第10讲 概率初步（4个知识点+5种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020必修第三册）

第10讲 概率初步 课程标准 学习目标 通过对随机事件、必然事件、不可能事件概念、样本空间、古典概型、频率与概率的学习，培养学生数学抽象、数学建模、数学运算素养. 1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．两个随机事件独立性的含义。理解概率的性质．理解古典概型。(重点) 2．理解随机事件与样本点的关系．能计算古典概型中简单随机事件的概率。会用频率估计概率(重点、难点) 知识点01随机现象与样本空间 1．随机试验的概念和特点 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 2．样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用w表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间 Ω＝{w1，w2，…，wn} 3.随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 4.必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 5.不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 【即学即练1】（2023秋•徐汇区期末）设是一个随机事件，则（A）的取值范围是 　 ． 知识点02古典概率 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 常用结论： 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 【即学即练2】（1）（2023秋•徐汇区期末）管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有 　 　条鱼． （2）（2023秋•长宁区校级期末）掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是　　 A．和有可能同时发生 B．和是对立事件 C．和是对立事件 D．和是互斥事件 知识点03 频率与概率 1.概率与频率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2.事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 3.事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立 常用结论： 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 【即学即练3】（2023秋•虹口区校级期中）某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上53次，设正面朝上为事件，则事件出现的频率为 　　． 知识点04 随机事件的独立性 1、随机事件独立性的定义 （1）一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. （2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立. （3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 2、独立事件的概率乘法公式 （1）若A与B相互独立，则，同时，， ; (2)若两两独立，则 【即学即练4】（2023秋•黄浦区校级月考）已知事件与事件相互独立，如果（A），（B），则　 　． 题型01 样本点与样本空间 1．（2023春•浦东新区校级期中）在古典概率模型中，是样本空间，是样本点，是随机事件，则下列表述正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•虹口区校级期中）“抛掷一枚骰子观察点数”的样本空间为 　 　． 题型02 随机事件 3．（2023秋•黄浦区期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若表示事件“点数大于3”， 表示事件“点数为偶数”，则事件“点数为5”可以表示为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•黄浦区校级月考）下列事件：①当是实数时，；②某班一次数学测试，及格率低于；③从分别标有0，1，2，3，，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团标的数字是偶数；④体育彩票某期的一等奖号码．其中是随机事件的是　　 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 5．（2023秋•黄浦区期末）袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为 　　 ．（只需写出一个） 6．（2023秋•黄浦区期末）某个随机试验，其出现两个等可能的结果，这个随机试验可以是 　 　． 7．（2023秋•浦东新区期末）从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是 　　． 8．（2024春•闵行区校级月考）在连续抛四枚硬币的随机试验中，样本空间包含 　　个样本点． 9．（2023秋•浦东新区校级月考）已知是一个事件，则（A）　 ． 10．（2023秋•宝山区校级月考）下列事件中，属于随机现象的序号是 　 　． ①明天是阴天； ②方程有两个不相等的实数根； ③明天吴淞口的最高水位是4.5米； ④三角形中，大角对大边． 题型03 互斥事件与对立事件 11．（2023秋•杨浦区校级期末）若，，，则事件与的关系是　　 A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 12．（2023秋•杨浦区校级期末）袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，用表示“第二次摸得白球”，则与是　　 A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 13．（2023秋•闵行区校级期末）设、分别是事件、的对立事件，（A），（B），则下列结论不正确的是　　 A． B．若、是互斥事件，则（A）（B） C． D．若、是独立事件，则（A）（B） 题型04 概率及其性质 14．（2023秋•浦东新区期末）以下论述描述正确的是 　　．（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的； ②所及现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的； ③概率就是描述随机现象中某写结果出现的可能性大小． 15．（2021秋•浦东新区期末）已知随机事件、发生的概率满足，小华猜测事件会发生，小明猜测事件不会发生；则以下判断中正确的是 　　． 请填写序号） ①小华一定猜错； ②小华和小明猜对的可能性一样大； ③小明猜对的可能性更大； ④无法判断小华和小明谁猜对的可能性更大． 题型05 相互独立事件的概率乘法公式 16．（2023秋•宝山区校级期末）已知事件与事件相互独立，且（A），（B），则　 　． 