27.3 垂径定理（7大题型提分练）（题型专练）数学沪教版五四制九年级下册

27.3 垂径定理 知识点一 圆的对称性 ★圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 【注意】不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段。 知识点二 垂径定理 ★1、垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 【注意】（1）垂径定理指出了圆的直径与弦及弦所对的弧之间的关联，即由直径“垂直”于弦得到“平分”弦（弧）； （2）垂径定理中的条件“圆的直径垂直于弦”，可表述为“圆的半径垂直于弦”，或者“圆心到弦的垂线段”。 ★2、垂径定理的推论： 如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦。 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。 【注意】（1）在圆中，对于某条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”，“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系他成立。 （2）当条件为“直线经过圆心”，“平分弦”时，还要指出这条弦不是直径，才能推出其余两组关系。 ★3、垂径定理的常见图形 知识点三 弓形 ★弓形的概念：由圆的弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，拱高也叫弓形高。 【注意】弓形的弧可以是劣弧，也可以是优弧或半圆，弓形中的曲线一定是圆弧，拱形中的曲线不一定是圆弧。 题型一 垂径定理的理解与求值 解题技巧提炼 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2、方法：运用勾股定理列方程；作垂直于弦的直径；由弧的中点联想到用垂径定理。 特别提醒： ①定理中的两个条件缺一不可:a.过圆心(直径)、b.垂直于弦; ②定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，本质是“过圆心”；将弧平分的点是这条弧的中点。 1、如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 【答案】D 【解析】解：∵B是弧的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴平分，点A是弧的中点， 故A，B，C正确，D错误，故选：D． 2、如图，为的直径，弦于点H，，，则的长为 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接，则， ∵，过圆心，， ∴，， 由勾股定理得：， ∵， ∴，故答案为：． 3、如图，将圆沿折叠后，圆弧恰好经过圆心，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：作并延长交于点C， ∴． ∵将圆沿折叠后，圆弧恰好经过圆心， ∴， ∴， ∴， ∴．故选C． 4、如图，四边形内接于，连接，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵，经过圆心， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5、如图，的直径和弦相交于点，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【解析】解：连接，过点作， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为． 6、如图，AB是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【解析】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得，． 题型二 利用垂径定理求解平行弦问题 解题技巧提炼 1、圆的两条平行弦所夹的弧相等； 2、平行弦之间的距离处处相等，通过计算一条弦的弦心距可推导出另一条弦的弦心距； 3、过圆心作平行弦的垂线，根据垂径定理，这条垂线垂直平分弦。这样就将平行弦的问题转化为与半径和弦心距相关的直角三角形问题。 特别提醒： 平行弦问题如果没有给图，注意有多解。 1、已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【解析】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14．故选B． 2、如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；③连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【解析】解：由作法得：，， ∴， ∴， ∴选项的结论正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴选项的结论正确； 作半径，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴选项的结论正确； ∵圆周角所对的弧为，圆心角所对的弧为， ∴， ∵， ∴， ∴选项错误； 故选：． 3、如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【答案】 【解析】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=． 4、如图，和相交于A和B，过点A作的平行线交两圆于C、D，设，则 （用含代数式表示） 【答案】 【解析】解：如图：过点和分别作、， ∵过点A作的平行线交两圆于C、D， ∴， ∵、， ∴四边形是矩形， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∵， 则． 5、如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 6、如图，在中， ，之间的距离是2． (1)求证：弧弧； (2)求的半径． 