24.3 圆周角（3知识点+6题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪科版）

24.3 圆周角 课程标准 学习目标 了解并证明圆周角定理及其推论：①圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半;②直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；③圆内接四边形的对角互补。 1.了解圆周角的概念。 2.掌握圆周角定理及其推论，并会熟练运用它们解决问题。 3.会根据圆周角与圆心角的关系，在圆综合问题中，会根据边角关系，转化问题，运用相似、勾股定理解三角形。 4.掌握圆内接四边形的性质定理。 5.会根据圆周角定理及其推理，作辅助线解决问题，求线段的最值 知识点01 圆周角的概念 圆周角满足的两个条件：（1）角的顶点在圆上;（2）角的两边都与圆还有另一个公共点． 图中圆周角有：∠ABC、∠BCA、∠CAB 【即学即练1】如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    知识点02 圆周角定理 ·定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半； 如图，弧BC所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC，∠BAC=∠DOC =∠BOC（外角+对称性） 【即学即练2】如图，在中，，于D，则 度． 【即学即练3】如图，是的直径，是的弦，，求的度数．    ·推论1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.（左图） ·推论2.半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。（右图） ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B=90° 【即学即练4】（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（　　） A．等弧对等弦 B．等弧所对的圆心角相等 C．等弦所对的圆心角相等 D．等弦所对的圆周角相等 【即学即练5】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【即学即练6】已知的直径为，点A，点B，点C在上，的平分线交于点D．求的度数；    【即学即练7】已知：如图，是的直径，是的弦，且，垂足为．    (1)求证：； (2)若，的直径，求、的长． 知识点03 圆的内接多边形 ·圆内接多边形的定义：一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆 ·圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角 【即学即练8】如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 与圆周角定理相关的辅助线技巧 ·辅助线段： 1.根据同弧或等弧所对的圆周角相等，连接圆上两点，构造相等的圆周角； 2.根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，连接圆心和圆上一点，转化角度关系； 3.根据直径所对的圆周角是直角，连接直径的一个端点和圆上一点，构造直角三角形；连接圆上两点，得到圆的直径。 案例1. 如图，若，可连接→得 案例2. 若，可连接→得是的直径 ·辅助圆 1. 90°的圆周角所对的弦是直径：当动点所在的角为直角时，动点就在这个直角所对的线段（直角三角形的斜边）为直径的圆上； 2.圆内接四边形对角互补：动点所在的四边形上满足对角互补的条件，说明四点共圆。 案例见题型三 【题型一：利用弧、弦、圆心角的关系求解或证明边角关系】 例1．（2024·安徽亳州·二模）如图，是的两条直径，点是劣弧的中点．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 变式1.（2024·陕西西安·一模）如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 例2.（2024·安徽·一模）如图1，是的弦，点和点是上的点，和交于点，． (1)求证：； (2)如图2，若，点是上一点且，与交于点，求证：． 变式2-1.（2024·安徽合肥·三模）如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，求的长． 变式2-2.（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 例3.（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形内接于，为的直径，．    (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，，求的长度． 【题型二：根据圆内接四边形对角互补进行证明】 例4．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，中，，．若平分，于点，的延长线交于点． (1)求证：点在的外接圆上； (2)若，求的面积． 【题型三：根据圆周角定理作辅助圆求最值】 例5．辅助圆+圆周角8．（2024·安徽·三模）如图，矩形中，，，P为边上一点（不与A、D重合），连接，过C点作，垂足为点E，点F为的中点，则的最小值是（   ）    A．3 B． C． D． 变式5．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ． 例6.（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式6．（2024·安徽宿州·一模）如图，在中，，，点为边上一动点，于点，于点，连接，则以为边长的正方形的面积的最小值为（   ） A．8 B． C． D． 【方法技巧与总结】①分析动点满足得几何条件；②根据圆周角定理，作辅助圆；③解三角形 【题型四：圆上动点的函数图象】 例7．点A、B、C、D、E、F为圆O的六等分点，动点P从圆心O出发，沿O—C—D—O的路线作匀速运动．设运动时间为x秒，的度数为y度，则下列图象中表示y与x之间函数关系的是(    )    A． B．  C．  D．   【方法技巧与总结】①确定自变量和因变量；②在圆上找到几个改变函数值变化状态的特殊点；③排除法确定函数图象。 【题型五：方程思想解圆中的边角关系】 例8．（2024·安徽合肥·一模）如图，是的外接圆，，于点，延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式8．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，D为边上一点，过点D作于点E，连接相交于点F，已知． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长度． 【方法技巧与总结】①构造直角三角形或相似三角形；②设未知量，列方程或比例式。 【题型六：圆综合】 例9．