17．（2023秋•虹口区校级期中）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求： （1）甲和乙同时命中的概率； （2）甲和乙都不命中的概率； （3）甲和乙至少一人命中的概率． 18．（2023秋•虹口区校级期中）在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.8，甲、乙两人的射击互不影响，求： （1）甲、乙同时射中目标的概率？ （2）甲、乙中至少有一人击中目标的概率？ 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/19 9:12:41；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•浦东新区校级期末）甲、乙两人进行射击训练，他们中靶的概率分别为0.7，0.8，若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为 　　． 2．（2022秋•宝山区校级月考），两个打牌，单局赢的概率是，三局两胜，赌金是1800元，现在一局后，先赢一局后赌局中止，那么应当拿走 　　元． 3．（2021秋•长宁区校级期末）甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为，各局的胜负之间是独立的．某天两人要进行一场三局两胜的比赛（先赢得两局者为胜，最多三局结束），若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为 　　． 4．（2021秋•宝山区校级期末）某学生写字极其潦草，该生在高考数学答题纸上书写的某道填空题结果不容易被辨识，若该道填空题会被两位阅卷老师评阅，两位阅卷老师判该结果正确的概率均为0.4，且两位阅卷老师改卷互不影响．假设只要有任意一位老师判结果为错误，则该题得分为0，那么该生本题得分为0的概率为 　　． 5．（2021秋•杨浦区校级期末）射击队某选手命中环数的概率如表所示： 命中环数 10 9 8 7 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 0.1 该选手射击两次，两次命中环数相互独立，则他至少命中一次9环或10环的概率为 　　（结果用小数表示） 6．（2023秋•宝山区校级期末）设、为两个随机事件，给出以下命题： （1）若、为互斥事件，且，，则； （2）若，，，则、为相互独立事件； （3）若，，，则、为相互独立事件； （4）若，，，则、为互斥事件； 其中正确命题的个数为 　　． 7．（2023秋•浦东新区期末）把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别写在10张一样的卡片上，并随机抽取1张．设：出现偶数，：出现3的倍数．若“，两个事件至少有一个发生”的对立事件是，则事件对应的子集是 　　． 8．（2023秋•浦东新区期末）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是 　　． 9．（2023秋•杨浦区校级期末）甲和乙两射手射击同一目标，命中的概率分别为0.7和0.8，两人各射击一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中目标的概率为 　　． 10．（2022秋•宝山区校级月考）若随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且分别为（A），（B），则实数的取值范围为　　． 11．（2023秋•黄浦区校级月考）已知事件，互相独立，且，则（A）　　． 12．（2023春•润州区校级月考）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是合格品的概率为 　　． 二．选择题（共7小题） 13．（2023秋•闵行区校级月考）如图，设每个电子元件能正常工作的概率为，则电路能正常工作的概率为　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•黄浦区校级月考）某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是　　 A．至少有一次中靶 B．三次都不中靶 C．恰有两次中靶 D．至少两次中靶 15．（2023秋•长宁区校级期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•黄浦区校级月考）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件 “第一次点数为偶数”，事件 “第二次点数为3的倍数”，则　　 A．与是互斥事件 B．与是互为对立事件 C．（A）（B） D．（A）（B） 17．（2023秋•嘉定区校级期末）设，是两个事件，以下说法正确的是　　 A．若（A）（B），则事件与事件对立 B．若（A）（B），则事件与事件互斥 C．若（A）（B），则事件与事件互斥 D．若（A）（B），则事件与事件相互独立 18．（2023秋•宝山区校级期末）“赌金分配”是概率论中很经典的问题，在一次赌局中，两个赌徒约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，由于时间很晚了，他们都不想再赌下去．假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么全部赌金的合理分配方案为　　 A．甲分，乙分 B．甲分，乙分 C．甲分，乙分 D．甲分，乙分 19．（2023秋•松江区校级期末）四个村庄、、、之间建有四条路、、、．在某个月的30天里，每逢单数日开放、，封闭、；每逢双数日开放、，封闭、．游客小明起初住在村庄，在该月第天，他以的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以的概率留在当前村庄，设小明在30天内的选择相互独立，则第30天结束时，小明在村庄的概率是　　 A． B． C． D． 三．解答题（共8小题） 20．（2023秋•宝山区校级月考）（1）已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且（A）（B），求； （2）从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，用，分别表示“取得的牌面数是10”和“取得的牌的花色是红桃”这两个事件．判断事件，是否独立，说明理由． 21．（2023秋•松江区校级期末）甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．在每一轮比赛中，记甲得1分的概率为（A），乙得1分的概率为（B），两人都得0分的概率为（C）． （1）求（A），（B），（C）的值； （2）若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率． 22．（2023秋•宝山区期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． （1）若一次抽取3张卡片，事件表示“3张卡片上数字之和大于7”，求（A）； （2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求（B）； （3）若一次抽取2张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．验证、是独立的． 23．