第3章 一元一次方程（8大题型）（48道压轴题专练）-2024-2025学年六年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第3章 一元一次方程（8大题型）（48道压轴题专练） 压轴题型一 一元一次方程的解法拓展 1．已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 2．方程与方程的解相同，求代数式的值． 3．若关于x的方程和的解的和为，求的值． 4．在关于x的一元一次方程中，m是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求m的值． 5．关于x的一元一次方程，王小明在去分母时，方程右边的的项没有乘以6，因而求得的解是．试求a的值，并求出原方程的正确解． 6．若关于x的方程的解是关于x的方程的解的2倍，求关于x的方程的解． 压轴题型二 一元一次方程新定义运算 7．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则______． (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：．（只需要补充含有y的代数式）． ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为______． 8．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是差解方程．请根据上述规定解答下列问题： (1)判断是否是差解方程； (2)若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． 9．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． (1)请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”； (2)若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值； (3)关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，求的值． 10．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”． (1)已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？________（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值； (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值． 11．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程，”求关于y的一元一次方程的解． 12．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程” （1）已知关于的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________． （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值． （3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值． 压轴题型三 一元一次方程的应用之配套问题 13．某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 14．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的A、B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 15．列方程解应用题 劳动课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少7人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)男生有______人，女生有______人． (2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ ②若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问题，直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 16．劳动课上杨老师带领七（1）班50名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少6人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)男生有______人，女生有______人． (2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ ②若想每小时制作90个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问题，并直接写出结果． 17．如图的长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，每张大长方形硬纸片可按两种方法裁剪：按A方法裁剪4个侧面；按B方法裁剪6个底面．现有112张相同的大长方形硬纸片全部用于裁剪制作这种长方体盒子，设裁剪时有x张用A方法，其余用B方法．（粘合处不计） (1)请用含x的式子分别表示裁剪出的侧面和底面的个数． (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则按A，B两种方法各裁剪多少张？一共能做多少个这样的长方体盒子？ 18．某工厂车间有38名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件12个或零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个零件和2个零件配成一套，每天生产的零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利18元，每个零件可获利13元． (1)工厂每天应分别安排多少名工人生产两种零件？ (2)因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量的零件供商场单独销售，现从每天生产零件的工人中调出部分工人生产零件，工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元．则工厂从每天生产零件的工人中调出多少名工人生产零件？ 压轴题型四 一元一次方程的应用之销售问题 19．红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 20．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 21．W商场10月份用72000元同时购进A、B两款服装共350件，其中A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元． (1)求商场10月份分别购进A，B两款服装各多少件； (2)商场决定将A、B两款服装按的价格售出，销售一段时间后A款服装售出了，B款服装售出了，剩下的A，B两款服装恰好数量相等，为尽快售完，商场将B款服装的售价提高50%，同时推出买一送一活动，即买一件B款服装送一件A款服装，直至两款服装全部售完，经结算10月份售出A，B两款服装共获利40%．那么B款服装的原售价是多少元？ (3)由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 例如：某人购物总和为620元，则他实际付款为（元）． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 例如：某人购物原价总和1000元，则他实际付款： （元）． 已知小依选择方案一购物，小钟选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小钟所购物品的原总价高于小依．店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，这样比两人各自购物实际付款总额少84元．那么小依与小钟各自所购物品的原总价分别是多少元？ 22．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，还可按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额a（元） 获得奖券的金额（元） 30 50 110 150 按上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：（元）． 注：购买商品获得的优惠额购买商品得到的优惠率商品的标价． 试问： (1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠额是多少？ (2)对于标价在500元900元之间（含500元和900元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？ 23．11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵50元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元． (1)11月1盆饼干售价为多少元？ (2)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜50元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨40元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (3)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在20万元以内，只有基本工资3000元；当该销售人员本月成交总销售额超过20万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示． 1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过500 不享受优惠方案 超过500但未超过1000的部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 表1 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过500 所购礼盒全部按九折优惠 超过500 所购礼盒全部按八折优惠 表2 月成交销售额 不超过20万元的部分 超过20万元但不超过25万元的部分 超过25万元但不超过30万元的部分 30万元以上的部分 奖励工资比例 表3 24．2023年冬季已经到来，哈市某商店计划购进一批冰雪吉祥物“冰敦敦”，生产厂家定价为每个“冰敦敦”40元，由于临近冰雪节，生产厂家进行促销活动，商店以八折的价格购进，结果比计划多购进了30个“冰敦敦”． (1)该商店购进这批“冰敦敦”共花费多少元？ (2)该商店将每个“冰敦敦”在进价的基础上提高50％进行销售．由于“冰敦敦”深受人们的喜欢，所以很快售完．商店以同样的进价又购进了300个“冰敦敦”，并以同样的售价进行销售，快到春节了，商店还有第二次购进的30％的“冰敦敦”没卖出去，求此时商店获利多少元； (3)在（2）的条件下，春节过后商店将剩下的“冰敦敦”以售价的五折进行降价处理，那么商店将两次购进的“冰敦敦”全部销售完后共获利多少元？ 压轴题型五 一元一次方程的应用之方案选择问题 25．篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有人，2班有人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共个手环． (1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？ (2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）． ①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？ ②姜经理第一次购进个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的，则第二次每个发光头饰的售价为多少元？ 26．小王看到如下两个超市的促销信息： 甲超市：全场8.8折 乙超市：不超过200元，不予优惠；超过200元而不大于500元，打九折；超过500元，500元的部分优惠10%，超过500元的部分打八折． (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 27．北京某景区，门票价格规定如下表： 购票张数 1～50张（包含50张） 50～100张（不包含50张） 100张以上 每张票的价格 60元 50元 40元 某校七年级（1）、（2）两个班共102人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元． (1)去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少学生？ (2)如果七年级（1）班有12名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，（2）班学生可以全员参加游玩，作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你该如何购票才能最省钱？ 