期中重难点真题特训之易错必刷题型（63题21个考点）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版)

期中重难点真题特训之易错必刷题型（63题21个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、二次函数的相关概念 1．（24-25九年级上·安徽六安·期中）下列函数关系中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 易错必刷题二、二次函数的图象与性质 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）设是抛物线上的三点，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．当抛物线是“美丽抛物线”时， ． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线：（，……）的顶点在直线上，其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…， 根据上述规律解决以下问题：    (1)抛物线的顶点坐标是________； (2)求抛物线线中b，c的值． 易错必刷题三、二次函数、一次函数的图象判断 1．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图是二次函数和一次函数的图象，则不等式的解集是 ． 3．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知：在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象交于点. （1）求，的值； （2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标. 易错必刷题四、二次函数图象与各系数关系 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过 ． 3．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ 易错必刷题五、待定系数法求二次函数解析式 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）抛物线的顶点，则该抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线 经过点，它的对称轴是直线，则这条抛物线的函数表达式是 ． 3．（24-25九年级上·全国·期中）多解法 已知二次函数值y和自变量x部分的对应取值如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 0 0 … 求该二次函数的解析式． 易错必刷题六、二次函数的平移问题 1．（23-24九年级上·全国·期中）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ． 3．（24-25九年级上·全国·期中）把抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度． (1)写出平移后的抛物线的解析式； (2)指出平移后的抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当平移后y随x 的增大而减小时，x的取值范围是什么？ 易错必刷题七、二次函数与方程关系 1．（23-24九年级上·全国·期中）观察下面的表格： 判断方程的一个解的范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，抛物线与直线交于A，B两点，则方程的解为 ． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知二次函数的解析式为． (1)求证：该二次函数的图象与轴总有交点，并指出当为何值时，函数图象与轴只有一个交点； (2)当为何值时，该二次函数的图象经过原点； (3)在（2）的条件下，分别求出当和时的取值范围． 易错必刷题八、二次函数的图形运动问题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时， (1)的面积等于平方厘米？ (2)五边形的面积最小？最小值是多少？ 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）某小区业主委员会决定把一块长，宽的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于，且不大于，设每块绿化区的较长边为，活动区的面积为． (1)写出y与x之间的函数关系式及x的取值范围； (2)求活动区的面积y的最大值； (3)预计活动区造价为50元，绿化区造价为40元，如果业主委员会计划投资不超过72000元来建造，则当x为整数时，共有几种建造方案？ 3．（23-24九年级上·安徽六安·期中）与是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，、分别是直角边、的中点．位置固定，按如图叠放，使斜边在直线上，顶点与点M重合．等腰直角以1厘米/秒的速度沿直线向右平移，直到点与点N重合．设x秒时，与重叠部分面积为y平方厘米． (1)求y与x的函数关系式； (2)当与重叠部分面积为平方厘米时，求移动的时间． 易错必刷题九、二次函数中的销售问题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）某工艺品厂生产一款工艺品，已知这款工艺品的生产成本为60元/件．经市场调研发现，这款工艺品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间存在着如表所示的一次函数关系： 售价x/（元/件） … 70 90 … 销售量y/件 … 3000 1000 … (1)求销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式． (2)求每天的销售利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式． (3)如何定价才能使该工艺品厂每天获得的销售利润为40000元？ 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式； (2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元； (3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 3．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10 市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4 当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售价格不低于2元/千克，不得高于10元/千克． (1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值； (3)当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润． 易错必刷题十、二次函数中的喷水与投球问题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素） 2．（23-24九年级上·安徽淮南·期中）某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式． (2)游乐园决定对喷水设施做如下设计改进，在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 米，各方面喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合．请求出扩建改造后喷水池水柱的最大高度？ 3．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头的M处有一棵高度是的树，距离这棵树的N处有一面高的围墙．建立如图所示的平面直角坐标系．