（2023秋•黄浦区期末）掷质地均匀的一黑、一白两颗骰子，观察朝上的点数，表示事件“两颗骰子的点数和为7”， 表示事件“白色骰子的点数是1”， 表示事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，分别验证事件与事件、事件与事件是否独立，请说明理由． 24．（2023秋•浦东新区期末）（1）骰子是每一面上分别标注1，2，3，4，5，6个圆点且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验，习惯上总是观察朝上的面和点数，请写出下列随机试验的样本空间； ①单次掷一颗骰子，观察点数； ②先后掷两颗骰子，观察点数之和为7且第二次点数大于第一次点数的可能结果； （2）掷一颗骰子，用，分别表示事件“结果是偶数”与事件“结果不小于3”．请验证这两个随机事件是否独立，并请说明理由． 25．（2023秋•黄浦区校级月考）如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是．现从甲乙口袋各摸一个球，求下面四个事件的概率： （1）2个球都是红球； （2）2个球中恰好有1个红球； （3）2个球不都是红球； （4）至少有1个是红球． 26．（2024秋•奉贤区校级月考）某电视台举办“读经典”知识挑战赛．初赛环节，每位选手先从，，三类问题中选择一类，该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答．再次选择的一类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰．已知选手甲能正确回答，两类问题的概率均为，能正确回答类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立． （Ⅰ）已知选手甲先选择类问题且回答正确，接下来他按照，的顺序对各类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率； （Ⅱ）由于选手甲能正确回答，两类问题的概率均为，故可将回答顺序和顺序视为同一个顺序；为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由． 27．（2023秋•松江区校级月考）女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲乙两队进行排球比赛． （1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局．接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率； （2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权．求甲队在4个球以内（含4个球）赢得整场比赛的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 概率初步 课程标准 学习目标 通过对随机事件、必然事件、不可能事件概念、样本空间、古典概型、频率与概率的学习，培养学生数学抽象、数学建模、数学运算素养. 1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．两个随机事件独立性的含义。理解概率的性质．理解古典概型。(重点) 2．理解随机事件与样本点的关系．能计算古典概型中简单随机事件的概率。会用频率估计概率(重点、难点) 知识点01随机现象与样本空间 1．随机试验的概念和特点 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 2．样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用w表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间 Ω＝{w1，w2，…，wn} 3.随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 4.必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 5.不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 【即学即练1】（2023秋•徐汇区期末）设是一个随机事件，则（A）的取值范围是 　 ． 【分析】根据随机事件的定义可解． 【解答】解：因为是一个随机事件，则（A）的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查随机事件的定义，属于基础题． 知识点02古典概率 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 常用结论： 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 【即学即练2】（1）（2023秋•徐汇区期末）管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有 　 　条鱼． 【分析】设这个水库里大概有条鱼，利用等比例性质求即可． 【解答】解：令这个水库里大概有条鱼， 由题意有，解得条． 故答案为：50000． 【点评】本题主要考查概率及其性质，属于基础题． （2）（2023秋•长宁区校级期末）掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是　　 A．和有可能同时发生 B．和是对立事件 C．和是对立事件 D．和是互斥事件 【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析和，由对立事件的定义分析、，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，事件 “出现的点数为1、3、5”， “出现的点数为3、6”， “出现的点数为2”， “出现的点数为2、4、6”， 由此分析选项： 对于，当落地时向上的点数为3时，与同时发生，正确； 对于，由对立事件的定义，与是对立事件，正确； 对于，当落地时向上的点数为5时，与同时不发生，不是对立事件，错误； 对于，与不会同时发生，是互斥事件，正确． 故选：． 【点评】本题考查互斥事件、对立事件的定义，注意互斥事件、对立事件的关系，属于基础题． 知识点03 频率与概率 1.概率与频率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2.事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 3.事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立 常用结论： 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 【即学即练3】（2023秋•虹口区校级期中）某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上53次，设正面朝上为事件，则事件出现的频率为 　　． 【分析】根据频率的概念进行计算即可． 【解答】解：事件出现的频率为． 故答案为：． 