28．为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好教室消毒和师生的测温工作。 (1)若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要400元，已知一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的6倍还贵15元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格． (2)由于采购量大，厂家推出两种购买方案（如下表）： 若学校有75个班级，计划每班配置1支红外线测温枪和20瓶消毒剂，则学校选择哪种购买方案的总费用更低？ 购买方案 红外线测温枪 消毒剂 优惠 A 9折 8.5折 每购100瓶消毒剂送1支测温枪 B 8折 8.5折 无 29．甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元） 优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 0～100（包含100） 无优惠 0～200（包含200） 无优惠 100～350（包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？ (2)小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？ (3)小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？ 30．某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额． 消费金额（元） 小于或等于500元 500~1000 1000~1500 1500以上 返还金额（元） 0 60 100 150 注：500~1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同。 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1－80%）＋60＝260（元）。 （1）购买一件标价为600元的商品，顾客获得的优惠额是 元． （2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少?（用含有x的代数式表示） （3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，如果这名顾客一次性购买这两件商品，他所花掉的费用与分开购买相比有无节省?若有，节省多少元? 压轴题型六 一元一次方程的应用之几何问题 31．已知，A，在数轴上对应的数分别用，表示，且，是数轴上的一个动点． (1)在数轴上标出A、的位置，并求出A、之间的距离； (2)已知数轴上有一点且、两点的距离为10，当数轴上、两点之间有点满足点到点的距离等于点到点的距离的4倍时，求点对应的数； (3)动点从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，点能移动到满足点到点A的距离等于点到点的距离的4倍的位置吗？若不能，请直接回答．若能，请直接指出，共移动多少个单位长度与此位置重合？ 32．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为______时，的中点所对应的数为5． 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． ①填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 33．定义：在数轴上，若点到点的距离恰好是，则称点为点的“幸福点”； 若点到点、的距离之和为，则称点为点、的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）若点表示的数是，则点的“幸福点”点表示的数是 ； （2）已知点表示的数是，点表示的数是，且若点为点、的“幸福中心”，则点表示的数可以是 (填一个满足要求的数即可) ； 【深入理解】 （3）若点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，一个电子蚂蚁从点出发，以单位秒的速度沿数轴向左运动，求经过多少时间电子蚂蚁是点、的“幸福中心”？ 【综合应用】 （4）在（3） 的条件下，在数轴上是否存在点 点与点不重合，使得电子蚂蚁既是、的“幸福中心”又是、的“幸福中心”？ 若存在，请直接写出点表示的数，若不存在，请说明理由． 34．已知：中，，点P是的边上一动点，点P从点B开始沿着的边按路径顺时针运动，移动速度为每秒2个单位．如图1． (1)试求出P点第一次回到B点的运动时间： (2)如图2，若点Q是的边上一动点，P、Q两点分别从B、C同时出发，即当点P开始移动的时候，点Q从点C开始沿着边顺时针移动，移动的速度为每秒4个单位，试问：当t为何值时，在三角形同一边上，P、Q两点的路径距离第1次相差为3个单位? (3)若点P、点Q沿着的边顺时针运动不停止，在三角形同一边上，t为何值时，它们路径距离第2次、第3次……第n次相差为3个单位?（结果用n表示） 35．如图，面积为30的长方形的边在数轴上，O为原点，．线段从出发，以每秒1个单位的速度向右移动，与此同时线段从出发以每秒2个单位的速度向左移动．连接，新长方形与原长方形重叠部分的面积记为S，设运动时间为t． (1)当在O、A之间，用含t的代数式表示：______． (2)S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数是多少？ (3)长方形与长方形未重叠部分的面积记为，请直接写出时，t的值． 36．如图，在数轴上有两个长方形和，，， 点、、、都在效轴上点、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①的最大值为______．持续的时间为______秒； ②当时，点所表示的数为______． 压轴题型七 一元一次方程的应用之水电费问题 37．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 38．移动公司推出A、B两种话费与流量套餐，套餐详情如表． 月基本费/元 主叫限定时长（min） 主叫超时费（元/min） 被叫 免费数据流量（） 流量超额费（元/） 套餐A 79 200 免费 15 3 套餐B 99 300 免费 20 2 套餐补充说明：①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费： ②流量超额后以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付元）． (1)若贝贝的爸爸使用套餐A，10月主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他的月结话费为多少？ (2)若贝贝的爸爸11月份主叫时长为350分钟，使用的流量为（），贝贝通过计算发现，按A、B两种套餐计费的月结话费刚好相同，求a的值： (3)若贝贝的爸爸12月份主叫时长不足200分钟，请你根据他流量使用情况计算说明选用哪种套餐更省钱． 39．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 40．某通讯公司推出A、B两种话费套餐，套餐详情如表一． 表一 月基本费/元 主叫限定时间/ 主叫超时费/（元/） 被叫 免费数据流量/ 600 0.15 免费 15 99 500 0.15 免费 20 套餐补充说明： （1）月结话费月基本费+主叫超时费+流量超出费． （2）数据流量． （3）流量超出后，A套餐按5元标准收取，不满按0.03元/收取． （4）流量超出后，B套餐按5元标准收取，满15元后按3元收取，不满按计算． 表二是小张今年六月份手机流量使用情况的统计表，每个时间段以为标准，超出部分记为正数，不足部分记为负数（单位：）． 表二 1日-5日 6日-10日 11日-15日 16日-20日 21日-25日 26日-30日 200 100 300 200 根据以上材料回答下列问题： （1）已知小王使用A套餐，某月主叫时间为，使用流量，共产生109元月结话费，求的值； （2）若小张今年六月份主叫时间不超过，根据表二计算并判断哪种套餐更合算． 41．小真、小善和小美三人是好朋友，同住幸福小区．为了鼓励节约用水，幸福小区对自来水的收费标准作如下规定： 用水量（立方米） 的部分 以上的部分 费用（元/立方米） 另外：每立方米收污水处理费1元． (1)月小真家用水立方米，交费 ___________元；小善家用水立方米，交费 ___________元． (2)幸福小区某个家庭用水量记为x立方米，请列式表示应交费___________元？ (3)已知小美家月份缴水费元，他家月用水多少立方米？ 42．为了加强居民的节水意识合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见下表： 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 请根据上面的表格回答下列问题： (1)若某户居民一月份用水8立方米，则应向其收水费多少元？ (2)若该用户二月份用水12.5立方米，则应向其收水费多少元？ (3)若该用户三、四月份共用水15立方米（3月份用水量不超过6立方米），共交水费44元，则该用户三、四月份各用水多少立方米？ 压轴题型八 一元一次方程的应用综合 43．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4． (1)若a1＝1，则＝______，若a＝x，则a4＝______（用含x的式子表示）； (2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为______． 44．哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 45．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【观察总结】 （1）五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________（用所给的字母表达）； 【简单应用】 （2）能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由． （3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是________． 【实践探究】 （4）学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品． ①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是________； ②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多________个． 46．在数轴上，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点A距离原点14个单位长度，点B距离原点4个单位长度． (1)A点表示的数为______，B点表示的数为______，两点之间的距离为______； (2)若点P为数轴上一点，且，求的值； (3)若点P、Q、M同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒4个单位长度，点Q的运动速度是每秒6个单位长度，点M的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少? 47．已知数轴上两点A，B对应的数分别为和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”． (1)若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少？ (2)若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间． (3)若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P、A、B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数． 48．某购物网站销售一种精美笔记本，按销售量分三部分制定阶梯销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过本的部分 3元/本 超过本但不超过本的部分 元/本 超过本的部分 元/本 (1)若购买本这种笔记本，花费___元；若购买本这种笔记本，花费____元； (2)市育才中学德育处陈老师上学期期末时花了元从该网站购买这种笔记本，作为奖励品学兼优学生的奖品，求陈老板师买了多少这种笔记本？ (3)市育才中学校长看到这种笔记本质量不错，价格也比较合理，考虑到这学期举办运动会和艺术节也要发奖品，就让德育处陈老师再买了一些这种笔记本，后来快要开展运动会和艺术节时，学校临时决定增加课后延时服务成果展示项目，又购进一批这种笔记本，这两次在该购物网站共购买这种笔记本本，其中第一次购买的数量大于第二次购买的数量，两次一共花费元，求陈老师这学期第一次购买笔记本的数量． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 一元一次方程（8大题型）（48道压轴题专练） 压轴题型一 一元一次方程的解法拓展 1．已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的同解问题，掌握一元一次方程的解以及解法是解题关键．先解方程，得到，再根据方程同解，将代入方程，解得，再代入方程，求出的值即可． 