专题09 构造等腰三角形的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题09 构造等腰三角形的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用平行线+角平分线构造新等腰三角形 2 类型二、利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 6 类型三、过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 10 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 14 压轴能力测评（10题） 18 解题知识必备 1. 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 2. 利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型分析：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD≌△ACD，从而得AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形． 3. 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 4. 利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 压轴题型讲练 类型一、利用平行线+角平分线构造新等腰三角形 例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在中，平分，，是的中点．    (1)求证：是等腰三角形 (2)若，求的度数． 【变式训练1】（2024下·湖南株洲·八年级校考期末）已知在中，的平分线交于点，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于，，在边上取点使，若，求的长． 【变式训练2】（2023上·全国·八年级期末）如图1，在中，和的平分线交于点O，过点O作，交于E，交于F．    (1)当，则___________； (2)当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F，试判断，之间的关系，并说明理由． 类型二、利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 例题：如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证：(1)； (2)． 【变式训练1】如图 (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 类型三、过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．    (1)若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________； (2)若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点) (3)若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 【变式训练1】（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【变式训练1】在中，，点在边上，，点在线段上，． (1)如图，若点与点重合，则______； (2)如图，若点与点不重合，试说明与的数量关系； (3)在（1）的情况下，试判断，与的数量关系，并说明你的理由． 压轴能力测评（10题） 一、解答题 1．（2023八年级上·全国·专题练习）如图：在的边的延长线上，点在边上，交于点，，．求证：是等腰三角形．（过作交于） 2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 3．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，的平分线交于D，过C作交于II，交于N． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 4．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 5．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 6．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）【课本再现】在八年级课本第62页，我们学习了：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【问题提出】 （1）如果三角形的外角等于与它不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是等腰三角形． 小明通过思考，画出下面的图1，并对上述命题进行了如下证明： ∵是的外角， ∴_______________， 又∵， ∴_______________， ∴________， ∴是等腰三角形． 【初步应用】 （2）如图2，等边中，是中线，E在延长线上，且，判断的形状并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，于D，，求证：． 【拓展提升】 （4）如图4，中，，平分，的周长为10，，求的长． 7．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 8．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）在中，的平分线交边于点，    (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点，在上截取，连接，求证：； (3)如图3，若外角的平分线交延长线于点，请你探究（2），请写出正确的结论，并说明理由． 9．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）数学活动：折纸与证明． 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 如图1，在中，，怎样证明呢？      如图2，把沿的平分线翻折，因为，所以，点C落在上的点处．于是，由，，可得． 感悟与应用： （1）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程； （2）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明． 10．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】 (2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 (3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 构造等腰三角形的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用平行线+角平分线构造新等腰三角形 2 类型二、利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 6 类型三、过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 10 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 14 压轴能力测评（10题） 18 解题知识必备 1. 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 2. 利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型分析：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD≌△ACD，从而得AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形． 3. 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 4. 利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 压轴题型讲练 类型一、利用平行线+角平分线构造新等腰三角形 例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在中，平分，，是的中点．    (1)求证：是等腰三角形 (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由角平分线的定义得，由得即可求证； （2）先求出，根据“三线合一”得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴由（1）得： ∵是等腰三角形，是的中点． ∴ ∴． 【变式训练1】（2024下·湖南株洲·八年级校考期末）已知在中，的平分线交于点，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于，，在边上取点使，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等腰三角形的判定即可得出答案； （2）利用角平分线的定义、平行线性质得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， ， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：，， ， 又平分， ， 由（1）可知，， ， ， ， 在中，，， ， 又，， ． 【变式训练2】（2023上·全国·八年级期末）如图1，在中，和的平分线交于点O，过点O作，交于E，交于F．    (1)当，则___________； (2)当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F，试判断，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)8 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的定义可证，即可得出答案； （2）与（1）同理由平行线的性质和角平分线的定义可证． 【详解】（1）解：∵， ∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB， ∵和的平分线交于点O， ∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠BCO， ∴∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠FOC， ∴， ∴， 故答案为：8； （2），理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 类型二、利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 例题：如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证：(1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明，即可得出； （2）过点C作交于点M，由可得，根据平行线的性质得出，可得，进而得出，再根据据证明，得出，等量代换即可得到． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）证明：过点C作交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键． 【变式训练1】如图 (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 (4)的面积是 【分析】（1）证（），得，即可； （2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论； （4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， 故答案为：； （2）解：如图2，延长交于点F， 由可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，证明如下： 如图3，延长、交于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， 由问题情境可知，， ∴； （4）解：如图4，延长交于E， 由问题情境可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的面积是． