专题07 动角问题（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年六年级数学上册压轴题攻略（沪教版2024）

专题07 动角问题 目录 压轴题型讲练 1 类型一、定值问题 1 类型二、角之间的数量关系 7 类型三、求运动时间 13 类型四、新定义问题 20 压轴能力测评 27 类型一、定值问题 【例1】已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【例2】已知将一副三角板（直角三角板和直角三角板的两个顶点重合于点，，． (1)如图1，当恰好平分时，求的度数； (2)如图2，在内部，作射线，使，在内部，作射线，使，如果三角板在内绕任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【变式1-1】如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ (2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分． ①当时， ； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【变式1-2】数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式1-3】如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，．    (1)若，请说明射线是的角平分线； (2)射线在直线上方，平分，， ①当时，求的度数 ②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由． 类型二、角之间的数量关系 【例3】如图，将两块三角板的顶点重合．    (1)写出图中3个以O点为顶点且小于平角的角 、 、 ． (2)若，求的度数． (3)当三角板绕点O旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？请说明理由． 【例4】如图，已知，与互余，平分． (1)若，则　　，　　； (2)设，，请探究与之间的数量关系． 【变式2-1】已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【变式2-2】阅读与实践：【问题情境】七年级(1)班的小明在数学兴趣小组中研究直线与直角的关系．如图1，，点O在直线上，射线平分． 小明用量角器度量发现，，他给出了如下说理： 因为，所以． 因为射线平分，所以 因为， 所以 ……… （1）请你帮助小明完成剩下的说理； 【实践探究】 小明将绕点O顺时针旋转至图2的位置， （2）请问与的数量关系是否发生了变化，若发生变化，请求出他们之间的数量关系；若不变化，请说明理由． 【问题拓展】 小明继续将绕点O顺时针旋转至图3的位置， （3）请直接写出与的数量关系． 【变式2-3】已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 类型三、求运动时间 【例5】如图，在平面内，点O是直线上一点，，射线不动，射线同时开始绕点O顺时针转动，射线首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线的转动速度分别为每秒和每秒．若转动t秒时，射线中的一条是另外两条组成角的角平分线，则 秒． 【例6】如图，直线与相交于点O，，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，平分． (1)求的度数； (2)将三角尺以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（）． ①当t为何值时，直线平分； ②若直线平分，直接写出t的值． 【变式3-1】如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系，并说明理由； (2)未旋转时． ①则当旋转时间t为6秒，求的度数； ②在旋转的过程中，若绕点O按每秒的速度逆时针旋转，当旋转一周后也同时停止旋转，旋转时是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由． 【变式3-2】如图，射线、在内部，且满足，其中．射线、同时分别从射线、出发，射线以每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，所在区域为“转换区”：当从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，出“转换区”后都分别以各自原来的速度旋转，设旋转的时间为秒． (1)分别求出的度数． (2)当射线与射线重合时，求的值及此时的度数． (3)当射线与射线重合时停止旋转，求满足时的值． 【变式3-3】将一副三角板如图放置，其中点、、在同一直线上，，，． (1)若与相交于点，则______； (2)将图中的绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，当为何值时，第一次与垂直； (3)绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，绕点以每秒的速度旋转时，两个三角形同时停止旋转，旋转过程中若射线、、的两条射线组成的角（大于不超过）恰好被第三条射线平分，设运动时间为秒，直接写出满足条件的值． 类型四、新定义问题 【例5】如图，在平面内，点O是直线上一点，，射线不动，射线同时开始绕点O顺时针转动，射线首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线的转动速度分别为每秒和每秒．若转动t秒时，射线中的一条是另外两条组成角的角平分线，则 秒． 【例6】如图，直线与相交于点O，，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，平分． (1)求的度数； (2)将三角尺以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（）． ①当t为何值时，直线平分； ②若直线平分，直接写出t的值． 