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， 关于x的方程与有相同的解， 将代入方程，可得， 解得：， 将代入，可得， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化1得： 2．方程与方程的解相同，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程，代数式求值，先解，把代入，求出k的值，然后再代入代数式求值即可． 【详解】解： 又∵方程与方程的解相同 ∴ 3．若关于x的方程和的解的和为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的运算应用，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 分别用含的式子表达出两个方程的解，再根据解的和为列式运算即可． 【详解】解：方程的解为， 方程解为：， 根据题意得：， 去分母得：， 移项合并得：． 4．在关于x的一元一次方程中，m是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程步骤是解题关键． （1）把代入原方程，根据解一元一次方程步骤求出x； （2）先求出方程的解，再根据然后根据x是正整数，m是正整数，求出m. 【详解】（1）解：当时，原方程为， 解得； （2）解：解方程， 得， 方程有正整数解，是正整数， ． 5．关于x的一元一次方程，王小明在去分母时，方程右边的的项没有乘以6，因而求得的解是．试求a的值，并求出原方程的正确解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把代入，求出a的值，然后再得出原方程为，解方程即可． 【详解】解：把代入得：， ∴原方程为， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 6．若关于x的方程的解是关于x的方程的解的2倍，求关于x的方程的解． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解步骤．分别求出两个方程的解再根据方程的解是关于x的方程的解的2倍求出a，即可求解． 【详解】解：方程去分母，得， 合并同类项得， 方程去分母，得， 移项，得 系数化为1，得， 方程的解是关于x的方程的解的2倍， ， 解得：， 将代入方程得 ， 解得：． 压轴题型二 一元一次方程新定义运算 7．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则______． (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：．（只需要补充含有y的代数式）． ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为______． 【答案】(1) (2)3或 (3)①，；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）首先求出两个方程的解，然后根据题意列方程求解即可； （2）根据题意得到或，进而求解即可； （3）①根据题意得到的解是，，进而求解即可； ②首先根据题意的得到方程的解为：，然后得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解，得； 解，得； ∵关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， ∴ 解得； （2）∵“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， ∵这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）①∵关于x的一元一次方程的解是， ∴的解是， ∵，则， 则的解是， 即：的解是， 故答案为：，； ②方程的解为：， ∵关于x方程与互为“阳光方程”， ∴方程的解为：． ∵关于y的方程就是： ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 故答案为：． 8．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是差解方程．请根据上述规定解答下列问题： (1)判断是否是差解方程； (2)若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． 【答案】(1)是差解方程 (2) 【分析】本题考查的是新定义情境下的一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）先解方程：，再利用差解方程的定义进行验证即可得到答案； （2）先解方程：，再由差解方程的定义可得：，再解关于的一元一次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴是差解方程； （2）解：由， ， ∵关于x的一元一次方程是差解方程， ∴， ， ， ， 解得：． 9．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． (1)请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”； (2)若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值； (3)关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，求的值． 【答案】(1)是，过程见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据“m差解方程”的定义解答即可； （2）根据定义列出方程关于m，n的方程，再去掉绝对值，并求解； （3）根据定义列出方程，并根据m的系数为0时，符合题意，求出解． 【详解】（1）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 所以这两个方程是“2差解方程”； （2）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 整理，得， 由m为正数， 得或， 解得或； （3）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 即， 当时，即，对于任何数m，得，它们不是“2差解方程”． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解含字母系数的方程等，理解新定义是解题的关键． 10．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”． (1)已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？________（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值； (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）先化简绝对值得到，再解求出，最后计算作答即可； （2）先分别解方程求出，，再根据“小美方程”的定义计算即可； （3）先根据题意得到，再由得到，解得，将代入整理得到，最后计算即可． 【详解】（1）由得，； 解得：， 而， 所以是一元一次方程的“小美方程”， 故答案为：是； （2）解：∵ 解得：； 对于，解得； 由题意，当时，，解得：； （3）解：由题意，，即 由得：， 所以， 则， 把上式代入中，整理得：， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，正确理解“小美方程”是解题的关键． 11．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程，”求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)9 (2) 或 (3)2022 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为x=-2023，再将变形为，则y+1=x=2023，从而求解． 【详解】（1）解：∵3x+m=0 ∴x ∵ ∴x=4 ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴m=9． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是1-n ∵两个解的差是8 ∴1-n-n=8或n-（1-n）=8 ∴ 或 ． （3）解：∵ ∴x=-2022 ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为： x=1-（-2022）=2023 ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴y+1=x=2023 ∴y=2022． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． 12．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程” （1）已知关于的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________． （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值． （3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值． 【答案】（1）②；（2）95或97；（3）16 【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“友好方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）一元一次方程解得，由得，把它代入关于y的方程即可求出结果． 【详解】解：（1）一元一次方程的解是， 方程的解是，，故不是“友好方程”， 方程的解是或，当时，，故是“友好方程”， 故答案是：②； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是， 若，，则，解得， 若，，则，解得， 综上，a的值是95或97； （3），解得， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵分母m不能为0， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“友好方程”，通过解一元一次方程的方法求解． 压轴题型三 一元一次方程的应用之配套问题 13．某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【答案】(1)男生有，女生有人 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程； （1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解； 【详解】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人， 根据题意得：， 解得：， 则人， 答：该车间男生有，女生有人； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件； 14．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的A、B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】(1)12；20 (2)100张裁剪A型， 30张裁剪B型；300个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）根据每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，列出算式计算即可； （2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，根据1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：12，20； （2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，则用张原材料板材裁剪B型纸板， 根据题意得：， 解得， ∴， 答：用100张原材料板材裁剪A型纸板，用30张原材料板材裁剪B型纸板，能做300个纸盒． 15．列方程解应用题 劳动课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少7人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)男生有______人，女生有______人． (2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ ②若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问题，直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 【答案】(1)19，26 (2)①分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面；②新加入20人，其中12人制作鼓身，8人制作鼓面． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握配套问题的等量关系是解题的关键． （1）设男生有x人，则女生有人，根据男生人数比女生人数少7人列方程求解即可； （2）①设分配m名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面，根据每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面，且每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套列方程求解即可； ②根据①可知45名学生1小时可制作小鼓54个，则若要每小时制作78个小鼓，需增加24个小鼓，则制作鼓身需要人，制作鼓面需要人，即可求解． 