期中模拟卷（范围：直线与圆+圆锥曲线+空间向量与立体几何）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）

期中模拟卷 姓名______ 班级______ 考号______ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知直线过点，，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 2．已知点关于z轴的对称点为B，则等于（    ） A． B． C．2 D． 3．设向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知圆的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 6．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．设，过定点A的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．在正方体中，平面经过点B，D，平面经过点A，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．直线的方向向量为，两个平面、的法向量分别为、，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面、所成夹角的大小为 10．已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线l与圆C有两个交点 C．当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1 D．圆C与圆恰有三条公切线 11．已知方程表示的曲线为，则（    ） A．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若直线与直线平行，且与间的距离为，则 . 13．已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为 ． 14．已知抛物线、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则b＝ . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知为坐标原点，点和直线，点是点关于直线的对称点，且点满足. (1)求点的坐标及点的轨迹方程； (2)若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围. 16．已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 17．如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且， 交于点，点的坐标为， (1)求的值． (2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积. 18．如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 19．动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． (1)求的方程； (2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； (3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中模拟卷 姓名______ 班级______ 考号______ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知直线过点，，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的斜率为，所以，则4. 故选：C 2．已知点关于z轴的对称点为B，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】点关于z轴的对称点为B， 所以. 故选：A. 3．设向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，可得， 即，解之可得. 故选：D 4．已知圆的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与直线的交点为，所以圆心为， 设半径为，由题意得，即解得， 故圆为. 故选：A. 5．已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 【答案】C 【详解】由已知得，，， 设，则，所以， 从而或时取最小值为4. 故选：C. 6．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接， 因为为正三角形，，所以为的中点，所以， 故，易知，所以， 由双曲线的定义知， 即，得. 故选：D． 7．设，过定点A的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于动直线可知其过定点， 动直线，即，可知其过定点， 且，可知两条动直线相互垂直， 可知点的轨迹是以为直径的圆，且， 若点与或重合，则； 若点与，不重合，设， 则， 可得， 因为，则，可得， 所以， 综上所述：的取值范围是. 故选：D. 8．在正方体中，平面经过点B，D，平面经过点A，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大， 所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值， 以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，平面与平面的夹角为， 因为平面，平面，所以， 且，，平面， 所以平面，同理平面， 所以为平面的一个法向量，为平面的一个法向量， ，，， ，，则. 故选：C. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．直线的方向向量为，两个平面、的法向量分别为、，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面、所成夹角的大小为 【答案】BCD 【详解】对于A，若，则或，A错； 对于B，若，则，B对； 对于C，若，则直线与平面所成角的大小为，C对； 对于D，若，则平面、所成夹角的大小为，D对. 故选：BCD. 10．已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线l与圆C有两个交点 C．当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1 D．圆C与圆恰有三条公切线 【答案】ABD 【详解】对于A，直线的方程为，由，得，直线过定点，A正确； 对于B，，即定点在圆内，则直线与圆相交且有两个交点，B正确； 对于C，当时，直线，圆心到直线的距离为， 而圆半径为2，因此只有2个点到直线的距离等于1，C错误； 对于D，圆的方程化为， 其圆心为，半径为3，两圆圆心距为， 两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确. 故选：ABD. 11．已知方程表示的曲线为，则（    ） A．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 【答案】BCD 【详解】根据题意知，可化为， 对于A，根据题意知，可化为， 当时，则，曲线为焦点在轴上的椭圆，故A错误； 对于B，根据题意知，可化为， 当时，，曲线为焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对于C，根据题意知，可化为， 当时，，曲线为焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，根据题意知，可化为， 当时，，曲线为焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若直线与直线平行，且与间的距离为，则 . 【答案】15或 【详解】由题可知，所以，解得且， 所以，可表示为， 则间的距离为，解得或8， 所以或. 故答案为：15或. 13．已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【详解】依题意，，而为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离, 故答案为： 14．已知抛物线、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则b＝ . 【答案】 【详解】如图所示，因为抛物线所以， 因为抛物线的准线过双曲线的左焦点，所以， 所以， 又因为双曲线的一条渐近线， 所以， 因为，所以 即，化简得， 又因为，联立解得 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知为坐标原点，点和直线，点是点关于直线的对称点，且点满足. (1)求点的坐标及点的轨迹方程； (2)若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围. 【详解】（1）设，则， 解得，故， 设，则， 整理得， 故点的轨迹方程为； （2）与直线有公共点， 则圆心到的距离小于等于半径， 即，解得或， 的取值范围是或. 16．已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 【详解】（1）已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得. 又因为，，，所以. 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，. 由勾股定理可得. 又，即. 在椭圆中有，将变形为，即，解得. 17．如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且， 交于点，点的坐标为， (1)求的值． (2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积. 【详解】（1）设， 因为交于点，点的坐标为， 所以直线的方程为， 联立，消去可得，， 则， 因为，所以， 即，即，解得， （2） 设线段的中点为， 由（1）知，所以， 所以，即， 联立，消去可得，， 设，则， 所以， 又点到直线的距离为， 所以的面积为. 18．如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则. 又，可得，因为平面，所以平面. （2）因为平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离. 易知，则点A到平面的距离为. （3）易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面与平面的夹角为， 则 故平面与平面的夹角的余弦值为. 19．动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． (1)求的方程； (2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； (3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）根据到直线与直线的距离之积等于，可得，化简得， 由于，故，即. （2）设，， 故当时，最小值为2 （3）联立与可得， 设， 则， 故 设存在点C满足，则， 故， 由于在，故， 化简得，即，解得或（舍去）， 由于，解得且， 故符合题意，由于，故， 故,故， 故存在，使得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$