23.3 课题学习和图案设计 知识题型讲练 2024—2025学年人教版数学九年级上册

2024-2025学年九年级上学期数学（人教版）知识题型讲练 第二十三章 旋转 23.3　课题学习　图案设计 一、学习目标 1.认识和欣赏平移、轴对称、旋转在现实生活中的应用. 2.利用图形的平移、轴对称、旋转变换设计组合图案. 二、知识要点 知识点　平移、旋转和轴对称变换的基本特征 （1）平移 性质：①平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；②各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；③平移前后的图形全等． 作图步骤：①根据题意，确定平移的方向和平移的距离；②找出原图形的关键点；③按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；④按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． （2）旋转 性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ③旋转前后的图形全等． 作图步骤：①根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；②找出原图形的关键点；③连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；④按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． （3）轴对称 性质：①对应线段相等；②对应角相等；③对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 作图步骤：①作出图形的关键点关于这条直线的对称点；②把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形． 三、典例剖析 【例题1】（2023达州·中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上． （1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2； （3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积． 解：（1）△A1B1C1如图所示； （2）△A2B2C2如图所示； （3）＝， ∵AC＝， ∴＝＝， ∴在（2）的运动过程中△ABC扫过的面积＝＝+． 【例题2】用平移、旋转或轴对称变换分析下图中各个图案,分析它是由哪种基本图形经过了哪些变换后得到的? 解：略. 〔方法归纳〕将基本图形从组合图案中分离出来,并再现此基本图形的变换过程. 【真题剖析1】（2024春•新安县期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）画出将△ABC向下平移5个单位后的△A1B1C1． （2）画出△ABC关于点B成中心对称的△A2BC2． （3）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°的△A3BC3． （4）在直线上找一点P，使△ABP的周长最小（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 〔分析〕（1）依据平移的方向和距离，即可得到△ABC向下平移5个单位后的图形△A1B1C1； （2）依据旋转中心、旋转的方向以及角度，即可得到△ABC以B点为旋转中心，沿逆时针方向旋转90°后的图形△A2BC2． （3）分别作出A，C的对应点A3，C3，连接即可； （4）找出A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，此时PA＝PA′，则PA+PB＝A′B，使△ABP的周长最小． 〔详解〕解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2BC2即为所求； （3如图所示，△A3BC3即为所求； （4）找出A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，P点即为所求． 【真题剖析2】（2023苏州·中考真题）古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个 花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 〔知识点〕平移、旋转与轴对称的识别. 〔分析〕根据平移、旋转与轴对称的定义性质判断即可． 〔详解〕解：A、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、原图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【迁移训练1】如图所示的美丽图案,可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转 次,每次旋转 度形成的. 【迁移训练2】如图所示,这个图形可以看作是以“基本图形”,即原图形的四分之一经过变换形成的,但一定不能经过某种变换得到,这种变换为 (　 　) 　　　 A.轴对称和旋转 B.轴对称 C.平移 D.旋转 四、巩固训练 1.下列图案中,含有旋转变换的有(　 　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.对如图所示的变化顺序描述正确的是(　 　) A.翻折、旋转、平移 B.旋转、翻折、平移 C.平移、翻折、旋转 D.翻折、平移、旋转 3.如图所示,在9×6的方格纸中,小树从位置A经过平移旋转后到达位置B,下列说法中正确的是(　 　) A.先向右平移6格,再绕点B顺时针旋转45° B.先向右平移6格,再绕点B逆时针旋转45° C.先向右平移6格,再绕点B顺时针旋转90° D.先向右平移6格,再绕点B逆时针旋转90° 4.下列图形均可由“基本图案”通过变换得到(只填序号): (1)可以平移但不能旋转的是 ; (2)可以旋转但不能平移的是 ; (3)既可以平移也可以旋转的是 . 五、学习小结 （1）图案设计的关键是什么？ （2）欣赏图形变换所产生的美. 通过反思图案设计的过程和欣赏变换产生的美，展现了数学的应用价值和美学价值.帮助学生了解数学是图形变换的根本，了解数学在人类文明发展中的作用，促进其形成正确的数学观. 六、课后作业 一、选择题（本题包括5小题，每小题只有1个选项符合题意） 1.在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是( ) 2.