【答案】(1)见解析(2) 【解析】（1）证明：连接、、、，如图， ， ， ， ∴，， ， ，， 而， ， ， 弧弧． （2）解：如图：连接、，过O作，交于点F， ，， ∴， ∵ ∴， ∵之间的距离是2． ∴， 则， ∴， ∴， 则， ∴， ∴的半径为． 题型三 利用垂径定理求垂直弦问题 解题技巧提炼 1、过圆心作垂直弦的垂线，必定平分这两条弦； 2、两条垂直弦所夹的弧的度数和为180°； 3. 垂直弦的交点与圆心的连线平分两条弦所成的角。 特别提醒： 垂直弦考虑两组垂径定理构造。 1、如图，是的两条弦，，且，则的半径等于 ． 【答案】5 【解析】解：作于点M、N．连接．则，四边形是矩形． ∴， 在直角中，．故答案为：5． 2、如图，平面直角坐标系中，与轴交于点与，的半径是，则点的坐标是 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接，作于，则，    由垂径定理可得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 3、与x轴交于点A，B，与y轴的正半轴交于点C．若，则点C的纵坐标为 ． 【答案】/ 【解析】解：连接，，，过作于，于， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是中点， ， ， ， ， 的纵坐标是． 故答案为：． 4、如图，已知 的半径为，，垂足为点，且，求 的长． 【答案】 【解析】解：如图，过点分别作，，垂足分别为点，，连接 ，． ， ， 在 中，， 同理可得， ， 易得四边形为正方形， ， ． 5、已知：如图，在中， 、为互相垂直的两条弦，且，，，D、E为垂足． 求证：四边形为正方形． 【答案】证明：，，， ， ∴四边形为矩形， 且， 又， ， ∴四边形为正方形． 6、如图，已知矩形，请仅用无刻度的直尺画出下列图中的圆心O（保留作图痕迹）． (1)如图1，矩形的四个顶点都在圆上； (2)如图2，矩形的顶点A在圆上，顶点B，C，D在圆内． 【答案】（1）解：点O即为所求． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴O为圆的半径． （2）解：点O即为所求． ∵四边形为矩形， ∴，， ∴为的直径， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点O在圆的直径上， ∵为圆的直径， ∴O为圆心． 题型四 利用垂径定理求同心圆问题 解题技巧提炼 利用垂径定理构建直角三角形： 1、连接圆心与弦的两个端点，这样就得到了半径和弦的关系。 2、过圆心作弦的垂线，根据垂径定理，这条垂线平分弦。此时，半径、弦长的一半以及圆心到弦的距离（弦心距）就构成了一个直角三角形。 特别提醒： ①有时候可能需要多次运用勾股定理； ②当弦恰好是大圆或小圆的直径时，可以直接利用直径与半径的关系以及圆心距来求解；考虑弦与圆心距的特殊位置关系，可能会使问题的求解更加容易。 1、如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小圆内，则这条弦落在小圆内部分的弦长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，记弦与圆的交点分别为，连接， 过作于， ∴，， ∵大圆的一条弦有一半在小圆内， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 2、如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆相交，则弦的取值范围是 【答案】 【解析】解：如图，当弦与小圆相切时最短，与小圆相切于点，连接，，可得， 为的中点，即． 在中，，， ， ， 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时． 的取值范围是， 故答案为：． 3、如图，以为圆心的同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，求证： (1)； (2)． 【答案】（1）证明：过作， 与均为等腰三角形， ，， ，即； （2）证明：， ，， ，即． 4、如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D． (1)求证； (2)若，大圆和小圆的半径分别为12和8，则的长度是 ． 【答案】(1)见解析(2) 【解析】（1）证明：过点作于点， ∵过圆心， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， 设， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 5、如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B、C． (1)求证： (2)当时，求大圆与小圆的面积之差． 【答案】(1)见解析(2) 【解析】（1）证明：如下图，过点作于点， 则，， ∴， 即； （2）解：如图，连接，作于点E，则，，    大圆与小圆的面积之差为： ． 6、如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点． (1)求证； (2)若两圆半径分别为3和5，则_________． 【答案】(1)见解析(2)9.6 【解析】（1）证明：连接 ， ∵ 大圆的弦 分别切小圆于点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， 设， 则：， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 题型五 利用垂径定理求解其他问题 1、如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点M，即为弧的圆心， ∴圆心的坐标是， 故选：B． 2、如图，是的直径，弦，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵是的直径，弦， ∴， ∴．故选：B． 3、如图，在中，弦，，，M，N分别为垂足，那么，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】解：连接，， ，， ，， 弦， ， ，，， ． 