（挑战奥数）《第10讲：数与形》-人教版六年级数学上册同步思维训练

人教版六年级数学上册同步思维训练 第10讲：数与形 【经典案例】 【例1】按下面的方式摆桌子和椅子，一张桌 子可坐4人，2张桌子可坐6人…… (1)像这样，当桌子数为n时，可以坐多少人? (2)照这样的方式继续摆下去，10张桌子可以坐多少人? ▶【思路提示】 每多一张桌子就会多坐两个人。 ▶【思路分析】 观察上图，一张桌子坐4人，每增加一张桌子就多坐2人。第一张桌子坐了4人，增加(n-1)张桌子，就增加2(n-1)人，n张桌子一共可以坐4+2(n-1)=(2n+2)人。也可想象为左右两边的2人是固定的，一张桌子坐2人，所以n张桌子可坐(2+2n)人。 根据题意，也可以列表分析： 桌子数 1 2 3 10 计算方法 2×1+2 2×2+2 2×3+2 2×10+2 人数 4 6 8 22 发现：总人数=桌子数×2+2。 ▶【规范解答】 (1)当桌子数为n时，可以坐(2n+2)人。 (2)2×10+2=22(人) 答：10张桌子可以坐22人。 ▶【方法点拨】 数形结合法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使代数问题几何化，几何问题代数化。 【强化训练】 ▶【原型题】 将正方形纸片按规律拼成如下的图案。 1.像这样，第n个图案中有多少张纸片? 订正： 2.像这样，第几个图案中恰好有45张纸片? 订正： ▶【变式题】 如图，按照规律拼成下列图案，第8个图形是由多少根小棒拼成的? 订正 ▶【拔高题】 用大小相同的正方形木块铺地面，第一次铺2块，以后每次都把前面一次铺的完全围起来(如图),以此类推。铺了n次后一共用了多少块木块? 订正 【例2】自然数按下图的规律排列，则第28行第29列的数是多少? ▶【思路提示】 找出每行每列的排列规律是解决问题的关键。 ▶【思路分析】 观察上面自然数的排列，可知第1列的数分别是1,4,9,16,25 …… 可得出一个规律：第1列每行的数等于行数的平方，且每行的数的个数与对应列的数的个数相等。由第一列数1,4,9,16,25……得到：1=1²；4=2²；9=3²；16=4²；25=5²……所以第28行第1列为28²=784,第29行第1列的数为29²=841。又每行数的个数与对应列数的个数相等，所以第29行第29列的数为841-29+1=813。根据如图所示的排列，813上面的一个数是812,即第28行第29列的数是812。 ▶【规范解答】 812 ▶【方法点拨】 解答此类问题时，要先根据前面行数和列数的排列找出规律。 【强化训练】 ▶【原型题】 原型题1：李老师把自然数(0除外)按下面的样子排列。 1.照这样排下去，第7行有多少个数? 第12行有多少个数? 订正： 2.第1行到第7行一共有多少个数? 订正： 原型题2：下面“杨辉三角”中，第8行第5个数是多少? 订正： ▶【变式题】 将自然数1,2,3,4,…按照如图方式排列，依次在2,3,5,7,10, …数的位置处拐弯。如果数字2算作第一次拐弯，那么第50次拐弯的数字是多少? 订正 ▶【拔高题】 你能利用下面的图发现（a-b）2=a2-2ab+b2这一公式吗?利用你所学的面积计算的知识，尝试探索一下。 订正 【例1】▶【原型题1】 (1)(4n+1)张 (2)4n+1=45 n=11 解析：第1个图案有正方形纸片5张，第2个图案有正方形纸片5+4=9(张),第3个图案有正方形纸片5+4+4=14(张) …… 第n个图案有正方形纸片5+4(n-1)=(4n+1)(张)。 【例1】▶【变式题1】 第8个图形是由108根小棒拼成的。 解析：第1个图形是1个小三角形 第2个图形由1+2=3(个)无公共边的小三角形拼成 第3个图形由1+2+3=6(个)无公共边的小三角形拼成…… 第8个图形由1+2+3+4+5+6+7+8=36(个) 无公共边的小三角形拼成，每个小三角形需要3根小棒，第8个图形是由36×3=108(根)小棒拼成的。 【例1】▶【拔高题】 2n(2n—1)块 【例2】▶【原型题1】 1. 7×2-1=13(个) 12×2-1=23(个) 2. 1+3+5+7+9+11+13=49(个) 【例2】▶【原型题2】 35 解析：每一行两边都是1,每一个数等于它上方两数之和。第7行数字为1,6,15,20,15,6,1,第8行数字为1,7,21,35,35,21,7,1,所以第5个数是35。 【例2】▶【变式题】 第50次拐弯处的数为： 1+2+4+6+…+50 =1+(2+50)×25÷2 =651 【例2】▶【拔高题】 (a-b)²=a×a-a×b-a×b+b×b=a²-2ab+b² 解析：(a-b)2可以看作边长(a-b)的正方形的面积，a²是大正方形的面积，ab是长a、宽b的长方形的面积，b²是小正方形的面积。从题图中可以得知：边长(a-b)的正方形的面积等于大正方形的面积减去两个长a、宽b的长方形的面积，再加上小正方形的面积，所以(a-b)²=a²-2ab+b²。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$