如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是( ) 3.如图是古代文物上的美丽图案，你看得出这个图案是如何设计的吗？它至少需要旋转__________才能与其自身重合． 4.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有( ) A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 5.剪纸是中国的民间艺术，剪纸的方法很多，图中是一种剪纸方法的图示(先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案)． 下面四个图案，不能用上述方法剪出的是( ) 二、填空题（本题包括2小题） 6.（6分）如图，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图①中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题： (1)这三个图案都具有以下共同特征：都是_________对称图形，都不是______对称图形； (2)请在图②中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图1中给出的图案相同． 7.（6分）下列图形均可由“基本图案”通过变换得到：(只填序号) (1)可以平移但不能旋转的是_________； (2)可以旋转但不能平移的是__________； (3)既可以平移，也可以旋转的是_________． 四、解答题 8.为创建绿色校园，学校决定在一块正方形的空地上种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成的图案是轴对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③，图④，图⑤中画出三种不同的设计图案．提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①，图②只能算一种． 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期数学（人教版）知识题型讲练 第二十三章 旋转 23.3　课题学习　图案设计 一、学习目标 1.认识和欣赏平移、轴对称、旋转在现实生活中的应用. 2.利用图形的平移、轴对称、旋转变换设计组合图案. 二、知识要点 知识点　平移、旋转和轴对称变换的基本特征 （1）平移 性质：①平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；②各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；③平移前后的图形全等． 作图步骤：①根据题意，确定平移的方向和平移的距离；②找出原图形的关键点；③按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；④按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． （2）旋转 性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ③旋转前后的图形全等． 作图步骤：①根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；②找出原图形的关键点；③连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；④按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． （3）轴对称 性质：①对应线段相等；②对应角相等；③对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 作图步骤：①作出图形的关键点关于这条直线的对称点；②把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形． 三、典例剖析 【例题1】（2023达州·中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上． （1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2； （3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积． 解：（1）△A1B1C1如图所示； （2）△A2B2C2如图所示； （3）＝， ∵AC＝， ∴＝＝， ∴在（2）的运动过程中△ABC扫过的面积＝＝+． 【例题2】用平移、旋转或轴对称变换分析下图中各个图案,分析它是由哪种基本图形经过了哪些变换后得到的? 解：略. 〔方法归纳〕将基本图形从组合图案中分离出来,并再现此基本图形的变换过程. 【真题剖析1】（2024春•新安县期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）画出将△ABC向下平移5个单位后的△A1B1C1． （2）画出△ABC关于点B成中心对称的△A2BC2． （3）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°的△A3BC3． （4）在直线上找一点P，使△ABP的周长最小（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 〔分析〕（1）依据平移的方向和距离，即可得到△ABC向下平移5个单位后的图形△A1B1C1； （2）依据旋转中心、旋转的方向以及角度，即可得到△ABC以B点为旋转中心，沿逆时针方向旋转90°后的图形△A2BC2． （3）分别作出A，C的对应点A3，C3，连接即可； （4）找出A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，此时PA＝PA′，则PA+PB＝A′B，使△ABP的周长最小． 〔详解〕解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2BC2即为所求； （3如图所示，△A3BC3即为所求； （4）找出A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，P点即为所求． 【真题剖析2】（2023苏州·中考真题）古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个 花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 〔知识点〕平移、旋转与轴对称的识别. 〔分析〕根据平移、旋转与轴对称的定义性质判断即可． 