专题06 等腰三角形的性质与判定的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题06 等腰三角形的性质与判定的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据等腰三角形的定义求第三边或周长 2 类型二、根据等腰三角形等边对等角求角的度数 4 类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题 8 类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明 12 类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题 15 压轴能力测评（15题） 20 解题知识必备 1.等腰三角形的有关定义 有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角. (1)顶角是 直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形. (2)等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底，还是腰，角没有明确是顶角还是底角,需要分类讨论. 2.等腰三角形的性质 (1)性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 应用模式:在△ABC中, AB=AC.∠B=∠C. ①这是等腰三角形的重要性质,它是证明角相等常用的方法,它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便.②应用这个性质时,必须在同-一个三角形中. 3.等腰三角形的判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形. (2)如果-一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").“等角对等边"是证明一个三角形是等腰三角形的常用方法. 压轴题型讲练 类型一、根据等腰三角形的定义求第三边或周长 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）已知一个等腰三角形的两边边长为3和4，则这个等腰三角形的周长为 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·重庆·期末）已知一个等腰三角形的两边a，b满足，则此三角形周长为 ． 【变式训练2】（23-24八年级上·云南昭通·期中）（1）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则该等腰三角形的周长是 ． （2）若等腰三角形的周长是，则它的腰长的取值范围是 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4，则等腰三角形底边长为 ． 类型二、根据等腰三角形等边对等角求角的度数 例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ． 【变式训练2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题 例题：（23-24七年级下·陕西渭南·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的两边长分别是3和9，则这的“优美比”为 ． 【变式训练1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·四川成都·期末）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则 ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 【变式训练3】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明 例题：如图，点，在的边上，，    (1)若求的度数； (2)求证： 【变式训练1】如图，在中，，平分并交于点，则 ．    【变式训练2】如图，在中，，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试问：线段与的长相等吗？请说明理由； (2)求的度数． 【变式训练3】如图，点D、E在的边上，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题 例题：如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 【变式训练1】如图，在中，，D为延长线上一点，于点E，交于点F．    (1)求证：是等腰三角形 (2)若，求线段的长． 【变式训练2】如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且， (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，当，，的周长为时，求的周长． 【变式训练3】（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是    （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 2．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形的形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．1.5或2 4．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试） 如图，在中，，高，高交于点H．若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知一个等腰三角形的一边是6，另一边是8，则这个等腰三角形的周长是 ． 6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为 ． 7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．则的周长是 ． 8．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知中，如果存在过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这个三角形为“等直三角形”． 如图1，为“等直三角形”．在图2中，为“等直三角形”，，则的度数为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）在等腰中，，边上的中线把三角形的周长分成和的两部分，求等腰三角形底边的长． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长． 11．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，点D在边上，、关于所在的直线对称，的角平分线交边于点G，连接． (1)求的度数． (2)设，当为何值时，为等腰三角形？ 12．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段上向点A运动，连接、，设D、E两点运动时间为t秒（）． (1)运动　　　秒时，； (2)运动多少秒时，能成立，并说明理由； (3)若，，则　　　（用含α的式子表示）． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知平分的外角，为上一点，． (1)如图，求证：； (2)判断的形状并证明； (3)如图，过点作于点，若，，求线段的长． 14．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． (1)如图1，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E．求证：是的一条特异线． (2)如图2，已知是的一条特异线，其中，为钝角，求出所有可能的的度数． 15．