【变式3-1】如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系，并说明理由； (2)未旋转时． ①则当旋转时间t为6秒，求的度数； ②在旋转的过程中，若绕点O按每秒的速度逆时针旋转，当旋转一周后也同时停止旋转，旋转时是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由． 【变式3-2】如图，射线、在内部，且满足，其中．射线、同时分别从射线、出发，射线以每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，所在区域为“转换区”：当从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，出“转换区”后都分别以各自原来的速度旋转，设旋转的时间为秒． (1)分别求出的度数． (2)当射线与射线重合时，求的值及此时的度数． (3)当射线与射线重合时停止旋转，求满足时的值． 【变式3-3】将一副三角板如图放置，其中点、、在同一直线上，，，． (1)若与相交于点，则______； (2)将图中的绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，当为何值时，第一次与垂直； (3)绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，绕点以每秒的速度旋转时，两个三角形同时停止旋转，旋转过程中若射线、、的两条射线组成的角（大于不超过）恰好被第三条射线平分，设运动时间为秒，直接写出满足条件的值． 1．如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为 ． 2．如图，直线相交于点，将一个三角尺的直角顶点放置在点处，使其两条直角边分别位于的两侧．刚好平分． (1)若，求的度数； (2)试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 3．现有一副三角板和按如图方式放置，它们的直角顶点重合，已知平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，求的度数，并说明的度数是否随的变化而变化． 4．一副三角板如图1放置，（） (1)求的度数； (2)若三角板绕B点逆时针旋转到如图2时，在旋转过程中分别平分，则如何变化； (3)若三角板绕B点逆时针旋转到如图3时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？ 5．定义若已知两个角、满足，则称、互为“差余角”，．    (1)若与互为“差余角”，当时，； (2)如图，，射线从开始绕点顺时针旋转，速度为度秒，同时，射线从开始绕点逆时针旋转，速度为度秒，当与重合时，与同时停止运动．设运动时间为秒． ① 当时，与互为“差余角”(填“是”或“不是”)； ② 若与互为“差余角”，求t的值； ③ 能否既与互为“差余角”，同时又与互为“差余角”，如果可以，求的值，如果不可以，请说明理由． 6．如图1，A，O，B三点在一条直线上，且，射线分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，射线分别平分和，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为t秒． (1)如图1，运动开始前， °； (2)若在上方，当t为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 7．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． (1)如图1，，，请判断是否为的“分余线”，并说明理由； (2)若平分，且为的“分余线”，则____________； (3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，求的度数． 8．如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点C不与点A重合），点E、F分别是、的中点． (1)若，则______； (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化？如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由； (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，、分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，求的度数． 9．如图甲，已知线段，线段在线段上运动（不与端点、重合），E、F分别是、的中点． (1)观察发现：若，则______cm． (2)拓展探究：当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度，如果变化，请说明理由． (3)迁移应用：对于角，也有和线段类似的规律：如图乙，在同一平面内，已知在内部转动，，分别平分和 ①若，，求； ②请你猜想，和会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 10．已知，如图，把直角三角形的直角顶点O放在直线上，射线平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)若，则的度数为　　． (3)由（1）和（2），我们发现和之间有什么样的数量关系？ (4)若将三角形绕点O旋转到如图2所示的位置，试问和之间的数量关系是否发生变化？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 动角问题 目录 压轴题型讲练 1 类型一、定值问题 1 类型二、角之间的数量关系 7 类型三、求运动时间 13 类型四、新定义问题 20 压轴能力测评 27 类型一、定值问题 【例1】已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不变，是定值，见解析． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：是定值．理由如下： 由题意：， 则，， ∵平分，平分， ∴， ， ． ∴的值是定值，定值为． 【例2】已知将一副三角板（直角三角板和直角三角板的两个顶点重合于点，，． (1)如图1，当恰好平分时，求的度数； (2)如图2，在内部，作射线，使，在内部，作射线，使，如果三角板在内绕任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【详解】（1）是的角平分线，， ， ． （2）不变，理由如下， ，， ， ，， ，， ， ． 【变式1-1】如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ (2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分． ①当时， ； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】(1)①65；②10； (2)①；②的度数不发生变化，理由见解析． 【详解】（1）解：①当时， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， (秒) ， ∴当t为10秒时，； （2）解：①∵平分平分， ， 故答案为： 的度数不发生变化，理由如下： ∵平分 ∵平分 ． 【变式1-2】数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)90 (2)，理由见解析 (3)的度数是一个定值，理由见解析 【详解】（1）解： ， ； 故答案为90； （2）解：， 理由如下：，， ； （3）解：的度数是一个定值， 理由如下：射线、分别是、的角平分线， ，， ． 【变式1-3】如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，．    (1)若，请说明射线是的角平分线； (2)射线在直线上方，平分，， ①当时，求的度数 ②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②存在；时，为定值 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线． （2）解：设度，则度， ， ①当在左侧时，如图所示：    则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在左侧时，如图所示：   ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上分析可知，或； ②存在； ∵，， ∴一定在内部，如图所示：    ∵，， 又∵平分， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴当，即时，为定值． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的倍数关系，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 类型二、角之间的数量关系 【例3】如图，将两块三角板的顶点重合．    (1)写出图中3个以O点为顶点且小于平角的角 、 、 ． (2)若，求的度数． (3)当三角板绕点O旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【详解】（1）解：平角为， 以O点为顶点且小于平角的角有等， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：由（2）知， ． 【例4】如图，已知，与互余，平分． (1)若，则　　，　　； (2)设，，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）与互余，， ， 平分， ， ， 故答案为：；； （2），且与互余， ， 平分 ， 解得，． 【变式2-1】已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当时，由题意得， ∴ ， ∴； ②当时， 由题意得， ∴ ， ∴； 综上所述，，． 【变式2-2】阅读与实践：【问题情境】七年级(1)班的小明在数学兴趣小组中研究直线与直角的关系．如图1，，点O在直线上，射线平分． 小明用量角器度量发现，，他给出了如下说理： 因为，所以． 因为射线平分，所以 因为， 所以 ……… （1）请你帮助小明完成剩下的说理； 【实践探究】 小明将绕点O顺时针旋转至图2的位置， （2）请问与的数量关系是否发生了变化，若发生变化，请求出他们之间的数量关系；若不变化，请说明理由． 【问题拓展】 小明继续将绕点O顺时针旋转至图3的位置， （3）请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）不变；理由见解析；（3） 【详解】解：（1）因为， 所以． 因为射线平分， 所以 ， 因为， 所以 ， 所以， 所以， 所以， 即； （2）与的数量关系保持不变；理由如下： 因为射线平分， 所以 ， 因为， 所以， 因为， 所以； （3）因为射线平分， 所以， 因为， 所以， ， ， 所以 ， 即． 【变式2-3】已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 【答案】(1)；；成立，理由见解析； (2)，证明见解析． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 由中的结果可得， 故答案为：； 中的关系仍然成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即； （2）解：不成立，和的数量关系为． 证明：设， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即． 