专题11 全等三角形中动点与新定义型的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题11 全等三角形中动点与新定义型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 1 类型二、全等三角形动点中的最值问题 5 类型三、全等三角形中的动点综合问题 7 类型四、全等三角形中的新定义型综合问题 14 压轴能力测评（12题） 21 解题知识必备 1. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. 2. 全等三角形的判定 压轴题型讲练 类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 例题：（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿边向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，与全等． 【变式训练1】（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，在中，，，．点C在直线l上，动点P从A点出发沿的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作直线l于M，直线l于N．当与全等时，点P的运动时间为 秒． 【变式训练2】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为 ． 【变式训练3】（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，，垂足为点，米，米，射线，垂足为点，动点从点出发以2米/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过 秒时（不包括0秒），由点组成的三角形与全等． 类型二、全等三角形动点中的最值问题 例题：（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，钝角的面积为12，最长边，平分，点M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为 ．    【变式训练2】（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 类型三、全等三角形中的动点综合问题 例题：（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在 中， 射线 点P为射线上的动点(点P不与点A重合)，连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后， 得到线段， 连接、． (1)试说明 的理由； (2)延长交射线于点D，在点P的移动过程中， 的大小是否发生变化?若改变请说明理由，若不改变，请求出 的大小(用含α的代数式表示)； (3)当时， 过点Q作垂直射线， 垂足为E，那么 (用m、 n的代数式表示) ． 【变式训练1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 【变式训练2】（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图（1），在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图（1），当________时，的面积等于面积的一半： (2)如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度． 类型四、全等三角形中的新定义型综合问题 例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【变式训练1】（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，点P，Q是等边边上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度分别向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中交于点M．针对点P，Q的运动过程中，下列结论错误的是（    ） A． B． C．当点P运动至中点时，是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 2．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，点C为线段上一动点（不与点A，点E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下四个结论，①；②；③；④，其中正确结论是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 3．（23-24八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，平分分别为边上的动点，，则的最小值是 ．    4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以个单位/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，若点经过秒，与全等，则的值为 秒． 三、解答题 5．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，的两条高与交于点，，． (1)若，则______； (2)求的长； (3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值． 6．（23-24八年级上·重庆潼南·期末）如图1，是等边三角形，点M，N分别是边上的动点，点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图1，当点M，N分别在边上运动时（端点除外），相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由； (3)如图2，当点M，N分别在的延长线上运动时，直线相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由． 7．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．    ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．    9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，为上一点，当的长为_______时．与为偏等积三角形； (2)理解运用：如图2，已知为直角三角形，，以，为腰向外作等腰直角，等腰直角，连接．求证：与为偏等积三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点H，四边形是一片绿色花园，计划修建一条小路，若的面积为1500平方米，米，小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 10．（23-24七年级下·重庆·期中）阅读并理解下面内容，解答问题． 三角形的内心定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 如图1，已知是的三条内角平分线． 