数列的前3项分别为，1，，即首项为，公差为2， 所以此数列的通项为. 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）若等差数列的前三项依次为，，，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】等差中项的应用 【分析】根据等差中项的性质计算可得. 【详解】因为，，为等差数列的前三项， 所以，解得. 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·上海·期中）若与a的等差中项为18，则实数a的值为 ． 【答案】/ 【知识点】等差中项的应用 【分析】根据等差中项的定义计算即可. 【详解】由已知得， 得. 故答案为：. 题型05 等差数列性质的应用 【典例1】（2024·山西运城·三模）已知数列是等差数列，，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用下标和性质计算可得. 【详解】因为，则，又，则， 解得， 所以. 故选：C 【典例2】（2024·全国·模拟预测）在数列中，已知，且，则（    ） A．256 B．196 C．144 D．96 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】由已知，为等差数列，所以由等差数列的性质即可得到答案. 【详解】由，得，则为等差数列， 又，所以由等差数列的性质知． 故选：D． 【变式1】（23-24高一下·上海闵行·期末）在等差数列中，则 . 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列的性质，有,结合已知，即可求得. 【详解】等差数列中，， 因为, 所以. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·西藏拉萨·期末）在等差数列中，，则 . 【答案】40 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质，有，然后求解即可. 【详解】由题意有，得. 故答案为. 题型06 等差数列的单调性 【典例1】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列的单调性、利用等差数列的性质计算 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 【典例2】（23-24高三上·四川·阶段练习）在正项等差数列中，，则公差的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】等差数列的单调性、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得的取值范围. 【详解】依题意可得，则 又等差数列各项为正，则，所以． 故答案为： 【变式1】（2024·广东广州）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（    ） A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d 【答案】D 【知识点】等差数列的单调性、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据从第8项起开始为正数，可得a7≤0，a8＞0，利用“”法求解. 【详解】an＝﹣21+（n﹣1）d． ∵从第8项起开始为正数， ∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0， 解得3＜d． 故选：D． 【点睛】本题主要考查等差数列的单调性及通项公式，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 【变式2】（23-24高二上·吉林长春·）在公差为d的等差数列中，“”是“是递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】等差数列的单调性、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判定 【详解】若，则，，所以，是递增数列； 若是递增数列，则，，推不出， 则“”是“是递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 题型07 等差数列中的最大（小）项 【典例1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则 【答案】 【知识点】求等差数列中的最大（小）项 【解析】求出公差，与通项公式，由可得使取得最大值时的值． 【详解】设公差为，则得，解得， ， 由，，即， ∴取得最大值时，． 故答案为：9． 【点睛】本题考查等差数列的前项，考查前项和的最值问题． 是等差数列的前项和，时，求其最大值的两种方法： （1）若，，则最大； （2）可利用二次函数的性质求得最大值． 【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）设等差数列的通项公式为，且，则正整数m的最大值是 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】求等差数列中的最大（小）项、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题目所给含有绝对值的式子分析可知绝对值等于本身，故，即，由此得到最大的的值. 【详解】根据题意可知，是非负数，故，故的最大值为.所以选. 【点睛】本题主要考查对题目所给还有绝对值的式子进行分析，得到关键点是数列中为非负数的项.根据数列的通项公式可求得的最大值. 【典例3】（23-24高三上·浙江绍兴）已知公差为2的等差数列，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，求数列的最小项. 【答案】（1）；（2）最小项为第7项为. 【知识点】求等差数列中的最大（小）项、等差数列通项公式的基本量计算 【解析】（1）由等比中项的性质以及等差数列的通项公式求出数列的通项公式； （2）当时，由得出，由二次函数的性质得出数列的最小项，当时，由得出结合导数数列的最小项. 【详解】（1）由题知：，则得： 即 （2）当时，， 则，即时， 当时，，，则 令， 当时，，当时， 即函数在上单调递减，在上单调递增 即时， 最小项为第7项为 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于先讨论的正负，从而确定的通项公式，进而得出，最后由二次函数的性质以及导数得出数列的单调性，由此得出最小值. 【变式1】（23-24高二下·江西宜春·开学考试）等差数列中，设为其前项和，且，，则当为 时，最大. 【答案】7 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征、求等差数列中的最大（小）项、等差数列的单调性 【分析】方法一:因为公差不为零的等差数列的前项和是关于的二次函数,由可知对称轴为,又开口向下,即可得出结果. 方法二:由,可得,,则，,即可得出结果. 【详解】解法一：由于是关于的二次函数，且在二次函数的图象上，由,可知的图象关于直线对称.由, 可知,故当时,最大,即当时,最大. 解法二：由，可得， 即， 故，又由，可知， 所以，，所以当时，最大. 故答案为:7. 【点睛】本题考查了等差数列前项和的性质等差数列单调性的综合应用.等差数列性质的简单应用.属于基础题. 