类型三、求运动时间 【例5】如图，在平面内，点O是直线上一点，，射线不动，射线同时开始绕点O顺时针转动，射线首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线的转动速度分别为每秒和每秒．若转动t秒时，射线中的一条是另外两条组成角的角平分线，则 秒． 【答案】4或5/5或4 【详解】解：根据题意，在第t秒时，射线转过的角度为，射线转过的角度为， ①当转到的位置时，如图①所示，，    ∵， ∴， 即； ②当转到的位置时，如图②所示，，    ∵， ∴， 即； ③当转到的位置时，如图③，，    ∵， ∴，此时方程不成立． 综上所述：t的值为4或5． 故答案：4或5． 【例6】如图，直线与相交于点O，，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，平分． (1)求的度数； (2)将三角尺以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（）． ①当t为何值时，直线平分； ②若直线平分，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①或；②或 【详解】（1）解：，平分， ， 又， ； （2）解：①分两种情况： ①当平分时，， 即， 解得； ②当平分时，， 即， 解得； 综上所述，当或时，直线平分； ②的值为或． 分两种情况： ①当平分时，， 即， 解得； ②当平分时，， 即， 解得； 综上所述，若直线平分，的值为或． 【变式3-1】如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系，并说明理由； (2)未旋转时． ①则当旋转时间t为6秒，求的度数； ②在旋转的过程中，若绕点O按每秒的速度逆时针旋转，当旋转一周后也同时停止旋转，旋转时是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)①；②的值为、10、 【详解】（1）解：与之间的数量关系为，理由如下： ， ，， 平分， ， ． （2）①旋转时间为6秒， ， ， ， ； ②由题意得： 当平分时，，即，解得； 当平分时，，即，解得； 当平分时，，即，解得：． 综上，的值为、10、． 【变式3-2】如图，射线、在内部，且满足，其中．射线、同时分别从射线、出发，射线以每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，所在区域为“转换区”：当从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，出“转换区”后都分别以各自原来的速度旋转，设旋转的时间为秒． (1)分别求出的度数． (2)当射线与射线重合时，求的值及此时的度数． (3)当射线与射线重合时停止旋转，求满足时的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或或或． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2），射线以每秒的速度顺时针旋转， 射线与射线重合所需时间为（秒） ，射线以每秒的速度逆时针旋转， 射线与射线重合所需时间为（秒） 当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的每秒的速度旋转，此时射线与重合还需时间（秒）， 射线旋转了， 当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的每秒的速度旋转， 重合还需时间为， 时间（秒），； （3） 射线与射线重合所需时间为（秒）， 射线与射线重合所需时间为（秒）， 射线与射线重合时所需时间为（秒）， ，根据运动分五种情况， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得． 当满足时，或或或． 【变式3-3】将一副三角板如图放置，其中点、、在同一直线上，，，． (1)若与相交于点，则______； (2)将图中的绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，当为何值时，第一次与垂直； (3)绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，绕点以每秒的速度旋转时，两个三角形同时停止旋转，旋转过程中若射线、、的两条射线组成的角（大于不超过）恰好被第三条射线平分，设运动时间为秒，直接写出满足条件的值． 【答案】(1) (2)秒 (3)或或 【详解】（1）解：，，， ，， ， ， 故答案为：． （2）若第一次与垂直时，， ， 旋转角度为， 即， 解得（秒）， 当为秒时，第一次与垂直． （3）当绕点以每秒的速度顺时针旋转时： 若平分和， ， 旋转角为， 即， 解得； 若平分和， 是， 旋转角为， 即， 解得； 若平分和， ， 旋转角度为， 即， 解得； 综上所述，若逆时针转符合条件的值为或；若顺时针转符合条件的值为或或． 类型四、新定义问题 【例5】如图，在平面内，点O是直线上一点，，射线不动，射线同时开始绕点O顺时针转动，射线首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线的转动速度分别为每秒和每秒．若转动t秒时，射线中的一条是另外两条组成角的角平分线，则 秒． 【答案】4或5/5或4 【详解】解：根据题意，在第t秒时，射线转过的角度为，射线转过的角度为， ①当转到的位置时，如图①所示，，    ∵， ∴， 即； ②当转到的位置时，如图②所示，，    ∵， ∴， 即； ③当转到的位置时，如图③，，    ∵， ∴，此时方程不成立． 综上所述：t的值为4或5． 故答案：4或5． 【例6】如图，直线与相交于点O，，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，平分． (1)求的度数； (2)将三角尺以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（）． ①当t为何值时，直线平分； ②若直线平分，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①或；②或 【详解】（1）解：，平分， ， 又， ； （2）解：①分两种情况： ①当平分时，， 即， 解得； ②当平分时，， 即， 解得； 综上所述，当或时，直线平分； ②的值为或． 