求证：相交于一点． 证明：如图2，设相交于点，过点分别，垂足分别为D，E，F． 点是的平分线上的一点， ， 同理，， ． 是的平分线， 点在上． 相交于一点． 请解答以下问题： (1)如图3，在中，为的内心，延长到点，使得，连接，与交于点，求的角度． (2)如图4，为的内心，连接，M为边上一点，连接并延长交于点，若，求证： (3)为的内心，，且，若为线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，直接写出的角度． 11．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图中，若和互为“兄弟三角形”，，则 ① ______ 填、或 ②连接线段和，则 ______ 填、或 (2)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的大小； ，求的面积； (3)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，交于点，、、三点在一条直线上，，，的面积为，求的长． 12．（23-24八年级上·广东中山·期末）定义: 如图1， 若 P 是内部一点， 且， 则称点P为的勃罗卡点， 同时称为的勃罗卡角． (1)如图2， P为等边内部一点． 其中，， 请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由； (2)如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数； (3)如图4，在（2）的条件下，作点 P 关于 的对称点 ，连接与 相交于点 O，连接，，记的勃罗卡点为 M，的勃罗卡点为N， 求证: 为等边三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 全等三角形中动点与新定义型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 1 类型二、全等三角形动点中的最值问题 5 类型三、全等三角形中的动点综合问题 7 类型四、全等三角形中的新定义型综合问题 14 压轴能力测评（12题） 21 解题知识必备 1. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. 2. 全等三角形的判定 压轴题型讲练 类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 例题：（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿边向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，与全等． 【答案】或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：．根据题意，分三种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴ 当在上时，，若， 根据证得， ，即， 当在上时，和不能全等， 当在上时，，若， 根据证得， ，即． 当的值为或秒时．与全等． 故答案为：或． 【变式训练1】（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，在中，，，．点C在直线l上，动点P从A点出发沿的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作直线l于M，直线l于N．当与全等时，点P的运动时间为 秒． 【答案】1或5 【知识点】全等三角形综合问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用，设点P的运动时间为秒，分两种情况：当点在上时，当点在上时，根据全等三角形的性质建立一元一次方程，求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：设点P的运动时间为秒， 如图，当点在上时，此时，，则，， ， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在上时，此时点与点重合，，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当与全等时，点P的运动时间为或秒， 故答案为：1或5． 【变式训练2】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为 ． 【答案】4或 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定． 设运动，则，，，由于在长方形中，，因此①当，时，，②当，时，，代入即可求解v的值． 【详解】设运动，则，，， ∵在长方形中，， ∴①当，，即，时，， 解得：， 或当，，即，时，， 解得：，． 综上所述，v的值为4或． 故答案为：4或 【变式训练3】（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，，垂足为点，米，米，射线，垂足为点，动点从点出发以2米/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过 秒时（不包括0秒），由点组成的三角形与全等． 【答案】秒或秒或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当点在线段上，时，；当在上，时，；当在线段上，时；当在上，时，；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：当点在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； 当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； 当在线段上，时，此时在点未动，时间为秒，不符合题意； 当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； 综上所述，当点经过秒或秒或秒时（不包括0秒），由点组成的三角形与全等， 故答案为：秒或秒或． 类型二、全等三角形动点中的最值问题 例题：（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，钝角的面积为12，最长边，平分，点M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．过点C作于点E，交于点M，过点M作于N，则当点C，M，N三点重合时，取得最小值，最小值为的长．再根据三角形的面积公式求出的长，即可． 【详解】解：过点C作于点E，交于点M，过点M作于N， ∵平分，，， ∴， ∴， 即当点C，M，N三点重合时，取得最小值，最小值为的长． ∵的面积为12，最长边， ∴，即， ∴ 即的最小值为3． 故答案为：3． 【变式训练1】（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为 ．    【答案】3 【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，过P作于H，利用角平分线的性质定理得到即可，根据垂线段最短得到时最小，进而可求解． 【详解】解：过P作于H，    ∵点P是的平分线上一点，于点B，，， ∴， ∵当时，的值最小，最小值为的长， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 【变式训练2】（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．