【点评】本题考查频率、概率定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 知识点04 随机事件的独立性 1、随机事件独立性的定义 （1）一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. （2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立. （3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 2、独立事件的概率乘法公式 （1）若A与B相互独立，则，同时，， ; (2)若两两独立，则 【即学即练4】（2023秋•黄浦区校级月考）已知事件与事件相互独立，如果（A），（B），则　 　． 【分析】根据题意，分析可得事件与事件相互独立，由独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，由事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 又（A），（B）， （B）（A）（B）． 故答案为：0.56． 【点评】本题考查相互独立事件的性质，涉及概率的计算，属于基础题． 题型01 样本点与样本空间 1．（2023春•浦东新区校级期中）在古典概率模型中，是样本空间，是样本点，是随机事件，则下列表述正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据样本点与随机事件，样本空间的关系，逐项判断即可． 【解答】解：古典概率模型中，是样本空间，是样本点，是随机事件，则，， 故正确的答案只有． 故选：． 【点评】本题考查样本空间与样本点，属于基础题． 2．（2023秋•虹口区校级期中）“抛掷一枚骰子观察点数”的样本空间为 　 　． 【分析】根据题意可直接写出样本空间． 【解答】解：抛掷一枚骰子观察点数的样本空间为点朝上），点朝上），点朝上），点朝上），点朝上），点朝上）． 故答案为：点朝上），点朝上），点朝上），点朝上），点朝上），点朝上）． 【点评】本题考查样本空间的相关知识，属于基础题． 题型02 随机事件 3．（2023秋•黄浦区期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若表示事件“点数大于3”， 表示事件“点数为偶数”，则事件“点数为5”可以表示为　　 A． B． C． D． 【分析】根据事件的和事件以及交事件，结合选项即可求解． 【解答】解：由题可得，表示“点数为2“， 表示“点数5“， 表示“点数为3或2或1或4或6“， 表示“点数为1或3或4或5或6“． 故选：． 【点评】本题考查随机事件及其运算，属于基础题． 4．（2023秋•黄浦区校级月考）下列事件：①当是实数时，；②某班一次数学测试，及格率低于；③从分别标有0，1，2，3，，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团标的数字是偶数；④体育彩票某期的一等奖号码．其中是随机事件的是　　 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【分析】根据随机事件的定义，即可求解． 【解答】解：对于①，当时，，无解，当时，，（舍去），无解，故①是不可能事件， 对于②，某班一次数学测试，及格率低于，是随机事件， 对于③，从分别标有0，1，2，3，，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团中标的数字是偶数，是随机事件， 对于④，体育彩票某期的一等奖号码，是随机事件． 随机事件为②③④， 故选：． 【点评】本题主要考查随机事件的定义，属于基础题． 5．（2023秋•黄浦区期末）袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为 　　 ．（只需写出一个） 【分析】结合随机事件的样本空间的概念即可求解． 【解答】解：由题意得，样本空间红色，白色，黑色． 故答案为：红色（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了随机事件的样本空间的求解，属于基础题． 6．（2023秋•黄浦区期末）某个随机试验，其出现两个等可能的结果，这个随机试验可以是 　 　． 【分析】结合古典概型的概念即可判断． 【解答】解：抛掷一枚硬币，出现正面向上和反面向上两种等可能的结果． 故答案为：抛掷一枚硬币的试验（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了随机事件的判断，属于基础题． 7．（2023秋•浦东新区期末）从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是 　　． 【分析】根据题意写出样本空间求解即可． 【解答】解：由题意可知，样本空间，，，，，， 所以上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了样本空间的定义，属于基础题． 8．（2024春•闵行区校级月考）在连续抛四枚硬币的随机试验中，样本空间包含 　　个样本点． 【分析】将所有的样本点一一列举出来即可． 【解答】解：连续抛四枚硬币的随机试验中，用1表示正面向上，2表示反面向上， 则样本空间包含的样本点有，1，1，，，1，1，，，1，2，，，2，1，，，1，1，，，1，2，，，2，1，，，2，2，，，2，1，，，1，2，，，1，1，，，2，2，，，1，2，，，2，1，，，2，2，，，2，2，共16个． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了随机事件中样本点个数的确定，属于基础题． 9．（2023秋•浦东新区校级月考）已知是一个事件，则（A）　 ． 【分析】根据随机事件的概率的性质直接填空即可． 【解答】解：（A）表示事件发生的概率，所以（A）， 特别地：当为必然事件时，（A）； 当为不可能事件时，（A）． 故答案为：，． 【点评】本题考查随机事件的概率的性质，属于基础题． 10．（2023秋•宝山区校级月考）下列事件中，属于随机现象的序号是 　 　． ①明天是阴天； ②方程有两个不相等的实数根； ③明天吴淞口的最高水位是4.5米； ④三角形中，大角对大边． 【分析】对于①③，根据生活经验判断即可；对于②④，利用数学知识即可判断． 【解答】解：对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象； 对于②，由得，显然在实数域方程无解，故②属于不可能事件； 对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件； 综上：属于随机现象的序号是①③． 故答案为：①③． 【点评】本题考查随机事件的定义，属于基础题． 题型03 互斥事件与对立事件 11．（2023秋•杨浦区校级期末）若，，，则事件与的关系是　　 A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案． 【解答】解：， ， 事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立． 故选：． 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率公式，属于基础题． 12．（2023秋•杨浦区校级期末）袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，用表示“第二次摸得白球”，则与是　　 A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的定义判断即得． 