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，为边的中点，点分别在射线上，且，连接． (1)如图1，当点分别在边和上时，连接， ①判断的形状，并说明理由； ②写出、和的关系，并说明理由； (2)探究：如图2，当点分别在边的延长线上时，写出、和的关系，并说明理由； (3)应用：若，，利用上面的结论，直接写出的面积：______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 等腰三角形的性质与判定的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据等腰三角形的定义求第三边或周长 2 类型二、根据等腰三角形等边对等角求角的度数 4 类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题 8 类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明 12 类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题 15 压轴能力测评（15题） 20 解题知识必备 1.等腰三角形的有关定义 有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角. (1)顶角是 直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形. (2)等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底，还是腰，角没有明确是顶角还是底角,需要分类讨论. 2.等腰三角形的性质 (1)性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 应用模式:在△ABC中, AB=AC.∠B=∠C. ①这是等腰三角形的重要性质,它是证明角相等常用的方法,它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便.②应用这个性质时,必须在同-一个三角形中. 3.等腰三角形的判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形. (2)如果-一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").“等角对等边"是证明一个三角形是等腰三角形的常用方法. 压轴题型讲练 类型一、根据等腰三角形的定义求第三边或周长 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）已知一个等腰三角形的两边边长为3和4，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】10或11 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系，由于未说明两边哪个是腰，故分情况讨论，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3，底为4时，能构成三角形， ∴等腰三角形的周长为：， 等腰三角形的腰长为4时，底为3时，能构成三角形， ∴等腰三角形的周长为：， 故答案为：10或11． 【变式训练1】（23-24七年级下·重庆·期末）已知一个等腰三角形的两边a，b满足，则此三角形周长为 ． 【答案】14 【知识点】绝对值非负性、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查非负性，等腰三角形的定义，根据非负性求出的值，等腰三角形的定义分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当为腰长时，，不能构成三角形，不符合题意； ∴为腰长， ∴三角形周长为； 故答案为：14． 【变式训练2】（23-24八年级上·云南昭通·期中）（1）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则该等腰三角形的周长是 ． （2）若等腰三角形的周长是，则它的腰长的取值范围是 ． 【答案】 25 【知识点】一元一次不等式组应用、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识，解题的关键是： （1）分三边为5，5，10；10，10，5两种情况讨论，即可求解； （2）先求出底边长为，然后根据三角形三边关系构造不等式组求解即可． 【详解】解：（1）当等腰三角形三边为5，5，10时， ∵， ∴此三角形不存在； 当等腰三角形三边为10，10，5时， ∵， ∴此三角形存在， ∴改等腰三角形的周长为， 故答案为：25； （2）∵等腰三角形的周长是，腰长为， ∴底边长为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4，则等腰三角形底边长为 ． 【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．设等腰底边长为，则腰长为，根据两个三角形的周长的差是4，分两种情况分别求解即可． 【详解】解：设等腰底边长为，则腰长为， 是腰上的中线， ， 与的周长的差是4， 当的周长的周长时， 则， ，解得：； 当的周长的周长时， 则， ，解得：， 等腰三角形底边长为或， 故答案为：或． 类型二、根据等腰三角形等边对等角求角的度数 例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 【变式训练1】（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的内角和，设等腰三角形两个内角度数分别为，根据三角形的内角和分两种情况列方程求解即可，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键 【详解】解：设等腰三角形两个内角度数分别为， 当顶角度数为时，可得， 解得， ∴顶角的度数为； 当顶角度数为时，可得， 解得 ∴顶角度数为 故答案为或 【变式训练2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴， ①当E在时，， ∵， ∴， ； ②当E在点时，， 则 ； ③当E在时，， 则 ； 故答案为：或或． 【变式训练3】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分多种情况求解即可． 【详解】解：①过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为，如下图， ∴， ∴， 若是等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ②过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ③过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设不成立； ④过顶点A作一条直线把分成两个等腰三角形，等腰三角形为只能以点C为顶点，如图， 设，， 则， ∴， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， 解得， 故假设成立； ⑤由题得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若过顶点B作直线交于点M，等腰三角形为以点C为顶角，如图， ∵，故矛盾； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或． 类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题 例题：（23-24七年级下·陕西渭南·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的两边长分别是3和9，则这的“优美比”为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，先根据三边关系确定等腰三角形的底和腰，再根据“优美比”的定义，求解即可． 【详解】解：∵等腰的两边长分别是3和9， 当腰长为3时，，不能组成三角形，不符合题意， ∴腰长为9，底边为3， ∴； 故答案为：． 【变式训练1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 【详解】解：当腰是底的2倍时，底边为，则，可以构成三角形； 当底是腰的2倍时，底边为，则，不能构成三角形； 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级下·四川成都·期末）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则 ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 【答案】12或16 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的定义，先根据题意判断，再分两种情况进行讨论：当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：∵将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，且为等腰三角形， ∴， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，连接，如图所示： 根据折叠可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，如图所示： ∴， ∴； ∵为等腰的最短边， ∴不可能是“通径”． 