【变式2】（2024·安徽）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 ． 【答案】196 【知识点】求等差数列中的最大（小）项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列， 则， 令，解得， 则数列的最大项为， 所以该数列最大项和最小项之和为． 故答案为：196. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知等差数列，，，…的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值． 【答案】存在最小值， 【知识点】求等差数列前n项和的最值、求等差数列中的最大（小）项、等差数列的单调性、利用定义求等差数列通项公式 【分析】由已知可求得数列的通项公式，令，可知且，可知数列的前9项都是负数，第10项为正数，即值存在最小值. 【详解】由已知可知等差数列的首项，公差 则数列的通项公式为 令，即，又，且 即数列的前9项都是负数，第10项为正数， 故当时，存在最小值. 题型08 构造等差数列 【典例1】（23-24高二下·广西桂林·期末）已知数列的各项均不为0，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】为公差为3的等差数列，求出，代入求解即可. 【详解】由，可知为公差为3的等差数列，且首项为， 故， 故，. 故选：C 【典例2】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】D 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】先利用条件得，再根据为等差数列求解即可. 【详解】由得， 所以为公差为的等差数列，又， 所以， 则 故选：D. 【典例3】（23-24高二下·河北承德·开学考试）已知数列满足，则 ， . 【答案】 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】在递推式中对依次赋值，即得；注意到递推式的特征，因，可将其两边取倒数，推得等差数列，求其通项即得. 【详解】因为，所以，故； 由可知，两边取倒数得： 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则. 故答案为：；. 【变式1】（23-24高二上·四川广安·阶段练习）在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据题目条件得到为等差数列，公差为1，并求出首项，从而得到通项公式，求出，得到答案. 【详解】因为，所以为等差数列，公差为1，首项为， 故，所以， 因为，所以，. 故选：C 【变式2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足，则 ． 【答案】 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据递推关系可得，即可根据等差数列求解. 【详解】由于， ，即， 又， 数列是首项为1，公差为2的等差数列； ， ， 故答案为： 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足：，且．求； 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】把两边同时除以，证明出是等差数列，求出首项和公差即可求解． 【详解】数列中，由， 得，即， 因此数列是以为首项，2为公差的等差数列， 则， 所以． 题型09 等差数列的实际应用 【典例1】（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 . 【答案】65 【知识点】等差数列的应用 【分析】探索，，，，的关系，确定的值. 【详解】由题意，圆周上顺时针排列时，可得，就是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以. 故答案为： 【典例2】（23-24高二上·安徽合肥·期末）某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则的值为 ． 【答案】200 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】此类问题为数列的增减项问题，把握好两点，先枚举找规律，再做好满足题意的估计，最后利用相关数列的求和公式分组求和即可. 【详解】由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人． 所以数列为等差数列，且，数列的公差，所以， 数列为数列的任意相邻两项与之间插入个2所得， 所以数列满足条件，，当时，， ，当时，，， 当时，，， 当时，， 所以数列的前项的和为. 故答案为： 【典例3】（23-24高三上·山东潍坊·期中）诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 ． 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为，首项为的等差数列，求出通项公式，再解不等式即可. 【详解】设彗星出现的年份为数列 由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为，首项为的等差数列， 所以， 令，即， 解得，又，所以， 所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为次. 故答案为：. 【变式1】（23-24高三上·上海嘉定·期中）中国一带一路成果丰硕，2013年我国在印尼投资有2.8亿美元，仅排列外资中的第12位.10年后的今天，我国在印尼全年投资已达86亿美元.若假设中国从2013年开始投入印尼的资金逐年成等差数列增长，则从 年后开始，全年投入印尼资金达100亿美元，中国将成为外国直接投资的最大贡献者. 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】中国从2013年开始投入印尼的资金逐年成等差数列增长，设等差数列为，且公差为，由题意可知，，由等差数列的性质求出，令，解出，即可得出答案. 【详解】中国从2013年开始投入印尼的资金逐年成等差数列增长， 设等差数列为，且公差为， 由题意可知，， 所以，解得：， 所以， 令，则，解得：， 又因为，所以， 所以， 从2026年后开始，全年投入印尼资金达100亿美元，中国将成为外国直接投资的最大贡献者. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·福建龙岩·期中）潮涌杭州，亚运来了！2023年9月23日，第19届亚运会在杭州盛大开幕，这是杭州历史上的一件大事，也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办的大型国际体育赛事.某网站全程转播了该次赛事，为庆祝本次赛事，该网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被3整除余1且被5整除余1的可以获得精品吉祥物一套；②对于不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2023人（编号为1号到2023号，中间没有空缺），则获得精品吉祥物的人数为 . 【答案】135 【知识点】等差数列的简单应用、利用定义求等差数列通项公式 【分析】将能被3整除余1且被5整除余1的正整数按从小到大排列，所得的数列记为，根据题意结合等差数列的通项求出其通项公式，进而可得出答案. 