【详解】（1）解：设男生有x人，则女生有人， 根据题意，得， 解得， ∴， 故答案为：19，26； （2）解：①设分配m名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面， 由题意，得， 解得， 则， 答：应分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面； ②由①知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则1小时可制作小鼓个，还需制作个小鼓， 所以应再加入制作鼓身人，制作鼓面人． 则新加入人，其中12人制作鼓身，8人制作鼓面． 16．劳动课上杨老师带领七（1）班50名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少6人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)男生有______人，女生有______人． (2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ ②若想每小时制作90个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问题，并直接写出结果． 【答案】(1)22，28 (2)①应分配30名学生制作鼓身，20名学生剪鼓面．②应再加入名学生 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握配套问题的等量关系是解题的关键． （1）设男生有x人，则女生有人，根据男生人数比女生人数少6人列方程求解即可； （2）①设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面，根据每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面，且每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套列方程求解即可； ②根据①可知50名学生1小时可制作小鼓个，则若要每小时制作90个小鼓，需增加一半的人数． 【详解】（1）解：设男生有x人，则女生有人， 由题意得：， 解得：， 所以， 即男生有22人，女生有28人， 故答案为：22，28； （2）①设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面， 由题意，得， 解得， 则， 答：应分配30名学生制作鼓身，20名学生剪鼓面； ②由①知分配30名学生制作鼓身，20名学生剪鼓面，则1小时可制作小鼓个，还需制作个小鼓， 所以应再加入人． 17．如图的长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，每张大长方形硬纸片可按两种方法裁剪：按A方法裁剪4个侧面；按B方法裁剪6个底面．现有112张相同的大长方形硬纸片全部用于裁剪制作这种长方体盒子，设裁剪时有x张用A方法，其余用B方法．（粘合处不计） (1)请用含x的式子分别表示裁剪出的侧面和底面的个数． (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则按A，B两种方法各裁剪多少张？一共能做多少个这样的长方体盒子？ 【答案】(1)裁剪出的侧面数为个，底面数为个 (2)按A，B两种方法各裁剪84张，28张，一共能做84个这样的长方体盒子 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用： （1）设裁剪时有x张用A方法，则剪裁时有张用B方法，根据A方法裁剪4个侧面；按B方法裁剪6个底面列出对应的式子求解即可； （2）根据一个长方体用4个侧面，2个底面列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设裁剪时有x张用A方法，则剪裁时有张用B方法， ∴裁剪出的侧面数为个，底面数为个； （2）解：由题意得，， 解得， ∴， ∴， ∴按A，B两种方法各裁剪84张，28张，一共能做84个这样的长方体盒子． 18．某工厂车间有38名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件12个或零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个零件和2个零件配成一套，每天生产的零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利18元，每个零件可获利13元． (1)工厂每天应分别安排多少名工人生产两种零件？ (2)因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量的零件供商场单独销售，现从每天生产零件的工人中调出部分工人生产零件，工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元．则工厂从每天生产零件的工人中调出多少名工人生产零件？ 【答案】(1)工厂每天应分别安排14人生产A零件，24人生产B零件； (2)工厂从每天生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，调配问题，本题的关键是理清配套问题的数量关系列方程，此外挖掘题目条件，分清调动后生产两种零件的工人的数量，从而列方程解决问题． （1）设工厂分别安排x名工人生产A零件，名工人生产B零件，根据“1个A零件和2个B零件配成一套”，列方程求解即可得到结果； （2）先求出调动前每天总获利，设工厂从每天生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，可得调动后安排名工人生产A零件，名工人生产B零件，根据“工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元”，列方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：设工厂分别安排x名工人生产A零件，名工人生产B零件， 依题意得，， 解得， 得（名）， 答：工厂每天应分别安排14人生产A零件，24人生产B零件； （2）调动前每天总获利为：（元）， 设工厂从每天生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件， 则调动后安排名工人生产A零件，名工人生产B零件， 依题意得，， 解得， 答：工厂从每天生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件． 压轴题型四 一元一次方程的应用之销售问题 19．红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多； (2)加工厂到市场的距离为47千米． 【分析】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键在于根据题意得到等量关系． （1）分别算出方案一和方案二所获利润，再进行比较即可解题； （2）设加工厂到市场的距离为x千米，根据题意建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行加工包装， ， 解得， 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润最多； （2）解：设加工厂到市场的距离为x千米， ， 解得， 答：加工厂到市场的距离为47千米． 20．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 【答案】(1)每件服装标价为100元 (2)该服装店在乙服装厂购进服装利润最高 (3)需要在购进件服装 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可； （2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可； （3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装标价x元，根据题意得： 解得：， 答：每件服装标价为100元； （2）解：， 根据题意： 甲厂： （件）， 购进服装数量为正整数， 在甲厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为： （元）； 乙厂： （件） 在乙厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为（元）， 则服装店在乙服装厂购进服装利润为：（元）； ， 该服装店在乙服装厂购进服装利润最高； （3）解：设需在购进y件服装，根据题意： 由（2）知，进价为：（元）， 现标价为：（元）， 按进价的基础上每件服装加价销售的服装有：（件）， 按5折出售的服装有：（件）， 售价为：（元）， 则， ，即， 解得：， 答：需要在购进件服装． 21．W商场10月份用72000元同时购进A、B两款服装共350件，其中A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元． (1)求商场10月份分别购进A，B两款服装各多少件； (2)商场决定将A、B两款服装按的价格售出，销售一段时间后A款服装售出了，B款服装售出了，剩下的A，B两款服装恰好数量相等，为尽快售完，商场将B款服装的售价提高50%，同时推出买一送一活动，即买一件B款服装送一件A款服装，直至两款服装全部售完，经结算10月份售出A，B两款服装共获利40%．那么B款服装的原售价是多少元？ (3)由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 例如：某人购物总和为620元，则他实际付款为（元）． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 例如：某人购物原价总和1000元，则他实际付款： （元）． 已知小依选择方案一购物，小钟选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小钟所购物品的原总价高于小依．店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，这样比两人各自购物实际付款总额少84元．那么小依与小钟各自所购物品的原总价分别是多少元？ 【答案】(1)购进A，B两款服装分别为200件、150件 (2)B款服装的原售价是378元 (3)小依与小钟各自所购物品的原总价分别是360元、1140元或210元、1290元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． （1）设购进A款服装x件，则购进B款服装件，根据用72000元同时购进A、B两款服装共350件，列出方程进行求解即可； （2）设A、B两款服装的原售价分别为元，元，根据10月份售出A，B两款服装共获利40%，列出方程进行求解即可； （3）设小依所购物品的原总价是m元，则小钟所购物品的原总价是元，分，，三种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：设购进A款服装x件，则购进B款服装件， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A，B两款服装分别为200件，150件； （2）解：设A、B两款服装的原售价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ∴（元），（元）， 答：B款服装的原售价是378元． （3）解：设小依所购物品的原总价是m元，则小钟所购物品的原总价是元， 两人组合，一次性购买所有物品， 按照方案二实际付款为：（元）． ∵， ∴两人各自购物实际付款总额为：（元）， ∵小钟所购物品的原总价高于小依， ∴， ∴， ①当时，， 解得：，与矛盾； ②当时，， 解得：（元），符合题意； 此时，（元）； ③当时，， 解得：（元），符合题意； 此时，（元）； 答：小依与小钟各自所购物品的原总价分别是360元、1140元或210元，1290元． 22．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，还可按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额a（元） 获得奖券的金额（元） 30 50 110 150 按上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：（元）． 注：购买商品获得的优惠额购买商品得到的优惠率商品的标价． 试问： (1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠额是多少？ (2)对于标价在500元900元之间（含500元和900元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？ 【答案】(1)310 (2)825 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法， （1）先计算出顾客的消费金额，以确定顾客得到的奖券金额，再计算出顾客得到的“优惠率”即可； （2）设顾客购买的商品的标价为x元，先计算出商品的标价在的范围内顾客的消费金额的范围是，则顾客得到的奖券金额是50元或110元，列方程求出相应的x的值并进行检验，得出符合题意的结果即可． 弄清商品的标价与顾客的消费金额之间的关系是解题的关键． 