精品解析：辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

2023-2024学年辽宁省沈阳市五校协作体高一（上）期中数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，然后根据补集的概念即可求出结果. 【详解】根据题意，，所以， 故选：C. 2. 已知，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的定义域,结合分式函数分母不为零求出的定义域. 【详解】,,的定义域为. 又，且. 的定义域是. 故选：A 3. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. （-2，-1） B. （-1，0） C. （0，1） D. （1，2） 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的零点判定定理，先判断函数的单调性，然后判断端点值的符合关系． 【详解】解：∵f（x）＝2x+x﹣2在R上单调递增 又∵f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝1＞0 由函数的零点判定定理可知，函数的零点所在的一个区间是（0，1） 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反． 4. 已知，则的值是（ ） A. 15 B. 12 C. 16 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】利用分数指数幂的运算即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 又由立方差公式，， 故选：A． 5. 若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知或，利用偶函数的对称性及单调性列不等式组求解集. 【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递增，且. 所以或，即或， 解得或， 综上，满足原不等式的的取值范围是. 故选：A 6. 二次函数与指数函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数知同号，再结合二次函数的对称轴、二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得答案. 【详解】根据指数函数知同号且不相等，可知二次函数的对称轴，可排除， 对于选项，时，所以，又，所以，与指数函数单调递减矛盾，故不正确. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，属于中档题. \ 7. 已知定义在上偶函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数定义可构造方程求得，由此得到解析式；由已知等式可得到，根据，配凑出基本不等式的形式，利用基本不等式可求得结果. 【详解】为上的偶函数，，即， 即，整理得：，， ，，即； （当且仅当，即时取等号）； 的最小值为. 故选：B. 8. 已知函数，且对任意的实数x，恒成立，函数，若对，，使，则正实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对称性求得，然后求得和在区间上的值域，再结合包含关系来求得的取值范围. 【详解】由于，所以关于直线对称， 所以，即， 解得， 所以 . 当时，，， 令，则在区间上递减， ，所以， 所以当时，. 依题意，，当时，， 函数在上递减，在上递增， ， 所以在区间上，， 所以在区间上，. 由于对，，使， 所以. 故选：B 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 和g（x）=x表示同一个函数 C. 函数的图像关于坐标原点对称 D. 函数f（x）满足，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的相关定义和运算规则逐项分析. 【详解】对于A：由解得或x<－2， 所以函数的定义域为 ，故A正确； 对于B：的定义域为 ，的定义为，定义域不相同， 所以和不同一个函数，故B错误； 对于C： 由，所以为奇函数， 所以函数的图像关于坐标原点对称，故C正确； 对于D：因为函数f（x）满足，所以， 由解得，故D错误； 故选：AC. 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. 若则“"的充要条件是“” B. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C. 若则“对恒成立"的充要条件是“” D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，当时必要性不成立，根据二次方程根的分布列不等式求解即可判断B，根据不等式恒成立条件转化即可判断C，当“”得“或”，从而判断D． 【详解】对于A， 因为可得，当，时，有，所以若则“"是“”的充分不必要条件，故A错； 对于B，方程有一个正根和一个负根，则 ，整理得，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，当时，“对恒成立"的充要条件是“”，故C错； 对于D，当“”是“”成立，当“”得“或”，故“”是“”的充 分不必要条件，D正确． 故选：BD 11. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，直接运用均值不等式即可判断； 对B，，运用均值不等式即可判断； 对C，，讨论二次函数最值即可； 对D，，讨论最值即可 【详解】，，当时，即时，可取等号，A错； ，当时，即时，可取等号，B对； ，当时，可取等号，C对； ，D错. 故选：BC 12. 已知函数，有4个零点，，，，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. 函数的图象关于原点对称 C. D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分段函数的性质，以及二次函数零点与方程的根的关系，即可分析零点，进而判断正误. 【详解】解：由题可知，当时，有2个零点，故，解得， 当时，此时，而，易知，也有2个零点，故，A正确； ，B错误； 的4个零点满足：，则，是方程的两个根， 则有，且，， 于是得，C正确； 由C选项知，， 由，得：， 而函数在上单调递减，从而得，D正确. 故选：ACD. 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 函数且图象必过定点___________． 【答案】 【解析】 【分析】令，求得和的值，从而求得函数且恒过定点的坐标． 【详解】令，求得，且， 故函数且恒过定点. 故答案为：． 14. 函数满足对任意都有，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义先判断出数在上为单调递增，然后两段函数均为单调递增函数结合交界点处函数值的大小，列出不等关系式，求解即可． 【详解】因为对任意都有，所以函数在上为单调递增， 又函数， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 15. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数性质先求出，然后结合奇函数定义可求时的函数解析式． 【详解】因为是定义域为的奇函数，当时，， 所以，即，此时， 则当时，，， 所以． 故答案为：． 16. 设函数的定义域为，满足，且当时，，则当时，函数所有零点组成的集合是___________． 【答案】 【解析】 【分析】确定出在上的最大值和最小值，根据函数的定义得出所以时，，因此只要求出时的函数解析式，解方程即可得，为此利用函数定义分段求解：和． 【详解】当时，函数的零点，即方程的根， 由可知，函数的图象每向右平移2个单位长度，函数值变为原来的3倍， 函数的图象每向左平移2个单位长度，函数值变为原来的倍， 当时，，因此， ，则最小值是，最大值是0， 所以时，， 因此时，无实数解， 又即为， 所以时，，， 由解得， 当时，则， ， 由，解得或， 当时，函数的零点是． 故答案为：． 四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17. 已知命题p：实数x满足集合，q：集合 （1）若，求; （2）若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2），或，或. 【解析】 【分析】（1）代入，解不等式求出集合和可得答案； （2）讨论、 、时，解不等式求出集合，若q是p的必要不充分条件，利用可得答案. 【详解】（1）若，则， 或，所以. （2）若q是p的必要不充分条件，则，， 当时，，符合； 当时，，若， 则， 或解得； 当时，，若， 则， 解得； 综上所述，实数a的取值范围为，或，或. 18. 