精品解析：辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高三上学期期中I考试数学试卷

2024-2025学年度上学期高三年级期中I考试数学科试卷 命题人：邰海峰 商广东 校对人：赵焱 第I卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点分别为、，则复数的共轭复数的虚部为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义和复数的除法计算法则即可计算. 【详解】由题可知，，， ， 则的共轭复数为：，其虚部为. 故选：A﹒ 2. 等比数列的公比为q，前n项和为，则以下结论正确的是（ ） A. “q0”是“为递增数列”的充分不必要条件 B. “q1”是“为递增数列”的充分不必要条件 C. “q0”是“为递增数列”的必要不充分条件 D. “q1”是“为递增数列”的必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】等比数列为递增数列，有两种情况，或，从而判断出答案. 【详解】等比数列为递增数列，则，或， 所以等比数列为递增数列， 但时，等比数列不一定为递增数列 所以“q0”是“为递增数列”的必要不充分条件. 故选：C 3. 函数，则的部分图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断在区间上函数值的正负，用排除法得到答案. 【详解】函数的定义域为， ， 即函数为偶函数，排除BD； 当时，，排除A. 故选：C. 4. 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）．已知经过，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：） A. 3h B. 4h C. 5h D. 6h 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，进而利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可 【详解】由题意可知， 所以， 又因为， 所以， 所以 ， 比较接近3， 故选：A 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据公式化解条件等式，再结合二倍角和两角差的正弦公式，即可化解求值. 【详解】由条件等式可知，， 整理为，则， 又，， 所以，， 所以 . 故选：D 6. 已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解. 【详解】法一：设的重心为，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，的最小值是. 法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系， 则， 设，即， 化简得，点的轨迹方程为， 设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小， 又，故得最小值为. 故选：C. 7. 已知，，，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小． 【详解】对于的大小：，，明显； 对于的大小：构造函数，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 即 对于的大小：，，， 故选B． 【点睛】将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目． 8. 设函数（），若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定函数为奇函数，证明函数为增函数，构造函数，确定其单调性，而不等式化为，利用单调性解不等式．注意函数的定义域． 【详解】函数，，定义域关于原点对称， 且，所以是奇函数， 当时，， ，则，， 所以，即，所以函数单调递增， 所以当时，函数单调递增，所以函数当单调递增 所以令，，解得， 令， 则在上单调递增， 原不等式可化为，而， 所以，解得，则，即解集为． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式转化变形，然后对选项逐一判断，即可证明. 【详解】对于A，由，利用基本不等式，可得， 解得，又（当且仅当时，等号成立）， 而，所以，所以，故A正确； 对于B，由，利用基本不等式， 由得， 则（当且仅当时，等号成立），解得，即，故B错误； 对于C，， 又，即， 由B选项知，所以，故C正确； 对于D，由配方得， 则，，可解得， 又因题设中，所以，故D正确， 故选：ACD. 10. 已知函数（ ） A. 若在区间上单调，则 B. 将函数的图像向左平移个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，则的最小值为 C. 若函数在区间上恰有三个极值点，则 D. 关于x的方程在上有两个不同的解，则 【答案】CD 【解析】 【分析】求出函数单调递增满足的关系可判断；通过三角函数的平移变换及三角函数为偶函数的条件求解即可判断；根据三角函数的图象及性质通过卡根求解即可判断. 【详解】，， 若在区间上单调， 则，或 于是，解得， 或，解得， 由，解得，故错误； 函数的图像向左平移个单位得， 则，且曲线C对应的函数为偶函数， 则，即， 由，可得的最小值为，故错误； ，， 函数在区间上恰有三个极值点， ，解得，故正确； ，即， 在上有两个不同的解， 即在上有两个不同的解， 则，则，故正确. 故选：. 11. 已知是定义在上连续的奇函数，其导函数为，，当时，，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. 4为的周期 D. 在处取得极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义及导数的运算法则判断A，依题意可得，即可判断B，推导出即可判断C，结合单调性及奇偶性、周期性判断D. 