专题08 等腰三角形的分类讨论思想的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题08 等腰三角形的分类讨论思想的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 2 类型二、等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 4 类型三、等腰三角形中的多解题没有分类讨论 6 类型四、等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 11 压轴能力测评（15题） 13 解题知识必备 1. 等腰三角形中的分类讨论思想 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 （1）无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论； ②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论； ④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 （2）“两定一动”等腰三角形存在性问题： 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰 方法：两圆一线 具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外） 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 压轴题型讲练 类型一、等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 例题：已知一个等腰三角形的三边长分别为，，，且为腰长．求这个等腰三角形的周长． 【变式训练1】已知是等腰三角形．如果它的两条边长分别为和，那么它的周长是 ． 【变式训练2】若等腰三角形的三边长分别为，5，，则此等腰三角形的周长可以是 ． 【变式训练3】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的倍，那么各边的长分别是多少？ (2)能围成有一边长为的等腰三角形吗？ 类型二、等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 例题：等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是 ． 【变式训练1】等腰三角形有一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为 ． 【变式训练2】等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 【变式训练3】如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________． 类型三、等腰三角形中的多解题没有分类讨论 例题：如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为 ． 【变式训练1】在△ABC中，∠B＝70°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ． 【变式训练2】在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ． 【变式训练3】如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ． 类型四、等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 【变式训练1】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【变式训练2】已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）等腰三角形的一个外角是，则其底角是（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）若等腰三角形的周长为14，其中一边长为2，则该等腰三角形的底边长为（    ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或6 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果过等腰三角形顶点的一条直线能将它分为两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的底角可以是（　　） A． B． C． D．或或 二、填空题 5．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知等腰三角形的一个角为70°，则底角等于 ． 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为 ． 7．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”k为 ． 8．（23-24八年级·全国·单元测试）如图，，，将绕点逆时针旋转角，得到，设与交于点，连接，当为等腰三角形时， ． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 三、解答题 10．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，的三边长为4，7，x． (1)求x的取值范围； (2)当为等腰三角形时，求x的值． 11．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求各边的长． 12．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果底边长是腰长的一半，求腰长； (2)能围成有一边长为的等腰三角形吗？如果能，请求出它的底边长． 13．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）用一条长为的细绳围一个等腰三角形． (1)如果围成的等腰三角形的腰长是底边长的2倍，则这个等腰三角形的底边长为__________； (2)能否围成一个底边长是腰长的3倍的等腰三角形？如果能，请求出各边长度，如果不能，请说明理由； (3)能围成有一条边长为的等腰三角形吗？如果能，请求出各边长度，如果不能，请说明理由． 14．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)　　　　　（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 15．（2024八年级上·全国·专题练习）数学课上，张老师举了下面的例题： 例1：等腰三角形中，，求的度数． 例2：等腰三角形中，，求的度数． 张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下： 变式题：等腰三角形中，∠，求的度数． (1)请你解答上面的变式题． (2)请继续探索，完成下面问题：等腰三角形中，，则的度数为 ． (3)根据以上探索，我们发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同．请你直接写出当满足什么条件时，能得到三个不同的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 等腰三角形的分类讨论思想的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 2 类型二、等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 4 类型三、等腰三角形中的多解题没有分类讨论 6 类型四、等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 11 压轴能力测评（15题） 13 解题知识必备 1. 