【解答】解：根据题意，由于是有放回地摸球，事件与可以同时发生， 因此事件与不互斥，也不对立，、错误； 显然，，因此与是相互独立事件，正确，错误． 故选：． 【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件的定义，涉及古典概率的计算，属于基础题． 13．（2023秋•闵行区校级期末）设、分别是事件、的对立事件，（A），（B），则下列结论不正确的是　　 A． B．若、是互斥事件，则（A）（B） C． D．若、是独立事件，则（A）（B） 【分析】根据题意，由对立事件的性质分析、，由互斥事件的性质分析，由相互独立事件的性质分析，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，由对立事件定义可知，选项正确； 对于，若、是互斥事件，则，错误； 对于，由对立事件定义可知，正确； 对于，由相互独立事件的性质，、是独立事件，则（A）（B），正确． 故选：． 【点评】本题考查相互独立事件、互斥事件和对立事件的性质，涉及概率性质，属于基础题． 题型04 概率及其性质 14．（2023秋•浦东新区期末）以下论述描述正确的是 　　．（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的； ②所及现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的； ③概率就是描述随机现象中某写结果出现的可能性大小． 【分析】根据随机现象的性质即可逐一求解． 【解答】解：对于①，随机现象是可以重复的，比如抛一枚硬币多次，可以重复出现正面朝上，故错误， 对于②，比如抛一枚骰子，出现1点朝上的可能性显然小于偶数点朝上的可能性，故错误， 对于③，概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小，故正确． 故答案为：③． 【点评】本题主要考查概率及其性质，属于基础题． 15．（2021秋•浦东新区期末）已知随机事件、发生的概率满足，小华猜测事件会发生，小明猜测事件不会发生；则以下判断中正确的是 　　． 请填写序号） ①小华一定猜错； ②小华和小明猜对的可能性一样大； ③小明猜对的可能性更大； ④无法判断小华和小明谁猜对的可能性更大． 【分析】由与是对立事件，利用对立事件概率计算公式直接求解． 【解答】解：与是对立事件， 随机事件、发生的概率满足， 小华猜测事件会发生，小明猜测事件不会发生， 对于①，小华猜对的概率，故①错误； 对于②，小华猜对的概率为， 小明猜对的概率为，故②错误； 对于③，由①②知小明猜对的可能性更大，故③正确； 对于④，由①②知小明猜对的可能性更大，故④错误． 故答案为：③． 【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 题型05 相互独立事件的概率乘法公式 16．（2023秋•宝山区校级期末）已知事件与事件相互独立，且（A），（B），则　 　． 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解． 【解答】解：因为事件与事件相互独立， 所以（A）（B），即． 故答案为：0.18． 【点评】本题考查相互独立事件的概率公式，属于基础题． 17．（2023秋•虹口区校级期中）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求： （1）甲和乙同时命中的概率； （2）甲和乙都不命中的概率； （3）甲和乙至少一人命中的概率． 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式结合对立事件即可． 【解答】解：（1）设甲命中为事件，概率为，乙罚球时命中为事件，概率为， 则设甲和乙同时命中为事件，则． （2）设甲和乙都不命中为事件，则． （3）甲和乙至少一人命中为事件，． 【点评】本题考查独立事件的概率乘法公式、对立事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18．（2023秋•虹口区校级期中）在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.8，甲、乙两人的射击互不影响，求： （1）甲、乙同时射中目标的概率？ （2）甲、乙中至少有一人击中目标的概率？ 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率； （2）利用独立事件和对立事件的概率公式可求得事件“甲、乙中至少有一人击中目标”的概率． 【解答】（1）解：在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.8， 甲、乙两人的射击互不影响， 则甲、乙同时射中目标的概率为． （2）解：记事件：甲、乙中至少有一人击中目标， 则事件甲、乙两人都没有击中， 所以，． 【点评】本题考查独立事件的概率乘法公式、对立事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/19 9:12:41；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•浦东新区校级期末）甲、乙两人进行射击训练，他们中靶的概率分别为0.7，0.8，若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为 　0.38　． 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式以及分类计数原理求解即可． 【解答】解：因为甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.7，0.8， 所以恰有一人不中靶的概率为． 故答案为：0.38． 【点评】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式以及分类计数原理的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题． 2．（2022秋•宝山区校级月考），两个打牌，单局赢的概率是，三局两胜，赌金是1800元，现在一局后，先赢一局后赌局中止，那么应当拿走 　1000　元． 【分析】由题分析得到，获胜的情形，再求出，获胜的概率，从而即可求得． 【解答】解：胜记为，负记为，因为先赢一局后赌局中止，所以第一局赢， 若继续比赛下去胜的情形有：；，其胜的概率为， 胜的情形有：，其胜的概率为， 所以胜的概率与胜的概率之比为：， 所以可以获得的奖金为（元． 故答案为：1000． 【点评】本题考查相互独立事件的概率，属于基础题． 3．（2021秋•长宁区校级期末）甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为，各局的胜负之间是独立的．某天两人要进行一场三局两胜的比赛（先赢得两局者为胜，最多三局结束），若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为 　　． 【分析】第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的情况有2种：①第二局甲胜，②第二局乙胜，第三局甲胜，利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式能求出第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率． 【解答】解：第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的情况有2种： ①第二局甲胜，概率为； ②第二局乙胜，第三局甲胜，概率为． 