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 类型三、过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．    (1)若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________； (2)若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点) (3)若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定． （1）求出，推出，根据等腰三角形性质求出，即可得出答案； （2）过作，交于，证明，推出，证是等边三角形，推出，即可得出答案； （3）过点作，交的延长线于点，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：，理由如下： 是等边三角形， ． ∵点为中点， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，交于点，    则， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）解：结论仍成立，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点，    则， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【变式训练1】（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质； （1）证明为等边三角形，得出，由等边三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）过点E作交于点F，由平行线的性质得出，证出，得出，证出，由证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， 为等边三角形， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ， ， ∵ ， ； （2）解：，理由如下： 过点E作交于点F，如图， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴， ， ， 在和中， ∵， ∴， ， ∵， ． 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 【变式训练1】在中，，点在边上，，点在线段上，． (1)如图，若点与点重合，则______； (2)如图，若点与点不重合，试说明与的数量关系； (3)在（1）的情况下，试判断，与的数量关系，并说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据题意求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案； （2）根据直角三角形的两锐角互余得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到，进而证明结论； （3）在上截取，连接，证明≌，根据求等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，得到，进而得出结论． 【详解】（1）解：在中，，， 则， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下：， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 理由如下：如图，在上截取，连接， 则， ， 在和中， ， ≌， ， ， 是的外角， ， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 压轴能力测评（10题） 一、解答题 1．（2023八年级上·全国·专题练习）如图：在的边的延长线上，点在边上，交于点，，．求证：是等腰三角形．（过作交于） 【答案】见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】过作交于，根据平行线的性质可得出、，结合以及可证出，根据全等三角形的性质可得出，结合可得出，进而可得出，由此即可证出是等腰三角形． 【详解】证明：过作交于，如图所示． ∵， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，根据找出是解题的关键． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ， 平分， ， ， ， ∵，， ∴的周长为： ． 3．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，的平分线交于D，过C作交于II，交于N． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由平分交于，可得；由交于可得；两者结合由三角形内角和定理可得，即可得，从而得到是等腰三角形； （2）连接，先证，得到，，从而可得，由此即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）证明：， 理由如下：如图：连接， ∵和中： ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵中，， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据和平分，可以求出和，然后利用三角形外角即可求解； （2）根据条件证明，再根据等角对等边即可证明； （3）根据题意和（1）（2）问的结论证明，，是等腰三角形即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键． 5．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）延长交于点．证明，由即可得出结论； （2）根据题意得到，由为等腰直角三角形，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长交于点． 平分， ， ， 又， ， ，即， 在中， ， ， ； （2）解：如图，（对顶角）， ， ， 又为等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，即． 6．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）【课本再现】在八年级课本第62页，我们学习了：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【问题提出】 （1）如果三角形的外角等于与它不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是等腰三角形． 小明通过思考，画出下面的图1，并对上述命题进行了如下证明： ∵是的外角， ∴_______________， 又∵， ∴_______________， ∴________， ∴是等腰三角形． 【初步应用】 （2）如图2，等边中，是中线，E在延长线上，且，判断的形状并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，于D，，求证：． 【拓展提升】 （4）如图4，中，，平分，的周长为10，，求的长． 【答案】（1）见解析  （2）是等腰三角形，理由见解析  （3）见解析  （4） 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造等腰三角形是解题的关键． （1）根据三角形的外角即可得到，即可得到，进而得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，然后根据中线得到，，进而推导，得以判定的形状； （3）延长至，使得，连接，得到，然后根据三线合一解题即可； （4）延长到点，使得，连接，则有，然后证明即可得到，然后利用的周长即可解题． 【详解】（1）证明：∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：是等腰三角形，理由为： ∵等边中， ∴ ∵是中线， ∴，， 又∵ ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形； （3）解：如图，延长至，使得，连接， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵于D， ∴； （4）解：延长到点，使得，连接， 则， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴，即， 又∵的周长为10，， ∴，即， ∴． 7．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 8．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）在中，的平分线交边于点，    (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点，在上截取，连接，求证：； (3)如图3，若外角的平分线交延长线于点，请你探究（2），请写出正确的结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)探究（2）中的结论不成立，正确结论：，证明见解析部分 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）证明，可得结论； （2）证明，推出，推出．可得，即可证明； （3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：，如图3，在上截取，连接，证明，推出．由，推出，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∵平分， 即， ∴为等腰三角形； （2）证明：由（1）得：为等腰三角形， 平分 在和中， （3）解：探究（2）中的结论不成立，正确结论：， 理由：如图3，在上截取，连接， 平分    9．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）数学活动：折纸与证明． 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 如图1，在中，，怎样证明呢？      如图2，把沿的平分线翻折，因为，所以，点C落在上的点处．于是，由，，可得． 感悟与应用： （1）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程； （2）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明． 【答案】（1）图见解析，；（2），理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而计算可得结论； （2）根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而根据等量代换可得结论． 【详解】解：（1）将沿折叠，点C落在边上的点处，如图， ∵， ∴点落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 证明：把沿的平分线翻折，使点C落在上的点处． ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∴， 即． 10．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】 (2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 (3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 【答案】(1)；(2) ，证明见解析；(3)证明见解析． 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质； （1）方法一：证明得到，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得，则，进而可得结论； 方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得，再证明得到，进而可得结论； （2）在上取，连接，根据等边对等角得出，根据三角形的外角的中得出，进而得出，即可得证； （3）先证明 ，过作，交于点，证明，根据等角对等边得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）在上取，连接， ∵于 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 过作，交于点， ∴， ∵是的中点， ∴， 又 ∴ ∴ ，， 而， ∴， 又∵ ∴ ∴     即　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$