分两种情况： ①当平分时，， 即， 解得； ②当平分时，， 即， 解得； 综上所述，若直线平分，的值为或． 【变式3-1】如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系，并说明理由； (2)未旋转时． ①则当旋转时间t为6秒，求的度数； ②在旋转的过程中，若绕点O按每秒的速度逆时针旋转，当旋转一周后也同时停止旋转，旋转时是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)①；②的值为、10、 【详解】（1）解：与之间的数量关系为，理由如下： ， ，， 平分， ， ． （2）①旋转时间为6秒， ， ， ， ； ②由题意得： 当平分时，，即，解得； 当平分时，，即，解得； 当平分时，，即，解得：． 综上，的值为、10、． 【变式3-2】如图，射线、在内部，且满足，其中．射线、同时分别从射线、出发，射线以每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，所在区域为“转换区”：当从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，出“转换区”后都分别以各自原来的速度旋转，设旋转的时间为秒． (1)分别求出的度数． (2)当射线与射线重合时，求的值及此时的度数． (3)当射线与射线重合时停止旋转，求满足时的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或或或． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2），射线以每秒的速度顺时针旋转， 射线与射线重合所需时间为（秒） ，射线以每秒的速度逆时针旋转， 射线与射线重合所需时间为（秒） 当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的每秒的速度旋转，此时射线与重合还需时间（秒）， 射线旋转了， 当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的每秒的速度旋转， 重合还需时间为， 时间（秒），； （3） 射线与射线重合所需时间为（秒）， 射线与射线重合所需时间为（秒）， 射线与射线重合时所需时间为（秒）， ，根据运动分五种情况， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得． 当满足时，或或或． 【变式3-3】将一副三角板如图放置，其中点、、在同一直线上，，，． (1)若与相交于点，则______； (2)将图中的绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，当为何值时，第一次与垂直； (3)绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，绕点以每秒的速度旋转时，两个三角形同时停止旋转，旋转过程中若射线、、的两条射线组成的角（大于不超过）恰好被第三条射线平分，设运动时间为秒，直接写出满足条件的值． 【答案】(1) (2)秒 (3)或或 【详解】（1）解：，，， ，， ， ， 故答案为：． （2）若第一次与垂直时，， ， 旋转角度为， 即， 解得（秒）， 当为秒时，第一次与垂直． （3）当绕点以每秒的速度顺时针旋转时： 若平分和， ， 旋转角为， 即， 解得； 若平分和， 是， 旋转角为， 即， 解得； 若平分和， ， 旋转角度为， 即， 解得； 综上所述，若逆时针转符合条件的值为或；若顺时针转符合条件的值为或或． 1．如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：当直线恰好平分锐角时，如下图： ∵平分， ∴， 此时，三角板旋转的角度为， ∴； 当在的内部时，如下图： ∵平分， ∴， 三角板旋转的角度为， ∴； ∴的值为：或． 故答案为：或． 2．如图，直线相交于点，将一个三角尺的直角顶点放置在点处，使其两条直角边分别位于的两侧．刚好平分． (1)若，求的度数； (2)试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， 又∵刚好平分， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：，理由如下： 设，则， ∵刚好平分， ∴， ∴， ∴． 3．现有一副三角板和按如图方式放置，它们的直角顶点重合，已知平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，求的度数，并说明的度数是否随的变化而变化． 【答案】(1) (2) (3)不变，理由见详解 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ； （2）， 平分， ， （3）的度数不变，理由如下 由（1）中结论， 由（2）中结论， 4．一副三角板如图1放置，（） (1)求的度数； (2)若三角板绕B点逆时针旋转到如图2时，在旋转过程中分别平分，则如何变化； (3)若三角板绕B点逆时针旋转到如图3时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？ 【答案】(1)； (2)的度数不变化， 理由见解析； (3)（2）中的结论不变， 理由见解析． 【详解】（1）解：； （2）解：的度数不变化， 理由如下： 设， 则， ∵分别平分， ； （3）解：（2）中的结论不变， 理由如下： 设， 则， ∵分别平分， ． 5．定义若已知两个角、满足，则称、互为“差余角”，．    (1)若与互为“差余角”，当时，； (2)如图，，射线从开始绕点顺时针旋转，速度为度秒，同时，射线从开始绕点逆时针旋转，速度为度秒，当与重合时，与同时停止运动．