第01讲 4.1数列的概念（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第01讲 4.1数列的概念（解析版） 课程标准 学习目标 ①了解数列的有关概念（项、项的表示）。 ②了解数列的表示方法（列表、图象、通项公式）。 ③了解数列是特殊的函数。 会依据若干项求通项公式或某一项，能利用递推公式求解数列中的项或通项公式，并能借助数列的单调性求数列的最大项与最小项。 知识点01：数列的概念 1、数列的概念 一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项. 数列的一般形式是,,…,,…,简记为. 2、数列与函数的关系 由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 所以数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为. 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列. 另一方面，对于函数，如果（）有意义，那么，，…，，…构成了一个数列. 知识点02:数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中 递减数列 常数列 【即学即练1】（24-25高二上·全国·课前预习）指出下列数列是有穷数列，还是无穷数列？ (1)2011，2015，2019，2023； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)1，，，…，，…. 知识点03：数列的通项公式 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 知识点04：数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 知识点05：数列的性质 1、数列的单调性 若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）； ①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项； ②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项； 【即学即练2】（多选）（24-25高三上·湖南岳阳·开学考试）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 2、数列的周期性 一般地，若数列满足存在正整数使得对一切正整数都成立，则称数列为周期数列，叫做数列的周期. 知识点06：数列的前项和 1、数列前项和的概念 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即 2、数列前项和与通项的关系 当时， 当时， 用 化简得： 所以： 【即学即练3】（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列的前n项和为． (1)求，，. (2)求这个数列的通项公式． 题型01 数列的概念及分类 【典例1】（多选）（22-23高二上·重庆永川·阶段练习）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ）． A．1，，，，…，，… B．，，，，…，，… C．，，，…，，… D．1，，，…，，… 【典例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）下列数列中，为递增数列的是 ，为递减数列的是 ，为常数列的是 ． ①1，0.84，，，…； ②2，4，6，8，10，…； ③7，7，7，7，…； ④，，，，…； ⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1． 【典例3】（22-23高二下·全国·课后作业）下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ (1)2017，2018，2019，2020，2021； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)9，9，9，9，9，9. 【变式1】（23-24高二下·全国·课前预习）判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）1，1，1，1是一个数列．( ) （2）数列1，3，5，7可表示为．( ) （3）如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( ) （4）与表达不同的含义．( ) （5）数列中的项互换次序后还是原来的数列．( ) （6）所有的数列可分为递增数列和递减数列两类．( ) （7）与的意义一样，都表示数列．( ) 【变式2】（24-25高二上·全国·随堂练习）下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由． (1)是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)，，1，，5，7，，11是一个项数为8的数列． 题型02根据数列的前几项求通项公式 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）下列通项公式中，可以作为数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高二上·全国·课前预习）写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： (1)1，3，7，15，31，…； (2)，，，，，…； (3)，，，，，…； (4)，，，，…. 【变式1】（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·江西景德镇·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 题型03 数列中具体某项的求解与判断 【典例1】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知数列2，，，，，，，则是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第19项 【典例2】（23-24高二下·山西·期中）石墨烯是一种由单层碳原子构成的具有平面网状结构的物质，其结构如图所示，其中每个六边形的顶点是一个碳原子的所处位置.现令六边形为中心六边形，其外围紧邻的每个六边形构成“第一圆环”，“第一圆环”外围紧邻的六边形构成“第二圆环”，以此类推.则“第七圆环”上的碳原子数为（    ） A．42 B．120 C．168 D．210 【典例3】（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列，，，…，，，则7是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第24项 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列，，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第23项 C．