已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）（单位：m）近似满足函数关系 (1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 14 16 y 0 ①根据上述数据．求这些数据满足的函数关系； ②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由． (2)某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式： （A）； （B）； （C）； （D）． 其中正确的不等式是 ．（填上所有正确的选项） 易错必刷题十一、反比例函数的相关概念 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）下列四个说法：①书的总页数一定，未读的页数与已读的页数成正比例；②如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率成正比例；③小麦的总产量一定，每公顷产量与公顷数成反比例；④圆柱体积一定，圆柱的底面积与高成反比例．其中正确说法的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 3．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 易错必刷题十二、求反比例函数解析式 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）小华以每分钟字的速度书写，分钟写了字，则与的函数关系为（   ） A． B． C． D． 3．23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）已知四边形的两条对角线互相垂直，长度分别为，，若四边形的面积为定值，则关于的函数关系式为 ． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 易错必刷题十三、反比例函数与几何综合 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，在矩形中，点A，B在y轴上，轴，对角线相交于点P，，若点B的纵坐标为m，解答下列问题． (1)点A的坐标是______，点C的坐标是______．（用含m的代数式表示） (2)若反比例函数经过P，C两点，求k的值． 2．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，正方形的顶点B、C在x负半轴上，反比例函数的图象经过点，交于点E．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知点A为反比例函数图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，连接．    (1)如图1，若点A的坐标为，求点B的坐标； (2)如图2，过点A作，垂足为D，若设A点坐标为，求四边形的面积． 易错必刷题十四、一次函数与反比例函数图象综合判断 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，设函数：（是常数，，）与函数，（是常数，）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．若点B的坐标为． (1)求，的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，垂直x轴于点B且． (1)求这两个函数解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 3．（23-24九年级上·安徽池州·期中）如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． (1)请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数． (2)求关于的函数表达式． (3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 易错必刷题十五、比例线段 1．（23-24九年级上·安徽·期中）如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽·期中）已知，则的值为 3．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，，． (1)若，，求的长； (2)若，求的长． 易错必刷题十六、黄金分割 1．（23-24九年级上·安徽池州·期中）黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为，则短边长的值最接近的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号） 3．（23-24九年级上·安徽六安·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是AB的一个黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走多少米时恰好站在舞台的黄金分割点上？（结果保留根号） 易错必刷题十七、相似三角形的判定 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足 条件时，（写一个即可）．    3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：． 易错必刷题十八、相似三角形的判定与性质综合 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）如图，已知于点，于点，，，，为上点．若以A，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似，求的长．    2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，过点A作于点E，连接是上的一点，，求证：． 3．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）在锐角三角形中，点D、E分别在边、上，于点F，于点G，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 易错必刷题十九、相似三角形——动点问题 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？    2．（23-24·安徽滁州·期中）在中，，，现有动点从点出发，沿线段向点方向运动：动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求： (1)当时，、两点之间的距离是多少？ (2)若的面积为，求关于的函数关系式． (3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？ 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 易错必刷题二十、图形的位似变换 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，点是四边形内一点，、、、分别是、、、上的点，且，若四边形的面积为，则四边形的面积为 ． 3．（23-24九年级上·安徽池州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)把向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的； (2)画出关于x轴对称的； (3)画出以O点为位似中心的位似图形，使得与的位似比为，并写出各顶点的坐标． 易错必刷题二十一、相似三角形应用举例 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他与该塔的距离米．已知小明的身高为米，他的影长为2米．求信号发射塔的高度． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）某天晚上小涵陪爸爸去公园散步，如图，在路边有一路灯杆，在灯光下，小涵发现爸爸在D点处的影长米，沿方向行走5米到达G点（即米），这时爸爸的影长米．