【详解】将能被3整除余1且被5整除余1的正整数按从小到大排列，所得的数列记为， 由已知得是3的倍数，也是5的倍数， 所以为15的倍数，所以是首项为0，公差为15的等差数列， 所以， 令，可得， 又，解得且， 故获得精品吉祥物的人数为135. 故答案为：135. 题型10等差数列在传统文化中的应用问题 【典例1】（23-24高二上·湖南·期中）南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断等差数列、数列新定义、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可． 【详解】令数列：为数列，于是， 依题意，数列为：，于是 数列为：是等差数列，， 则，因此， 所以该数列的第项为. 故选：B 【典例2】（23-24高二上·山东滨州·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教十伟列亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3整除余2（如）且被5整除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ） A．32 B．47 C．62 D．77 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、数与式中的归纳推理 【分析】将问题转化为是15的倍数，再利用数列通项公式即可求得结果. 【详解】根据题意可知既是3的倍数，又是5的倍数，即是15的倍数， 可得，即； 所以. 故选：B 【典例3】（23-24高三上·云南楚雄·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，我们把取整函数，称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如，.已知等差数列满足，，，则 . 【答案】8 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和 【分析】根据等差数列的通项公式得到，根据得到，然后利用裂项相消的方法得到，随后根据定义求即可. 【详解】根据题意得， 因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：8. 【变式1】（23-24高二下·山东淄博·期中）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（    ） A．15 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意写出数列前几项，从而可得通项公式，进而可求出答案. 【详解】前几项为3、5、7、9、11， 所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以，所以， 故选：B. 【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）“孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加密､秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列单调递增，且由被2除余数为1的所有正整数构成，现将的末位数按从小到大排序作为加密编号，则该加密编号为（    ） A．1157 B．1177 C．1155 D．1122 【答案】A 【知识点】判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】由题意可知，求出，即可求解. 【详解】由题可知数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，得，， 所以的末位数依次为，故加密编号为1157. 故选：A. 【变式3】（2024·北京大兴·三模）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为 . 【答案】 【知识点】等差数列的简单应用、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】首先根据题意得到，然后结合题目所给范围求出的范围，即可求解. 【详解】依题意既是的倍数也是的倍数还是的倍数，也就是的倍数， 所以，即，令， ∴，又因为，所以共项. 故答案为： A夯实基础 B能力提升 C素养提升 A夯实基础 1．（23-24高二下·四川泸州·期中）等差数列5，8，11，14，…的第11项为（    ） A．29 B．32 C．35 D．37 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】求出等差数列通项，再代入计算即可. 【详解】设该等差数列为，则由题意得， 则，则. 故选：C. 2．（23-24高二下·江西萍乡·期中）等差数列中，，则（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解． 【详解】设等差数列的公差为， ，则， ，则，解得，， ． 故选：B． 3．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1901年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到520这520个数中，能被3除余1且被4除余1的数从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由题意得，被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，即，，然后可求出答案. 【详解】由题意知， 所以，，， 故选：B 4．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知在等差数列 中， ，则 （    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据等差数列的性质求出公差，结合计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 又，所以等差数列的公差为， 所以. 故选：D 5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器.三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米.为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降.假设每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】等差数列的简单应用 【分析】由已知，水位差为米，每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间，由，可知船闸至少需要修建闸室5个. 【详解】因为三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米, 所以水位差为米， 又每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间， 则， 所以船闸至少需要修建闸室5个. 故选：B. 6．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知为等差数列，若，则的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质可求公差. 