等腰三角形中的分类讨论思想 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 （1）无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论； ②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论； ④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 （2）“两定一动”等腰三角形存在性问题： 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰 方法：两圆一线 具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外） 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 压轴题型讲练 类型一、等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 例题：已知一个等腰三角形的三边长分别为，，，且为腰长．求这个等腰三角形的周长． 【答案】这个等腰三角形的周长为10． 【分析】因为没有明确指出哪条边是底边哪个是腰，所以要分情况讨论． 【详解】解：①当时，解得， 则这个等腰三角形三条边长分别为3、3、4，能构成三角形， 此时这个等腰三角形的周长为； ②当时，解， 则这个等腰三角形三条边长分别为1、2、1，不能构成三角形（舍去）． 综上所述，这个等腰三角形的周长为10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解． 【变式训练1】已知是等腰三角形．如果它的两条边长分别为和，那么它的周长是 ． 【答案】17 【分析】分两种情况讨论：①当等腰三角形的腰长为，底边长为时；②当等腰三角形的腰长为，底边长为时，利用三角形的三边关系分别求解，即可得到答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 能构成三角形， 周长为， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【变式训练2】若等腰三角形的三边长分别为，5，，则此等腰三角形的周长可以是 ． 【答案】11或13或17 【分析】先根据题中已知等腰三角形的三边的长，而没有指明哪个是腰，哪个是底边，故应该分三种情况进行分析求解即可． 【详解】解：①当是底边时，则腰长为，5， ∴， ∴， 即三角形三边长分别为5，5，7，根据三角形三边关系，可以构成三角形， ∴等腰三角形的周长； ②当5是底边时，则腰长为，， ∴，解得， 即三角形三边长分别为3，3，5，根据三角形三边关系，可以构成三角形， ∴等腰三角形的周长； ③当是底边时，则腰长为5，， ∴，解得， 即三角形三边长分别为5，5，4，根据三角形三边关系，可以构成三角形， ∴等腰三角形的周长． 综上所述，三角形的周长可以是11，14或17． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、解一元一次方程以及三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论，并用三边关系定理检验． 【变式训练3】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的倍，那么各边的长分别是多少？ (2)能围成有一边长为的等腰三角形吗？ 【答案】(1) (2)能 【分析】（1）设该等腰三角形的底边长为x，则腰长为，列出方程求解即可； （2）根据三角形三边之间的关系，分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：设该等腰三角形的底边长为x，则腰长为， ， 解得：， ∴， ∴该三角形的三边长分别为． （2）解：当底边长为时， 腰长为， ∵， ∴能围成底边长为，腰长为时的等腰三角形； 当腰长为时， 底边长为， ∵， ∴不能围成腰长为的等腰三角形； 综上：能围成有一边长为的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两腰相等，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 类型二、等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 例题：等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是 ． 【答案】或 【分析】分的角是是底角和顶角的情况分析，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：当的角是底角时，则底角为， 当的角是顶角时，则底角为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 【变式训练1】等腰三角形有一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】分两种情况： 当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键． 【变式训练2】等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 【答案】或或 【分析】设另一个角是，表示出一个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出一个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，顶角是； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，顶角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，顶角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错． 【变式训练3】如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________． 【答案】或或 【分析】作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1， 点P在上时，，顶角为， ②∵，， ∴， 如图2，点P在上时，若， 顶角为， 如图3，若， 则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解． 类型三、等腰三角形中的多解题没有分类讨论 例题：如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】根据矩形的性质得出，，求出，画出符合题意的三种情况，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：，为的中点， ， 四边形是矩形，， ，， 有三种情况：，作的垂直平分线，交于， 此时在的垂直平分线上， 即，则， ， 即此种情况不存在； 当时，由勾股定理得：； 当时，有和两种情况，过作于， 由勾股定理得：， 即；， 所以的长是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理和等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 【变式训练1】在△ABC中，∠B＝70°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ． 【答案】20°或27.5°或35° 【分析】分三种情况讨论：①当∠B为等腰三角形的顶角时；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时；综合三种情况即可． 【详解】解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论． ①当∠B为等腰△ADB的顶角时，如图1， ∵∠BAD＝∠BDA＝×（180°﹣70°）＝55°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝27.5°； ②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时，如图2， ∵AD＝BD，∠B＝70°， ∴∠BAD＝∠B＝70°， ∴∠ADB＝180°﹣70°×2＝40°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝20°； ③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时，如图3， 则∠ADB＝∠B＝70°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝35°． 