专题06 线段上的动点问题（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年六年级数学上册压轴题攻略（沪教版2024）

专题06 线段上的动点问题 目录 压轴题型讲练 1 类型一、求线段长度 1 类型二、线段之间的数量关系 7 类型三、定值问题 13 类型四、求点的运动时间 19 类型五、新定义问题 28 压轴能力测评 35 类型一、求线段长度 【例1】如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【例2】如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动． ①当点D在线段AB上运动，求的值； ②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长． 【变式1-1】已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1)a=___________，b=___________，线段AB=___________； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长； (3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值． 【变式1-2】如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t． (1)当时，，请求出的长； (2)当时，，请求出的长； (3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长； 【变式1-3】如图，M是线段AB上一点，且AB=10cm，C、D两点分别从M，B同时出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）． （1）当点C， D运动了2s，求这时AC+MD的值． （2） 若点C， D运动时，总有MD=3AC，求AM的长． 类型二、线段之间的数量关系 【例3】如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 【例4】如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P､Q分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________； （2）在（1）的条件下，若，求t的值； （3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式2-1】如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段AB上的运动，当时， ； (2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值； (3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【变式2-2】已知：如图，点是线段上一点，，动点从出发，以的速度向点运动，同时，动点从出发以的速度向运动﹒(在线段上，在线段上） ． （1）若，当点运动了，此时____ ;(填空） （2）若，当线段时，求动点和运动的时间． （3）若，当点运动时，和有什么数量关系，请说明理由﹒ 【变式2-3】如图1，，是直线上的两个点，且．线段（在的左侧）可以在直线上左右移动．已知，点是的中点． （1）如图2，当与重合时， ， ； （2）在图2的基础上，将线段沿直线向左移动个单位长度得到图3． ①若，求和的长； ②若，则的值是 ． （3）在图2的基础上，将线段沿直线向右移动个单位长度．请直接写出与之间的数量关系 ． 类型三、定值问题 【例5】如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【例6】如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 【变式3-1】如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【变式3-2】【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是． 【探究】已知数轴上两点表示的数分别为，且分别为． (1)如图1，若点P和点Q分别从点同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒． ①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________； ②当两点之间的距离为4时，则t的值为_______． (2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，分别是线段的中点，则在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请直接写出线段的长度；若不是，请说明理由． 【变式3-3】已知多项式中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发． （1）a= ，b= ，c= ； （2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距9； （3）O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点E、F，试问的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值． 类型四、求点的运动时间 【例7】已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ； （2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 【例8】如图，在长方形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→B→C运动，到点C停止；同时动点Q从点B出发，以每秒2cm的速度在B、C间做往复运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动．设点P运动的时间是x（秒），的面积是． (1)点Q共运动______秒． (2)当点P沿折线A→B→C运动时，用含x的代数式表示线段的长． (3)用含x的代数式表示S． (4)当P、Q两点相遇时，直接写出x的值． 【变式4-1】如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】点是线段上一点，若（n为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称E是的最强点；，则是的最强点． (1)点在线段上，若，，点是的最强点，则 ． (2)若，是的最强点，则 ．（用n的代数式表示） (3)一直线上有两点A，B，，点从B点出发，以每秒的速度向A运动，运动到点A时停止．点D从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，t为多少时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用n的代数式表示） 【变式4-3】材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点． (1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______； (2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离； (3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？ 类型五、新定义问题 【例9】【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【例10】如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点． 例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点． （1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ． （2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒． ①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示） ②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【变式5-1】如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【探索新知】 如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______； (2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”） 【深入研究】 如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置 (3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度； (4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值 【变式5-2】【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段． （1）若AC=2，求AB的长； （2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD的长，并判断AC与BD的数量关系； 【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长； （4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）． 【变式5-3】定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点． 例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． (1)点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ 1．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 2．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 3．已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 4．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm． 5．如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 6．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 7．已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 8．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 线段上的动点问题 目录 压轴题型讲练 1 类型一、求线段长度 1 类型二、线段之间的数量关系 7 类型三、定值问题 13 类型四、求点的运动时间 19 类型五、新定义问题 28 压轴能力测评 35 类型一、求线段长度 【例1】如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【答案】24 【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键． 【例2】如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动． ①当点D在线段AB上运动，求的值； ②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长． 【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm． 【详解】解：（1）图形补充完整如图， ∵CB＝AB， ∴CA＝， ， 故答案为：； （2）①AB ＝ 9cm，由（1）得，（cm），设运动的时间为t秒， cm，cm， ， ②当时， ∵AB ＝ 9cm， cm， ∴cm， ∴cm， cm， 运动时间为：18÷3=6（秒）， 则cm， cm， cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点． ∴cm，cm， cm， 当时， ∵AB ＝ 9cm， cm， ∴cm， ∴cm， 运动时间为：36÷3=12（秒）， 则cm， cm， cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点． ∴cm，cm， cm， 综上，MN的长是12cm或24cm． 【点睛】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长． 【变式1-1】已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1)a=___________，b=___________，线段AB=___________； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长； (3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值． 【答案】(1)，20，30； (2)3或75； (3)． 【详解】（1）解：由题意知：， ∴， ∴的距离为 故答案为：，20，30； （2）分两种情况： ①当点C在AB之间时，如图1， ∵，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴； ②当点C在点B的右侧时，如图2， ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上，的长是3或75； （3）由题意得：点G表示的数为：：，点H表示的数为：， ∵，， ∴点G在线段之间， ∵D为的中点， ∴点D表示的数为：， ∵F是的中点， ∴点F表示的数为：， ∵， ∵， ∴， ∴点E表示的数为： t， ∴． 