【详解】设的公差为，因为， 所以，． 故选：D． 7．（23-24高二下·浙江·期中）对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】等差中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算、判断等差数列、充要条件的证明 【分析】根据等差数列的通项公式计算可证明充分性；由得，两式相减，结合等差中项的应用即可证明必要性. 【详解】充分性：若是等差数列， 则． 必要性：若，则， 两式相减得， 即，所以是等差数列． 所以甲是乙的充要条件. 故选：C． 8．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【知识点】构造法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 二、多选题 9．（23-24高二下·广东广州·期中）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则（    ） A．数列的前60项和 B．数列的前60项和 C．数列的通项公式是 D．数列的通项公式是 【答案】BC 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】先由等方差数列的定义得到数列是方公差为2的等方差数列并求出，进而求出，再利用裂项相消法求和，再判断各个选项. 【详解】根据题意，因为是方公差为2的等方差数列， ，所以是公差为2的等差数列， 所以，解得， 又，所以，所以，故C正确，D错误； 由上可知，所以 所以． 所以，故A错误，B正确； 故选：BC． 10．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意可利用公式法求出数列的通项公式，从而可求解 【详解】由题知数列为等差数列， 所以可知得，解得， 所以，故A、D正确. 故选：AD. 三、填空题 11．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在等差数列中，，则 . 【答案】30 【知识点】等差中项的应用 【分析】由等差中项的性质计算即可. 【详解】因为等差数列， 所以， 故答案为：30. 12．（23-24高二下·上海·阶段练习）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被4除余数为，被5除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的简单应用 【分析】首先根据题意得到，然后结合题目所给范围，即可求解. 【详解】将题目问题转化为既是的倍数也是的倍数，也就是的倍数， 所以，即，令， ∴，又因为，所以共项. 故答案为： 四、解答题 13．（2024高二下·全国·专题练习）若数列中，且（），求它的通项公式 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系式求通项公式 【分析】将（）平方后得数列是等差数列，结合即可得解. 【详解】将（）两边平方整理得. 数列是以为首项，3为公差的等差数列. . 因为，所以. B能力提升 1．（2024·广西贵港·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为（    ） A．4047 B．4046 C．2024 D．4048 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】分与两种情况，结合等差数列的性质和得到方程，求出. 【详解】若，由题意知， 由等差数列的性质知，若，则有，所以， 因为公差，且，所以，所以， 所以． 若，可得， 由等差数列性质知，若，则有，所以， 因为公差，且，所以，所以， 所以． 故选：A 2．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.设甲：数列满足；乙：数列是公差为2的等差数列或公和为2的等和数列，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由递推关系证明数列是等差数列、由递推关系式求通项公式 【分析】首先根据甲命题，变形递推数列，得到等和和等差数列的递推关系式，判断充分，必要条件. 【详解】对于甲：由得，即或， 则数列是公和为2的等和数列或公差为2的等差数列，又因为，所以或； 对于乙：当数列是公和为2的等和数列或公差为2的等差数列时，通项未必为或， 如摆动数列，……和（其中）所以，甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）等差数列按照如图的方式排列成一个的方阵，并从里到外分为n层. 设第n层内的所有数字和为，且有，则数列的公差为 ． 【答案】4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由题意，求出，设等差数列的公差为，则，即可解出数列的公差. 【详解】由题意的，设等差数列的公差为， 则， 即，解得. 故答案为：4. 4．（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若数列对任意正整数n都有恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】（1）由数列满足，，可得奇数项是首项为2，公差为2的等差数列，偶数项是首项为2，公差为2的等差数列，即可写出数列的通项公式； （2）由，通过n为奇数时，可得，由单调递减，可得；n为偶数时，可得，则得到实数λ的取值范围． 【详解】（1）由题意得 ∴， ∵，∴， ∴奇数项是首项为2，公差为2的等差数列，偶数项是首项为2，公差为2的等差数列， n为奇数时，， n为偶数时，， ∴ （2）∵，n为奇数时， ，， ∴， ∴， ∵单调递减， ∴时，有最大值， ∴； n为偶数时， ，， ∴， ∴，∴. 综上，实数的取值范围是. C素养提升 1．（2024·广东·模拟预测）定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列具有“性质1”.已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质1”. (1)若，且，写出所有可能的的值； (2)若，证明：“”是“”的充要条件； (3)若，证明：或. 【答案】(1)；； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】数列新定义、判断等差数列 【分析】（1）由数列的性质得出，进一步结合的定义即可得解； （2）结合新定义，分必要性、充分性两方面证明即可； （3）由数列的性质，得出4整除，即或，然后回过头去检验是否满足题意即可. 【详解】（1）依题意，若，此时； 若，此时； 若，此时. （2）必要性：因为，故数列为等差数列， 所以，公差为-1， 所以； 充分性：由于， 累加可得，，即， 因为，故上述不等式的每个等号都取到，所以， 所以， 综上所述，“”是“”的充要条件. （3）令，依题意，， 因为， 所以 ， 因为，所以为偶数， 所以为偶数； 所以要使，必须使为偶数，即4整除， 亦即或， 当时，比如或，时，有； 当时，比如或，时，有； 当或时，不能被4整除，. 【点睛】关键点点睛：想要完美的做出此题，关键在于对数列的新性质以及的定义有深刻的理解，由此即可顺利得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$