第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率． 故答案为：． 【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．（2021秋•宝山区校级期末）某学生写字极其潦草，该生在高考数学答题纸上书写的某道填空题结果不容易被辨识，若该道填空题会被两位阅卷老师评阅，两位阅卷老师判该结果正确的概率均为0.4，且两位阅卷老师改卷互不影响．假设只要有任意一位老师判结果为错误，则该题得分为0，那么该生本题得分为0的概率为 　0.84　． 【分析】由题意，结合相互独立事件的概率公式即可求解． 【解答】解：由题意可得，该生本题得分为0的概率． 故答案为：0.84． 【点评】本题主要考查了相互独立事件的乘法公式的应用，属于基础题． 5．（2021秋•杨浦区校级期末）射击队某选手命中环数的概率如表所示： 命中环数 10 9 8 7 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 0.1 该选手射击两次，两次命中环数相互独立，则他至少命中一次9环或10环的概率为 　0.84　（结果用小数表示） 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式能求出结果． 【解答】解：该选手射击两次，两次命中环数相互独立， 则他至少命中一次9环或10环的概率为： ． 故答案为：0.84． 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．（2023秋•宝山区校级期末）设、为两个随机事件，给出以下命题： （1）若、为互斥事件，且，，则； （2）若，，，则、为相互独立事件； （3）若，，，则、为相互独立事件； （4）若，，，则、为互斥事件； 其中正确命题的个数为 　3　． 【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式判断求解； （2）利用相互独立事件定义判断求解； （3）求出，，，从而，由此得到、为相互独立事件； （4）由，得，从而、为互斥事件． 【解答】解：（1）若、为互斥事件，且，， 则，故（1）错误； （2），，， ， 、为相互独立事件，故（2）正确； （3），，， ，， ， ， 、为相互独立事件，故（3）正确； （4），，， ， ， 、为互斥事件，故（4）正确． 故答案为：3． 【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件、对立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．（2023秋•浦东新区期末）把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别写在10张一样的卡片上，并随机抽取1张．设：出现偶数，：出现3的倍数．若“，两个事件至少有一个发生”的对立事件是，则事件对应的子集是 　，，，，，，，，，，，5，　． 【分析】根据对立事件的定义求解即可． 【解答】解：由题意，10张一样的卡片，随机抽取1张， 则，4，6，8，，，6，，，3，4，6，8，9，， 若“，两个事件至少有一个发生”的对立事件是，则，5，， 则事件对应的子集是，，，，，，，，，，，5，． 故答案为：，，，，，，，，，，，5，． 【点评】本题考查对立事件的应用，属于基础题． 8．（2023秋•浦东新区期末）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是 　0.88　． 【分析】利用相互独立事件的乘法公式求得没人命中的概率，再利用对立事件的性质求解即可． 【解答】解：由题意可知，没人命中的概率为， 至少一人命中的概率为． 故答案为：0.88． 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于基础题． 9．（2023秋•杨浦区校级期末）甲和乙两射手射击同一目标，命中的概率分别为0.7和0.8，两人各射击一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中目标的概率为 　0.94　． 【分析】利用独立事件的乘法公式分别求出“仅有一人命中目标”的概率和“两人同时命中目标”的概率，即可得出结果． 【解答】解：根据题意可知“至少一人命中目标”包括“仅有一人命中目标”和“两人同时命中目标”两个基本事件； 可得“仅有一人命中目标”的概率为； “两人同时命中目标”的概率为； 所以至少一人命中目标的概率为． 故答案为：0.94． 【点评】本题考查相互独立事件的应用，属于基础题． 10．（2022秋•宝山区校级月考）若随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且分别为（A），（B），则实数的取值范围为　　． 【分析】由随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且分别为（A），（B），知，由此能求出实数的取值范围． 【解答】解：随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0， 且分别为（A），（B）， ，即， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查互斥事件的概率的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 11．（2023秋•黄浦区校级月考）已知事件，互相独立，且，则（A）　　． 【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可得结果． 【解答】解：根据题意，事件，互相独立，则， 故 ． 故答案为：． 【点评】本题考查概率的性质和应用，涉及相互独立事件的性质，属于基础题． 12．（2023春•润州区校级月考）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是合格品的概率为 　0.957　． 【分析】先分为两种情况，再利用全概率公式求解． 【解答】解：从混合产品中任取1件．取到这件产品是合格品包含以下两种情况， ①从第一批抽取，取到这件产品是合格品的概率为， ②从第二批抽取，取到这件产品是合格品的概率为， 则取到这件产品是合格品的概率为， 故答案为：0.957． 【点评】本题考查全概率公式的应用，属于中档题． 二．选择题（共7小题） 13．（2023秋•闵行区校级月考）如图，设每个电子元件能正常工作的概率为，则电路能正常工作的概率为　　 A． B． C． D． 【分析】根据概率加法公式求出答案即可． 【解答】解：设每个电子元件能正常工作的概率为， 则电路能正常工作的概率． 故选：． 【点评】本题考查了概率求值问题，是基础题． 14．（2023秋•黄浦区校级月考）某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是　　 A．至少有一次中靶 B．三次都不中靶 C．恰有两次中靶 D．至少两次中靶 【分析】利用对立事件、对斥事件的定义直接求解． 【解答】解：某人在打靶中，连续射击3次， 对于，至少有一次中靶与至多有一次中靶能同时发生，不是互斥事件，故错误； 对于，三次都不中靶与至多有一次中靶能同时发生，不是互斥事件，故错误； 对于，恰有两次中靶与至多有一次中靶不能同时发生， 但能同时不发生，是互斥不对立事件，故正确； 对于，至少两次中靶与至多有一次中靶既不能同时发生， 也不能同时不发生，是对立事件，故错误． 