已知爸爸的身高为1.8米，求路灯杆的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之易错必刷题型（63题21个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、二次函数的相关概念 1．（24-25九年级上·安徽六安·期中）下列函数关系中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数，熟练掌握形如的函数称为是二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不是的二次函数，故本选项不符合题意； B、，不是的二次函数，故本选项不符合题意； C、，是的二次函数，故本选项符合题意； D、，不是的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可． 【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为： ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案． 【详解】（1）解： 该二次函数的一般形式是； （2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 易错必刷题二、二次函数的图象与性质 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）设是抛物线上的三点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由点，，与对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ． 故选：A 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．当抛物线是“美丽抛物线”时， ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的性质以及正方形的性质，根据“美丽抛物线”的定义，得出D的坐标为，再运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答． 【详解】解：依题意，∵ ∴抛物线的顶点A的坐标为，点C的坐标为 ∵“美丽抛物线”的定义 ∴点D的坐标为 将代入， 得 解得（舍去）或． 故答案为：8 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线：（，……）的顶点在直线上，其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…， 根据上述规律解决以下问题：    (1)抛物线的顶点坐标是________； (2)求抛物线线中b，c的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）观察发现顶点的横坐标：每个数都是前两个数的和，进而即可求解． （2）设抛物线的解析式为：，化简即可解得． 【详解】（1）解：∵其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，… ∴抛物线的顶点横坐标是， 代入，则， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． （2），当时，抛物线的顶点坐标是， 由顶点式得： ，展开得． ∴，． 【点睛】本题考查了点与函数关系式的关系，既有数的规律，又有点的关系，掌握二次函数的顶点式是关键． 易错必刷题三、二次函数、一次函数的图象判断 1．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，即可得出答案，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线与y轴交于点， A、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，符合题意； B、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； C、由可得，则，故抛物线开口向下，即对称轴，不符合题意； D、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图是二次函数和一次函数的图象，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据图像直接得出不等式的解集即可． 【详解】解：根据图像可知的解集为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据一次函数与二次函数图像的交点坐标求不等式的解集，解题的关键是数形结合思想的应用． 3．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知：在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象交于点. （1）求，的值； （2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标. 【答案】（1），;（2）对称轴为直线，顶点坐标. 【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得m的值，得出A点坐标，再代入二次函数解析式可得c； （2）将（1）中得出的二次函数的解析式化为顶点式可求得其顶点坐标和对称轴． 【详解】解：（1）∵点A在一次函数图象上， ∴m=-1-4=-5， ∵点A在二次函数图象上， ∴-5=-1-2+c，解得c=-2； （2）由（1）可知二次函数的解析式为：， ∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,-1)． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的性质以及二次函数的性质，熟记各知识点是解此题的关键． 易错必刷题四、二次函数图象与各系数关系 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数系数符号的确定．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴的位置及开口方向可判断的符号，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由抛物线的开口向下知， 与轴的交点为在轴的正半轴上， ， 对称轴为， 、异号，即． 故选：B． 2．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过 ． 【答案】第四象限 【分析】由二次函数的图象可判断出a、b的符号，再进行判断一次函数的图象所在的象限，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上， ∴， ∴对称轴， ∴， ∴一次函数与y轴的交点在x轴的上方，且，经过一、三象限， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴不经过第四象限， 故答案为：第四象限． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象的性质，掌握二次函数及一次函数图象的性质是解题关键． 3．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ， ∵或1， ∴当时，该函数有最小值． 易错必刷题五、待定系数法求二次函数解析式 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）抛物线的顶点，则该抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法是解答本题的关键． 根据题意，抛物线的顶点坐标为，得到对称轴经过点，列出二元一次方程组，即可求出答案． 【详解】解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴经过点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：． 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线 经过点，它的对称轴是直线，则这条抛物线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴， 故答案为∶ ． 