故选：C． 4、如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ．（用含的式子表示） 【答案】米 【解析】解：∵点为弧的中点，为圆心， 由垂径定理知，，， ∵， ∴， ∵， 在中，由三角函数可得， ∴， 故答案为：米． 5、如图，点P在的一条直径上，请用尺规作图法作过点P作的一条弦AB，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】解：如图，弦AB即为所求． ∵，经过的圆心， ∴． 6、如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【解析】（1）证明：，为的弦， ， ，， ， ， ； （2）如图，连接， ，为的弦， ，， ∴ 设的半径是， ∴， 解得， 的半径是5． 题型六 垂径定理的推论的理解与运用 解题技巧提炼 垂径定理的推论主要有：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 特别提醒： ①当题目中给出一条直径平分一条弦时，首先要判断这条弦是否为直径。如果不是直径，那么可以根据推论得出直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧； ②若已知弦的垂直平分线，要想到这条垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③看到平分弦所对的一条弧的直径时，要能迅速反应出这条直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 1、下列说法正确的是（    ） A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心 C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧 D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦 【答案】D 【解析】解：A、过弦（弦不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意； B、弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，一定过圆心，故选项错误，不符合题意； C、过弦（弦不是直径）中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意； D、平分弦所对的两条弧的直线平分弦，选项正确，符合题意； 故选：D． 2、如图，在半径为5的中，点是弦的中点，长为3，则弦长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】解：连接，如图所示： 点是弦的中点， 由垂径定理的推论可知，且， 在中，，则由勾股定理可得， ，故选：D． 3、如图，内接与，，E是边BC的中点，连接OE并延长，交于点D，连接BD，则的大小为（  ） A．55° B．6 C．25° D．75° 【答案】C 【解析】解：连接CD， ∵∠A＝50°， ∴∠CDB＝180°−∠A＝130°， ∵E是边BC的中点， ∴OD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝65°， ∴，故选：C． 4、如图，为的直径，C为上一点，其中，P为上的动点，连接，取中点Q，连，则线段的最大值为 ． 【答案】 【解析】解：如图：连接，作于H， ∵Q是中点， ∴， 根据垂径定理的推论可得， ∴， ∴点Q的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点Q在的延长线上时，的值最大， ∵在直角中，， ∴，， ∴，， 又∵在直角中，， ∴， ∴，即的最大值为． 5、如图，是的弦，为的中点，的延长线与交于点，若，，求的半径． 【答案】的半径为． 【解析】连接， ∵为的中点， ∴，， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴的半径为． 6、如图，在半径为的中，是直径，点在上，且，弦（非直径）交于点． (1)如图①，若， （Ⅰ）连接，求证：； （Ⅱ）的长为______． (2)如图②，若，求的长． 【答案】(1)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）(2) 【解析】（1）解：（Ⅰ）如图， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （Ⅱ）如图，连接， ∵是直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）连接，，作于点，作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型七 垂径定理的实际应用题 解题技巧提炼 1、根据实际问题的情境，画出相应的图形，将实际问题抽象为数学问题。在图形中准确标注已知量和未知量； 2、利用垂径定理，确定垂直于弦的直径平分弦这一关键关系，构建直角三角形； 3、将求出的答案代入原问题中进行检验，看是否符合实际情况。 1、如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，已知，则这根圆柱形木材的半径是（    ） A．20 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【解析】解：连接，如图， ∵ ∴ 设圆的半径为x，则 ∴由勾股定理得， 即 解得： 故选：C． 2、如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， 则种植区的最大深度为9 故选：． 3、如图的工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位），将形状规则的圆形铁片（如图所示）放入槽内，若同时有三个接触点，则该圆形铁片的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设圆心为O点，连接、、，交于C，如图， 由题意得：，，E为的中点， 则， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即该球的半径是． 