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）（1）如图1，在中，直径垂直于弦，垂足为，若，，则圆的半径为 ． （2）如图2，在中，弦垂直于弦，垂足为，连接，．若，则圆的半径为 ． 例10．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，点P是外接圆上的一点，且，连接．点M为弧AP上一点（不与A，P重合），过P作于D点．    （1）的形状为 ； （2）若，，则 ． 一、选择题 1.学习了“直径所对的圆周角是直角”，小华想应用这个结论来检验半圆形工件是否合格，下图是小华用自制是“直角尺”检验时的四个图，其中检验操作正确且半圆形工件符合标准的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的弧叫做等弧 B．弧分为优弧和劣弧 C．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 D．三点确定一个圆 3.如图，在中，，，则等于（    ）    A． B． C． D． 4.如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点（与、不重合），则的度数是（　　）    A． B． C． D． 5.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，是的半径，，是上的点，连接，，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 7.将边长相等的正方形和等边三角形如图放置，过、、三点作圆，则所对的圆心角的度数是（    ）    A． B． C． D． 8．（2023·安徽·模拟预测）如图，在中，的边经过点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9.弦垂直平分的一条半径，则弦所对的圆周角为 ． 10．（2024·安徽亳州·一模）如图，内接于，过点O作交于点D，连接，若，则 ． 11．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为，弦的弦心距为．    （1）若，则的度数为 ． （2）若的半径为5，，则的长为 ． 三、解答题 12.如图，，是的两条弦，且，求证：． 13.如图，是的一条弦，半径，点E在上，、分别交 于点C、点 F．    (1)若，求的度数； (2)若，，求的半径． 14．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，四边形是的内接四边形，直径平分． (1)求证：； (2)过点A向圆外作，且，求证：四边形为平行四边形． 15．（2024·安徽·模拟预测）如图，中，，为圆的弦，，分别交圆于，两点，，连接． (1)求的度数； (2)若，，求圆的半径． 16.如图，是的直径，是的一条弦，且于点E． (1)求证：； (2)若，求阴影部分面积． 17．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知是半径为1的的直径，C是圆上一点，D是延长线上一点，过点D的直线交于点E，交于点F，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求证：． 1．（2024·安徽·一模）如图，点是的八等分点．若的半径为6，则五边形的面积为 ． 2．（23-24九年级上·安徽·期末）圆内接四边形如图所示，直径于点E，的延长线交于点F，连接． (1)求证：． (2)已知，，求的半径长． (3)在（2）的条件下，若G是的中点，求的长． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，交边于点． (1)求证：； (2)连接，求的大小； (3)求的值． （23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点． （1）连接，则线段的最小值是 ； （2）取的中点，连接，则线段的最小值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.3 圆周角 课程标准 学习目标 了解并证明圆周角定理及其推论：①圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半;②直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；③圆内接四边形的对角互补。 1.了解圆周角的概念。 2.掌握圆周角定理及其推论，并会熟练运用它们解决问题。 3.会根据圆周角与圆心角的关系，在圆综合问题中，会根据边角关系，转化问题，运用相似、勾股定理解三角形。 4.掌握圆内接四边形的性质定理。 5.会根据圆周角定理及其推理，作辅助线解决问题，求线段的最值 知识点01 圆周角的概念 圆周角满足的两个条件：（1）角的顶点在圆上;（2）角的两边都与圆还有另一个公共点． 图中圆周角有：∠ABC、∠BCA、∠CAB 【即学即练1】如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，    所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 知识点02 圆周角定理 ·定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半； 如图，弧BC所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC，∠BAC=∠DOC =∠BOC（外角+对称性） 【即学即练2】如图，在中，，于D，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，垂直的定义，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角的度数的一半是解题的关键.根据圆周角定理得到，由垂直的定义得到，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【即学即练3】如图，是的直径，是的弦，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，利用定理计算即可． 【详解】∵是的直径，是的弦，， ∴， ∴． ·推论1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.（左图） ·推论2.半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。（右图） ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B=90° 【即学即练4】（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（　　） A．等弧对等弦 B．等弧所对的圆心角相等 C．等弦所对的圆心角相等 D．等弦所对的圆周角相等 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角的关系．熟练掌握同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题的关键． 根据同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角的关系对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，同圆或等圆中，等弧对等弦，A说法正确，故不符合要求； 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，B说法正确，故不符合要求； 在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，C说法正确，故不符合要求； 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，D说法错误，故符合要求； 故选：D． 【即学即练5】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题主要考查圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系等知识点，利用其求得的度数是解题的关键． 根据圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系得，从而求得的度数，再利用圆周角定理即可求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【即学即练6】已知的直径为，点A，点B，点C在上，的平分线交于点D．求的度数；    【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论； 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【即学即练7】已知：如图，是的直径，是的弦，且，垂足为．    (1)求证：； (2)若，的直径，求、的长． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】（1）根据垂径定理得出，然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”证明结论； （2）根据直径得出，根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”，可得，根据同圆中弧和弦的关系可求得的长度；在中，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理解得，然后根据垂径定理可得，即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵是的直径，是的弦，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵是的直径，且， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴； ∵，， ∴在中，， ∴， 又∵是的直径，， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、直径所对的弦为直径、同圆或等圆中弧与弦的关系、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键． 知识点03 圆的内接多边形 ·圆内接多边形的定义：一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆 ·圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角 【即学即练8】如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，圆心角是对弧的圆周角的2倍计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴，而， ∴， ∴． 故选：B． 与圆周角定理相关的辅助线技巧 ·辅助线段： 1.根据同弧或等弧所对的圆周角相等，连接圆上两点，构造相等的圆周角； 2.根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，连接圆心和圆上一点，转化角度关系； 3.根据直径所对的圆周角是直角，连接直径的一个端点和圆上一点，构造直角三角形；连接圆上两点，得到圆的直径。 案例1. 如图，若，可连接→得 案例2. 若，可连接→得是的直径 ·辅助圆 1. 90°的圆周角所对的弦是直径：当动点所在的角为直角时，动点就在这个直角所对的线段（直角三角形的斜边）为直径的圆上； 2.圆内接四边形对角互补：动点所在的四边形上满足对角互补的条件，说明四点共圆。 案例见题型三 【题型一：利用弧、弦、圆心角的关系求解或证明边角关系】 例1．（2024·安徽亳州·二模）如图，是的两条直径，点是劣弧的中点．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】连接，如图所示，由对顶角性质、邻补角定义得到，再由同弧所对的圆心角相等及等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理求出角度即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示：   ， ， 点是劣弧的中点， ，则， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及对顶角性质、邻补角定义、同弧所对圆心角相等、圆的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和等知识，熟记相关几何性质，数形结合找准各个角度之间的关系是解决问题的关键． 变式1.（2024·陕西西安·一模）如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点并能灵活运用．连接，可得，进一步求得，再根据是的中点即可求出． 【详解】解：连接，   是直径， ， ， ， 是的中点， ． 故选：D． 例2.（2024·安徽·一模）如图1，是的弦，点和点是上的点，和交于点，． (1)求证：； (2)如图2，若，点是上一点且，与交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】（1）由等弦对等弧，可得，进而得到，根据等弧所对圆周角相等，和等角对等边，即可求解， （2）由等弧所对圆周角相等，可得，结合，可得，结合同弧所对圆周角相等，可得，等角对等边，即可求解， 本题考查了，等弦对等弧，等弧所对圆周角相等，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 变式2-1.（2024·安徽合肥·三模）如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识，作出合理的辅助线并熟练运用圆周角定理、三角形中位线定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理求出，结合对顶角相等及三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据“等角对等边”即可得证； （2）连接，，，，结合圆周角定理、三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出为的中点，为的中点，根据三角形中位线的判定与性质求．根据圆周角定理求出，进而推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， 又， ， 又， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （2）解：如图，连接，，，， ，， ， ， 又， 为的中点． 由（1）知，， 为的中点， 是的中位线， ． ， ， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． 变式2-2.（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）连接，根据，推出，根据，得到，根据圆内接四边形性质得到，得到，结合共用，推出，得到； （2）证明是的直径，得到，根据，得到．根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形性质即得． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接． ∵， ∴是的直径， ∴， 由（1）可得． ∵， ∴ ．在 中， ， 在中， ． 【点睛】本题主要考查圆有关性质．熟练掌握弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理解直角三角形，圆周角定理及推论，全等三角形的性质与判定，作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键． 例3.（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形内接于，为的直径，．    (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)是等腰直角三角形，证明详见解析； (2)． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求证、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是： （1）根据圆周角定理得到，进一步推出，再利用等腰直角三角形的判定解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，过作于，过作于，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，证明过程如下： 为的直径， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形； （2）在中，， ， 在中，，， ， 过作于，过作于， 则和是等腰直角三角形， ，， ， ， ．    【题型二：根据圆内接四边形对角互补进行证明】 例4．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，中，，．若平分，于点，的延长线交于点． (1)求证：点在的外接圆上； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形、三线合一、角平分线的性质定理 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，三线合一； （1）由，可得，由角平分线可得，由得到，进而得到即可说明点在的外接圆上； （2）根据角平分线的性质可得，进而推出，，即可得到，再计算的面积即可． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴、、、四点共圆， 即点在的外接圆上； （2）∵，平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【题型三：根据圆周角定理作辅助圆求最值】 例5．辅助圆+圆周角8．（2024·安徽·三模）如图，矩形中，，，P为边上一点（不与A、D重合），连接，过C点作，垂足为点E，点F为的中点，则的最小值是（   ）    A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、圆周角定理 【分析】取中点O，再取中点G，点E的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆弧，连接，可知，所以点F的轨迹是以G为圆心，以1为半径的圆弧，当点D、F、G共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 如图，取中点O，再取中点G，连接，， ∴，，    ∵，， ∴点E的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆弧， ∵点F为的中点， ∴， ∴点F的轨迹是以G为圆心，以1为半径的圆弧， 当点D、F、G共线时，值最小， 连接， ∴， ∴最小为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 变式5．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、求一点到圆上点距离的最值、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】连接，取的中点，连接，由题意先判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值，然后利用勾股定理，求出的长，再利用勾股定理，求出的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，再由，即可算出的长． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值， ∵是直径， ∴， 在中， ∵，， ∴由勾股定理得：， ∵为的中点， ∴， 在中， ∵，， ∴由勾股定理得：， 又∵，且点为的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键． 例6.（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、圆周角定理 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形中，求出，得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，求出和的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明是定值，从而得到点的轨迹． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在凹四边形中，，，， 始终为， 得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，， ， 由解图可得，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 在中，， ， ， ， 故选：D． 变式6．（2024·安徽宿州·一模）如图，在中，，，点为边上一动点，于点，于点，连接，则以为边长的正方形的面积的最小值为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【知识点】解直角三角形的相关计算、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】连接，根据题意得出四点共圆，为定角，则当圆的直径最小时，最小，当时，最小，圆的直径最小，则取得最小值，则正方形的面积最小，进而求得，根据，求得的长，即可求解． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， 连接，则四点共圆，为直径， ∵，， ∴为定角，则当圆的直径最小时，最小 ∴当时，最小，圆的直径最小，则取得最小值，则正方形的面积最小， ∴，则 ∴， 在中， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴正方形的最小面积为 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂线段最短，正方形的性质，得出当时最小是解题的关键． 【方法技巧与总结】①分析动点满足得几何条件；②根据圆周角定理，作辅助圆；③解三角形 【题型四：圆上动点的函数图象】 例7．点A、B、C、D、E、F为圆O的六等分点，动点P从圆心O出发，沿O—C—D—O的路线作匀速运动．设运动时间为x秒，的度数为y度，则下列图象中表示y与x之间函数关系的是(    )    A． B．   C．   D．   【答案】C 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，用到的知识点是圆周角、圆内的角及函数图象．根据图象分别求出当动点P在上、在上、在上运动时，的变化情况即可得出表示y与x之间函数关系最恰当的图象． 【详解】解：如图： 当动点P在上运动时，逐渐减小； 当动点P在上运动时，不变； 当动点P在上运动时，逐渐增大． 则表示y与x之间函数关系最恰当的是C； 故选：C． 【方法技巧与总结】①确定自变量和因变量；②在圆上找到几个改变函数值变化状态的特殊点；③排除法确定函数图象。 【题型五：方程思想解圆中的边角关系】 例8．（2024·安徽合肥·一模）如图，是的外接圆，，于点，延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、利用弧、弦、圆心角的关系求证、用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查圆周角定理，弧弦圆心角的关系，等角对等边，勾股定理等知识点，熟知定理性质是解题的关键． （1）延长交圆于点，连接，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据是直径，可得，进一步可得结果． （2）根据余角的性质可得，进而可得，然后设，在中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）延长交圆于点，连接， ， ∴， ， ， ， 是直径， ， ， ， ． （2）连接， ∵， ∴， 是直径， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 变式8．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，D为边上一点，过点D作于点E，连接相交于点F，已知． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形等等： （1）先证明，再由，即可证明； （2）证明，得到四点共圆，则，设，则，进而得到，，则，即可证明； （3）先证明，求出，则，利用勾股定理得到，解直角三角形得到，再解得到，则，即可求出；设，则，证明，求出，则，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴； （3）∴， ∴四点共圆， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴； 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）； ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得， ∴． 【方法技巧与总结】①构造直角三角形或相似三角形；②设未知量，列方程或比例式。 【题型六：圆综合】 例9．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）（1）如图1，在中，直径垂直于弦，垂足为，若，，则圆的半径为 ． （2）如图2，在中，弦垂直于弦，垂足为，连接，．若，则圆的半径为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】 本题考查了垂径定理，90度圆周角对的弦是直径，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识． （1）连接，由垂径定理得，由勾股定理即可求得半径； （2）过点D作交于F，连接，过O作交于点G；首先证明，再证明；其次有，即为的直径，则由已知得，从而求得半径． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵为直径，且， ∴， 在中，由勾股定理得：； 故答案为：5． （2）如图，过点D作交于F，连接，过O作交于点G； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； 即四边形是等腰梯形， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 即为的直径； ∴； ∵， ∴， ∴， ∴的半径为． 故答案为：． 例10．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，点P是外接圆上的一点，且，连接．点M为弧AP上一点（不与A，P重合），过P作于D点．    （1）的形状为 ； （2）若，，则 ． 【答案】 等腰直角三角形 【知识点】全等三角形综合问题、根据等角对等边证明等腰三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】（1）由，可知为直径，则，由，可得，进而可得结论； （2）由题意知，，如图，作的延长线于，则四边形是矩形，证明，则，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）解：由题意知，， 如图，作的延长线于，则四边形是矩形，    ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 一、选择题 1.学习了“直径所对的圆周角是直角”，小华想应用这个结论来检验半圆形工件是否合格，下图是小华用自制是“直角尺”检验时的四个图，其中检验操作正确且半圆形工件符合标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弦与圆周角之间的关系，熟知90度的圆周角所对的弦是直径，是解题的关键． 【详解】解：∵90度的圆周角所对的弦是直径， ∴四个图形中，只有B选项中的图形符合题意， 故选B． 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的弧叫做等弧 B．弧分为优弧和劣弧 C．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 D．