3．（24-25九年级上·全国·期中）多解法 已知二次函数值y和自变量x部分的对应取值如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 0 0 … 求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 解法一：用顶点式求解； 解法二：用两点式求解； 解法三：用一般式求解． 【详解】解：解法一：根据表格可知二次函数图象的顶点坐标为， 可设二次函数的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴该二次函数的解析式为． 解法二：根据表格可知二次函数图象与x轴的交点坐标为和，可设二次函数的解析式为， 将代入得， 解得a＝1， ∴该二次函数的解析式为． 解法三：设二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点， ∴． 将和代入， 得 解得 ∴该二次函数的解析式为． 易错必刷题六、二次函数的平移问题 1．（23-24九年级上·全国·期中）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移与几何变换，熟练掌握并利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减进行分析是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移2个单位所得抛物线的解析式为：． 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移1个单位所得抛物线的解析式为：，即． 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ． 【答案】， 【分析】此题考查了二次函数的平移规律，由一般式转化为顶点式， 首先将化为，然后根据函数平移的规律求解即可． 【详解】∵抛物线， ∴把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为，即． ∴，． 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·全国·期中）把抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度． (1)写出平移后的抛物线的解析式； (2)指出平移后的抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当平移后y随x 的增大而减小时，x的取值范围是什么？ 【答案】(1) (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的平移问题： （1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）平移后的抛物线解析式开口向下，则在对称轴右侧，y随x 的增大而减小，据此可得答案． 【详解】（1）解：把抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为； （2）解：∵平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线解析式开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：∵平移后的抛物线解析式开口向下， ∴在对称轴右侧，y随x 的增大而减小， 又∵对称轴为直线， ∴当y随x 的增大而减小时，． 易错必刷题七、二次函数与方程关系 1．（23-24九年级上·全国·期中）观察下面的表格： 判断方程的一个解的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解．根据表格中的数据，可以发现：时，；时，，故一元二次方程的一个解的范围是． 【详解】解：根据表格中的数据，知： 方程的一个解的范围是：． 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，抛物线与直线交于A，B两点，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是利用函数图象解一元二次方程，直接根据图象交点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵A，B两点的横坐标为，， ∴方程的解为，， 故答案为：，． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知二次函数的解析式为． (1)求证：该二次函数的图象与轴总有交点，并指出当为何值时，函数图象与轴只有一个交点； (2)当为何值时，该二次函数的图象经过原点； (3)在（2）的条件下，分别求出当和时的取值范围． 【答案】(1)见解析，当时，，则二次函数图象与轴只有一个交点 (2) (3)当时，或；当时， 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，二次函数的图象和性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）求出的值，判断其正负，即可判断与x轴交点个数；求出时a的值即可． （2）把代入求出a的值即可； （3）根据a的值，判断其开口方向，再求出y为0时x的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， 二次函数的图象与轴总有交点， 且当时，，则二次函数图象与轴只有一个交点． （2）解：函数的图象经过原点， ， 解得． （3）解：由（2）得， ∴图象开口向上， 当时，， 解得：或， 当时，或． 易错必刷题八、二次函数的图形运动问题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时， (1)的面积等于平方厘米？ (2)五边形的面积最小？最小值是多少？ 【答案】(1)2秒或4秒； (2)3秒时，五边形的面积最小，最小值是． 【分析】本题主要考查二次函数的应用中的动点问题，一元二次方程的应用，熟练的解一元二次方程以及二次函数的性质是解本题的关键． （1）设运动时间为t，则，，再由面积公式建立方程求解即可； （2）由（1）可得：，要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9， 则此时五边形的面积最小，从而可得答案． 【详解】（1）解：设运动时间为t，则，， 则， 解得：或． 经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米． （2）解： ∵五边形的面积 由（1）可得： ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，有最大值9，此时五边形的面积最小，最小值为． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）某小区业主委员会决定把一块长，宽的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于，且不大于，设每块绿化区的较长边为，活动区的面积为． (1)写出y与x之间的函数关系式及x的取值范围； (2)求活动区的面积y的最大值； (3)预计活动区造价为50元，绿化区造价为40元，如果业主委员会计划投资不超过72000元来建造，则当x为整数时，共有几种建造方案？ 【答案】(1) (2) (3)4种 【分析】本题考查了二次函数的应用， （1）首先根据其宽度不小于，不大于，求出，然后用大矩形的面积减去4个小矩形的面积即可求解； （2）将整理为顶点式，利用抛物线性质即可求解； （3）设费用为w，由题意得，利用抛物线性质和x的取值范围结合即可求解． 【详解】（1）出口的宽度为， ∵其宽度不小于，不大于， ∴． 解得， ∵四周的4个出口宽度相等，设绿化区的宽为a， ∴ ∴ 根据题意得， ∴y与x的函数关系式为； （2）， ∵，抛物线的开口向下，对称轴为， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，． ∴活动区的面积y的最大值为； （3）设投资费用为w， 由题意得，， ∴当时，解得，． ∵，对称轴为， ∴当时，W随x增大而减小， 又∵w不超过72000元， ∴，且x为整数， ∴共有4种建造方案． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期中）与是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，、分别是直角边、的中点．位置固定，按如图叠放，使斜边在直线上，顶点与点M重合．等腰直角以1厘米/秒的速度沿直线向右平移，直到点与点N重合．设x秒时，与重叠部分面积为y平方厘米． (1)求y与x的函数关系式； (2)当与重叠部分面积为平方厘米时，求移动的时间． 【答案】(1) (2)或秒 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，本题的关键是求出重合部分的面积与的函数关系式． （1）可分三种情况进行讨论：①当在内部时，②当，都在外部时，③当在内部时，根据上述三种情况可得出三个不同的函数解析式； （2）根据函数式即可求出当为时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形的直角边都为4，即 ∴，， ∵且分别是直角边、的中点． ∴，， 当在上时，为等腰直角三角形，则 此时，； 当在上时，， 当在上时，， ①如图1，当时，，过点作，则为等腰直角三角形，则，且， ∴， 由平移可知，则重叠部分为平行四边形， 则； ②如图2，当时，如图、、 、是等腰直角三角形， ∵，则，， ∴，， ∴，， 则 即； ③如图3，当时， ，，， 类比①可知，； 综上所述，； （2）∵ ∴当时，重叠部分面积随增大而增大； 当时，重叠部分面积随增大而减小； 当时，；当时，； 综上所述，当与重叠部分面积为平方厘米时， 移动的时间为或秒． 易错必刷题九、二次函数中的销售问题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）某工艺品厂生产一款工艺品，已知这款工艺品的生产成本为60元/件．经市场调研发现，这款工艺品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间存在着如表所示的一次函数关系： 售价x/（元/件） … 70 90 … 销售量y/件 … 3000 1000 … (1)求销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式． (2)求每天的销售利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式． (3)如何定价才能使该工艺品厂每天获得的销售利润为40000元？ 【答案】(1) (2) (3)80 【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答． （1）根据题目中每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间存在着如表所示的一次函数关系和表格中的数据，可以求得销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式； （2）根据题意和（1）中的关系式，可以求得w与x的函数关系式； （3）令代入（2）中的函数关系式，即可求得x的值，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：设销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为， 由题意得，解得， 即销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式是：； （2）解：由题意可得， ， 即每天的销售利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式是：； （3）解：当时， ， 解得，， 答：当定价为80元时，才能使该工艺品厂每天获得的销售利润为40000元． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式； (2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元； (3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)700元 (3)当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元 【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式，根据利润=房间数量每个房间的利润列出函数关系式即可求解； （2）把9600代入中，求解即可； （3）根据利润=房间个数每个房间的利润列出二次函数关系式，根据二次函数顶点式求出最大值即可； 本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，（，且x为整数） ． （2）由题意得， ∴， 解得，， ∵民宿尽最大可能让利游客，， ∴每个房间的定价为（元）． 答：当定价为700元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元． （3）， ∵， ∴当时，W有最大值为9800元，此时（元）． 答：当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元． 3．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10 市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4 当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售价格不低于2元/千克，不得高于10元/千克． (1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值； (3)当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润． 【答案】(1) (2)当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元 (3)厂家每天获得的最大利润为元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质、最大利润的问题，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出函数的关系式是解题的关键． （1）运用待定系数法确定一次函数解析式即可； （2）设厂家每天获得的利润为y元，则，根据每天的产量不大于市场需求量时，求出x的取值解答即可； （3）根据每天的产量大于市场需求量时，求出x的取值解答即可． 【详解】（1）设q与x的函数关系式为，由题意，得 ∴ ∴q与x的函数关系式为； （2）当每天的产量不大于市场需求量时，得， 即， 解不等式得， ∵， ∴； 设厂家每天获得的利润为y元， ∵，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时， ， 答：当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元； （3）当每天的产量大于市场需求时，， ∴， 解不等式得， ∴， 设厂家每天获得的利润为y元， ， ， ， ，， ∵，对称轴为， ∴当时， ， ∵， ∴厂家每天获得的最大利润为元． 易错必刷题十、二次函数中的喷水与投球问题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素） 【答案】(1) (2)球不能射进球门 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）当时，，即可求解． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为，设抛物线， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：当时， ， 球不能射进球门． 2．（23-24九年级上·安徽淮南·期中）某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式． (2)游乐园决定对喷水设施做如下设计改进，在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 米，各方面喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合．