第25项 D．第27项 【变式2】（23-24高二下·四川乐山·期末）已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（   ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【变式3】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列，则它的第8项为（    ） A． B． C． D． 题型04 利用递推关系求数列的项或通项 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，则 【典例3】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列满足，，求. 【变式1】（23-24高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·河南南阳·期中）在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【变式3】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列满足，，求. 题型05数列的单调性的判断及其应用 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列，则该数列是（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【典例2】（23-24高二下·北京·期中）数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·青海海西·期中）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（22-23高三下·北京·开学考试）已知数列的通项公式为，，当时，成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知是递增数列，则的通项公式可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型06 求数列中的最大(小)项 【典例1】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最大项的序号是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，则此数列的最大项为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（多选）（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列的通项公式为 ，前 项积为 ，则下列说法正确的是（    ） A．在数列中，是最大项 B．在数列中， 是最小项 C．数列单调递减 D．使取得最小值的为 9 【变式1】（23-24高二下·安徽亳州·阶段练习）数列的通项，则数列中的最大项的值为 . 【变式2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. （1）数列中有多少项是负数？ （2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 题型07与周期有关的数列问题 【典例1】若数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 【典例2】已知数列中，，则 . 【典例3】在数列中，已知，，且，则 ． 【变式1】在数列中，已知，，且，则 ． 【变式2】在数列中，若，则（    ） A．-2 B．4 C．1 D． 【变式3】若数列满足则的值为 . 题型08根据数列的前项和求 【典例1】已知数列的前项和满足，求数列的通项公式. 【典例2】已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上. (1)求，，，； (2)求数列的通项公式. 【变式1】已知数列前项和为． (1)试写出数列的前项； (2)求的通项公式． 【变式2】已知数列的前n项和. (1)求的通项公式； (2)试判断1262是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·贵州遵义·二模）已知数列的前项和，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 2．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知数列的前5项依次为，按照此规律，可知（    ） A．8 B．12 C．16 D．32 3．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知数列满足，且，设，则数列的前2024项和为（    ） A．674 B．673 C．-673 D．-674 4．（23-24高二下·福建福州·期中）已知数列的前项依次为，则的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A．10 B．55 C．89 D．99 6．（24-25高二上·全国·课后作业）数列的第n项与第项的关系是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）已知数列的通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河北·模拟预测）已知首项为2的数列满足，当的前项和时，则的最小值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 二、多选题 9．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）如果为递增数列，则的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知数列的通项公式，若对恒成立，则满足条件的正整数k可以为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 三、填空题 11．（24-25高二·上海·随堂练习）数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第 项． 12．（2024·上海·模拟预测）数列的最小项的值为 . 四、解答题 13．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知数列的通项公式是，．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． 14．（23-24高二下·全国·课前预习）已知数列的通项公式为. (1)求数列的前三项，60是此数列的第几项； (2)n为何值时，. B能力提升 1．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 2．