【详解】（1）∵（元），且， ∴顾客得到110元奖券， ∴（元）， 答：顾客得到的优惠率额是310元． （2）设顾客购买的商品的标价为x元， （元），（元）， ∴顾客的消费金额， ∴或， 由解得，不符合题意，舍去； 由解得， ∵，且， ∴符合题意， 答：顾客购买标价为825元的商品，可以得到的“优惠率”． 23．11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵50元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元． (1)11月1盆饼干售价为多少元？ (2)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜50元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨40元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (3)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在20万元以内，只有基本工资3000元；当该销售人员本月成交总销售额超过20万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示． 1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过500 不享受优惠方案 超过500但未超过1000的部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 表1 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过500 所购礼盒全部按九折优惠 超过500 所购礼盒全部按八折优惠 表2 月成交销售额 不超过20万元的部分 超过20万元但不超过25万元的部分 超过25万元但不超过30万元的部分 30万元以上的部分 奖励工资比例 表3 【答案】(1)1盆饼干售价为370元 (2)每盒糖果的进价为元 (3)当购进饼干的数量为1600盒，则购进糖果的数量为400盒时，商场可获利440000元，当购进饼干的数量为1350盒，则购进糖果的数量为650盒时，商场可获利437500元 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）设1盆饼干售价为x元，则1盒糖果的售价为元，根据购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元，建立一元一次方程，求解即可； （2）根据题意得12月份1盆饼干售价为元，1盒糖果的售价为元，饼干销售量为500盒，糖果的销售量为盒，根据总销售额等于总成本，建立一元一次方程，求解即可； （3）由销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元，可计算出月成交销售额为元，设购进饼干的数量为m盒，则购进糖果的数量为盒，根据成交销售额为元，建立一元一次方程，求解出m的值，即可计算商场可获利多少元． 【详解】（1）解：设1盆饼干售价为x元，则1盒糖果的售价为元，由题意得： 解得：， 答：1盆饼干售价为370元； （2）解：12月份1盆饼干售价为（元）， 1盒糖果的售价为（元）， 饼干销售量为500盒，糖果的销售量为（盒）， 设每盒饼干的进价为y元，则每盒糖果的进价为元，由题意得： ， 解得：， 则每盒糖果的进价为（元）， 答：每盒糖果的进价为元； （3）解：由题意得： （元）， 则总销售额为：（元）， 设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒， ①当饼干的数量大于1500盒，糖果的数量小于500盒时， 此时饼干的总进价为：， 糖果的总进价为：， ， 解得：， （盒）； ②当饼干的数量大于1000盒小于1500盒，糖果的数量大于500盒小于1000盒时， 此时饼干的总进价为：， 糖果的总进价为：， ， 解得：， （盒）； 综上，购进饼干的数量为1600盒，则购进糖果的数量为400盒；或购进饼干的数量为1350盒，则购进糖果的数量为650盒； 当购进饼干的数量为1600盒，则购进糖果的数量为400盒时，商场可获利：（元）； 当购进饼干的数量为1350盒，则购进糖果的数量为650盒时，商场可获利：（元）， 答：当购进饼干的数量为1600盒，购进糖果的数量为400盒时，商场可获利440000元，当购进饼干的数量为1350盒，购进糖果的数量为650盒时，商场可获利437500元． 24．2023年冬季已经到来，哈市某商店计划购进一批冰雪吉祥物“冰敦敦”，生产厂家定价为每个“冰敦敦”40元，由于临近冰雪节，生产厂家进行促销活动，商店以八折的价格购进，结果比计划多购进了30个“冰敦敦”． (1)该商店购进这批“冰敦敦”共花费多少元？ (2)该商店将每个“冰敦敦”在进价的基础上提高50％进行销售．由于“冰敦敦”深受人们的喜欢，所以很快售完．商店以同样的进价又购进了300个“冰敦敦”，并以同样的售价进行销售，快到春节了，商店还有第二次购进的30％的“冰敦敦”没卖出去，求此时商店获利多少元； (3)在（2）的条件下，春节过后商店将剩下的“冰敦敦”以售价的五折进行降价处理，那么商店将两次购进的“冰敦敦”全部销售完后共获利多少元？ 【答案】(1)共花费4800元 (2)获利2880元 (3)共获利5040元 【分析】本题考查了方程的应用，分数的混合运算； （1）设商店购进这批“冰敦敦”共花费x元，根据题意列出方程即可求解； （2）由（1）所求可得第一次购得“冰墩墩”的数量及实际的进价、售价，根据总利润=总售价总进价，即可求解； （3）先计算出剩余“冰墩墩”的利润，即可求得全部销售完后的总利润． 【详解】（1）解：设该商店购进这批“冰敦敦”共花费x元， 由题意得：， 解得：， 答：该商店购进这批“冰敦敦”共花费4800元； （2）解：第一次购得“冰墩墩”的数量为：（个），实际的进价为（元），实际的售价为：（元）， 销售出去的“冰墩墩”的总利润为：（元） 答：商店此时获利2880元； （3）解：（元），（元） 答：商店将两次购进的“冰敦敦”全部销售完后共获利5040元． 压轴题型五 一元一次方程的应用之方案选择问题 25．篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有人，2班有人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共个手环． (1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？ (2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）． ①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？ ②姜经理第一次购进个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的，则第二次每个发光头饰的售价为多少元？ 【答案】(1)8 (2)①，② 【分析】（1）先设出应额外给1班个手环，然后根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）①设未知数，根据题意列出一元一次方程进行求解即可；②由①可得当进购数量少于时，选择甲进货商，当进购数量多于时，选择乙进货商，再根据两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的列出一元一次方程即可． 【详解】（1）解：设应额外给1班个手环，则额外给2班个手环， ∵要使1班、2班的手环数一样多， ∴， 解得：， 所以应额外给1班8个手环； （2）解：①设购进个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多， 对于甲批发商处进货价为：元， 对于乙批发商处进货价为：元， ∵去两个批发商处的进货价一样多， ∴， 解得：， 所以购进个发光头饰时，去两个批发商处的进货价一样多； ②设第二次每个发光头饰的售价为元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的， 由①可得当进购数量少于时，选择甲进货商，当进购数量多于时，选择乙进货商， 第一次进购个，所以第一次进价为：元， ∵第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个， ∴第二次进购了个， 第二次进价为：元， ∵两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的， ∴， 解得：， 所以第二次每个发光头饰的售价为元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的． 【点睛】本题考查了实际问题与一元一次方程，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 26．小王看到如下两个超市的促销信息： 甲超市：全场8.8折 乙超市：不超过200元，不予优惠；超过200元而不大于500元，打九折；超过500元，500元的部分优惠10%，超过500元的部分打八折． (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 【答案】(1)元  元 (2)元 (3)元或元 【分析】（1）根据两家超市优惠方案，可知当一次性购物标价总额是300元时，甲超市实付款购物标价，乙超市实付款购物标价，分别计算即可； （2）设标价总额是时，甲、乙超市实付款一样，根据甲超市实付款列方程，求解即可； （3）首先计算出两次的购物标价，然后根据优惠方案即可求解． 【详解】（1）当一次性购物标价总额是300元时， 甲超市实付款为：元， 超市实付款为：元， 答：当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是元、元． （2）当一次性购物标价总额是500元时， 甲超市实付款为：元， 超市实付款为：元， 由于， 故， 设标价总额是时，甲、乙超市实付款一样， 则， 解得， 答：标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样． （3）小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元， 第一次购物付款元，购物标价可能是元，也可能是元， 第二次购物付款466元，购物标价为元， 两次购物标价为：元，或元， 若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省为： 元， 或元 答：他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省元或元． 【点睛】本题考查一元一次方程，理解两家超市优惠方案，进行分类讨论是解题的关键． 27．北京某景区，门票价格规定如下表： 购票张数 1～50张（包含50张） 50～100张（不包含50张） 100张以上 每张票的价格 60元 50元 40元 某校七年级（1）、（2）两个班共102人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元． (1)去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少学生？ (2)如果七年级（1）班有12名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，（2）班学生可以全员参加游玩，作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你该如何购票才能最省钱？ 【答案】(1)七年级（1）班有62人，（2）班有40人 (2)七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101张门票最省钱 【分析】（1）设七年级（1）班有学生x人，则七年级（2）班有学生102－x人，因为其中（1）班人数多于（2）班人数，所以51<x<100，则0<102−x<51， 利用单独购买门票，一共应付5500元列方程，解方程即可； （2）按照团体票的单价计算总费用，即可得到答案； 【详解】（1）解：设去该景区游玩的七年级（1）班有x人，（2）班有人．根据题意，得 解得． 则（2）班人数为：（人）． 答：七年级（1）班有62人，（2）班有40人． （2）解：方案一：各自购买门票需（元）； 方案二：联合购买门票需（元）； 方案三：联合购买101张门票需（元）； 综上所述：因为． 答：七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101张门票最省钱． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用：方案选择问题，解题的关键是读懂题意，利用隐含条件找出等量关系列方程． 28．为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好教室消毒和师生的测温工作。 (1)若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要400元，已知一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的6倍还贵15元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格． (2)由于采购量大，厂家推出两种购买方案（如下表）： 若学校有75个班级，计划每班配置1支红外线测温枪和20瓶消毒剂，则学校选择哪种购买方案的总费用更低？ 购买方案 红外线测温枪 消毒剂 优惠 A 9折 8.5折 每购100瓶消毒剂送1支测温枪 B 8折 8.5折 无 【答案】(1)一瓶消毒剂的价格为55元，一支测温枪的价格为345元 (2)学校选择A种购买方案的总费用更低 【分析】（1）设一瓶消毒剂的价格为x元，则一支测温枪的价格为元，根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x即可得出答案； （2）分别计算出两种方案所需费用，比较即可． 