精品解析：广东省惠州市泰雅实验高中2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

恵州市泰雅实验高中高一第一次月考试题 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知， 则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. ，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若是必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则ab的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）假设“物理好数学就好”是真命题，那么下列命题正确的是（ ） A. 物理好数学不一定好 B. 数学好物理不一定好 C. 数学不好物理一定不好 D. 物理不好数学一定不好 10. 已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（ ） A B. C D. 11. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，若，则__________. 13. 2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为_________ 14. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. （1）已知集合，讨论中元素个数与的范围； （2）设，已知集合，非空集合，设，若是的必要不充分条件，求的范围. 16. 已知不等式的解集为，不等式的解集为. （1）求集合； （2）若，求的取值范围. 17. 已知一矩形纸片（其中）的周长为.将沿向折叠，折过去后交于点.如果改变的长度（周长保持不变），的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由. 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 19. 已知有限集，若，则称为“完全集”. （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于； （3）若“完全集”，且，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恵州市泰雅实验高中高一第一次月考试题 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得： 命题的否定是． 故选：D 2. 已知， 则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的取值范围，求出的取值范围. 【详解】由题意得，所以． 故选：B. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合补集定义求出集合A，然后根据元素与集合的关系即可得解 【详解】， 又，所以， 所以，，，， 故选：A 4. ，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，因为，故，故B成立， 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误； 故选：B. 5. 若，，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义一一判断求解. 【详解】对A，由，取，则， 由，取，则， 所以是的既不充分也不必要条件，A错误； 对B，由取，则， 由，取，则， 所以是的既不充分也不必要条件，B错误； 对C，由，取，则， 由，取，则， 所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 对D，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以是“”的一个充分不必要条件，D正确； 故选:D. 6. 已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简命题q，再利用必要条件的定义列式求解即得. 【详解】解不等式，得，即， 由是的必要条件，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 7. 若，，，则ab的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式可得，以为整体，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得或（舍去），即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的取值范围是． 故选：D． 8. 设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件，，对，进行取值，再验证是否成立，满足条件的数对即为集合的元素，从而即可求解. 【详解】∵集合，，，， ∴可取1，2，3，可取0，1，2，4. （1）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； （2）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； （3）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是元素； ，由，，不成立，数对不是的元素. 综上，的元素有八个，分别为：，，，，，，，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解元素与集合的关系，并且分类讨论时要做到不重复，不遗漏. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）假设“物理好数学就好”是真命题，那么下列命题正确的是（ ） A. 物理好数学不一定好 B. 数学好物理不一定好 C. 数学不好物理一定不好 D. 物理不好数学一定不好 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知命题得出A,D错误，再转化B,C为集合关系即可得出命题为真. 【详解】设：物理好，：数学好，由题意，“若，则”为真命题，A，D不正确． 如果将物理好的学生定义为集合，数学好的学生定义为集合， 则，或许存在，但，即数学好物理不一定好，B正确； 设为全集，则，因此可以说数学不好的物理一定不好，C正确； 故选：BC． 10. 已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用元素与集合的关系，逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确. 故选：ACD 11. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：∵，，. ∴，. 当且仅当，即，，取“”，∴A正确； 对于B：，由（1）知，∴. ∴.∴B正确； 对于C：. ∴，∴C错误； 对于D：， 当且仅当，即，取“”，∴D正确. 故选：ABD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用集合相等，列出方程组，求得的值，代入即可求解. 【详解】由题意，集合， 因为，可得，解得， 所以 故答案为：. 13. 2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为_________ 【答案】16 【解析】 【分析】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人，只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，结合图列式计算即得. 【详解】不妨设支持德国与西班牙有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人， 只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，如图， 则，由18人不支持德国，得， 由20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，得，， 则，因此， 所以同时支持两支队伍的同学的人数为16人. 故答案为：16 14. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】两项乘积大于等于零恒成立，则两项有相同交点且在同一区间同时取相同的正负值，求出其中一项的零点，代入另一个方程，解得值. 【详解】当时，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， 当时，由可解得， 而方程有两个不相等的实数根且异号， 所以，必定是方程的一个正根， 则，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. （1）已知集合，讨论中元素个数与的范围； （2）设，已知集合，非空集合，设，若是的必要不充分条件，求的范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件，将问题转化成求方程解（不同解）的个数，即可求解； （2）根据条件得到是的真子集，从而建立不等式组（与等号不同时成立），即可求解. 【详解】（1）易知，集合元素个数，等价于方程解（不同解）的个数， 若，即中元素个数为，则有，解得； 若集合中的元素有且仅有一个，则有，解得； 若中元素有2个，则，解得. 综上，当中元素个数为个时，； 当中元素个数为个时，； 当中元素个数为个时，. （2）由题可得是的真子集，且， 所以（与等号不同时成立），解得. 16. 已知不等式的解集为，不等式的解集为. （1）求集合； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用分式不等式的求解方式求解，计算即可； （2）利用绝对值不等式的求解方式求解，然后利用集合的运算以及集合之间的关系求解参数范围即可. 【小问1详解】 由得， 即 即，所以，解得， 所以， 所以或. 【小问2详解】 不等式，解得或， 则， 因为，又因为，则， 所以，解得， 所以的取值范围为. 17. 已知一矩形纸片（其中）的周长为.将沿向折叠，折过去后交于点.如果改变的长度（周长保持不变），的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由. 【答案】存在， 【解析】 【分析】设，，，根据题设得到，从而有，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，矩形的周长为， 设，则，设，则， 由题知，得到， 而为直角三角形，由勾股定理可得， 整理得到，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等，此时，满足， 故存在最大值，当时，最大面积为. 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】（1）采用方案二；理由见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. 【小问2详解】 解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 19. 已知有限集，若，则称为“完全集”. （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于； （3）若为“完全集”，且，求. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可； （2）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设，得到，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 由， ， 所以， 故集合是“完全集”. 【小问2详解】 由题设，令， 则，是方程的两个不同的正实数根， 所以或（舍），即， 又，，若，都不大于2，则，矛盾， 所以，至少有一个大于2. 【小问3详解】 不妨令，则， 所以， 当，即，故，显然无解，不满足； 当，即，只能有，，， 故存在一个“完全集”； 当，， 即， 又， 且， 此时，显然有矛盾， 所以时不存在“完全集”； 综上，. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $