高二上学期数学期中模拟（提升卷）（范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年高二上学期期中模拟（提升卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·江苏无锡·期中）经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由，，有， 经过，两点的直线的方向向量为，则有.故选：C. 2．（23-24高二上·山东青岛·期中）若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【解析】椭圆的长轴端点为， 所以双曲线的焦点为， 故.故选：D. 3．（23-24高二上·河北保定·期中）已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，又， 则点A到平面的距离为.故选：D. 4．（23-24高二上·江西上饶·期中）已知直线，.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】当时，直线的斜率为，的斜率为， 又，所以，充分性成立； 直线，， 若，则有，解得或，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 5．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知空间向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以， 因为与垂直，所以，所以，解得， 所以，所以.故选：B. 6．（23-24高二上·河南·期中）已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为.若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】易知圆的圆心坐标为，半径，连接，如下图所示： 利用对称性由可知， 又易知，所以可得，即， 又，所以为正三角形，即可得；故选：B 7．（23-24高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为，动点P在抛物线C上，点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】抛物线的焦点为，则，所以 则抛物线方程为，故准线方程为：， 抛物线的定义可得，等于点到抛物线准线的距离， 所以的最小值为点到抛物线准线的距离4.故选：C. 8．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，过点作平行于轴的直线交直线于点， 过点作于点表示的长度， 因为直线的方程为， 所以，即， 当固定点时，为定值，此时为零时，最小， 即与重合（平行于轴）时，最小，如图所示， 设，，则， ， 由三角函数知识可知，其中，则其最大值是， 所以，故D正确.故选：D. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·四川资阳·期中）下列说法正确的有（    ） A．若，共线，则 B．任意向量满足 C．若是空间的一组基底，且，则四点共面 D．已知，，则在上的投影向量为 【答案】CD 【解析】，共线，则或四点共线，故A错误； 向量的数量积运算不满足结合律，故B错误； 若是空间的一组基底，则三点不共线，且， 则，即， 所以四点共面，故C正确； 因为，即是单位向量， 且，所以在上的投影向量为，故D正确； 故选：CD 10．（23-24高二上·广东江门·期中）圆和圆的交点为，，则有（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】圆的圆心，半径， 的圆心， 半径， 显然，即圆与圆相交， 对于A，将方程与相减， 得公共弦AB所在直线的方程为，即，A正确； 对于B，由选项A知，直线的斜率，则线段AB中垂线的斜率为， 而线段中垂线过点，于是线段AB中垂线方程为， 即，B正确； 对于C，点到直线的距离为， 因此，C错误； 对于D，P为圆上一动点，圆心到直线的距离为， 因此点P到直线AB距离的最大值为，D正确．故选：ABD 11．（23-24高二上·湖北·期中）已知为椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为（异于点），则（    ） A． B．面积的最大值为 C．周长的最小值为12 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A，设，则，设 ， 由题意可知 ， 则 ，两式相减得， 即，即 ， 由 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A的分析可知，不妨设点在第一象限，则， 所以，当且仅当时取等号， 故 ，故B正确； 对于C，由题意知左焦点为，设右焦点为，， 则根据椭圆的对称性可知，故周长为 ， 而的最小值为椭圆的短轴长 ，由题意可知不能与椭圆短轴重合， 故周长大于，C错误； 对于D，由C的分析可知， ， 故， 当且仅当时取等号，D正确，故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·辽宁·期中）已知和是异面直线，，，则和所成角的大小为 ． 【答案】60°/ 【解析】， ∵异面直线夹角范围是， ∴AB和CD所成角的大小为60°． 故答案为：60°． 13．（23-24高二上·广东河源·期中）在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围 . 【答案】 【解析】 曲线，即（）， 图形为以为圆心，半径为2的半圆（轴右侧）， 当直线过点时，曲线与直线有且只有一个公共点， 可得，解得，直线向下平移， 当直线过点时，可得，解得， 此时曲线与直线有两个交点不符合题意， 当直线与半圆相切时，曲线与直线有且只有一个公共点， 此时由圆心到直线的距离等于半径得 ，解得或（舍）， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 14．（23-24高二上·江苏常州·期中）分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点， 所以，代入， 得， 当且仅当时取等号，即， 又点是双曲线左支上任意一点，所以， 即. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·河南南阳·期中）在平行四边形中，，，，点是线段的中点． (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设点的坐标为，则， 由题意，，又， 故，解得，，， 所以点的坐标为，则， 所以直线的方程为，即； （2）设所求直线为， 点是线段的中点，则， 直线的斜率为， 由于直线与垂直，故直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 16．（23-24高二上·江西赣州·期中）在平行六面体中，，，E为线段上更靠近的三等分点 (1)用向量，，表示向量； (2)求； (3)求. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）如图， . （2） , . （3） . 17．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)；(2)，或. 【解析】（1）由圆关于直线对称， 即圆心在直线，满足， 即圆， 又因为在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为. （2）由，可得， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由由（1）圆心为，可得，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径， 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到，所以，解得或， 故所求直线l的方程为或. 18．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动． (1)求证：； (2)当点E为棱AB的中点时，求点B1到平面ECD1的距离； (3)当AE为何值时，平面D1EC与平面AECD所成角为？ 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，，， 则，，，，， 即，， 因为， 所以，所以. （2）如图，当E为棱AB的中点时，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，则，所以， 设点B1到平面ECD1的距离，， 所以， 所以点B1到平面ECD1的距离为. （3）设时，平面D1EC与平面AECD所成角为，则， 由图知，平面AECD法向量为， ，， 设平面的法向量为， 则，令 ，则，， 所以， 因为平面D1EC与平面AECD所成角为， 所以， 解得或（舍）. 所以当AE为时，平面D1EC与平面AECD所成角为. 19．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知点P是抛物线：的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点. (1)写出抛物线焦点及准线方程； (2)求弦AB长的最小值； (3)若直线AB交椭圆：于C、D两点，、分别是△PAB、△PCD的面积，求的最小值. 【答案】(1)焦点，准线方程为；(2)4；(3). 【解析】（1）因为抛物线：， 所以由题意得， 所以，焦点，准线方程为. （2）设点在抛物线上，则， 联立，消去x得，，即， 所以，关于y的方程有两个相等的实根，此时， 因此，直线与抛物线相切，且切点为. 设点、，， 则以A为切点的切线方程为， 同理以B为切点的切线方程为， ∵两条切线均过点， ∴，即， 所以，点A、B的坐标满足直线的方程， 所以，直线AB的方程为， 在直线AB的方程中，令，可得，所以，直线AB过定点； 由题意可知，直线AB不与x轴重合，可设直线AB的方程为， 联立，可得， 恒成立， 由韦达定理得，， 由弦长公式可得， 当时，弦AB长的最小值为4. （3）设点P到直线AB的距离为d，则, 设、， 由，得， 恒成立. 由韦达定理得，， 由弦长公式得. ∴， 当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期期中模拟（提升卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·江苏无锡·期中）经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·山东青岛·期中）若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 3．（23-24高二上·河北保定·期中）已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江西上饶·期中）已知直线，.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知空间向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河南·期中）已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为.若，则（    ） A． B．1 C． D． 7．（23-24高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为，动点P在抛物线C上，点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·四川资阳·期中）下列说法正确的有（    ） A．若，共线，则 B．任意向量满足 C．若是空间的一组基底，且，则四点共面 D．已知，，则在上的投影向量为 10．（23-24高二上·广东江门·期中）圆和圆的交点为，，则有（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11．（23-24高二上·湖北·期中）已知为椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为（异于点），则（    ） A． B．面积的最大值为 C．周长的最小值为12 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·辽宁·期中）已知和是异面直线，，，则和所成角的大小为 ． 13．（23-24高二上·广东河源·期中）在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围 . 14．（23-24高二上·江苏常州·期中）分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·河南南阳·期中）在平行四边形中，，，，点是线段的中点． (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程． 16．（23-24高二上·江西赣州·期中）在平行六面体中，，，E为线段上更靠近的三等分点 (1)用向量，，表示向量； (2)求； (3)求. 17．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 18．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动． (1)求证：； (2)当点E为棱AB的中点时，求点B1到平面ECD1的距离； (3)当AE为何值时，平面D1EC与平面AECD所成角为？ 19．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知点P是抛物线：的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点. (1)写出抛物线焦点及准线方程； (2)求弦AB长的最小值； (3)若直线AB交椭圆：于C、D两点，、分别是△PAB、△PCD的面积，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$