【详解】（1）解：设一瓶消毒剂的价格为x元，则一支测温枪的价格为元， 根据题意可得：， 解得：， ∴ 答：一瓶消毒剂的价格为55元，一支测温枪的价格为345元； （2）解：根据题意可知该学校需要75支红外线测温枪和75×20=1500瓶消毒剂． 以A方案购买时， ∵每购100瓶消毒剂送1支测温枪，1500÷100=15支， ∴再购买75-15=60支测温枪即可， ∴此购买方案的总费用为元； 以B方案购买时，总费用为元； ∴以B方案购买的费用高于以A方案购买的费用． 故学校选择A种购买方案的总费用更低． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键． 29．甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元） 优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 0～100（包含100） 无优惠 0～200（包含200） 无优惠 100～350（包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？ (2)小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？ (3)小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？ 【答案】(1)在甲超市更划算； (2)应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品； (3)把这两次购物改为一次性购物，付款320元或352元； 【分析】（1）比较在甲、乙超市分别所需支付的金额即可； （2）求出252元在甲超市能购买的商品原价，再求出在乙超市购买的商品的原价，比较大小即可； （3）先计算出支付80元和288元的商品原价，再将两次商品原价加一起参加优惠活动即可； 【详解】（1）解：甲超市购物所付的费用为：（元）， 乙超市购物所付的费用为：（元）， ∵， ∴在甲超市更划算； （2）解：甲超市购买的商品原价：（元）， 设乙超市超市购买的商品原价为x元，由题意得： ，解得：， ∵280＞265， ∴应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品； （3）解：∵， ∴第一次购买商品的原价小于100元，原价为80元， ∵，， ∴第二次购买商品的原价为100～350或大于350元， 设第二次购买商品的原价为m元， ①当时， 由题意得：（元）， （元）， ∴把这两次购物改为一次性购物，付款320元； ②当时， 由题意得：（元）， （元）， ∴把这两次购物改为一次性购物，付款352元； 综上，把这两次购物改为一次性购物，应付款320元或352元． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用（方案选择），（1）（2）比较简单，（3）中因为，故需要对288元的商品原价进行讨论． 30．某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额． 消费金额（元） 小于或等于500元 500~1000 1000~1500 1500以上 返还金额（元） 0 60 100 150 注：500~1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同。 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1－80%）＋60＝260（元）。 （1）购买一件标价为600元的商品，顾客获得的优惠额是 元． （2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少?（用含有x的代数式表示） （3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，如果这名顾客一次性购买这两件商品，他所花掉的费用与分开购买相比有无节省?若有，节省多少元? 【答案】（1）120；（2）当时，优惠额为元，当 时优惠额为元；（3）当和时，分开购买和一次性购买优惠额相同，当 时，一次性购买更优惠，可节省50元． 【分析】（1）购买一件标价为600元的商品，根据题中给出的数据可得消费金额为480元，小于500没有返还金额，所以总优惠额为120元； （2）分两种情况：当1000＜0.8x≤1500时；当0.8x＞1500时；讨论可求该顾客获得的优惠额； （3）分别计算一次性购买和分别购买的优惠额再比较大小即可求解． 【详解】解：（1）标价为600元的商品按标价的80%出售消费额为元＜500元， 元，则顾客获得的优惠额为120元； （2）元， ∵x＞1250， ∴ ， ①当 即时， 优惠额元， ②当时，即 时， 优惠额元； （3）一次性购买： ∵x＞1250， ∴ ， ①当即时， 优惠额 （元）， ②当 即时， 优惠额（元）， 分开购买： （元）， 当 时，优惠额 （元）， 当 时，优惠额 （元）， 当 时，一次性购买优惠额＝，分开购买优惠额＝， （）－（）＝（元） 综上，当和时，分开购买和一次性购买优惠额相同，当 时，一次性购买更优惠，可节省50元． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件进行讨论即可． 压轴题型六 一元一次方程的应用之几何问题 31．已知，A，在数轴上对应的数分别用，表示，且，是数轴上的一个动点． (1)在数轴上标出A、的位置，并求出A、之间的距离； (2)已知数轴上有一点且、两点的距离为10，当数轴上、两点之间有点满足点到点的距离等于点到点的距离的4倍时，求点对应的数； (3)动点从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，点能移动到满足点到点A的距离等于点到点的距离的4倍的位置吗？若不能，请直接回答．若能，请直接指出，共移动多少个单位长度与此位置重合？ 【答案】(1)数轴见详解；A、B之间的距离为30 (2)点P表示的数为或 (3)不存在一点P，使得点P到点A的距离是点P到点B距离的4倍 【分析】（1）根据绝对值及偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）由题意易得点表示的数为0或，设点P表示的数为x，然后分点点C表示的数是0时和表示的数是时进行分类求解即可； （3）由题意易得点P表示的数为，然后可得分当点P在线段之间运动时，当点P在点B的左侧时和当点P在点A的右侧时，进而分类求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴A、B之间的距离为， 数轴上标出、得： （2）解：由数轴上有一点且、两点的距离为10，可知：点表示的数为0或，设点P表示的数为x， 当点C表示的数是0时，则，根据题意得：， 解得：，即此时点P表示的数为； 当点C表示的数是时，则，根据题意得：， 解得：，即此时点P表示的数为； （3）解：第一次点表示，第二次点表示2，依次，4，， 则第次为，因为点表示20，所以第20次点与点重合； 因为点表示，所以当时，点在点的左侧，则有： 当点P在线段之间运动时，则，由题意得： ， 若n为奇数，则，解得：（不符合题意，舍去）； 若n为偶数，则，解得：（不符合题意，舍去）； 当点P在点B的左侧时，此时n为大于或等于11的奇数，则，由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 当点P在点A的右侧时，此时，所以该情况不存在点P到点A的距离是点P到点B距离的4倍； 综上所述：不存在一点P，使得点P到点A的距离是点P到点B距离的4倍． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴上的动点问题及绝对值、偶次幂的非负性，熟练掌握一元一次方程的应用、数轴上的动点问题及绝对值、偶次幂的非负性是解题的关键． 32．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为______时，的中点所对应的数为5． 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． ①填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（1）2（2）6（3）①②存在，，7 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）先由非负数的性质求出，进而可得的中点N所对应的数； （2）首先依题意求出点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：，然后根据的中点所对应的数为5，得，由此解出t即可； （3）①依题意可得出M对应的数；②由（2）可知：点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：，再求出点E所表示的数为，点F所表示的数为，进而求出，，从而得，然后根据绝对值的意义即可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ， 点N是的中点， 的中点N所对应的数为：， 故答案为：； （2）由题意可得，点P表示的数为，点Q表示的数为． ， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为5； （3）①根据题意：五等分点公式：点M对应的数为：； ②存在； 由题意，得点E表示的数为，点F所表示的数为 ∴，， ∴， ∴表示数到数11和4之间的距离之和， ∴当时，为定值． 33．定义：在数轴上，若点到点的距离恰好是，则称点为点的“幸福点”； 若点到点、的距离之和为，则称点为点、的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）若点表示的数是，则点的“幸福点”点表示的数是 ； （2）已知点表示的数是，点表示的数是，且若点为点、的“幸福中心”，则点表示的数可以是 (填一个满足要求的数即可) ； 【深入理解】 （3）若点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，一个电子蚂蚁从点出发，以单位秒的速度沿数轴向左运动，求经过多少时间电子蚂蚁是点、的“幸福中心”？ 【综合应用】 （4）在（3） 的条件下，在数轴上是否存在点 点与点不重合，使得电子蚂蚁既是、的“幸福中心”又是、的“幸福中心”？ 若存在，请直接写出点表示的数，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）(答案不唯一)；（3）秒或秒；（4）存在，点表示的数为或 【分析】本题主要考查数轴及一元一次方程的应用，数轴上两点距离； （1）根据题中所给定义可直接进行求解； （2）先求得，再根据“幸福中心”的定义可直接进行求解； （3）由题意可分两种情况列式：①点在点和点之间，②点在点的左侧讨论；进而分类求解即可； （4）根据题意，结合数轴，在（3）的条件下，根据新定义得，分类太累，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：点的“幸福点”表示的数为或， 故答案为或； （2）∵点表示的数是，点表示的数是，且 ∴， ∴点表示的数是，点表示的数是， ∴点、的距离为， ∵点为点，的“幸福中心”， ∴点C在点M、N之间， 即点表示的数可以是与之间的数 ∴点C表示的数可以是 故答案为：(答案不唯一)； （3）由题意可得、之间的距离为，故有两种可能： 设经过秒点是、的“幸福中心”，则点表示的数为 ①点在点和点之间，则有： ， 解得：； ②点在点的左侧， ， 解得：， 综上所述：当经过或秒时，点是、的“幸福中心”； （4）由（3）可得，当时，点表示的数为， 之间的距离为， 点是、的“幸福中心”， ， 点与点不重合 点在点的右侧 点表示的数是； 当，点表示的数为， 之间的距离为， 点是、的“幸福中心”， ， 点与点不重合，则点在点的左侧 ∴点表示的数是； 综上所述，点C表示的数为或 34．已知：中，，点P是的边上一动点，点P从点B开始沿着的边按路径顺时针运动，移动速度为每秒2个单位．如图1． (1)试求出P点第一次回到B点的运动时间： (2)如图2，若点Q是的边上一动点，P、Q两点分别从B、C同时出发，即当点P开始移动的时候，点Q从点C开始沿着边顺时针移动，移动的速度为每秒4个单位，试问：当t为何值时，在三角形同一边上，P、Q两点的路径距离第1次相差为3个单位? (3)若点P、点Q沿着的边顺时针运动不停止，在三角形同一边上，t为何值时，它们路径距离第2次、第3次……第n次相差为3个单位?（结果用n表示） 【答案】(1)P点第一次回到B点需要秒 (2)时，点P点Q第一次在同边（边）上相差3个单位 (3)（n为正整数）秒时，在同一边上，P、Q两点的路径距离第n次相差3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，动点运动问题．熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，根据P点第一次回到B点需要的时间为，计算求解即可； （2）由题意知，分①当点P在点Q前面时，②当点Q在点P前面时，两种情况列方程求解，然后判断作答即可； （3）由题意知，每隔秒，点P回到B点，点Q回到C点，由在运动过程中，在同边边上，P、Q两点的路径距离相差为3，可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴P点第一次回到B点需要秒； （2）解：由题意知，分①当点P在点Q前面时，②当点Q在点P前面时两种情况求解； ①当点P在点Q前面时，由题意得：， 解得：， 此时，点P移动的路程为1﹐点Q移动的路程为2， ∴点P在边上，Q在边上，不在同一边，不符合要求； ②当点Q在点P前面时：由题意，得：， 解得：， 此时，点P移动的路程为7，点Q移动的路程为， ∴点P在边上，Q在边上，在同一边上，符合要求； ∴当时，点P点Q第一次在同边（边）上相差3个单位； （3）解：由题意知，每隔秒，点P回到B点，点Q回到C点， ∵在运动过程中，在同边边上，P、Q两点的路径距离相差为3， ∴（n为正整数）秒， ∴（n为正整数）秒时，在同一边上，P、Q两点的路径距离第n次相差3． 