故答案为：20°或27.5°或35°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角性质等，解题的关键是综合运用这些性质和定理． 【变式训练2】在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ． 【答案】或9或3 【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可． 【详解】解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°， ∴， ∴， 当点P在线段AB上时，如图， ∵， ∴∠BPC=90°，即PC⊥AB， ∴； 当点P在AB的延长线上时， ∵，∠PBC=∠PCB+∠CPB， ∴∠CPB=30°， ∴∠CPB=∠PCB， ∴PB=BC=3， ∴AP=AB+PB=9； 当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图， ∴， ∵， ∴∠APC=60°， ∴∠ACP=60°， ∴∠APC=∠PAC=∠ACP， ∴△APC为等边三角形， ∴PA=AC=3． 综上所述，的长为或9或3． 故答案为：或9或3 【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键． 【变式训练3】如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或或 【分析】根据勾股定理先求出的长，再分三类：当时，当时，当时，分别进行讨论即可得到答案． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， 为等腰三角形， 当时，如图所示， ， 则， 即， 当时，如图所示， ， 则， 当时，如图所示，设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， ， 综上所述：的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想是解题的关键． 类型四、等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：． 可设， ∴． 由题意得： 或， 解得：或． 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立； 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立． 综上可知这个等腰三角形的底边长是或． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 【变式训练1】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可． 【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是； ②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是．    故答案为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，注灵活运用相关性质是解答本题的关键． 【变式训练2】已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ． 【答案】9cm或21cm 【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系． 【详解】解：设该三角形的腰长是x cm，底边长是y cm． 根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27 cm和18 cm两部分， ∴或， 解得或， 经检验，都符合三角形的三边关系． 因此这个等腰三角形的腰长为9cm或21cm． 故答案为：9cm或21cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）等腰三角形的一个外角是，则其底角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形外角性质和三角形内角和，根据等腰三角形性质、三角形内角和与外角性质，分两种情况进行讨论即可得到答案． 【详解】解：等腰三角形的一个外角是，则有一个内角是， ②当这个角为底角时，此三角形底角为； ②当这个角为顶角时，底角， 所以其底角为或， 故选D． 2．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）若等腰三角形的周长为14，其中一边长为2，则该等腰三角形的底边长为（    ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或6 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为2和底边长为2，两种求出分别求出对应的腰长或底边长，再根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边进行验证求解即可． 【详解】解：当腰长为2时，则该等腰三角形的底边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当底边长为2时，则该等腰三角形的腰长为， ∵， ∴此时能构成三角形， 综上所述，该等腰三角形的底边长为2， 故选：A． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键．根据等腰三角形的定义，分、两种情况，结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意，当即时，的三边长分别为5，5，6，满足，能构成等腰三角形； 当即时，的三边长分别为5，6，6，满足，能构成等腰三角形， 综上，当为等腰三角形时，a的值为4或5， 故选：C． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果过等腰三角形顶点的一条直线能将它分为两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的底角可以是（　　） A． B． C． D．或或 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，充分掌握等腰三角形内部角度的计算是解决本题的关键． 因为题中没有指明这个等腰三角形是什么形状，因此应该分四种情况进行分析，从而得到答案； 【详解】解：分类讨论如下： ①如图，在中，， 又 ， 又 ②如图，在中，， 又 ③如图，在中，， 又 又 ， ， ， ④如图，在中，， 设， 又 又 解得： 综上所述：等腰三角形的底角可以是：； 故选D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知等腰三角形的一个角为70°，则底角等于 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分顶角为和底角为两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角． 【详解】解：当顶角为时，则底角； 当底角为时，则底角为； 故答案为：或． 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为 ． 【答案】6或8 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和12两部分，然后分别列方程求解即可． 【详解】解：设腰长为x，底边长为y， 由题意知，周长的两部分为9和12， 则或， 解得：或； 经检验，都符合三角形的三边关系． 所以等腰三角形的腰长为6或8． 故答案为：6或8． 7．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”k为 ． 【答案】或 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”．熟练掌握新定义，等腰三角形定义，分类讨论，是解决问题的关键． 