请求出扩建改造后喷水池水柱的最大高度？ 【答案】(1) (2)扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键． （1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出a值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，代入点可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论． 【详解】（1）由喷出的水柱为抛物线，在距水池中心4米处达到最高，高度为6米，设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （2）解：当时， ． 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． ∵该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为， ∵ ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头的M处有一棵高度是的树，距离这棵树的N处有一面高的围墙．建立如图所示的平面直角坐标系．已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）（单位：m）近似满足函数关系 (1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 14 16 y 0 ①根据上述数据．求这些数据满足的函数关系； ②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由． (2)某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式： （A）； （B）； （C）； （D）． 其中正确的不等式是 ．（填上所有正确的选项） 【答案】(1)①；②能；见解析 (2)A、C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，运用待定系数法求出函数解析式以及灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）①由表格中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；②把代入①中解析式求出y的值与比较即可； （2）根据题意可知当时，当时以及对称轴直线即可判断． 【详解】（1）解：①根据抛物线过原点，设抛物线解析式为， 把和代入得： ，解得， ∴抛物线解析式为； ②当时，， ∵， ∴喷水头喷出的水柱能越过这棵树； （2）解：∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树， ∴当时，，即，故A正确，符合题意； ∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外， ∴当时，，即，故B不正确，不符合题，C符合题意； 抛物线对称轴为， ∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外， ∴，故D不正确，不符合题意． 故答案为：A、C． 易错必刷题十一、反比例函数的相关概念 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）下列四个说法：①书的总页数一定，未读的页数与已读的页数成正比例；②如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率成正比例；③小麦的总产量一定，每公顷产量与公顷数成反比例；④圆柱体积一定，圆柱的底面积与高成反比例．其中正确说法的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了正比例和反比例的概念； 根据乘积一定的两个量成反比例，商一定的两个量成正比例逐项判断即可． 【详解】解：①书的总页数一定，未读的页数与已读的页数的和一定，未读的页数与已读的页数不成正比例，说法错误； ②如果保持圆的半径不变，圆的周长也不变，而圆周率是定值，故圆的周长与圆周率不成正比例，说法错误； ③小麦的总产量一定，每公顷产量与公顷数成反比例，说法正确； ④圆柱体积一定，圆柱的底面积与高成反比例，说法正确； 正确说法的个数有2个， 故选：B． 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 【答案】 反 【分析】本题考查由表格求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 总本数=每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，那么每包的本数和包数成反比例． 【详解】解：由表格可知：， ， y与x成反比例关系． 故答案为：，反． 3．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数 【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数： （1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可； （2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∴y是x的反比例函数； （2）由题意，得， ∴y是x的反比例函数． 易错必刷题十二、求反比例函数解析式 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）小华以每分钟字的速度书写，分钟写了字，则与的函数关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键． 根据总字数等于每分钟写的字数乘以时间列式即可． 【详解】根据题意得， ∴． 故选：B． 3．23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）已知四边形的两条对角线互相垂直，长度分别为，，若四边形的面积为定值，则关于的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键． 根据题意得到，进而求解即可． 【详解】∵四边形的两条对角线互相垂直，长度分别为，， ∴ ∴ ∴关于的函数关系式为． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①， ；② (2)或或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）①将代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得；将、代入即可求解；②设一次函数与轴交于点，可求得，根据即可求解； （2）设点，分类讨论，，，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：①将代入 得： ， 解得：； ∴反比例函数的表达式为： ； ∴，即：； 将、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为： ②设一次函数与轴交于点，如图所示： 由得； ∴ ∴ （2）解：设点， ，则， 解得：； ，则， 解得：或（舍）； ，则， 解得：； 综上所述：点P的坐标为或或 易错必刷题十三、反比例函数与几何综合 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，在矩形中，点A，B在y轴上，轴，对角线相交于点P，，若点B的纵坐标为m，解答下列问题． (1)点A的坐标是______，点C的坐标是______．（用含m的代数式表示） (2)若反比例函数经过P，C两点，求k的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与几何综合，坐标与图形： （1）根据矩形的性质得到，再根据点B的纵坐标为m即可求出答案； （2）先由矩形的性质得到点P是对角线的中点，再根据中点坐标公式得到，最后根据反比例函数图象经过P、C两点进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点B的纵坐标为m， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：∵四边形是矩形， ∴点P是对角线的中点． 