35．如图，面积为30的长方形的边在数轴上，O为原点，．线段从出发，以每秒1个单位的速度向右移动，与此同时线段从出发以每秒2个单位的速度向左移动．连接，新长方形与原长方形重叠部分的面积记为S，设运动时间为t． (1)当在O、A之间，用含t的代数式表示：______． (2)S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数是多少？ (3)长方形与长方形未重叠部分的面积记为，请直接写出时，t的值． 【答案】(1) (2)数轴上点表示的数是0或4 (3)或或 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用： （1）先根据长方形面积公式求出，再求出，则； （2）分当在左侧时，重叠部分即为长方形，，当在右侧时，重叠部分即为长方形，根据重叠面积为原长方形面积的一半建立方程求解即可； （3）分当线段、在长方形内部，且相遇前，当线段、在长方形内部，且相遇后，当线段在长方形外部，线段在长方形内部，当线段、在长方形外部在O左侧，在右侧，四种情况根据长方形竖直方向的边长相同结合面积之间的关系转化成水平方向上线段的之间的关系，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∵线段从出发以每秒2个单位的速度向左移动， ∴， ∴， 故答案为： ； （2）解：由题意得，，， 如图所示，当在左侧时，重叠部分即为长方形， ∴， 解得， ∴， ∴数轴上点表示的数是4， 如图所示，当在右侧时，重叠部分即为长方形， ∴， 解得， ∴， ∴数轴上点表示的数是0， 综上所述，数轴上点表示的数是0或4； （3）解：如图所示，当线段、在长方形内部，且相遇前， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图所示，线段、在长方形内部，且相遇后， ∴， ∴， 解得； 如图所示，线段在长方形外部，线段在长方形内部， ∴， ∴， 解得，舍去， 如图所示，线段、在长方形外部在O左侧，在右侧， ∴， ∴， 解得． 综上所述，t的值为或或． 36．如图，在数轴上有两个长方形和，，， 点、、、都在效轴上点、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①的最大值为______．持续的时间为______秒； ②当时，点所表示的数为______． 【答案】(1)， (2)或 (3)①，；②或 【分析】本题考查数轴上点的运动，绝对值的非负性，一元一次方程的应用，解题关键是表示出运动后点表示的数． （1）根据绝对值的非负性即可得解即可求解； （2）根据题意，由建立方程，求解即可得出答案； （3）①分别求得点与点重合、点与点重合所需时间，求出两个时间差即可；②分两种情况：当点在线段上，当点在线段上，根据题意建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为． （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， ∵， ∴， 解得：或， ∴的值为或； （3）①由题意得：当长方形完全落在长方形上时，重叠部分的面积最大，最大面积为长方形的面积，为， 秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当点与点重合时：， 解得：， ∵点表示的数为：，点表示的数为：， ∴点与点重合时有， 解得， ∵（秒）， ∴的最大值为，持续的时间为秒， 故答案为：， ； ②由，得重叠部分面积为， 当点在线段上，且时，即， ∴， 解得， ∴表示的数为， 当点在线段上，且时，即， ∴， 解得， ∴表示的数为， 故答案为或； 压轴题型七 一元一次方程的应用之水电费问题 37．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 【答案】(1)20； (2)吨 (3)11月份应交水费16元，12月份应交水费36元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）该户居民8月份用水8吨，应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，计算即得答案；若该户居民9月份应交水费26元，判断应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，设未知数列方程并求解，即得答案； （2）先判断该用户10月份用水量超过10吨，再设未知数列方程并求解，即得答案； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨，分和两种情况，分别列方程并求解验证，即得答案． 【详解】（1）， 所以该用户8月应交水费20元； 设该用户9月用水量为x吨， ，， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户9月用水量为吨； 故答案为：20；． （2）设该用户10月用水量为y吨， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户10月用水量为吨； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨， 当时，， 由题意得， 解得，不合题意，舍去； 当时，， 由题意得， 解得， ， （元）， （元）， 答：11月份应交水费16元，12月份应交水费36元． 38．移动公司推出A、B两种话费与流量套餐，套餐详情如表． 月基本费/元 主叫限定时长（min） 主叫超时费（元/min） 被叫 免费数据流量（） 流量超额费（元/） 套餐A 79 200 免费 15 3 套餐B 99 300 免费 20 2 套餐补充说明：①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费： ②流量超额后以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付元）． (1)若贝贝的爸爸使用套餐A，10月主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他的月结话费为多少？ (2)若贝贝的爸爸11月份主叫时长为350分钟，使用的流量为（），贝贝通过计算发现，按A、B两种套餐计费的月结话费刚好相同，求a的值： (3)若贝贝的爸爸12月份主叫时长不足200分钟，请你根据他流量使用情况计算说明选用哪种套餐更省钱． 【答案】(1)元 (2) (3)当使用流量小于或大于且小于时，使用A套餐更省钱；当当使用流量等于或等于时，使用两种套餐一样省钱；当使用流量大于且小于等于或大于时，使用B套餐更省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用： （1）根据所给的收费标准列式计算即可； （2）分别计算出两种方式的收费，再根据费用相同建立方程求解即可； （3）当时，套餐A的费用为79元，套餐B的费用为99元，则选择套餐A更省钱；当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得，则当时，选择套餐A更省钱；当时，两种套餐一样省钱；当时，选择套餐B更省钱；当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则，解得，则当时，选择套餐A更省钱；当时，两种套餐一样省钱；当时，选择套餐B更省钱；据此可得答案． 【详解】（1）解： 元， ∴他的月结话费为元； （2）解；由题意得，， 解得； （3）解：设贝贝的爸爸使用流量， 当时，套餐A的费用为79元，套餐B的费用为99元， ∵， ∴选择套餐A更省钱； 当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得， ∴当时，选择套餐A更省钱； 当时，两种套餐一样省钱； 当时，选择套餐B更省钱； 当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得， ∴当时，选择套餐A更省钱； 当时，两种套餐一样省钱； 当时，选择套餐B更省钱； 综上所述，当使用流量小于或大于且小于时，使用A套餐更省钱；当当使用流量等于或等于时，使用两种套餐一样省钱；当使用流量大于且小于等于或大于时，使用B套餐更省钱． 39．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 【答案】(1) (2)300 (3)800 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解分档用电量的计算是解题的关键． （1）利用电费=电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值． （2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于183，可得出，再利用电费超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）依题意得：， 解得：． 故答案为：． （2）设老李家9月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴． 依题意得：， 解得：． 答：老李家9月份的用电量为300度． （3）．∵三个档次的平均价格为（元），8月份老李家用电的平均电价为元/度， ∴老李家8月份用电量一定超过400度， 设老李家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：． 答：老李家8月份的用电量为800度． 40．某通讯公司推出A、B两种话费套餐，套餐详情如表一． 表一 月基本费/元 主叫限定时间/ 主叫超时费/（元/） 被叫 免费数据流量/ 600 0.15 免费 15 99 500 0.15 免费 20 套餐补充说明： （1）月结话费月基本费+主叫超时费+流量超出费． （2）数据流量． （3）流量超出后，A套餐按5元标准收取，不满按0.03元/收取． （4）流量超出后，B套餐按5元标准收取，满15元后按3元收取，不满按计算． 表二是小张今年六月份手机流量使用情况的统计表，每个时间段以为标准，超出部分记为正数，不足部分记为负数（单位：）． 表二 1日-5日 6日-10日 11日-15日 16日-20日 21日-25日 26日-30日 200 100 300 200 根据以上材料回答下列问题： （1）已知小王使用A套餐，某月主叫时间为，使用流量，共产生109元月结话费，求的值； （2）若小张今年六月份主叫时间不超过，根据表二计算并判断哪种套餐更合算． 【答案】（1）；（2）B套餐更合算 【分析】（1）月结话费月基本费+主叫超时费+流量超出费，由此列方程即可求解； （2）根据主叫时间不超过，可知使用两种套餐均无主叫超时费；根据表二计算出六月份使用流量，根据计费规则计算出两种套餐的月结话费，比较大小即可． 【详解】解：（1）由题意知，小王使用流量，流量免费， 则， 解得； （2）主叫时间不超过，因此使用两种套餐均无主叫超时费； 由表二知，小张六月份使用流量为：， 使用A套餐费用为：（元）， 使用B套餐费用为：（元）， ， 因此B套餐更合算． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用，解题的关键是看懂两个套餐的计费规则． 41．小真、小善和小美三人是好朋友，同住幸福小区．为了鼓励节约用水，幸福小区对自来水的收费标准作如下规定： 用水量（立方米） 的部分 以上的部分 费用（元/立方米） 另外：每立方米收污水处理费1元． (1)月小真家用水立方米，交费 ___________元；小善家用水立方米，交费 ___________元． (2)幸福小区某个家庭用水量记为x立方米，请列式表示应交费___________元？ (3)已知小美家月份缴水费元，他家月用水多少立方米？ 【答案】(1)， (2) (3)小美家月用水立方米 【分析】（1）用水量在的供水价格加污水处理费用，即可求得小真家的交费金额，用水量为立方米的供水价格加污水处理费用与用水量的供水价格加污水处理费用，即可求得小真家的交费金额； （2）当用水量时，可求得应交费用为 （3）由（2）知，小美家月份用水量超过立方米，设小美家月用水立方米，可得到方程，即可求得小美家月份用水量 【详解】（1）∵月小真家用水立方米， ∴小真家交费为：（元） ∵小善家用水立方米， ∴小善家交费为：（元） 故答案为：， （2）当时，应交费用为： （元） 故答案为： （3）由（2）知，当用水量为立方米时，应交费用为：（元）， ∵， ∴小美家月份用水量超过立方米， 设小美家月用水立方米， ∴， 整理得：， 解得：， 答：小美家月用水立方米 【点睛】本题考查了电费和水费问题(一元一次方程的应用)及有理数的混合运算，解题的关键是：根据数量关系，正确列出一元一次方程 42．为了加强居民的节水意识合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见下表： 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 请根据上面的表格回答下列问题： (1)若某户居民一月份用水8立方米，则应向其收水费多少元？ (2)若该用户二月份用水12.5立方米，则应向其收水费多少元？ (3)若该用户三、四月份共用水15立方米（3月份用水量不超过6立方米），共交水费44元，则该用户三、四月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)一月份用水8立方米，则应向其收水费20元 (2)二月份用水12.5立方米，则应向其收水费48元 (3)该用户三、四月份各用水4立方米，11立方米 【分析】（1）根据价目表进行计算即可； （2）根据价目表进行计算即可； （3）设三月份的用水量为立方米，则4月份用水量为立方米，然后分类讨论，列出方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 答：一月份用水8立方米，则应向其收水费20元． （2）解：由题意得：（元）， 答：二月份用水12.5立方米，则应向其收水费48元． （3）解：设三月份的用水量为立方米，则4月份用水量为立方米， 当时，， 由题意得， 解得，符合题意； 当时，， 由题意得， 解得，不符合题意，舍去； 综上，该用户三、四月份各用水4立方米，11立方米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算，找清楚题目数量间的关系，运用分类讨论的思想是解题的关键． 压轴题型八 一元一次方程的应用综合 43．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4． (1)若a1＝1，则＝______，若a＝x，则a4＝______（用含x的式子表示）； (2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为______． 【答案】(1)10；； (2)小胖的说法对，大胖的说法不对，理由见解析； (3)21，23或29． 【分析】（1）由日历中5个数的位置关系，即可求出a3，同样可用含x的式子表示a4； （2）由5个数之和分别为106和90，解之可得出a值，进而可得结论； （3）找出a的可能值，进而可得出2a+1的值，结合b的值及b = 2a+ 1可确定b值． 【详解】（1）解：由题意得：a3=1+7+2=10，若a＝x，则a4=x+1-7=x-6， 故答案为：10；x-6； （2）解：小胖的说法对，大胖的说法不对， 理由：小胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =106，解得：a=24； 大胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =90，解得：a=20.8 (不符合题意，舍去)； ∴小胖的说法对，大胖的说法不对； （3）解：a的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30， ∴2a+1的值可以为：19，21，23，29，31，33，35，37，43，45，47，49，51，57，59，61； ∵b的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，且b= 2a+1， ∴b的值可以为：21，23，29， 故答案为：21，23或29． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 44．哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 【答案】(1)新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为 (2)用新工艺加工一个月的食品总量是 (3)销往大庆 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为，依题意得，，可求，根据用新工艺加工一个月的食品总量是，计算求解即可； （3）设哈尔滨到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为，依题意得，，可求，进而可求哈尔滨到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为，设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品，根据获利总价材料费污水处理费运费（销往大庆和销往齐齐哈尔），列方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为， 依题意得，， 解得，， ∴新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为； （2）解：设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴用新工艺加工一个月的食品总量是； （3）解：设大庆到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为， 依题意得，， 解得，， ∴大庆到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为， 设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品， 依题意得，， 解得，， ∴销往大庆吨食品． 45．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【观察总结】 （1）五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________（用所给的字母表达）； 【简单应用】 （2）能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由． （3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是________． 【实践探究】 （4）学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品． ①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是________； ②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多________个． 【答案】（1），（2）不能，理由见解析；（3）12；（4）①14；②8 【分析】本题考查了顶点数、面数、棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式并根据公式计算和列方程是解题的关键． （1）观察（1）中顶点数、面数、棱数可得答案； （2）根据点数、面数、棱数之间的关系即可判断； （3）根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可； （4）①根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；②设正五边形块，则正三边形块，则由上面的规律数可以看出，棱数，而顶点数，列出方程即可． 【详解】解：（1）∵，，…， ∴顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是， 故答案为：； （2）不能； ∵， ∴不能组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体； （3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是（个）， 故答案为：12； （4）①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则它的棱数为（条），它的面数为， 故答案为：14； ②设正五边形块，则正三边形块，棱数，而顶点数，由题意得 ， 解得， 所以正五边形为12块，正三边形为20块． ． 故答案为：8． 46．在数轴上，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点A距离原点14个单位长度，点B距离原点4个单位长度． (1)A点表示的数为______，B点表示的数为______，两点之间的距离为______； (2)若点P为数轴上一点，且，求的值； (3)若点P、Q、M同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒4个单位长度，点Q的运动速度是每秒6个单位长度，点M的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少? 【答案】(1)，4，18 (2)的值是21或15 (3)点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 【分析】（1）先由点在原点的左边，距离原点14个单位长度确定点对应的数是，同理可得点表示的数，根据右边的数左边的数两点的距离可得，两点的距离； （2）分点在点的左边和右边，根据线段的和差可得的长； （3）设移动的时间为秒，分别表示三个动点，，表示的数，分三种情况讨论，列方程可解答． 【详解】（1）解：点在原点的左边，距离原点14个单位长度， 点对应的数是， 同理可得点表示的数为4， ，两点之间的距离为：， 故答案为：，4，18； （2）解：分两种情况： ①当点在点的右边时，； ②当点在点的左边时，； 综上，的值是21或15； （3）解：设移动的时间为秒，则动点，，对应的数分别为，，， 分三种情况： ①点是的中点时，， ， ， 此时，点表示的数为：， 点表示的数为：， 点表示的数为：； ②点是的中点时，， ， 无解； ③点是的中点时，因为点的速度最小，所以此种情况不存在． 【点睛】此题是数轴上的动点问题，考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，线段的和差，一元一次方程的应用等，正确用代数式表示移动过程中的点对应的数是解题的关键． 47．已知数轴上两点A，B对应的数分别为和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”． (1)若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少？ (2)若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间． (3)若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P、A、B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数． 【答案】(1) (2)1秒或10秒 (3) 【分析】本题考查了数轴，胜利点的定义，掌握数轴上两点间距离公式，是解决本题的关键． （1）根据点P到点A的距离等于点P到点B的距离，利用距离公式，即可得到结论； （2）根据题意可得，，再根据“好点”的定义即可求解； （3）分五种情况进行讨论：当点是关于P→B的“好点”时；当点是关于B→P的“胜利点”时；当点是关于A→B的“好点”时；当点是关于B→A的“好点”时；当点是关于P→A的“好点”时，分别代入计算即可． 【详解】（1）解：∵数轴上两点A，B对应的数分别为和4， ∴， ∵点P到点A、点B的距离相等， ∴P为的中点， ∴， ∴点P表示的数是； （2）解：根据题意可知：设点P运动的时间为t秒， ， ， 解得或， 所以点P的运动时间为1秒或10秒； （3）解：根据题意可知：设点P表示的数为n， 或， 分五种情况进行讨论： ①当点A是关于P→B的“好点”时， ， 即，解得； ②当点A是关于B→P的“好点”时， ， 即，解得； 或，解得； ③当点P是关于A→B的“好点”时， ， 即或，解得或1（不符合题意，舍去）； ④当点P是关于B→A的“好点”时， ， 即，解得； 或，解得； ⑤当点B是关于P→A的“好点”时， ， 即，解得． 综上所述：所有符合条件的点P表示的数是：． 48．某购物网站销售一种精美笔记本，按销售量分三部分制定阶梯销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过本的部分 3元/本 超过本但不超过本的部分 元/本 超过本的部分 元/本 (1)若购买本这种笔记本，花费___元；若购买本这种笔记本，花费____元； (2)市育才中学德育处陈老师上学期期末时花了元从该网站购买这种笔记本，作为奖励品学兼优学生的奖品，求陈老板师买了多少这种笔记本？ (3)市育才中学校长看到这种笔记本质量不错，价格也比较合理，考虑到这学期举办运动会和艺术节也要发奖品，就让德育处陈老师再买了一些这种笔记本，后来快要开展运动会和艺术节时，学校临时决定增加课后延时服务成果展示项目，又购进一批这种笔记本，这两次在该购物网站共购买这种笔记本本，其中第一次购买的数量大于第二次购买的数量，两次一共花费元，求陈老师这学期第一次购买笔记本的数量． 【答案】(1)， (2)陈老师购买这种笔记本本 (3)陈老师第一次购买这种笔记本本 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）由题意知，购买本这种笔记本，花费；购买本这种笔记本，花费，计算求解即可； （2）设陈老板购买这种笔记本x本．由题意知，买本这种笔记本需元，买本这种本需元，由，可知，依题意得，，计算求解即可； （3）设陈老师第一次购买了y本，则第二次购买本，①若陈老师两次购买这种笔记本的数量都不超过本时， 依题意得，，然后求出满足要求的解即可；②当陈老师第一次购买的数量不低于本，即时，则他第二次购买的数量不超过本，依题意得，，然后求出满足要求的解即可；③当陈老师第一次购买的数量不少于本但少于本，即时，则他第二次购买的数量超过本，依题意得 ，，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，购买本这种笔记本，花费（元）； 购买本这种笔记本，花费（元）； 故答案为：，； （2）解：设陈老板购买这种笔记本x本． 由题意知，买本这种笔记本需元，买本这种本需（元）， ∵， ∴， 依题意得，， 解得，， 答：陈老师购买这种笔记本本； （3）解：设陈老师第一次购买了y本，则第二次购买本， ①若陈老师两次购买这种笔记本的数量都不超过本时， 依题意得，， 此时方程无解，不符合题意；. ②当陈老师第一次购买的数量不低于本，即时，则他第二次购买的数量不超过本， 依题意得，， 解得，舍去； ③当陈老师第一次购买的数量不少于本但少于本，即时，则他第二次购买的数量超过本， 依题意得 ，， 解得：， 答：陈老师第一次购买这种笔记本本． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$