【点睛】本题考查多项式和数轴；与中点有关的计算，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据点的运动特点，分情况列出合适的方程，进行求解是关键． 【变式1-2】如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t． (1)当时，，请求出的长； (2)当时，，请求出的长； (3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长； 【答案】(1)4cm (2)4cm (3)4cm 【详解】（1）解：依题意知，当时，， ∴   ∵， ∴ 即， ∴ 又， ∴； （2）解：当时，， ∴ 又， ∴， 即， ∴ 又， ∴ （3）解：当运动时间为t时，， ∴ 又， ∴， 即 ∴ 又， ∴ 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 【变式1-3】如图，M是线段AB上一点，且AB=10cm，C、D两点分别从M，B同时出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）． （1）当点C， D运动了2s，求这时AC+MD的值． （2） 若点C， D运动时，总有MD=3AC，求AM的长． 【答案】（1）2 cm；（2）2.5cm． 【详解】解：（1）当点C，D运动了2s时，CM＝2 cm，BD＝6 cm， ∵AB＝10cm，CM＝2cm，BD＝6cm， ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝10﹣2﹣6＝2 cm； （2）∵C，D两点的速度分别为1cm/s，3 cm/s， ∴BD＝3CM． 又∵MD＝3AC， ∴BD+MD＝3CM+3AC，即BM＝3AM， ∴AMAB＝2.5cm． 【点睛】本题考查关于线段的计算等知识，有一定难度，关键是细心阅读题目，理清题意后再解答． 类型二、线段之间的数量关系 【例3】如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 【答案】(1)1，3 (2)8cm (3)或 【详解】（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0 ∴a-1=0，b-3=0， ∴a=1，b=3， 故答案为：1；3； （2）当C、D运动时，，， ∴． （3）当点N在线段上时， ∵， 又∵， ∴， ∴． 当点N在线段的延长线上时， ∵， 又∵， ∴． 综上所述，或． 【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键． 【例4】如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P､Q分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________； （2）在（1）的条件下，若，求t的值； （3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）6；-3；（2）或13；（3）或，见解析 【详解】（1）∵点A表示的数为，AO＝2OB， ∴AO＝12，OB＝6， ∴AB＝18， ∴线段中点表示的数为3． 故答案是：6；﹣3； （2）当P､Q相遇时，（秒）， ∴．当点P在上时，， ∵， ∴，，符合； 当点P在原点O右侧时，， ∵，， ，符合． 综上所述，若，t的值为或13. （3）设线段的长为b，则． ∵点P在线段上运动， ∴．． 若，则， ∴， ∴， 解得． ∴， 又∵， ∴； 若，则， ∴， ∴， 解得． ∴． ∵． ∴． 综上所述，线段与线段之间的数量关系为或． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值． 【变式2-1】如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段AB上的运动，当时， ； (2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值； (3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1) (2)8或24 (3)，见解析 【详解】（1）解：∵ M为AP的中点，， ∴ ， ∵线段，N为BP的中点， ∴． 故答案是：2； （2）解：①当点P在线段AB上，时，如图， ∵，， ∴，解得：． ②当点P在线段AB的延长线上，时，如图， ∵，， ∴，解得：． 综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24． （3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键． 【变式2-2】已知：如图，点是线段上一点，，动点从出发，以的速度向点运动，同时，动点从出发以的速度向运动﹒(在线段上，在线段上） ． （1）若，当点运动了，此时____ ;(填空） （2）若，当线段时，求动点和运动的时间． （3）若，当点运动时，和有什么数量关系，请说明理由﹒ 【答案】（1）4，5；（2）4；（3），理由见解析. 【详解】解：（1）， ， ∵， ， ， 故答案为：4，5； （2）当AE=5时，， ， （3）当AE=5时， ， ． 【点睛】本题考查与线段有关的动点问题、两点间的距离、线段之间的数量关系、一元一次方程的应用，解答的关键是读懂题意，结合图形，找出适当的等量关系列出方程． 【变式2-3】如图1，，是直线上的两个点，且．线段（在的左侧）可以在直线上左右移动．已知，点是的中点． （1）如图2，当与重合时， ， ； （2）在图2的基础上，将线段沿直线向左移动个单位长度得到图3． ①若，求和的长； ②若，则的值是 ． （3）在图2的基础上，将线段沿直线向右移动个单位长度．请直接写出与之间的数量关系 ． 【答案】（1）5，2.5；（2）①=2，=1；②1；（3）AM=2BC． 【详解】解：（1）当与重合时，AM=MN-NA=MN-BA=10-5=5， ∵点是的中点． ∴点是的中点， ∵， ∴AC=BC=， 故答案为：5，2.5； （2）①∵线段沿直线向左移动个单位长度， ∵， ∴BN=， ∴AN=AB+BN=5+=8， ∴=MN-AN=MN-（AB+BN）=10-（5+3）=2， ∵点是的中点． ∴NC=AC=， =CN-BN=4-3=1； ②∵， ， 即， ， =1， 故答案为：１； （3）∵线段沿直线向由移动个单位长度， ∴BN=， ∴AN=AB-BN=5-b， ∴=MN-AN= 10-（5-b）=5+b， ∵点是的中点． ∴NC=AC=， ∴=CN+BN=， ∴AM=2BC． 故答案为：AM=2BC． 【点睛】本题考查与线段有关的动点与动线问题，掌握线段的中点定义，会根据线段和差列方程，理解线段和差是解题关键． 类型三、定值问题 【例5】如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，7 (2)点Q的运动速度是或者 (3)不变，值为2 【详解】（1）解：因为 所以， 因为b是最小的正整数， 所以； （2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点， ∴点Q表示的数是，此时， 由，可分两种情况： ①当点P在上时，得， 此时； ∴点P运动的时间为， ∴点Q的运动速度； ②当点P在上时，得， 此时， ∴点P的运动时间是， ∴点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是或者； （3）解：不变，理由如下： 设运动时间为t秒，此时，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F是的中点，， ∴， ∴，        ． ∴． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【例6】如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值24； (3)． 【详解】（1）解：∵M是线段AP的中点，∴， ， ∵， ∴， 解得． （2）解：∵，，， ∴， 即为定值24． （3）解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧． ∵，，，， ∴， 所以MN的长度无变化是定值． 【点睛】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度． 【变式3-1】如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)线段的长是4，线段的长是8 (2)16或8 (3)当时，为定值，定值为6 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 即线段的长是4，线段的长是8； （2）解：∵，， ∴，， 设运动后点M对应点为，点N对应点为，分两种情况， 若6秒后，在的左侧时：， ∴，即， 解得． 若6秒后，在的右侧时：， ∴， 即， 解得． 即线段的长为16或8； （3）解：∵，，， ∴，， ∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，为定值，定值为6． 【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． 【变式3-2】【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是． 【探究】已知数轴上两点表示的数分别为，且分别为． (1)如图1，若点P和点Q分别从点同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒． ①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________； ②当两点之间的距离为4时，则t的值为_______． (2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，分别是线段的中点，则在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请直接写出线段的长度；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①，；②4或2 (2)线段的长度为定值，6 【详解】（1）①点P表示的数是，点Q表示的数是， 故答案为：，； ②因为点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵ ∴， 解得：或2； （2）（2）线段的长度为定值，的长度为6． ∵分别为线段的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，线段的中点以及解绝对值方程．用t表示出点所表示的数和两点之间的距离是解题关键． 【变式3-3】已知多项式中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发． （1）a= ，b= ，c= ； （2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距9； （3）O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点E、F，试问的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值． 【答案】（1）3，-8，-2；（2）或5；（3）的值是不变， 【详解】解：（1）∵多项式中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c， ∴ ； （2）设经过 秒P、Q两点相距9， 根据题意得： ， 当点P在点Q的左侧时， ， 即 ，解得： ， 当点P在点Q的右侧时，， 即 ，解得： ， 综上所述，经过或5秒P、Q两点相距9； （3）设 ， ∴ ， ∵点E为OP的中点， ∴ ， ∵A对应的数为3，C对应的数为-2，AC的中点为F， ∴点F对应的数为 ，OC=2， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴的值是不变，为2． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，中点的定义，一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 类型四、求点的运动时间 【例7】已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ； （2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 【答案】 7.2 【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒， 点从，运动时间为秒， ∵， ∴当点到达终点时，点运动路程为， ∵， ∴点在边上， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解：由题意知，， 解得，， 故答案为：7.2． 【点睛】本题考查了动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【例8】如图，在长方形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→B→C运动，到点C停止；同时动点Q从点B出发，以每秒2cm的速度在B、C间做往复运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动．设点P运动的时间是x（秒），的面积是． (1)点Q共运动______秒． (2)当点P沿折线A→B→C运动时，用含x的代数式表示线段的长． (3)用含x的代数式表示S． (4)当P、Q两点相遇时，直接写出x的值． 【答案】(1)16 (2)当时，；当时， (3)当时，；当时， (4)或14或 【详解】（1）解：点Ｑ运动时间为(10+6)÷1=16（秒） 故答案为：16． （2）解：当0<x<10时，点P在AB上运动， ∴BP=AB-AP=10-x； 当10≤x≤16时，点P在BC上运动， ∴BP=x-AB=x-10； 综上，当0<x<10时，BP=10-x；当10≤x≤16时，BP=x-10． （3）解：当0<x<10时，点P在AB上运动， ∴y=S△APC=； 当10≤x≤16时，点P在BC上运动， ∴y=S△APC=； 综上，． （4）解：当P与Q第一次相遇时，根据题意，得 x-10+2x-3×6=6 x=； 当P与Q第二次相遇时，根据题意，得 x-10=2x-4×6 x=14 ； 当P与Q第三次相遇时，根据题意，得 x-10+2x-5×6=6 x=； 综上，当x=或14或时，P、Q两点相遇． 【点睛】本题考查动点问题，列代数式，三角形面积，方程思想与分类讨论是解题的关键． 