由（1）可知，， ∴． ∵反比例函数经过P，C两点， ∴， 解得， ∴． 2．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，正方形的顶点B、C在x负半轴上，反比例函数的图象经过点，交于点E．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法进行计算即可得； （2）根据点D的坐标得且正方形边长为3，即，根据点E在上可设，根据点E在反比例函数上得，即，即可得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式：； （2）解：∵， ∴且正方形边长为3， ∴， ∵点E在上， ∴设， ∵点E在反比例函数上，    ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知点A为反比例函数图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，连接．    (1)如图1，若点A的坐标为，求点B的坐标； (2)如图2，过点A作，垂足为D，若设A点坐标为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了反比函数与几何的综合问题． （1）先根据点A的坐标在反比例函数的图象上，求出点A的坐标为，再由，可得点B的坐标． （2）设，可得点B的坐标为，从而得到点D的坐标为，，分别求出和的面积，即可求解． 【详解】（1）解：将点坐标代入到反比例函数中得， ， ∴点A的坐标为． ∵，， ∴点A为的中点， ∴点B的坐标为． （2）若设A点坐标为， ∵ ∴点B的坐标为：， ∵， ∴轴， ∴点D的坐标为， ∵，且点C在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为：． 易错必刷题十四、一次函数与反比例函数图象综合判断 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，设函数：（是常数，，）与函数，（是常数，）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．若点B的坐标为． (1)求，的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)的值为2，的值为2 (2) 【分析】（1）求得A的坐标，分别代入（是常数，，）与函数（是常数，），即可求得，的值； （2）根据图象即可求得． 【详解】（1）∵点， ∴点， 把代入得， 把代入得， ∴的值为2，的值为2 （2）由图象可知： 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的关系式，解题的关键是根据图象，求出点的坐标，进而求出关系式． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，垂直x轴于点B且． (1)求这两个函数解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)所求的两个函数解析式分别为， (2)4 (3)或 【分析】（1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为3且为负数，由此即可求出k； （2）由函数的解析式组成方程组，解之求得A、C的坐标，然后根据即可求出； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）设A点坐标为，且， 则， ∴， 又∵， 即， ∴． ∴所求的两个函数的解析式分别为，； （2）由， 令，得． ∴直线与y轴的交点D的坐标为， ∵A、C在反比例函数的图象上， ∴，解得，， ∴交点A为，C为， ∴； （3）使不等式成立的x的取值范围是：或． 【点睛】此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．也考查了函数和不等式的关系． 3．（23-24九年级上·安徽池州·期中）如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． (1)请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数． (2)求关于的函数表达式． (3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【答案】(1)图见解析，反比例函数 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）描线，画出函数图象即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据反比例函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图： 它是反比例函数． （2）设这个反比例函数的表达式为 由图像可知，图像过， ∴， ∴． （3）时，中随的增大而减小， 当的值最大时，最小． 即当时， 易错必刷题十五、比例线段 1．（23-24九年级上·安徽·期中）如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 【详解】解：A．， ，故本选项不符合题意； B．， ，故本选项不符合题意； C．， ，故本选项不符合题意； D．， ，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽·期中）已知，则的值为 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，利用设法即可解答，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：， 设，， 则， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，，． (1)若，，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． （1）由平行分线段成比例得出，再代入数值计算； （2）由平行线分线段成比例的性质得出，再代入计算． 【详解】（1）， ， ，，， ， 解得； （2），， . ， ， 解得． 易错必刷题十六、黄金分割 1．（23-24九年级上·安徽池州·期中）黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为，则短边长的值最接近的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，根据短边长与长边长的比为，长边的长为，估算短边长的值，选择最接近的选项即可，熟记“黄金分割率”、正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴选项中最接近的数是5， 故选：B． 2．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即． 【详解】解：∵为的黄金分割点（），的长度为， ∴， ∴， ∴的长度为． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是AB的一个黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走多少米时恰好站在舞台的黄金分割点上？（结果保留根号） 【答案】米 【分析】根据黄金分割的概念，可求出，即可求解． 【详解】解：由题意知米，， ∴米， ∴米，     答：主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上． 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 易错必刷题十七、相似三角形的判定 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：与都是等边三角形， ， 又， ， 与相似的三角形是， 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足 条件时，（写一个即可）．    