故选：A． 4、道县西洲公园是由一座三孔石拱桥将西洲与潇水西岸连在一起的．图为石拱桥的中孔侧面图，拱是圆弧形，桥的跨径所在弦，拱高，则拱所在圆的半径为 m． 【答案】 【解析】解：依题意，拱桥的跨度，拱高， ， 利用勾股定理可得： ， 即 解得． 即圆弧半径为． 5、如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为．一场雨过后，水面宽变为，则水位上升 ． 【答案】或 【解析】如图，过作于，交与连接， 由题意得：， ∴， ∴，，， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴水位上升； 如图，过作于，交与连接， 由题意得：， ∴， ∴，，， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴水位上升； 综上可知：水位上升或， 故答案为：或． 6、如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【答案】(1)这座石拱桥主桥拱的半径为 (2)此渔船不能顺利通过这座桥 【解析】（1）解：∵， ∴， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． （2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 27.3 垂径定理 知识点一 圆的对称性 ★圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 【注意】不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段。 知识点二 垂径定理 ★1、垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 【注意】（1）垂径定理指出了圆的直径与弦及弦所对的弧之间的关联，即由直径“垂直”于弦得到“平分”弦（弧）； （2）垂径定理中的条件“圆的直径垂直于弦”，可表述为“圆的半径垂直于弦”，或者“圆心到弦的垂线段”。 ★2、垂径定理的推论： 如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦。 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。 【注意】（1）在圆中，对于某条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”，“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系他成立。 （2）当条件为“直线经过圆心”，“平分弦”时，还要指出这条弦不是直径，才能推出其余两组关系。 ★3、垂径定理的常见图形 知识点三 弓形 ★弓形的概念：由圆的弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，拱高也叫弓形高。 【注意】弓形的弧可以是劣弧，也可以是优弧或半圆，弓形中的曲线一定是圆弧，拱形中的曲线不一定是圆弧。 题型一 垂径定理的理解与求值 解题技巧提炼 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2、方法：运用勾股定理列方程；作垂直于弦的直径；由弧的中点联想到用垂径定理。 特别提醒： ①定理中的两个条件缺一不可:a.过圆心(直径)、b.垂直于弦; ②定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，本质是“过圆心”；将弧平分的点是这条弧的中点。 1、如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 2、如图，为的直径，弦于点H，，，则的长为 ． 3、如图，将圆沿折叠后，圆弧恰好经过圆心，则等于（    ） A． B． C． D． 4、如图，四边形内接于，连接，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5、如图，的直径和弦相交于点，已知，，，则的长为 ． 6、如图，AB是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 题型二 利用垂径定理求解平行弦问题 解题技巧提炼 1、圆的两条平行弦所夹的弧相等； 2、平行弦之间的距离处处相等，通过计算一条弦的弦心距可推导出另一条弦的弦心距； 3、过圆心作平行弦的垂线，根据垂径定理，这条垂线垂直平分弦。这样就将平行弦的问题转化为与半径和弦心距相关的直角三角形问题。 特别提醒： 平行弦问题如果没有给图，注意有多解。 1、已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 2、如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；③连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A． B．若，则 C． D． 3、如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 4．如图，和相交于A和B，过点A作的平行线交两圆于C、D，设，则 （用含代数式表示） 5、如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 6、如图，在中， ，之间的距离是2． (1)求证：弧弧； (2)求的半径． 题型三 利用垂径定理求垂直弦问题 解题技巧提炼 1、过圆心作垂直弦的垂线，必定平分这两条弦； 2、两条垂直弦所夹的弧的度数和为180°； 3. 垂直弦的交点与圆心的连线平分两条弦所成的角。 特别提醒： 垂直弦考虑两组垂径定理构造。 1、如图，是的两条弦，，且，则的半径等于 ． 2、如图，平面直角坐标系中，与轴交于点与，的半径是，则点的坐标是 ． 3、与x轴交于点A，B，与y轴的正半轴交于点C．若，则点C的纵坐标为 ． 