【变式4-1】如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16，8 (2)①或或；②存在， 【详解】（1）解：，， 故答案是：16，8； （2）①当M、N第一次相遇时，， 当M到达E点时，， 如图1， 当时，， ∴， 如图2， 当时，， ∴， 如图3， 当时，， ∴， 综上所述：或或； ②如图4， 当时， 由得，， ∴， 如图5， 当时，， ∴，此时不构成四边形，舍去 综上所述：． 【变式4-2】点是线段上一点，若（n为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称E是的最强点；，则是的最强点． (1)点在线段上，若，，点是的最强点，则 ． (2)若，是的最强点，则 ．（用n的代数式表示） (3)一直线上有两点A，B，，点从B点出发，以每秒的速度向A运动，运动到点A时停止．点D从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，t为多少时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用n的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)当t为或或或或或时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点 【详解】（1）∵点是的最强点， ， ，， ， 故答案为：； （2）∵是的最强点， ， ， 又，， ， ， 故答案为：； （3）解：根据题意，当时、相遇， ， 解得， 阶段一：点、未相遇时，即时， ①设时点为的最强点， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴满足题意； ②设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴符合题意； 阶段二：点、相遇后，且点未到达点，即时， ③设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴符合题意； ④设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴符合题意； 阶段三：点经过点后，且点未到达点，即时， ⑤设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴符合题意； ⑥设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴不符合题意，舍去； 阶段四：点到达点后，即时， ∵， ∴点不可能为的最强点； ⑦设时，点为的最强点， ∴，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴符合题意； 综上所述，当为或或或或或时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，列一元一次方程解应用题，线段上的动点等问题，运用分类讨论的思想，正确地列出代数式表示出线段的长是解题的关键． 【变式4-3】材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点． (1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______； (2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离； (3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？ 【答案】(1)， (2)之间的距离 (3)或时，等式成立 【详解】（1）解：， ， 又， ， ． （2）如图， 点的运动速度为，点的运动速度为，运动时间为， ，， 又、是线段、的中点， ，， ． （3）当点到达点之前时，即时， 由题意得，，， ， 又， ， 解得：； 当点到达点返回时，即时， 由题意得，，， 又， ， 解得：， 综上所述，当或时，等式成立． 类型五、新定义问题 【例9】【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点 【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点， ∴， ∴点是线段的的“巧点”， 故答案为：是． （2）解：点在线段上，点为线段的巧点， ∴则最长时，满足， 即， ∴， 故答案为：． （3）解：秒后，，，， ∵为、的巧点 ∴或，或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴当为或或时，为、的巧点． 【例10】如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点． 例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点． （1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ． （2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒． ①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示） ②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【答案】（1） 4 ；1；（2）①线段BP的长为 2t ；②当t为或或或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【详解】解：（1）MN的内二倍分割点就是MN的三等分点且距N近，MN=9，则MN的内二倍分割点在N的左侧，距N点3个单位，所以，表示的数为 4 ；同理，则NM的内二倍分割点在N的左侧，距N点6个单位，所以，表示的数为1； （2）① 则线段BP的长为 2t． ② 当P在线段AB上时，有以下两种情况： 如果P是AB的内二倍分割点时，则AP=2BP， 所以50-2t = 2×2t， 解得t=； 如果P是BA的内二倍分割点时，则BP=2AP， 所以2t=2（50-2t）， 解得t=； 当P在点A左侧时，有以下两种情况： 如果A是BP的内二倍分割点时，则BA=2PA， 所以50=2（2t-50） 解得t=； 如果A是PB的内二倍分割点时，则PA=2BA， 所以2t-50=2×50， 解得t=75； 综上所述：当t为或或或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【点睛】本题考查了新定义内二倍分割点、速度与路程的关系和分类讨论的思想；准确理解定义，恰当的用速度与时间表示线段长，分类讨论，建立方程是解题的关键． 