【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可． 【详解】解：∵， ∴当或或时，． 故答案为：或或． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用勾股定理分别求得各边长，利用相似三角形的判定定理“ 三边对应成比例，两个三角形相似”即可证明结论成立． 【详解】解：观察图形得，， 根据勾股定理，得， ， ， ∴． 易错必刷题十八、相似三角形的判定与性质综合 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）如图，已知于点，于点，，，，为上点．若以A，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似，求的长．    【答案】或3或18 【分析】本题主要考查了三角形相似的性质，解题的关键是注意分和两种情况进行讨论． 【详解】解：设为，当时，， 即， 解得，， 当时，， 即， 解得； 综上分析可知，的长为或3或18． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，过点A作于点E，连接是上的一点，，求证：． 【答案】见详解 【分析】由平行四边形的性质可得，，可得，，即可证；本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键． 【详解】证明： 四边形是平行四边形 ，， ，， ， ，且， 3．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）在锐角三角形中，点D、E分别在边、上，于点F，于点G，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定： （1）根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据，即可得到，又因为，即可证明． （2）先利用勾股定理求出，再根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）证明：于点，于点， ， ， ， ， 又为公共角， ； （2）解：，，， ， ， 易错必刷题十九、相似三角形——动点问题 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？    【答案】的值是或 【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质，列出等式，即可求解． 【详解】解：当△PBQ∽△ABC时， ， 即， 解得， 经检验：是方程的解， 当△PBQ∽△CBA时， ， 即， 解得， 经检验：是方程的解， ∴的值是或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 2．（23-24·安徽滁州·期中）在中，，，现有动点从点出发，沿线段向点方向运动：动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求： (1)当时，、两点之间的距离是多少？ (2)若的面积为，求关于的函数关系式． (3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知的长，可将用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间t求出；当时，根据，可求出时间t． 【详解】（1）由题意得则 （1）当秒时，，， 由勾股定理得； 故、两点之间的距离是 （2）由题意得则 ∴ 由题意可知 ∴关于的函数关系式为 （3）当时 即 解得 当时 即 解得 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)存在，时间t为或秒时，使得与相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）作于点H，先根据勾股定理求出的长，再根据，可得，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，结合相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：不可能； 如图，作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴面积不可能是为； （2）解：理由如下∶ ①当时，则， ∴， 解得∶． ②当时，则， ∴， 解得； 答∶存在，时间t为或秒时，使得与相似． 易错必刷题二十、图形的位似变换 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形. 根据位似的定义判断即可得出答案． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，点是四边形内一点，、、、分别是、、、上的点，且，若四边形的面积为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似变换．利用位似图形的定义得出四边形与四边形的位似比为：，进而得出面积比，即可得出四边形的面积． 【详解】解：， ， 四边形与四边形的位似比为：， 四边形与四边形的面积比为：， 四边形的面积为， 四边形的面积为：． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽池州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)把向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的； (2)画出关于x轴对称的； (3)画出以O点为位似中心的位似图形，使得与的位似比为，并写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析；，， 【分析】本题主要考查了位似作图，轴对称作图，平移作图，根据题意作出对应点的位置，是解题的关键． （1）先作出点、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出点A、B、C关于x轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （3）先根据位似作出点A、B、C的对称点、、，然后顺次连接即可；最后根据图形写出点、、的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：如图，即为所求作的三角形；，，． 易错必刷题二十一、相似三角形应用举例 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他与该塔的距离米．已知小明的身高为米，他的影长为2米．求信号发射塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，先证明，利用三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ∴， ， ，，， ， ， （米）， ∴信号发射塔的高度为米． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 【答案】这个建筑物的高度为12米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A作，交于点F，垂足为G，根据，得到，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案． 【详解】如图，过点A作，交于点F，垂足为G， 由题意，得厘米米，米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：这个建筑物的高度为12米． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）某天晚上小涵陪爸爸去公园散步，如图，在路边有一路灯杆，在灯光下，小涵发现爸爸在D点处的影长米，沿方向行走5米到达G点（即米），这时爸爸的影长米．已知爸爸的身高为1.8米，求路灯杆的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ，即 ，① ∵ ∴ ∴，即 由①②得 解得， ∴ 解得 所以路灯杆的高度为米. 学科网（北京）股份有限公司 $$