过点作于点，由尺规作图痕迹可知，为的平分线，则，由图可知，当点与点重合时，取得最小值，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由尺规作图痕迹可知，为的平分线， ， ， 为上一动点， 当点与点重合时，取得最小值， 的最小值为2． 故答案为：2 类型三、全等三角形中的动点综合问题 例题：（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在 中， 射线 点P为射线上的动点(点P不与点A重合)，连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后， 得到线段， 连接、． (1)试说明 的理由； (2)延长交射线于点D，在点P的移动过程中， 的大小是否发生变化?若改变请说明理由，若不改变，请求出 的大小(用含α的代数式表示)； (3)当时， 过点Q作垂直射线， 垂足为E，那么 (用m、 n的代数式表示) ． 【答案】(1)理由见解析 (2)不改变， (3) 【分析】（1）先证明，再根据两条边相等，即可证得两个三角形全等； （2）先证明，得到，，再计算出的值，再证明，最后根据三角形外角定理即可求得的大小； （3）证明是的角平分线，根据角平分线定理得到，，再根据，，即可得到和，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：根据旋转的性质得到，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如下图所示，连接， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴大小不改变，且； （3）解：如下图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质、三角形外角定理、直角三角形的性质和角平分线定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定条件． 【变式训练1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质. （1）易证，即可证明，即可解题； （2）过点作交于点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据可证，根据，，即可解题； （3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点； （3）解：过作的延长线交于点，如图， ，，， ， 由（1）（2）知：，， ，， ， ， ， ． 故答案为． 【变式训练2】（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图（1），在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图（1），当________时，的面积等于面积的一半： (2)如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （2）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上四种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图，当P在上，的面积等于面积的一半，    ∴， ∴， 当在上时，如图，的面积等于面积的一半，    ∴， ∴， 综上所述，当为或时，的面积等于面积的一半． （2）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时， ∴，    ∴， 解得； ②当点P在上，点Q在上，时， ∴，    ∴， 解得； ③当点P在上，点Q在上，时， ∴，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴， 解得； ④当点P在上，点Q在上，时， ∴，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴， 解得； ∴Q运动的速度为或或或． 类型四、全等三角形中的新定义型综合问题 例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点，      在和中， ， 与为积等三角形． 【变式训练1】（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【答案】(1)，详见解析 (2)45 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识， （1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可； （2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”字形图形即可求出的度数； （3）由（1）可知，可得，根据证明，可得，进而可证结论成立； 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）． 理由：∵和是“同源三角形”， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵和是“同源三角形”， ∴． ∵， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45； （3）由（1）可知， ∴，． ，的中点分别为， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ； 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，点P，Q是等边边上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度分别向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中交于点M．针对点P，Q的运动过程中，下列结论错误的是（    ） A． B． C．当点P运动至中点时，是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键．点，以相同的速度向点，方向运动，得到；根据等边三角形的性质，证明；根据等边三角形的判定方法证明的形状可能是等边三角形，利用外角的性质，求出的度数，进行判断即可． 【详解】解：点，以相同的速度向点，方向运动， ；故选项A正确； 为等边三角形， ，， 又， ；故选项B正确； 当，为，的中点时，， ， 是等边三角形；故选项C正确； ， ， ， 是个定值；故选项D错误； 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，点C为线段上一动点（不与点A，点E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下四个结论，①；②；③；④，其中正确结论是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，仔细分析图形是解题的关键． 