【变式5-1】如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【探索新知】 如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______； (2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”） 【深入研究】 如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置 (3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度； (4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，∵， 当时，， ，即点也是图1中线段的圆周率点， 与的数量关系是相等； 故答案为：； （3）解：由题意可知，点C表示的数是， ∵点M、N均为线段的圆周率点， 不妨设M点离O点近，且， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； （4）解：由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：， 当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时， ①如图①，点P在点C左侧， ∵， ， ∴； 如图②，点P在点C左侧， ∵， ∴， ∴； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题考查了一元一次方程在新定义类动点问题中的应用，有一定综合性，通过数形结合并分类讨论，是解题的关键． 【变式5-2】【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段． （1）若AC=2，求AB的长； （2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD的长，并判断AC与BD的数量关系； 【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长； （4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）． 【答案】（1）AB的长为（）；（2）BD长为2，；（3）C表示的数为（），的长为（）；（4）点D表示的数是1或或或． 【详解】（1）,， ， ． （2）点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合， ，． 设， ，则有，， ， ， ， ． （3）由题意可知：C点表示的数是 均为线段OC的圆周率点， 不妨设M点里O点近，且，， ，解得， ，，， 由（2）可知： ． （4）解：设点D表示的数为m，根据题意可知，共分为四种情况． ①若，则有，解得． ②若，则有，解得． ③若，则有，解得． ④若，则有，解得． 综上所述，点D表示的数是1或或或． 【点睛】本题是新定义题型，主要考查了列方程和分类讨论的思想，读懂题目中的新定义，并且正确找到分类讨论的所有情况，是解决本题的关键． 【变式5-3】定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点． 例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． (1)点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ 【答案】(1)G，或 (2)或3或9 【详解】（1）解：根据题意得∶， 此时，故点E不是美好点； ， 此时，故点F不是美好点； ， 此时，故点G是美好点； 故答案是：G． 设点H所表示的数是x，则， ∵点H为美好点， ∴， ∴， 解得：或； 故答案是：或． （2）解：第一情况：当P为的美好点，点P在M，N之间，如图1， ∵，， ∴， ∴秒； 第二种情况，当P为的美好点，点P在M，N之间，如图2， ∵，， ∴， ∴秒； 第三种情况，P为的美好点，点P在M左侧，如图3， ∵，， ∴， ∴秒； 综上所述，t的值为：或3或9． 1．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为8×＝4， 点A2表示的数为8××＝2， 点A3表示的数为8××＝1， …， 点An表示的数为8×（）n， ∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6， ∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． 2．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 【答案】D 【详解】∵为中点，为中点， ∴DC= AC，CE= BC ∴DE=DC+CE =AC+BC =AB =m 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 3．已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 【答案】1或 【详解】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：   ，， ， ， ， ， ； 当点N在线段的延长线上，如图：   ，， ， ， 综上所述：的值为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键． 4．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm． 【答案】或 【详解】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB， ∴，． 设， 分类讨论：①当点C在AO之间时，如图， 由图可知，，， ∵， ∴， 解得：． 故此时； ②当点C在OB之间时，如图， 由图可知，，． ∴此时不成立； ③当点C在点B右侧时，如图， 由图可知，，， ∵， ∴， 解得：． 故此时； 综上可知OC的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查线段n等分点的有关计算，与线段有关的动点问题的计算．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． 5．如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)6 (3)当时，；当时，；当时，； (4)或 【详解】（1）解：设点的中点为M，的中点为N， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动 ∴当P到点C时，， ∴； （3）解：当点P、Q相遇时，． 当时，； 当时，； 当时，； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得． 当时，，（舍）． ∴或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 6．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 7．已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)4 (4)或1 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ， ， ， 故答案：；； （2）解：由题意得 ，， ； 故的值为； （3）解：的运动速度可知：， ， ， 即 ， 又 ， ， ， ． 故答案为：4． 解法二 设、运动时间为，的长度为，得 ， ， ， ， ． 又 ， ， 解得：； 故答案为：4； （4）解：①当点在线段上时，如图1，   ， 又， ， ， ； ②当点 在线段的延长线上时，如图2，   ， 又 ， ， ． 综上所述 或1． 8．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$