4、如图，已知 的半径为，，垂足为点，且，求 的长． 5、已知：如图，在中， 、为互相垂直的两条弦，且，，，D、E为垂足． 求证：四边形为正方形． 6、如图，已知矩形，请仅用无刻度的直尺画出下列图中的圆心O（保留作图痕迹）． (1)如图1，矩形的四个顶点都在圆上； (2)如图2，矩形的顶点A在圆上，顶点B，C，D在圆内． 题型四 利用垂径定理求同心圆问题 解题技巧提炼 利用垂径定理构建直角三角形： 1、连接圆心与弦的两个端点，这样就得到了半径和弦的关系。 2、过圆心作弦的垂线，根据垂径定理，这条垂线平分弦。此时，半径、弦长的一半以及圆心到弦的距离（弦心距）就构成了一个直角三角形。 特别提醒： ①有时候可能需要多次运用勾股定理； ②当弦恰好是大圆或小圆的直径时，可以直接利用直径与半径的关系以及圆心距来求解；考虑弦与圆心距的特殊位置关系，可能会使问题的求解更加容易。 1、如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小圆内，则这条弦落在小圆内部分的弦长等于（    ） A． B． C． D． 2、如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆相交，则弦的取值范围是 3、如图，以为圆心的同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，求证： (1)； (2)． 4、如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D． (1)求证； (2)若，大圆和小圆的半径分别为12和8，则的长度是 ． 5、如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B、C． (1)求证： (2)当时，求大圆与小圆的面积之差． 6、如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点． (1)求证； (2)若两圆半径分别为3和5，则_________． 题型五 利用垂径定理求解其他问题 1、如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 2、如图，是的直径，弦，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3、如图，在中，弦，，，M，N分别为垂足，那么，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 4、如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ．（用含的式子表示） 5、如图，点P在的一条直径上，请用尺规作图法作过点P作的一条弦AB，使．（保留作图痕迹，不写作法） 6、如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型六 垂径定理的推论的理解与运用 解题技巧提炼 垂径定理的推论主要有：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 特别提醒： ①当题目中给出一条直径平分一条弦时，首先要判断这条弦是否为直径。如果不是直径，那么可以根据推论得出直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧； ②若已知弦的垂直平分线，要想到这条垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③看到平分弦所对的一条弧的直径时，要能迅速反应出这条直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 1、下列说法正确的是（    ） A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心 C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧 D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦 2、如图，在半径为5的中，点是弦的中点，长为3，则弦长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3、如图，内接与，，E是边BC的中点，连接OE并延长，交于点D，连接BD，则的大小为（  ） A．55° B．6 C．25° D．75° 4、如图，为的直径，C为上一点，其中，P为上的动点，连接，取中点Q，连，则线段的最大值为 ． 5、如图，是的弦，为的中点，的延长线与交于点，若，，求的半径． 6、如图，在半径为的中，是直径，点在上，且，弦（非直径）交于点． (1)如图①，若， （Ⅰ）连接，求证：； （Ⅱ）的长为______． (2)如图②，若，求的长． 题型七 垂径定理的实际应用题 解题技巧提炼 1、根据实际问题的情境，画出相应的图形，将实际问题抽象为数学问题。在图形中准确标注已知量和未知量； 2、利用垂径定理，确定垂直于弦的直径平分弦这一关键关系，构建直角三角形； 3、将求出的答案代入原问题中进行检验，看是否符合实际情况。 1、如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，已知，则这根圆柱形木材的半径是（    ） A．20 B．12 C．10 D．8 2、如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3、如图的工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位），将形状规则的圆形铁片（如图所示）放入槽内，若同时有三个接触点，则该圆形铁片的半径是（    ） A． B． C． D． 4、道县西洲公园是由一座三孔石拱桥将西洲与潇水西岸连在一起的．图为石拱桥的中孔侧面图，拱是圆弧形，桥的跨径所在弦，拱高，则拱所在圆的半径为 m． 5、如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为．一场雨过后，水面宽变为，则水位上升 ． 6、如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$