（2024高二下·全国·专题练习）已知数列中，，且.其中，求数列的通项公式； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 4.1数列的概念（解析版） 课程标准 学习目标 ①了解数列的有关概念（项、项的表示）。 ②了解数列的表示方法（列表、图象、通项公式）。 ③了解数列是特殊的函数。 会依据若干项求通项公式或某一项，能利用递推公式求解数列中的项或通项公式，并能借助数列的单调性求数列的最大项与最小项。 知识点01：数列的概念 1、数列的概念 一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项. 数列的一般形式是,,…,,…,简记为. 2、数列与函数的关系 由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 所以数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为. 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列. 另一方面，对于函数，如果（）有意义，那么，，…，，…构成了一个数列. 知识点02:数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中 递减数列 常数列 【即学即练1】（24-25高二上·全国·课前预习）指出下列数列是有穷数列，还是无穷数列？ (1)2011，2015，2019，2023； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)1，，，…，，…. 【答案】(1)是有穷数列 (2)是无穷数列 (3)是无穷数列 (4)是无穷数列 【分析】根据项数的个数即可逐一求解. 【详解】（1）由于该数列只有4项，所以是有穷数列 （2）由于该数列有无穷多项，故是无穷数列 （3）由于该数列有无穷多项，故是无穷数列 （4）由于该数列有无穷多项，故是无穷数列 知识点03：数列的通项公式 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 知识点04：数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 知识点05：数列的性质 1、数列的单调性 若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）； ①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项； ②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项； 【即学即练2】（多选）（24-25高三上·湖南岳阳·开学考试）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 【答案】BCD 【分析】设第项为的最大项，根据列出不等式组，求解即可判断BCD，利用数列的单调性及范围判断A． 【详解】设第项为的最大项， 则，即，所以， 又，所以或， 故数列中与均为最大项，且， 当时，数列递减，故BCD正确， 当趋向正无穷大时，无限趋向于0且大于0，且， 所以不是数列的最小项，且数列无最小值，故A错误. 故选：BCD 2、数列的周期性 一般地，若数列满足存在正整数使得对一切正整数都成立，则称数列为周期数列，叫做数列的周期. 知识点06：数列的前项和 1、数列前项和的概念 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即 2、数列前项和与通项的关系 当时， 当时， 用 化简得： 所以： 【即学即练3】（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列的前n项和为． (1)求，，. (2)求这个数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分别令代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由与的关系，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，令，则， 令，则， 令，则， 所以. （2）因为， 当时，， 当时，， 且也满足上式， 所以. 题型01 数列的概念及分类 【典例1】（多选）（22-23高二上·重庆永川·阶段练习）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ）． A．1，，，，…，，… B．，，，，…，，… C．，，，…，，… D．1，，，…，，… 【答案】BD 【分析】按已知条件逐一分析各个选项即可得解. 【详解】对于A，1，，，，…，，…为递减数列，故A错误； 对于B，，，，，…，，…为递增数列，且是无穷数列，故B正确； 对于C，，，，…，，…中，故不是递增数列，故C错误； 对于D，1，，，…，，…既是无穷数列又是递增数列的，故D正确. 故选：BD. 【典例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）下列数列中，为递增数列的是 ，为递减数列的是 ，为常数列的是 ． ①1，0.84，，，…； ②2，4，6，8，10，…； ③7，7，7，7，…； ④，，，，…； ⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1． 【答案】 ② ①④⑤ ③ 【分析】根据数列单调性的定义，即可判断. 【详解】由数列的单调性，易知②是递增数列；①④⑤是递减数列；③是常数列． 故答案为：②；①④⑤；③ 【典例3】（22-23高二下·全国·课后作业）下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ (1)2017，2018，2019，2020，2021； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)9，9，9，9，9，9. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【分析】根据有穷数列，递增数列，递减数列，常数列的概念辨析即可. 【详解】（1）因数列（1）只有5项，且依次增大，故（1）为有穷数列，且为递增数列. （2）因数列（2）有无限项，所以不是有穷数列，当的增大时，也增大，故为递增数列. （3）因数列（3）有无限项，所以不是有穷数列，当的增大时，减小，故为递减数列. （4）因数列（4）有无限项，所以不是有穷数列，因数列正负交替，故数列不是递增数列，也不是递减数列，也不是常数列. （5）因数列（5）有无限项，所以不是有穷数列，因数列为1，0，-1，0循环，故数列不是递增数列，也不是递减数列，也不是常数列. （6）因数列（6）只有5项，故（1）为有穷数列，且各项均为9，故为常数数列. 【变式1】（23-24高二下·全国·课前预习）判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）1，1，1，1是一个数列．( ) （2）数列1，3，5，7可表示为．