三点确定一个圆 【答案】C 【知识点】圆的基本概念辨析、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查圆的概念，圆周角，弧，弦之间的关系，根据圆的概念，圆周角，弧，弦之间的关系一一判断即可，解题的关键是熟练掌握圆的有关概念及定理的应用． 【详解】、能够互相重合的弧叫做等弧，此选项说法错误，不符合题意； 、圆弧分为三种：优弧、劣弧和半圆，此选项说法错误，不符合题意； 、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，此选项说法正确，符合题意； 、不在同一直线上的三点确定一个圆，此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 3.如图，在中，，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，根据垂径定理可得，然后由圆周角定理，即可求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键． 4.如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点（与、不重合），则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，由题意得，再由圆周角定理求得的度数即可．掌握“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：B． 5.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角的度数的一半和圆内接四边形对角互补是解题的关键，根据圆周角定理得到，再由圆内接四边形对角互补即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选C． 6．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，是的半径，，是上的点，连接，，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，进而得到答案． 【详解】解：， ． 故选：C． 7.将边长相等的正方形和等边三角形如图放置，过、、三点作圆，则所对的圆心角的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，圆周角定理；连接，，则可得到，，根据等边对等角得到，同理可得，则，再根据圆周角定理解题即可． 【详解】解：连接， ∵是正方形，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴ ∴所对的圆心角的度数是， 故选C． 8．（2023·安徽·模拟预测）如图，在中，的边经过点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、90度的圆周角所对的弦是直径、解直角三角形的相关计算、四点共圆 【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，四点共圆，垂径定理，圆周角定理，构造圆并利用圆的性质确定线段的最大值是解题的关键． 解法1：解直角可得，结合，，可证，进而确定线段和的关系，再利用四点共圆确定的最大值即可求解； 解法2：作的外接圆，连接，过圆心作，根据垂径定理和解直角三角形求出的半径的长度，再利用圆的性质确定线段的最大值． 【详解】解法1： 在中，， ∴， ， ， ∴， 又， ， ， ， ， 当取最大值时，取最大值． ，， 四点共圆， 最大值为直径长． ， ∴是直径， 的最大值为， 的最大值为． 解法2：同解法1得，作的外接圆，连接，过圆心作，垂足为点． ， ． ， ． 当为的直径时，取得最大值为． 故选：A 二、填空题 9.弦垂直平分的一条半径，则弦所对的圆周角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．根据已知条件推出是等边三角形，得到，求得，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接，    ∵弦垂直平分半径， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴弦所对的圆周角等于或， 故答案为：或． 10．（2024·安徽亳州·一模）如图，内接于，过点O作交于点D，连接，若，则 ． 【答案】/35度 【知识点】圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用垂径定理求值 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角与弧之间的关系等知识，根据圆周角定理得到，由垂径定理得到，则，根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴, ∵交于点D， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 11．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为，弦的弦心距为．    （1）若，则的度数为 ． （2）若的半径为5，，则的长为 ． 【答案】 6 【知识点】圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，圆心角与弧、弦的关系； （1）连接证明和都是等腰直角三角形即可； （2）延长交于点，连接，则是的中位线，可以求出，然后根据垂直证明，根据圆周角相等则所对的弦相等得到． 【详解】如图1，连接   是弦的弦心距， ， 和都是等腰直角三角形， ． （2）如图2，延长交于点，连接，则是的中位线，   ． 在中，， 由勾股定理得 ． ∵是的直径， ∴ ． 三、解答题 12.如图，，是的两条弦，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等，据此求解即可． 【详解】， ， ， ． 13.如图，是的一条弦，半径，点E在上，、分别交 于点C、点 F．    (1)若，求的度数； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）由，可得，然后由圆周角定理求得的度数； （2）由垂径定理可得，然后设的半径为x，由勾股定理即可求得方程：，解此方程即可求得答案． 此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）设的半径为x， 则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为5． 14．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，四边形是的内接四边形，直径平分． (1)求证：； (2)过点A向圆外作，且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、利用弧、弦、圆心角的关系求证、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查的是圆的相关性质--圆周角定理推论、同圆中弧弦间的关系，平行四边形的判定， （1）先证明及，证出即可证出结论； （2）先证明，再证明即可证出结论． 