已知关于的不等式. （1）该不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）若该不等式的解集为集合的子集，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可知1和4是方程的两根，且，利用韦达定理即可求解； （2）恒成立，分和两种情况，结合二次函数运算求解； （3）分和两种情况，根据子集关系结合二次函数列式求解. 【小问1详解】 因为的解集为， 可知1和4是方程的两根，且， 由根与系数关系可得，解得 【小问2详解】 因为的解集为，即恒成立， 若，则不恒成立，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 设不等式的解集为，可知， 若，则，解得，即，不合题意； 若，可知，则有： 当时，由（2）可知：； 当时，必有，令，可知其开口向上，对称轴为， 若，则；若，则； 结合二次函数图象有，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 19. 2022年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，每生产千件该产品，需另投入成本万元，且，假设该产品对外销售单价定为每件0.9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完． （1）求出全年的利润万元关于年产量千件的函数关系式； （2）试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）； （2）该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元 【解析】 【分析】（1）利用分段函数即可求得全年的利润万元关于年产量千件的函数关系式； （2）利用二次函数求值域和均值定理求值域即可求得该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以． 【小问2详解】 若，则，当时，； 若，， 当且仅当，即时，等号成立，此时． 因为，所以该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元． 20. 已知定义域为R的函数是奇函数. （1）求实数a的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先通过求出a的值，然后再利用奇偶性的定义验证即可； （2）任取，通过计算的正负可得单调性； （3）利用函数奇偶性和单调性将不等式转化为恒成立，利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由于定义域为R的函数是奇函数， 故，即：，解得. 当时， 有 此时是奇函数， ； 【小问2详解】 由，得到函数， 任取， 则 ，，即， ， 即函数为增函数. 【小问3详解】 对任意的，不等式恒成立， 即：， 由于为增函数，故：，所以：， 即：， 当时，不等式成立； 当时，，则：， 即：m的取值范围是：. 21. 已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，都有；③当时，. （1）证明：为奇函数. （2）解不等式. （3）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用赋值法先求出，再令即可得证； （2）先证明函数在上是减函数，再求得，最后将不等式转化为求解即可； （3）将题意转化为，恒成立即可. 【小问1详解】 由题意函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，则，故. 令，则，故. 故为奇函数. 【小问2详解】 任取，且. 由题意，，， 故，即， 又，故在上为减函数. 因为，所以，， 故即， 即，化简可得，解得. 【小问3详解】 由（2）知在上为减函数，故在上最大值为. 要使对任意的，恒成立，则，即对任意恒成立. 又是关于的一次函数，故只需， 即，解得. 22. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1. （1）求､的值； （2）设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由已知可得在上单调递增，列关于的方程组求解； （2）①利用换元法将问题化为，利用配方法求不等式右侧的最小值，从而得解； ②将问题转化为有两个，数形结合得到或，从而转化为关于的不等式组求解. 【小问1详解】 ， 在上单调递增， 故，解得； 【小问2详解】 ①由（1）知，， ， 不等式可化为， 即，令，则， ，原命题等价于， 记，则， 的取值范围是； ②方程可化为： ， 令，则方程化为， 方程有三个不同实数解， 由的图象知， 方程有两个， 且或， 记， 则或，解得， 实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：关于方程根的个数问题的思路有： （1）对方程进行整体换元； （2）根据换元的对象，由图象变换，画出其图象； （3）根据方程根的个数，分析函数值的取值范围及二次方程根的个数； （4）利用二次函数根的分布问题进行解决即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年辽宁省沈阳市五校协作体高一（上）期中数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. （-2，-1） B. （-1，0） C. （0，1） D. （1，2） 4. 已知，则的值是（ ） A. 15 B. 12 C. 16 D. 25 5. 若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数与指数函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的偶函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且对任意的实数x，恒成立，函数，若对，，使，则正实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 下列说法正确是（ ） A. 函数的定义域为 B. 和g（x）=x表示同一个函数 C. 函数的图像关于坐标原点对称 D. 函数f（x）满足，则 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. 若则“"的充要条件是“” B. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C. 若则“对恒成立"的充要条件是“” D. “”是“”的充分不必要条件 11. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 最小值为 D. 的最大值为2 12. 已知函数，有4个零点，，，，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. 函数的图象关于原点对称 C. D. 的取值范围是 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 函数且的图象必过定点___________． 14. 函数满足对任意都有，则的取值范围是______． 15. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时，______． 16. 设函数的定义域为，满足，且当时，，则当时，函数所有零点组成的集合是___________． 四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17. 已知命题p：实数x满足集合，q：集合 （1）若，求; （2）若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 18. 已知关于的不等式. （1）该不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）若该不等式的解集为集合的子集，求实数的取值范围. 19. 2022年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，每生产千件该产品，需另投入成本万元，且，假设该产品对外销售单价定为每件0.9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完． （1）求出全年利润万元关于年产量千件的函数关系式； （2）试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润． 20. 已知定义域为R的函数是奇函数. （1）求实数a的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 21. 已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，都有；③当时，. （1）证明：为奇函数. （2）解不等式. （3）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围. 22. 已知函数区间上有最大值4和最小值1. （1）求､的值； （2）设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$