( ) （3）如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( ) （4）与表达不同的含义．( ) （5）数列中的项互换次序后还是原来的数列．( ) （6）所有的数列可分为递增数列和递减数列两类．( ) （7）与的意义一样，都表示数列．( ) 【答案】 正确 错误 错误 正确 错误 错误 错误 【分析】根据数列的定义和单调性一一分析即可. 【详解】（1）根据数列定义得该组数为常数列，故（1）正确； （2）数列不能表示为集合，故（2）错误； （3）常数列不具有单调性，故（3）错误； （4）根据数列定义知与表达不同的含义，故（4）正确； （5）数列中的项互换次序后可以不是原来的数列，如数列1,2,3，故（5）错误； （6）常数列不具有单调性，故（6）错误； （7）与的意义不一样，前者表示数列，后者表示数列中具体一项，故（7）错误. 故答案为：正确；错误；错误；正确；错误；错误；错误. 【变式2】（24-25高二上·全国·随堂练习）下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 【答案】 ②④⑤ ②⑤ ④ 【分析】由数列的定义及数列的分类可得结论. 【详解】①是集合，不是数列，③不能构成数列，因为无法把所有的无理数按照一定顺序排列起来， 根据数列定义知：是数列的是②④⑤；是有穷数列的是②⑤；是无穷数列的是④． 故答案为：②④⑤；②⑤；④． 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由． (1)是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)，，1，，5，7，，11是一个项数为8的数列． 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)正确，理由见解析 (3)错误，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）根据数列的概念逐项分析判断. 【详解】（1）错误．是集合，不是数列． （2）正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列． （3）错误．当，代表数时为项数为8的数列； 当，中有一个不代表数时，便不是数列， 这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列所组成． 题型02根据数列的前几项求通项公式 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察每项的特点，分别确定项的符号以及每一项的联系，即可找出数列的通项公式. 【详解】通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负， 故第项的正负可以用表示； 而， 故数列的通项可为. 故选：D 【典例2】（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）下列通项公式中，可以作为数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据选项分为奇数、为偶数求通项可得答案. 【详解】对于A，若， 当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，所以，故A正确； 对于B，若， 当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，所以，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则当为奇数时，，当为偶数时，，故D正确； 故选：ABD. 【典例3】（24-25高二上·全国·课前预习）写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： (1)1，3，7，15，31，…； (2)，，，，，…； (3)，，，，，…； (4)，，，，…. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】通过观察每组数据的特征，找出对应的规律即可得出（1）（2）（3）（4）组数据的通项公式. 【详解】（1）由，，，，，…，可得 （2）由，，，，，…，可得. （3）由，，，，，…，可知奇数项为负数，偶数项为正数，可得. （4）由，，，，…，可得. 【变式1】（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值排除选项即可. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，当时，，当时，， 当时，，当时，，故B正确； 对于C选项，当时，，故C错误； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：B. 【变式2】（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意逐一检验选项即可. 【详解】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 【变式3】（23-24高二下·江西景德镇·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将数列前5项改写为统一格式即可发现规律得到数列的通项公式. 【详解】由题数列的前5项可改写为， 其中负号交替出现在偶数项，分母为从1开始的奇数， 故数列的通项公式为. 故选：D. 题型03 数列中具体某项的求解与判断 【典例1】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知数列2，，，，，，，则是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第19项 【答案】A 【分析】令，解出即可得. 【详解】令，解得， 即是这个数列的第项. 故选：A. 【典例2】（23-24高二下·山西·期中）石墨烯是一种由单层碳原子构成的具有平面网状结构的物质，其结构如图所示，其中每个六边形的顶点是一个碳原子的所处位置.现令六边形为中心六边形，其外围紧邻的每个六边形构成“第一圆环”，“第一圆环”外围紧邻的六边形构成“第二圆环”，以此类推.则“第七圆环”上的碳原子数为（    ） A．42 B．120 C．168 D．210 【答案】C 【分析】根据题意发现其规律即可. 【详解】记“第n圆环”最外层的碳原子个数为， 依题意,, ， 由此可以归纳出 “第二圆环”上的碳原子个数为,“第三圆环”上的碳原子个数为, 由此可得“第n圆环”上的碳原子个数为,所以“第七圆环”的碳原子个数为 故选：C 【典例3】（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列，，，…，，，则7是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第24项 【答案】D 【分析】根据，即可求出答案. 【详解】由题可知，，解得：，则7是这个数列的第24项 故选：D 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列，，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第23项 C．