故选：． 【点评】本题考查互斥不对立事件的判断，考查对立事件、对斥事件的定义等基础知识，是基础题． 15．（2023秋•长宁区校级期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】设甲失败的事件为，乙失败的事件为，丙失败的事件为，甲最终获胜的事件为，根据题意列出的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解． 【解答】解：设甲失败的事件为，乙失败的事件为，丙失败的事件为，甲最终获胜的事件为， 则甲最终获胜的概率为： ． 故选：． 【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．（2023秋•黄浦区校级月考）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件 “第一次点数为偶数”，事件 “第二次点数为3的倍数”，则　　 A．与是互斥事件 B．与是互为对立事件 C．（A）（B） D．（A）（B） 【分析】利用古典概型的概率公式，结合互斥事件与对立事件的定义即可得解． 【解答】解：依题意，一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的基本事件有件，事件的基本事件有 件，事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，事件的基本事件有件， 所以，，，， 故（A）（B），（A）（B）， 所以与不是互斥事件，更不是对立事件， 故错误，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了互斥事件与对立事件的定义，属于基础题． 17．（2023秋•嘉定区校级期末）设，是两个事件，以下说法正确的是　　 A．若（A）（B），则事件与事件对立 B．若（A）（B），则事件与事件互斥 C．若（A）（B），则事件与事件互斥 D．若（A）（B），则事件与事件相互独立 【分析】对于选项，以抛一枚骰子一次为例判断即可； 对于选项，以抛一枚骰子一次为例判断即可； 对于选项，以几何概率模型判断即可； 对于选项，由事件独立的定义直接判断即可． 【解答】解：对于选项，以抛一枚骰子一次为例， 表示事件“出现偶数点”， 表示事件“出现的点数不大于3”， 故（A）（B）， 故（A）（B）， 但事件与事件不对立， 故错误； 对于选项，以抛一枚骰子一次为例， 表示事件“出现偶数点”， 表示事件“出现的点数不大于3”， 故（A）（B）， 故（A）（B）， 但事件与事件不互斥， 故错误； 对于选项，假设飞镖一定落在圆内，如图， 表示事件“飞镖落在圆内”， 表示事件“飞镖落在圆心”， 故（A），（B）， 故（A）（B）， 但事件与事件不互斥， 故错误； 对于选项，由事件独立的定义知，正确； 故选：． 【点评】本题考查了事件互斥、对立、独立的判断与应用，属于基础题． 18．（2023秋•宝山区校级期末）“赌金分配”是概率论中很经典的问题，在一次赌局中，两个赌徒约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，由于时间很晚了，他们都不想再赌下去．假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么全部赌金的合理分配方案为　　 A．甲分，乙分 B．甲分，乙分 C．甲分，乙分 D．甲分，乙分 【分析】首先计算出甲赢的概率，乙赢的概率，由此能求出结果． 【解答】解：题意得：甲赢的概率为， 乙赢的概率为， 所以应该分给甲，分给乙． 故选：． 【点评】本题考查概率的求法及应用，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 19．（2023秋•松江区校级期末）四个村庄、、、之间建有四条路、、、．在某个月的30天里，每逢单数日开放、，封闭、；每逢双数日开放、，封闭、．游客小明起初住在村庄，在该月第天，他以的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以的概率留在当前村庄，设小明在30天内的选择相互独立，则第30天结束时，小明在村庄的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】先设两种情况的概率，再列出函数，最后根据函数写出小明在村庄的概率即可． 【解答】解：对，1，，15，用表示该游客恰有天通过道路或的概率， 表示该游客恰有天通过道路或的概率． 考虑函数， ， 根据条件知为的次项系数，为的次项系数， 第30天结束时，游客住在村庄当且仅当他通过道路或的总天数为奇数，且通过道路或的总天数为偶数． 于是，这样的情况发生的概率为 ， 注意到，（1）， ， （1），． 故． 故选：． 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，考查运算求解能力，属于中档题． 三．解答题（共8小题） 20．（2023秋•宝山区校级月考）（1）已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且（A）（B），求； （2）从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，用，分别表示“取得的牌面数是10”和“取得的牌的花色是红桃”这两个事件．判断事件，是否独立，说明理由． 【分析】（1）根据互斥事件以及对立事件的概率计算结合题设，即可求得答案； （2）分别求出事件，的概率，求出事件的概率，根据独立事件的乘法公式验证，即可判断出结论． 【解答】解：（1）由题意得， ，， 又（A）（B），， 故． （2），独立，理由如下： 由题意得， 事件即取得的牌是红桃10，故， 则（A）（B），所以，独立． 【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 21．（2023秋•松江区校级期末）甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．在每一轮比赛中，记甲得1分的概率为（A），乙得1分的概率为（B），两人都得0分的概率为（C）． （1）求（A），（B），（C）的值； （2）若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率． 【分析】（1）根据题意直接求解即可； （2）设事件，分类求解恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率． 【解答】解：（1）由题意得：（A）， （B）， （C）（A）（B）； （2）记“恰好经过4轮比赛，甲获胜”为事件， 则（D）； 所以恰好经过4轮，甲赢得比赛的概率为0.0348． 【点评】本题主要考查相互独立事件概率的求解，考查计算能力，属于基础题． 22．（2023秋•宝山区期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． （1）若一次抽取3张卡片，事件表示“3张卡片上数字之和大于7”，求（A）； （2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求（B）； （3）若一次抽取2张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．验证、是独立的． 【分析】（1）利用古典概型的概率求解； （2）利用古典概型的概率求解； （3）利用古典概型的概率分别求得（C），（D），再利用相互独立事件的概念即可判断． 