设运动时间为秒． ① 当时，与互为“差余角”(填“是”或“不是”)； ② 若与互为“差余角”，求t的值； ③ 能否既与互为“差余角”，同时又与互为“差余角”，如果可以，求的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)①不是；②或 或；③不可以，理由见解析 【详解】（1）解：依题意，当， ∴ 当，则（舍去） 故答案为：． （2）①当时，，， ∵ ∴与不是互为“差余角”， 故答案为：不是． ②∵，则经过秒相遇，与重合时， 当时，依题意，，， ∵与互为“差余角”， ∴ 解得：或 当时，依题意，，， ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，或 或时与互为“差余角”； ③解：不能既与互为“差余角”，同时又与互为“差余角”理由如下， 当与互为“差余角” 当时， ， 解得：或（舍去） 当时， 解得：（舍去），（舍去） ∴时，当与互为“差余角” 由②可得或或时，与互为“差余角”； ∴不能既与互为“差余角”，同时又与互为“差余角” 6．如图1，A，O，B三点在一条直线上，且，射线分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，射线分别平分和，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为t秒． (1)如图1，运动开始前， °； (2)若在上方，当t为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)存在，11或32 【详解】（1）解：∵射线分别平分和， ， ， ， 故答案为：90． （2）解：∵射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故当时，射线平分． （3）解：存在某一时刻使得，理由如下： ①当在上方，此时有：， 即：， 解得：； ②当在下方，此时有：， 即：， 解得：； ③当停止运动，继续旋转时，此时有旋转，， ． 综上所述：当或32时，． 7．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． (1)如图1，，，请判断是否为的“分余线”，并说明理由； (2)若平分，且为的“分余线”，则____________； (3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1)是的“分余线”，理由见解析； (2)； (3)的度数为或． 【详解】（1）解：是的“分余线”，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是的“分余线”； （2）解：∵平分，且为的“分余线”， ∴设，则， ∴，即：，解得：， 综上所述：； （3）解：设，则， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∵为的“分余线”， ①， ∴， ∴， ∴， ②， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 8．如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点C不与点A重合），点E、F分别是、的中点． (1)若，则______； (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化？如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由； (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，、分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，求的度数． 【答案】(1)22 (2)线段的长度不会发生变化，，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：，， ， 点E、F分别是、的中点， ，， ； 故答案为：22； （2）解：线段的长度不会发生变化，；理由如下： 点E、F分别是、的中点， ，， ； （3）解：、分别平分和， ， ． 9．如图甲，已知线段，线段在线段上运动（不与端点、重合），E、F分别是、的中点． (1)观察发现：若，则______cm． (2)拓展探究：当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度，如果变化，请说明理由． (3)迁移应用：对于角，也有和线段类似的规律：如图乙，在同一平面内，已知在内部转动，，分别平分和 ①若，，求； ②请你猜想，和会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 【答案】(1)12 (2)的长度不变，理由详见解析 (3)①；② 【详解】（1）解：∵E，F分别是的中点， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：12． （2）解：的长度不变 理由如下 、F分别是、的中点， ， （3）解：①、分别平分和， ，， ②，理由如下： ∵分别平分和 ，． ∴ ∵ ∴ 10．已知，如图，把直角三角形的直角顶点O放在直线上，射线平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)若，则的度数为　　． (3)由（1）和（2），我们发现和之间有什么样的数量关系？ (4)若将三角形绕点O旋转到如图2所示的位置，试问和之间的数量关系是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)不变，见解析 【详解】（1）解：如图1，， ， 又平分， ， ； （2）如图1，， ， 又平分， ， ， 故答案为：； （3）由（1）和（2）可得：； （4）和之间的数量关系不发生变化， 如图2，平分， ， ， ， ， 即：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$