第25项 D．第27项 【答案】B 【分析】根据数列易得其通项为，由即可解得. 【详解】因为题中数列的第项为，而，所以是题中数列的第23项. 故选:B. 【变式2】（23-24高二下·四川乐山·期末）已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（   ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【答案】D 【分析】将,变形为,根据数列,可知是数列的通项公式,即可求得答案. 【详解】根据数列1，，，，3，…， ， 又， ,解得 ， 故选:D. 【变式3】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列，则它的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先观察分析写出数列的通项公式；再根据通项公式即可解答. 【详解】由题意知，数列的通项公式为， 所以它的第8项的值为. 故选：D. 题型04 利用递推关系求数列的项或通项 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累乘法可得数列的通项公式，进而可得解. 【详解】由，，可得， 则， 即， 故选：D. 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，则 【答案】 【分析】由数列递推式考虑赋值作差，即可求出，需要检测首项是否符合. 【详解】由 ① 知， 当时，， 当时， ②， 由①② 得，， 即， 当时，满足上式， 所以． 故答案为：. 【典例3】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列满足，，求. 【答案】， 【分析】运用累加法计算即可. 【详解】因为， 所以. 所以 . 又也符合上式， 所以，. 【变式1】（23-24高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项公式即可. 【详解】数列中，，因此， 则数列是常数列，于是，， 所以. 故选：B 【变式2】（23-24高二下·河南南阳·期中）在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】利用递推公式构造数列计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以是常数列，所以， 又，所以． 故选：B 【变式3】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列满足，，求. 【答案】， 【分析】利用对数运算法则可求得，再利用累乘即可求得. 【详解】因为， 所以，即. 所以， 又也符合上式， 所以，. 题型05数列的单调性的判断及其应用 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列，则该数列是（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【答案】C 【分析】根据给定的通项公式，结合单调数列、摆动数列的定义判断即得. 【详解】数列，则，， 因此，数列是摆动数列. 故选：C 【典例2】（23-24高二下·北京·期中）数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列单调递增得到，再求出在上的最小值，即可求出的范围，再进行条件判断选出答案即可. 【详解】因为数列是单调递增数列， 所以，即，化简得， 所以， 令，则在上递增， 所以，所以, 所以使“数列是单调递增数列”的充要条件是， 所以充分不必要条件是可以是. 故选：A. 【典例3】（23-24高二下·青海海西·期中）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意有，解得的取值范围； 【详解】由数列是单调递增数列可得，对于都有成立， 即对都成立， 所以．（或通过二次函数的对称性求解） 故选：D. 【典例4】（22-23高三下·北京·开学考试）已知数列的通项公式为，，当时，成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知是递增数列，，得，代入解析式得，根据恒成立条件即得. 【详解】由，当时，成立，即数列递增， 则对于任意的，都有. 已知， 则有恒成立， 即对于任意的都成立， 因为当时，，所以. 故选：C. 【变式1】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知是递增数列，则的通项公式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例可判断A，B；将化简为，判断增减性，判断C；判断的增减性，判断D. 【详解】对于A，，，A不合题意； 对于B，，则， 即，B不合题意； 对于C，，当n增大时，减小，则增大， 符合题意，C正确； 对于D，随着n的增大而减小，不合题意，D错误， 故选：C 【变式2】（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递增数列定义可得，代入计算即可得解. 【详解】由题意可得恒成立，即， 即，又，，故. 故选：A. 【变式3】（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意函数在各段单调递增且需满足，即可得到不等式组，求出参数的取值范围. 【详解】因为函数，，且是递增数列， 则，解得． 故选：C 题型06 求数列中的最大(小)项 【典例1】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最大项的序号是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据数列的函数特性进行判断即可. 【详解】因为，， 所以当时，取得最大值. 故选：A. 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，则此数列的最大项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：利用作差法求解；法二：设数列第n项最大，由求解. 【详解】解：方法一：－＝·， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 所以数列有最大项，为第8项和第9项，且. 方法二：设数列的第n项最大，则， 即， 解得，又，则或， 故数列有最大项，为第8项和第9项，且. 故选：D 【典例3】（多选）（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列的通项公式为 ，前 项积为 ，则下列说法正确的是（    ） A．在数列中，是最大项 B．在数列中， 是最小项 C．数列单调递减 D．使取得最小值的为 9 【答案】ABD 【分析】判断数列的单调性，由此求得最大项与最小项，进而判断A,B选项，再根据项与1的大小关系判断的单调性及最值判断C，D选项即可. 