【解答】解：（1）若一次抽取3张卡片，共包含，2，、，2，、，3，、，3，共4个基本事件． 其中事件，3，，，3，包含2个基本事件 所以； （2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，共包含个基本事件， 其中事件、、包含3个基本事件 所以； （3）一次抽取2张卡片，共包含个基本事件， 事件，，所以； 事件、、，所以； 当、同时发生，即2张卡片上数字之和是3的倍数同时积是4的倍数，只有一种取法， 所以； 因为（C）（D）， 所以事件与事件是独立的． 【点评】本题考查古典概型的概率和相互独立事件的概念，属于基础题． 23．（2023秋•黄浦区期末）掷质地均匀的一黑、一白两颗骰子，观察朝上的点数，表示事件“两颗骰子的点数和为7”， 表示事件“白色骰子的点数是1”， 表示事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，分别验证事件与事件、事件与事件是否独立，请说明理由． 【分析】掷黑白两颗骰子，可得基本事件总数为36，分别求解事件，，，包含的基本事件个数，利用古典概率计算公式求出（A），（B），（C），，，利用独立事件定义判断求解． 【解答】解：掷黑白两颗骰子，可得基本事件总数为， 表示事件“两颗骰子的点数和为7”， 表示事件“白色骰子的点数是1”， 表示事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”， 事件包含的基本事件有，，，，，，共6个， 事件包含的基本事件有，，，，，，共6个， 事件包含的基本事件有，，，，，，，，，，，共11个， 事件包含的基本事件有，，共2个， 事件包含的基本事件有，共1个， 则（A），（B），（C），，， （A）（B），事件与事件相互独立； （A）（C），事件与事件不相互独立． 【点评】本题考查古典概型、列举法、相互独立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 24．（2023秋•浦东新区期末）（1）骰子是每一面上分别标注1，2，3，4，5，6个圆点且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验，习惯上总是观察朝上的面和点数，请写出下列随机试验的样本空间； ①单次掷一颗骰子，观察点数； ②先后掷两颗骰子，观察点数之和为7且第二次点数大于第一次点数的可能结果； （2）掷一颗骰子，用，分别表示事件“结果是偶数”与事件“结果不小于3”．请验证这两个随机事件是否独立，并请说明理由． 【分析】（1）列举法求解即可； （2）根据相互独立事件的乘法公式判断即可． 【解答】解：（1）①单次掷一颗骰子，出现点数的样本空间为，2，3，4，5，； ②先后掷两颗骰子，点数之和为7且第二次点数大于第一次点数的可能结果为，，． （2），4，，，4，5，，，， ， 则事件，是相互独立的． 【点评】本题考查相互独立事件的判定，是基础题． 25．（2023秋•黄浦区校级月考）如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是．现从甲乙口袋各摸一个球，求下面四个事件的概率： （1）2个球都是红球； （2）2个球中恰好有1个红球； （3）2个球不都是红球； （4）至少有1个是红球． 【分析】（1）（2）（3）（4）利用独立事件、互斥事件以及对立事件的概率求法求各事件对应概率即可． 【解答】解：（1）甲乙各摸一个球相互独立，2个球都是红球概率为； （2）2个球中恰好有1个红球概率为； （3）由（1），根据对立事件概率求法，2个球不都是红球概率为； （4）由（1）（2）知：根据互斥事件概率求法，至少有1个是红球概率为． 【点评】本题考查相互独立事件以及互斥事件的应用，属于基础题． 26．（2024秋•奉贤区校级月考）某电视台举办“读经典”知识挑战赛．初赛环节，每位选手先从，，三类问题中选择一类，该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答．再次选择的一类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰．已知选手甲能正确回答，两类问题的概率均为，能正确回答类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立． （Ⅰ）已知选手甲先选择类问题且回答正确，接下来他按照，的顺序对各类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率； （Ⅱ）由于选手甲能正确回答，两类问题的概率均为，故可将回答顺序和顺序视为同一个顺序；为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由． 【分析】（1）考虑回答正确的概率和回答错误时要求必须回答正确两道，根据独立事件概率乘法进行计算． （2）把回答顺序的所有可能列举出来，有，，三种可能情况，把对应三种情况的概率用独立事件乘法原理计算出来，再比较大小即可． 【解答】解：（1）分两类，第一类是 回答正确，概率；第二类回答错误，且回答正确两道，概率， 所以取得复赛资格的概率为：． （2）根据的不同位置分为三类：，，． 若按照顺序回答，则取得复赛资格的概率为：， 若按照顺序回答，则取得复赛资格的概率为：， 若按照顺序回答，则取得复赛资格的概率为：， 可得， 故按顺序回答问题取得复赛资格的概率最大． 【点评】本题考查了独立事件乘法原理，比较基础． 27．（2023秋•松江区校级月考）女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲乙两队进行排球比赛． （1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局．接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率； （2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权．求甲队在4个球以内（含4个球）赢得整场比赛的概率． 【分析】（1）关键甲队将以或的比分赢得比赛，由此求出甲队最后赢得整场比赛的概率． （2）根据甲队发球得分的概率，以及甲队以或赢得比赛，分别计算甲乙比分为和甲乙比分为时对应的发球顺序和赢球概率，由此求出相应的概率值． 【解答】解：（1）依题意，甲队将以或的比分赢得比赛． 若甲队以的比分赢得比赛，则第4局甲赢， 若甲队以的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢． 故甲队最后赢得整场比赛的概率为． （2）依题意，甲每次发球，甲队得分的概率为，接发球方得分的概率为． 甲接下来可以以或赢得比赛，所以甲队在4个球以内（含4个球）赢得整场比赛， 其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”， 记甲赢得整场比赛为事件，计算以赢得比赛的概率值为， 计算比分为，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”， 对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”， 概率为． 所以甲队在4个球以内（含4个球）赢得整场比赛的概率为： ． 【点评】本题考查了数据分析与概率计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$