综上分析可知：或16． 故答案为：12或16． 【变式训练3】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明 例题：如图，点，在的边上，，    (1)若求的度数； (2)求证： 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ， ∴， （2）过点作于.    ∵， ∴， ∴. 【变式训练1】如图，在中，，平分并交于点，则 ．    【答案】10 【详解】解：，平分， ， ， 故答案为：10． 【变式训练2】如图，在中，，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试问：线段与的长相等吗？请说明理由； (2)求的度数． 【详解】（1）解：线段与的长相等，理由如下： 连接，如图所示：      ∵，是边上的高， ∴， ∴为的垂直平分线， ∵点在上， ∴， 又∵线段的垂直平分线交于点E，交于点F， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 【变式训练3】如图，点D、E在的边上，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点，利用等腰三角形三线合一的性质得到,相减后即可得到正确的结论. （2）由等腰三角形三线合一的性质得到，，即可得到，设，根据三角形的内角和定理可得，解题即可． 【详解】（1）过点作于.    ∵. ∴, ∴. （2）∵，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 根据三角形的内角和可得， 解得：， ∴， 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，方程思想，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解答此题的关键． 类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题 例题：如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ，为的中点， ， ， ∴； （2）证明：平分， ， 又∵， ∴， ∴， ， 是等腰三角形； （3）解：的周长为15， ， ， ， 即， 平分的周长， ， 的周长． 【变式训练1】如图，在中，，D为延长线上一点，于点E，交于点F．    (1)求证：是等腰三角形 (2)若，求线段的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式训练2】如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且， (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，当，，的周长为时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的三线合一，是解答本题的关键． （1）利用等腰三角形的性质得到，然后推出，，结合已知条件，得到结论． （2）根据等腰三角形的三线合一，得到，根据的周长，利用已知条件，求出答案． 【详解】（1）证明：根据题意得： 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：如图，连接， 当时， ， ， 的周长，，， 的周长的周长． 【变式训练3】（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是    （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 【答案】（1）5；；20；（2）2；，周长为18；（3） 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （3）由（2）知，，然后利用等量代换即可证明、、有怎样的数量关系． 【详解】解：（1）． 理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ∵， ，，，， ，， ，，， 等腰三角形有，，，，共5个， ， 即， 的周长． 故答案为：5；；20； （2）， 平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， 等腰三角形有，， ，即． 可得的周长为18． （3）， 由（1）知， ， ， ， 又， ． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和、三角形外角的性质求解． 此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为，可求出顶角的度数． 【详解】解：若是顶角的外角，则顶角； 若是底角的外角，则底角， 那么顶角． 故它的顶角是或． 故选：C． 2．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：，， ， ，是边上的中线， ， ， ， ， ， 故选：A 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形的形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．1.5或2 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，即， 当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去； 若时，为等腰三角形，且符合题意， 故选：B． 4．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试） 如图，在中，，高，高交于点H．若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．解决本题的根据是证明．先由已知得到，根据三角形面积求出，证明，即可求得继而可得答案． 【详解】解：，， ∴为等腰直角三角形， ， ∵， ∴， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知一个等腰三角形的一边是6，另一边是8，则这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】或/22或20 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，分两种情况：当腰为时；当腰长为时；结合三角形三边关系进行判断能否组成三角形，进而求出周长即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当腰为时，三边长分别为，，，符合三角形的三边关系，则其周长为； 当腰长为时，三边长分别为，，，符合三角形的三边关系，则其周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长是或， 故答案为：或． 6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，    ∵，， ∴， 即顶角的度数为． ②如图，等腰三角形为钝角三角形，    ∵，， ∴， ∴． 故答案为：或． 7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．则的周长是 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等．首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，可证得；同理可得，根据的周长公式，求解即可． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ， ， 同理， ∵，， ∴的周长为： ． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知中，如果存在过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这个三角形为“等直三角形”． 如图1，为“等直三角形”．在图2中，为“等直三角形”，，则的度数为 ． 【答案】，，， 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，理解“等直三角形”定义是本题的关键．分四种情况进行讨论：当，时；当，时；当，时；当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示： 此时为等腰三角形，为直角三角形， ∵， 又∵， ∴； 当，时，如图， 此时为直角三角形，为等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当，时，如图所示： 此时为等腰三角形，为直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当，时，如图所示： 此时为直角三角形，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：的度数为：，，，． 故答案为：，，，． 三、解答题 9．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）在等腰中，，边上的中线把三角形的周长分成和的两部分，求等腰三角形底边的长． 【答案】或 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系和分类讨论思想是解题的关键，根据题意由在等腰中，，边上的中线把三角形的周长分成和的两部分，，，然后分别从与去分析求解即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵是边上的中线， 即 ∴， ， 若，则， 又∵， ∴联立方程组解得：，， 三边能够组成三角形； 若，则， 又∵， ∴联立方程组解得：，， 三边能够组成三角形； ∴三角形的底边长为或． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据三角形的内角和求出，即可得出结论； （2）连接，证明垂直平分，得到，证明，得到，根据，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，角平分线，中垂线的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用等角对等边，证明三角形是等腰三角形，是解题的关键． 11．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，点D在边上，、关于所在的直线对称，的角平分线交边于点G，连接． (1)求的度数． (2)设，当为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1)； (2)或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）先求出，再利用轴对称性质得，即，再证明，继而得到； （2）为等腰三角形时分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵、关于所在的直线对称， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵使得为等腰三角形，分三种情况讨论： 令与交点为， ， ①当时， ∴， ∵， ∴在中：， ∴； ②当时， ∴， ∵， ∴， ∴在中：， ∴； ③当时， ∴， ∴， ∴在中：， ∴； 综上所述：当或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查角平分线定义，轴对称性质，全等三角形判定及性质，等腰三角形性质，外角和定理，内角和定理等． 12．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段上向点A运动，连接、，设D、E两点运动时间为t秒（）． (1)运动　　　秒时，； (2)运动多少秒时，能成立，并说明理由； (3)若，，则　　　（用含α的式子表示）． 【答案】(1)3 (2)2，理由见解析 (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质、用SAS证明三角形全等（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的综合运用． （1）依据，可得，，再根据当，时，，可得的值； （2）当时可得，即可证明； （3）依据，，，即可得到，再根据，，即可得出． 【详解】（1）解：由题可得，， ，， 当时，， 解得， 故答案为：3； （2）解：运动2秒时，能成立，理由如下： 当时，， ∴， 在和中 ∴； （3）解：当时，， 又，， ， 又，， ． 故答案为：． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知平分的外角，为上一点，． (1)如图，求证：； (2)判断的形状并证明； (3)如图，过点作于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可解决问题； （2）在射线上截取，连接，证明，得到，再证明即可； （3）作于点E证明，即可． 【详解】（1）如图，设交于点． ，， 又，， （2）结论：是等腰三角形． 理由：在射线上截取，连接． 平分， ． 在和中， ∵， ， ，． ， ， ， ，即为等腰三角形； （3）如图，作于点G． 平分，，， ． 在和中， ， ． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 14．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． (1)如图1，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E．求证：是的一条特异线． (2)如图2，已知是的一条特异线，其中，为钝角，求出所有可能的的度数． 【答案】(1)见详解 (2)或 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，则可得是等腰三角形．再证，则可得，进而可得是等腰三角形，根据异线的定义可证是的一条特异线． （2）如图2中，分三种情形讨论， ①如图，当，时；②如图，当时；③如图，当时，根据等腰三角形性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形， ， 又， ， 又， ， ， 是等腰三角形， ∴是的一条特异线． （2）解：①如图，当，， 则， 则， 则（不符合题意，舍去）； ②如图，当时，， 则， ∵是的一条特异线， ∴只能， ， ； ③如图，当时，， ， ， ∵是的一条特异线， ∴只能， ， ， 综上，符合条件的的度数为或． 【点睛】本题属于创新题目，考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，掌握分类讨论，画出图形，借助于图形解决问题，并熟练利用方程去思考问题是解决问题的关键． 15．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，为边的中点，点分别在射线上，且，连接． (1)如图1，当点分别在边和上时，连接， ①判断的形状，并说明理由； ②写出、和的关系，并说明理由； (2)探究：如图2，当点分别在边的延长线上时，写出、和的关系，并说明理由； (3)应用：若，，利用上面的结论，直接写出的面积：______． 【答案】(1)①是等腰直角三角形，理由见解析；，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)5或17 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题主要等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，根据图形构造全等三角形成为解题的关键． （1）①如图：连接，再证明可得即可判断的形状； ②根据，再结合图形即可解答； （2）如图：连接，即同（1）可证明，根据的性质结合图形即可解答； （3）根据（1），（2）中的结论，代入相关数据求解即可． 【详解】（1）解：①是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接， 在中，，为边的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形． ②，理由如下： ∵ ， ∴， 根据图中所示，， ∵为边的中点， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图，连接， 在中，，为边的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．， ∴， 根据图中所示可得：， ∵为边的中点， ∴， ∴． （3）解：①如（1）中结论， ∵，， ∴， ， ∵， ∴； ②如（2）中结论， ∵，， ∴， ， ∵， ∴ 故答案为：5或17． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$