根据等边三角形的三边都相等，三个角都是，可以证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，所以①正确，对应角相等可得，然后证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，所以②正确；有全等三角形的性质及三角形外角的性质可得出③正确；从而得到是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明，所以④正确， 【详解】和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中 ， ，故①正确； （已证）， ， （已证），， ， ， 在和中 ， ，故②正确； ， ， ， ， 且， ， ， ， ，故③正确； ， 是等边三角形， ， ， 故④正确； 综上所述正确的有4个； 故选：A． 二、填空题 3．（23-24八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，平分分别为边上的动点，，则的最小值是 ．    【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，过点A作于点，在上取一点，使，即可根据平分得到，得到，则当三点共线且垂直时最小，即为的最小值，根据求解即可． 【详解】过点A作于点，在上取一点，使，    ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线且垂直时最小，即为的最小值， ∵， ∴， ∴的最小值是． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以个单位/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，若点经过秒，与全等，则的值为 秒． 【答案】，， 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键；此题要分两种情况：①当在线段上时，②当E在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ②当在上，时， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ③当在上，时，， ， 点的运动时间为（秒）， 故答案为：，，． 三、解答题 5．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，的两条高与交于点，，． (1)若，则______； (2)求的长； (3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键． （1）根据的两条高与交于点，利用同角的余角相等得出即可得答案； （2）利用可证明，利用全等三角形的性质即可得答案； （3）分点在延长线上和点在线段上两种情况，利用全等三角形的性质，分别用表示出、，解方程求出值，即可得答案． 【详解】（1）解：∵的两条高与交于点， ∴， ∴． 故答案为： （2）在和中，， ∴， ∴． （3）与全等时 ①如图，当点在延长线上时，， ∴，， ∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度， ∴，，， ∴， 解得：． ②如图，当点在线段上时，， ∴，， ∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度， ∴，，， ∴， 解得：． 综上所述：或时，与全等． 6．（23-24八年级上·重庆潼南·期末）如图1，是等边三角形，点M，N分别是边上的动点，点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图1，当点M，N分别在边上运动时（端点除外），相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由； (3)如图2，当点M，N分别在的延长线上运动时，直线相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是， (3)是， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形外角的性质： （1）根据题意得到，再由等边三角形的性质得到，，据此可利用证明； （2）根据全等三角形的性质，则由三角形外角的性质可得； （3）先证明，再由等边三角形的性质推出，，进而证明得到，则． 【详解】（1）证明：点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发 ， 是等边三角形 ，， 在和中， ； （2）解：，是定值，理由如下： ， ； （3）解：，是定值，理由如下： 点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发 ， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ． 7．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）有；8 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．    ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．    【答案】（1）①4②8（2）①5或8②2或 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）①由平行线的性质，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可；②根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出等量关系，列方程求解即可； （2）①分三种情况讨论，即可求解，②分两种情况进行讨论，列出关系式，即可求解， 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键． 【详解】解：（1）①是等边三角形，， ， 又， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：， 解得：， ∴当的值为4时，； ②当点在边上时，    此时不可能为等边三角形； 当点Q在边上时，    若为等边三角形，则， 由题意可知，， ∴， 即：，解得：， ∴当时，为等边三角形； （2）①当时，   ， 为等腰三角形， 当时，，    ∴， ∴， ∴，，为等腰三角形， 当时，   上不存在点P使为等腰三角形， ∴当或8时，为等腰三角形， ②    由题意可知：，， ∴， 若， 则 ∴，， 解得：， 若， 则， ，， 解得：， 综上所述：当全等时，a的值为2或． 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，为上一点，当的长为_______时．与为偏等积三角形； (2)理解运用：如图2，已知为直角三角形，，以，为腰向外作等腰直角，等腰直角，连接．求证：与为偏等积三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点H，四边形是一片绿色花园，计划修建一条小路，若的面积为1500平方米，米，小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】(1) (2)见解析 (3)修建小路的总造价为元． 【知识点】根据三角形中线求面积、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）过点作，交的延长线为，先证明，则，，依据三角形的面积公式可知，然后再依据偏等积三角形的定义即可得出结论； （3）过点作，交的延长线为，过点作，交的延长线为，由题意可得，由可证得，则米，根据的面积为1500平方米，可得米，即可求解． 