【详解】，∴当时随着的增大越来越小且小于， 当时随着的增大越来越小且大于，则前项中最大项为，最小项为， 故A，B选项正确； 当时， 当时，,所以数列不是单调递减，C选项错误； 前 n 项积取得最小值时为9，故D选项正确. 故选：ABD. 【变式1】（23-24高二下·安徽亳州·阶段练习）数列的通项，则数列中的最大项的值为 . 【答案】 【分析】由作商法求出数列的单调性，可得，即可求出数列中的最大项的值. 【详解】因为，则， 则， 令，即，因为， 解得，所以， 令，解得， 所以， 故数列中的最大项为，其值为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【答案】(1) (2)第项 【分析】（1）根据求通项即可； （2）根据得到，然后列不等式求最大项即可. 【详解】（1）当时，，不满足上式， 当时，， 故数列的通项公式为. （2）由已知得， 当时，， 则，即， 得，  即， 所以当，的最大项为第7项， 又， 所以数列的最大项是该数列的第项. 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. （1）数列中有多少项是负数？ （2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 【答案】（1） 数列中有两项是负数；（2）n＝2或3，最小值为－2. 【分析】（1）令解一元二次不等式，结合n∈N*确定n的个数即可. （2）法一：根据的通项公式，应用二次函数性质求最小值；法二：应用不等式法，由解不等式组可求n，进而求最小值. 【详解】（1）由n2－5n＋4<0，解得1<n<4，又n∈N*， ∴n＝{2，3}，即数列中有两项是负数． （2）法一：∵，可知对称轴方程为.又n∈N*， ∴故n＝2或3时，an有最小值且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 法二：设第n项最小，由，得，解得2≤n≤3， ∴n＝2或3，即a2＝a3且最小，则a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2. 题型07与周期有关的数列问题 【典例1】若数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】根据递推式写出数列的前几项，可得是周期为的周期数列，从而可求得答案. 【详解】数列满足，， ， ， ， ， ， 是周期为的周期数列， 而， 故． 故选：A 【典例2】已知数列中，，则 . 【答案】/ 【知识点】数列周期性的应用 【分析】根据给定条件，求出数列的周期即可计算得解. 【详解】数列中，当时，，则， ，即，，因此数列的周期是3， 所以. 故答案为： 【典例3】在数列中，已知，，且，则 ． 【答案】0 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】由已知的递推式求出数列的前几项，发现数列以3为周期的周期数列，从而可求得结果. 【详解】因为，，且， 所以，， ，， ，， ，……， 所以数列为3，0，3，3，0，3，3，0，3，3，0，3，…… 所以数列以3为周期的周期数列， 所以. 故答案为：0 【变式1】在数列中，已知，，且，则 ． 【答案】0 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】由已知的递推式求出数列的前几项，发现数列以3为周期的周期数列，从而可求得结果. 【详解】因为，，且， 所以，， ，， ，， ，……， 所以数列为3，0，3，3，0，3，3，0，3，3，0，3，…… 所以数列以3为周期的周期数列， 所以. 故答案为：0 【变式2】在数列中，若，则（    ） A．-2 B．4 C．1 D． 【答案】B 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】由已知递推式可求出，可得此数列是以3为周期的周期数列，从而可求出答案. 【详解】因为数列中，， 所以，， ，， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以. 故选：B 【变式3】若数列满足则的值为 . 【答案】 【知识点】数列周期性的应用 【分析】由已知条件找出数列的周期计算即可 【详解】 所以当时，， 当时，， 依此类推，， 因此数列为周期数列，周期， . 故答案为：. 题型08根据数列的前项和求 【典例1】已知数列的前项和满足，求数列的通项公式. 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用降次作差并验证即可. 【详解】，当时，; 当时，. 由于不适合. 故. 【典例2】已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上. (1)求，，，； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)；；； (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据题意，得到，结合，逐项即可求解； （2）由，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由点均在函数的图象上，可得， 则，；； . （2）解：由点均在函数的图象上，可得， 当时，可得； 当时，， 所以数列的通项公式为. 【变式1】已知数列前项和为． (1)试写出数列的前项； (2)求的通项公式． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】(1)由数列的前项和公式,得代入运算即可. (2)根据得验证综合可得的通项公式. 【详解】（1）数列前项和为, （2）由题得时, 又不符合上式, 【变式2】已知数列的前n项和. (1)求的通项公式； (2)试判断1262是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 【答案】(1) (2)1262是数列的项，是第15项 【知识点】判断或写出数列中的项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用之间的关系进行求解即可； （2）利用代入法，通过解一元二次方程进行求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时， 时，也符合. 综上，的通项公式是； （2）令，或， 所以1262是数列的项，是第15项. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·贵州遵义·二模）已知数列的前项和，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】D 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据给定条件，利用求出，即可计算即得. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：D 2．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知数列的前5项依次为，按照此规律，可知（    ） A．8 B．