记为等腰三角形，周长为13，，当为腰时，则底边为，“优美比”；当为底边时，则腰为，“优美比”． 【详解】如图，记为等腰三角形，周长为13，， 当为腰时， 则底边为， ，符合， 此时，“优美比”； 当为底边时， 则腰为， ，符合， 此时，“优美比”． ∴k为或． 故答案为：或． 8．（23-24八年级·全国·单元测试）如图，，，将绕点逆时针旋转角，得到，设与交于点，连接，当为等腰三角形时， ． 【答案】或． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据旋转的性质求解、等腰三角形的定义 【分析】根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分①，②，③三种情况讨论求解．本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转角，得到 ，， ， ， 根据三角形的外角性质，， 是等腰三角形，分三种情况讨论， ①时，，无解， ②时，， 解得， ③时，， 解得， 综上所述，旋转角度数为或． 故答案为：或． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴， ①当E在时，， ∵， ∴， ； ②当E在点时，， 则 ； ③当E在时，， 则 ； 故答案为：或或． 三、解答题 10．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，的三边长为4，7，x． (1)求x的取值范围； (2)当为等腰三角形时，求x的值． 【答案】(1) (2)4或7 【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系的应用： （1）根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可； （2）分腰长为4，腰长为7两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵的三边长为4，7，x， ∴， ∴； （2）解：当腰长为4时，则，此时符合； 当腰长为7时，则，此时符合； 综上所述，x的值为4或7． 11．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求各边的长． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的中线和三角形的三边关系，分两种情况：当cm时和cm时，根据等腰三角形的定义结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：如图， ∵是边上的中线， 即， ∴， 若，则， 又∵， 联立方程组∶， 解得：， 三边能够组成三角形； 若，则， 又∵， 联立方程组， 解得：， 三边能够组成三角形； ∴三角形的各边长为或． 12．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果底边长是腰长的一半，求腰长； (2)能围成有一边长为的等腰三角形吗？如果能，请求出它的底边长． 【答案】(1) (2)或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． （1）根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长； （2）利用分类讨论，令分别为腰和底边的方法求出是否可以组成三角形，然后得出底边长度． 【详解】（1）解：设腰长为，则底边长为，由题意可得， ， 解得，， 等腰三角形的腰长为； （2）解：能围成有一边长为的等腰三角形，理由如下： 当腰长为时，则底边长为， ， 能围成有腰长为9的等腰三角形， 当底边长为时，则每个腰长为， ， 能围成有底边长为9的等腰三角形， 由上可得，三角形的底边为或． 13．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）用一条长为的细绳围一个等腰三角形． (1)如果围成的等腰三角形的腰长是底边长的2倍，则这个等腰三角形的底边长为__________； (2)能否围成一个底边长是腰长的3倍的等腰三角形？如果能，请求出各边长度，如果不能，请说明理由； (3)能围成有一条边长为的等腰三角形吗？如果能，请求出各边长度，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)不能，理由见详解 (3)能围成一个边长为边长的等腰三角形，则该等腰三角形的三边长为、、或、、 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键； （1）设底边长为，则腰长为，然后列方程进行求解即可； （2）设腰长为，则底边长为，然后列方程进行求解，最后根据三角形三边关系进行判断即可； （3）由题意可分边长为为该等腰三角形的腰长和底边长进行依次求解即可． 【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为，由题意得： ， 解得：， ∴这个等腰三角形的底边长为； 故答案为10； （2）解：设腰长为，则底边长为，由题意得： ， 解得：， ∵， ∴该三边长不能构成三角形， 故不能围成一个底边长是腰长的3倍的等腰三角形； （3）解：由题意可得：当边长为该等腰三角形的腰长时，则该等腰三角形的底边长为，符合三角形三边关系； 当边长为该等腰三角形的底边长时，则该等腰三角形的腰长为，符合三角形三边关系； 综上所述：能围成一个边长为边长的等腰三角形，则该等腰三角形的三边长为、、或、、． 14．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)　　　　　（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒 (3)11秒或12秒 【知识点】用代数式表示式、几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，      则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，    则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 15．（2024八年级上·全国·专题练习）数学课上，张老师举了下面的例题： 例1：等腰三角形中，，求的度数． 例2：等腰三角形中，，求的度数． 张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下： 变式题：等腰三角形中，∠，求的度数． (1)请你解答上面的变式题． (2)请继续探索，完成下面问题：等腰三角形中，，则的度数为 ． (3)根据以上探索，我们发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同．请你直接写出当满足什么条件时，能得到三个不同的度数． 【答案】(1)或或 (2) (3)且 【知识点】等腰三角形的定义、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键． （1）是顶角，则是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；是顶角，则是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；是顶角，则与都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解； （2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可求解； （3）分两种情况：①；②，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：当为顶角时， ； 当是顶角，则是底角，则； 当是顶角，则与都是底角，则， 综上所述，的度数为或或； （2）因为有一个角为的等腰三角形为等边三角形，所以， 故答案为：． （3）分两种情况：设， ①当时，只能为顶角， ∴的度数只有一个； ②当时， 若为顶角，则； 若为底角，为顶角，则； 若为底角，为底角，则． 当且且， 即时，有三个不同的度数． 综上所述，可知当且时，有三个不同的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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