【详解】（1）解：如图1中， 当时，， 与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为：； （2）证明：如图2中，过点作，交的延长线为， 和均为等腰直角三角形， ，，，． ． 在和中， ， ． ，， ，， ， 与为偏等积三角形； （3）解：如图3中，过点作，交的延长线为，过点作，交的延长线为， ， ，四边形为矩形， ，， ， 由（2）知，， ， ， 米， 的面积为1500平方米， ， 米， （米）， 修建小路的总造价为（元）． 【点睛】本题考查了新定义，等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 10．（23-24七年级下·重庆·期中）阅读并理解下面内容，解答问题． 三角形的内心定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 如图1，已知是的三条内角平分线． 求证：相交于一点． 证明：如图2，设相交于点，过点分别，垂足分别为D，E，F． 点是的平分线上的一点， ， 同理，， ． 是的平分线， 点在上． 相交于一点． 请解答以下问题： (1)如图3，在中，为的内心，延长到点，使得，连接，与交于点，求的角度． (2)如图4，为的内心，连接，M为边上一点，连接并延长交于点，若，求证： (3)为的内心，，且，若为线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，直接写出的角度． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【知识点】根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）先求出，，再根据证明，则，因此； （2）过点P作交于点E，F，连接，根据平行线和角平分线得到，先证明，再证明，则可得到，由，再进行等量代换和线段的和差计算即可； （3）连接并延长交于点D，将绕点P逆时针旋转至，连接并延长交于点M，先证明，继而确定点F的轨迹为直线上的部分线段，当，即点F与点M重合时，取得最小值，再根据三角形内角和定理以及角平分线，进行计算即可． 【详解】（1）解：如图 ∵点P为内心， ∴， 设， 在中，， 即， ∴， 在中，， 同理可求：， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）证明：过点P作交于点E，F，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵点P为内心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 即：． （3）解：连接并延长交于点D，将绕点P逆时针旋转至，连接并延长交于点M， ∵P为内心， ∴平分， ∵， ∴， ∴ 由题意得：， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴点F的轨迹为直线上的部分线段， ∴当，即点F与点M重合时，取得最小值， 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵P为内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 11．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图中，若和互为“兄弟三角形”，，则 ① ______ 填、或 ②连接线段和，则 ______ 填、或 (2)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的大小； ，求的面积； (3)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，交于点，、、三点在一条直线上，，，的面积为，求的长． 【答案】(1)①，② (2)①，②2 (3)6 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①由角的数量关系可求解；由“”可证，可得； （2）①由全等三角形的性质可得，即可求解；由等腰直角三角形的性质可求，的长，即可求解； （3）连接，首先得到，然后证明出，然后得到，设的长度为，列方程求解即可． 【详解】（1）解：①和互为“兄弟三角形”， ， 又，， ， 故答案为：； 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①，， ， ， 由（1）②知，， ， ； 过作于，过作于，如图： ， 由知，， ， ， 又是中点， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 的面积为：； （3）解：连接，如图所示： ， 且， ， 在和中， ， ， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是公共部分， ， 设的长度为， 则， 解得：负值已舍去， 故的长度为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 12．（23-24八年级上·广东中山·期末）定义: 如图1， 若 P 是内部一点， 且， 则称点P为的勃罗卡点， 同时称为的勃罗卡角． (1)如图2， P为等边内部一点． 其中，， 请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由； (2)如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数； (3)如图4，在（2）的条件下，作点 P 关于 的对称点 ，连接与 相交于点 O，连接，，记的勃罗卡点为 M，的勃罗卡点为N， 求证: 为等边三角形． 【答案】(1)点P不是等边的勃罗卡点，理由见解析 (2)等边的勃罗卡角的度数为 (3)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）利用等边对等角得出，再利用等边三角形性质，中垂线的性质得出即可得出结论点P不是等边的勃罗卡点； （2）利用点P为等边的勃罗卡点，求出，证明，即可求出等边的勃罗卡角的度数； （3）先证明为等腰三角形，再证出， 为等边三角形，在内部作交于点N，连接，可证得点N为的勃罗卡点，且，同理可证点M为的勃罗卡点，且，进而得出最后结论． 【详解】（1）解：点P不是等边的勃罗卡点，理由如下： ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 是的中垂线， 平分， ， ， 点P不是等边的勃罗卡点； （2）点P为等边的勃罗卡点， ， ， 即， ， 同理可得， 在与中， ， ， ， ， ， ， 等边的勃罗卡角的度数为； （3）证明：点P，关于对称， 为的中垂线， ， 为等腰三角形， ， 由（2）可知， ， ， 为等边三角形，同理可得为等边三角形， 如图，在内部作交于点N，连接， 为的中垂线， ， ， ， ， ， 点N为的勃罗卡点，且， 在内部作交于点M， 同理可证点M为的勃罗卡点，且， ， ， 为等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中垂线的判定与性质，对于题目中给出的勃罗卡点定义的理解与运用是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$