【详解】（1）证明：为直径， ， 直径平分， ， ， ， ， ； （2）证明： 四边形为平行四边形． 15．（2024·安徽·模拟预测）如图，中，，为圆的弦，，分别交圆于，两点，，连接． (1)求的度数； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1) (2) 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】（）连接，根据等腰三角形的性质得，最后由圆周角定理即可求解； （2）连接，，由勾股定理求出，再由圆周角定理求出，最后由勾股定理即可求解； 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，连接， ∵，， ∴， ∴， （2）如图，连接，， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴． 16.如图，是的直径，是的一条弦，且于点E． (1)求证：； (2)若，求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，最后根据等量代换即可解答； （2）根据垂径定理可得，设的半径为r，则,结合可得，最后在中运用勾股定理列式计算即可求出的半径为4，再利用三角函数求出，再利用即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵是的直径，且于点E，， ∴． 设的半径为r，则，． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、锐角三角形函数、扇形面积公式等知识点，灵活运用相关性质和定理成为解答本题的关键． 17．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知是半径为1的的直径，C是圆上一点，D是延长线上一点，过点D的直线交于点E，交于点F，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】圆周角定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由圆周角定理得出，则，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质得出，再证，得出即可； （2）由等边三角形的性质和三角形的外角性质得出，证，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：是半径为1的圆直径， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）得：是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 1．（2024·安徽·一模）如图，点是的八等分点．若的半径为6，则五边形的面积为 ． 【答案】/ 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形 【分析】连接，过作于点M，分别求出、、、及即可得解． 【详解】解：如图，连接，过作于点M， ∵点是的八等分点， ∴，，， ∴是的直径，，， 同理可得∶ ， ∵，， ∴即， ∴， ∴， 同理：， ∴边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，解直角三角形以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽·期末）圆内接四边形如图所示，直径于点E，的延长线交于点F，连接． (1)求证：． (2)已知，，求的半径长． (3)在（2）的条件下，若G是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接交于点M，先证明，再根据圆周角定理推导出，最后等量代换即得，即可证明； （2）连接，设的半径长为，则，在中，应用勾股定理求解即得． （3）由，得到，即可求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点M， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵弦于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∴， ， ； （2）解：如图，连接 设的半径长为，则， ∵弦于点， ∴ ， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的半径长为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，交边于点． (1)求证：； (2)连接，求的大小； (3)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、90度的圆周角所对的弦是直径、同弧或等弧所对的圆周角相等、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据题意利用正方形的性质及垂线的性质得到，证明，即可得证； （2）根据的圆周角所对的弦是直径，可推出点、、、在以为直径的圆上，从而得到，再根据正方形的性质即可得解； （3）连接，过点作，交与点，利用平行线的性质得到，继而得到，推出，，进一步推出，根据同弧所对的圆周角相等得到，证明，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴点、、、在以为直径的圆上，即四边形为圆内接四边形， ∵， ∴， ∵四边形为正方形，为对角线， ∴， ∴， ∴的大小为； （3）如图，连接，过点作，交与点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 由（2）题图知：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，的圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，等角对等边，勾股定理等知识点．解题的关键是构造出以为直径的圆及相似三角形，注意数形结合思想方法的运用． （23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点． （1）连接，则线段的最小值是 ； （2）取的中点，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】以所在的直线为对称轴，作正方形的对称正方形，可得，证明可得°，即点在以为直径的圆上，从而可得最短时点在上，利用勾股定理求得，继而求出和，的值． 【详解】解：以所在的直线为对称轴，作正方形的对称正方形，连接， ∴，，， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最短时，最短， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴当点在上时，最短，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，的圆周角所对的弦是直径，勾股定理等知识点，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$