12 C．16 D．32 【答案】A 【知识点】观察法求数列通项 【分析】利用观察法求出数列的通项公式即可得解. 【详解】数列的前5项依次为，则， 所以. 故选：A 3．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知数列满足，且，设，则数列的前2024项和为（    ） A．674 B．673 C．-673 D．-674 【答案】D 【知识点】数列周期性的应用 【分析】利用数列的递推关系结合数列的周期性求解即可. 【详解】因为奇数与奇数之和为偶数，奇数与偶数之和为奇数， 所以数列的各项的奇偶情况依次为奇､偶､奇､奇､偶､奇 所以数列的各项依次为， 故数列以3为周期，且相邻3项之和为-1， 因为， 所以数列的前2024项和为. 故选：D. 4．（23-24高二下·福建福州·期中）已知数列的前项依次为，则的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】观察法求数列通项 【分析】观察数列的前项分析其变化规律即可求解. 【详解】数列的前项依次为， 即， 所以的一个通项公式为．故B正确； 对A，代入，，故A错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D错误； 故选：B. 5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A．10 B．55 C．89 D．99 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据给定条件，求出数列的递推公式，再依次计算求出. 【详解】依题意，（，），，， 所以. 故选：C 6．（24-25高二上·全国·课后作业）数列的第n项与第项的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求递推关系式 【分析】根据数列中从第二项起，每一项与前一项的比是同一个常数（不为零）进行求解即可. 【详解】因为 所以， 故选：D 7．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）已知数列的通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】根据给定条件，利用递增数列的定义列式求解即得. 【详解】由数列为递增数列，得，，而， 则，，而恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8．（2024·河北·模拟预测）已知首项为2的数列满足，当的前项和时，则的最小值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】B 【知识点】数列周期性的应用、分组（并项）法求和 【分析】通过计算得到为一个周期为4的数列，从而计算出，得到答案. 【详解】由题意得，，解得， 同理，解得， ，解得， ，解得， 故为一个周期为4的数列，且， 故，， 故的最小值为41. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）如果为递增数列，则的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】判断数列的增减性 【分析】 计算的正负即可得. 【详解】对A：，故A符合； 对B：，故B不符合； 对C：，故C不符合； 对D：，故D符合. 故选：AD. 10．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知数列的通项公式，若对恒成立，则满足条件的正整数k可以为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】BC 【知识点】数列不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】利用均值不等式求出的最小值，注意n的取值. 【详解】，当且仅当，即时取等， 因为，所以当时，，当时，，所以的最小值为和，因为对恒成立，所以或. 故选：BC. 三、填空题 11．（24-25高二·上海·随堂练习）数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第 项． 【答案】12 【知识点】观察法求数列通项、根据规律填写数列中的某项 【分析】结合题意找到数列的规律求解出通项公式从而求数列的第几项. 【详解】观察，易知数列的一个通项公式为，． 所以. 故答案为：12. 12．（2024·上海·模拟预测）数列的最小项的值为 . 【答案】 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】直接根据反比例函数的单调性即可得解. 【详解】令，得， 令，得， 所以当时，，当时，， 而函数在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 即数列的最小项的值为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知数列的通项公式是，．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． 【答案】有，为第2项和第3项，． 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】建立不等式组解不等式即可. 【详解】根据题意，令， 即，解得． 又，则或． 故数列有最大项，为第2项和第3项，且． 14．（23-24高二下·全国·课前预习）已知数列的通项公式为. (1)求数列的前三项，60是此数列的第几项； (2)n为何值时，. 【答案】(1)，第10项 (2)答案见解析 【知识点】判断或写出数列中的项、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）解一元二次方程和一元二次不等式即可. 【详解】（1）由，得. 设，则，解得或(舍去). ∴是此数列的第10项. （2）令，解得或(舍去)，∴. 令，解得或(舍去). ∴当时，. 令，解得. ∴当时，. 综上，当，； 当时，； 当时，. B能力提升 1．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【知识点】累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】（1）由数列的递推式，分别令和，计算可得所求值； （2）猜想，由数列的递推式和数列的恒等式，可得证明. 【详解】（1）由题知，，解得， 同理，，解得； （2）由（1）可猜想，证明如下： 已知，当时，有， 化简得，即， 则有， 又，故， 则， 当时，上式仍成立，则． 2．（2024高二下·全国·专题练习）已知数列中，，且.其中，求数列的通项公式； 【答案】， 【知识点】由递推关系式求通项公式、累加法求数列通项 【分析】方法一，由已知可得，利用累加法求通项；方法二，由已知可得，所以是常数列，得解. 【详解】（法一）由题意知，， 则， 累加得：且，又， 故，而符合上式， 故. （法二）由题意知，则， 所以 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$