〔详解〕解：A、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、原图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【迁移训练1】如图所示的美丽图案,可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转7次,每次旋转45度形成的. 【迁移训练2】如图所示,这个图形可以看作是以“基本图形”,即原图形的四分之一经过变换形成的,但一定不能经过某种变换得到,这种变换为 (　C　) 　　　 A.轴对称和旋转 B.轴对称 C.平移 D.旋转 四、巩固训练 1.下列图案中,含有旋转变换的有 (　A　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.对如图所示的变化顺序描述正确的是 (　D　) A.翻折、旋转、平移 B.旋转、翻折、平移 C.平移、翻折、旋转 D.翻折、平移、旋转 3.如图所示,在9×6的方格纸中,小树从位置A经过平移旋转后到达位置B,下列说法中正确的是 (　B　) A.先向右平移6格,再绕点B顺时针旋转45° B.先向右平移6格,再绕点B逆时针旋转45° C.先向右平移6格,再绕点B顺时针旋转90° D.先向右平移6格,再绕点B逆时针旋转90° 4.下列图形均可由“基本图案”通过变换得到(只填序号): (1)可以平移但不能旋转的是①⑤; (2)可以旋转但不能平移的是②③; (3)既可以平移也可以旋转的是④. 五、学习小结 （1）图案设计的关键是什么？ （2）欣赏图形变换所产生的美. 通过反思图案设计的过程和欣赏变换产生的美，展现了数学的应用价值和美学价值.帮助学生了解数学是图形变换的根本，了解数学在人类文明发展中的作用，促进其形成正确的数学观. 六、课后作业 一、选择题（本题包括5小题，每小题只有1个选项符合题意） 1.在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是( ) 2.如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是( ) 3.如图是古代文物上的美丽图案，你看得出这个图案是如何设计的吗？它至少需要旋转__________才能与其自身重合． 4.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有( ) A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 5.剪纸是中国的民间艺术，剪纸的方法很多，图中是一种剪纸方法的图示(先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案)． 下面四个图案，不能用上述方法剪出的是( ) 二、填空题（本题包括2小题） 6.（6分）如图，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图①中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题： (1)这三个图案都具有以下共同特征：都是_________对称图形，都不是______对称图形； (2)请在图②中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图1中给出的图案相同． 7.（6分）下列图形均可由“基本图案”通过变换得到：(只填序号) (1)可以平移但不能旋转的是_________； (2)可以旋转但不能平移的是__________； (3)既可以平移，也可以旋转的是_________． 四、解答题 8.为创建绿色校园，学校决定在一块正方形的空地上种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成的图案是轴对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③，图④，图⑤中画出三种不同的设计图案．提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①，图②只能算一种． 参考答案 1.【答案】C 【解析】根据轴对称及旋转对称的定义，结合各选项进行判断即可．A、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；B、利用了轴对称，故本选项错误；C、没有运用旋转，也没有运用轴对称，故本选项正确；D、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；故选C． 点评：本题考查了轴对称及旋转对称的知识，解答本题的关键是掌握轴对称及旋转对称的定义． 2.【答案】B 【解析】A、顺时针，连续旋转60度，三次即可得到．B、不能作为“基本图案”．C、旋转180度，即可得到．D、旋转60度即可．故选B． 点睛：本题考查了图形的旋转变化，认真观察旋转得到的图案，找到旋转中心，即可判断． 3.【答案】120° 【解析】根据旋转对称图形的概念和图形特征解答．本图形可以平分成3份，因而它至少需要旋转=120°，才能与其自身完全重合． 4.【答案】C 【解析】如图所示：符合题意的图形有3种．故选：C． 5.【答案】C 【解析】由题意，知剪出的图形一定是轴对称图形，四个选项中，只有C不是轴对称图形，所以C不能用上述方法剪出.故选C． 点睛：本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 6.（6分）【答案】(1) 中心，轴(2) 图形见解析 【解析】（1）观察三个图形，利用中心对称和轴对称的性质即可解答；（2）根据中心对称的性质设计图案即可． 解：（1）中心、轴； （2）如图所示： 考点：利用旋转设计图案． 7.（6分）【答案】(1). ①④ (2). ②⑤ (3). ③ 【解析】①可以看作由左边图案向右平移得到的；②可以看作一个菱形绕一个顶点旋转得到的；③既可以看作一个圆向右平移得到的，也可以看作两个圆组成的图案旋转得到的；④可以看作上面基本图案向下平移得到的；⑤可以看作上面图案绕中心旋转得到的．故可以平移但不能旋转的是①④；可以旋转但不能平移的是②⑤；既可以平移，也可以旋转的是③．故答案为（1）①④，（2）②⑤，（3）③ 8.【答案】图形见解析 【解析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念即可得到结果。 答案不唯一，如图所示： 考点：本题考查的是中心对称图形与轴对称图形 点评：解答本题的关键是熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴；在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$