【详解】对于A，是定义在上连续的奇函数，则， 两边求导可得，所以， 因为为的导函数，所以有，即为偶函数，故A正确； 对于B，若，则，则， 所以的图象关于直线对称，故B错误； 对于C，因为，所以，即， 又为偶函数，所以，所以， 所以，故为的周期，故C正确； 对于D，当时，，则在区间上为增函数， 由为偶函数，可得在区间上为减函数， 由4为的周期，可得在区间上为增函数 则在区间上为减函数，在上单调递增， 故在处取得极小值，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分. 12. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得. 【详解】由向量与的夹角为锐角，得，且不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 13. 设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】令，根据分母最大分子最小时分式的值最小可得，结合基本不等式和计算即可． 【详解】因为，所以, 所以， 当且仅当即时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 14. 若存在正实数x，使得不等式成立，则a的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同构法先把不等式化为，构造函数，利用函数单调性，转化为，再分离参数得，再求函数的最大值即可. 【详解】由， 又，所以. 设，则， 所以在上单调递增. 所以（）. 设（），则， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 因为存在正实数x，使得不等式成立，所以. 即的最大值为：. 故答案为： 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求c； （2）若，，点M在线段BC上，，求的余弦值. 【答案】（1）5； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，由三角形内角性质结合正弦定理有，即可得. （2）由余弦定理求，根据已知有是等边三角形可求，再应用余弦定理求的余弦值. 【小问1详解】 依题意，，有， 又，得，而， 所以. 【小问2详解】 由，有， 即，又，得， 在中，由，，得是等边三角形，，， 所以. 16. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）设函数的极大值为，求证：． 【答案】（1） （2） 由得 函数的导数为：． 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以函数的极大值为：． 要证明，即证明， 设，且. 则导数为：， 所以当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以， 即，即， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可得该点的斜率，代入直线的点斜式方程即可； （2）根据导数判断函数的单调性，即可确定极大值，再将不等式转化为函数，通过导数证明即可. 【小问1详解】 当时，，且， 即函数的导数：， 所以函数在点的斜率， 又， 所以函数在点的切线方程为：，即． 【小问2详解】 略 17. 已知函数，，. （1）讨论的单调性； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得. （2）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在，上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. 【小问2详解】 由，得， 由，得，当时，不等式显然成立， 设，， 则， 当时，，函数在上单调递增，则； 当时，设， 则方程有两根，，于是， 当时，，则，在上单调递减， 又，则当时，，不满足条件， 所以的取值范围是. 18. 已知数列满足递推关系，，又. （1）当时，求数列的通项公式； （2）若数列满足不等式恒成立，求的取值范围； （3）当时，证明. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）化简得到，构造所以数列是等比数列，进而求出数列的通项公式. （2）根据条件，和推出，所以数列为正数，解不等式，化简得到，结合二次函数的性质，当n=1时，m有最小值-3，即可求出m的范围. （3）首先，由（2）可知，时，.然后令，，因为m<1,对进行放缩，得到成立，最后对不等式左右两侧相加证明即可. 【详解】（1）由, 得，又， 数列是以2为首项以2为公比的等比数列， ， ； （2）由，而. ，. 恒成立， ，即； （3）由（2）得当时知，， 设，， . ， 故 , . 当n=1时，， 当n时， , 即. 【点睛】本题考查数列的递推公式，等比数列的构造，考查变量分离以及函数的恒成立问题，考查利用放缩法证明不等式，同时考查了整体思想的运用，本题综合性较强，属于难题. 19. 对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的． （1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的． （2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列． （3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式． 【答案】（1） 是等差数列，设， 令， 则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的． （2） 因为数列是“优分解”的，设， 其中， 则． 当时， 当时，是首项为，公比为的等比数列． （3） 【解析】 【分析】（1）是等差数列，则，令，可得结论； （2）设，可得，进而可得结论； （3）设，可得是首项为2，公比为的等比数列，设，可得，可得，可得数列是首项，公比为的等比数列，可求的通项公式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 一方面，数列是“优分解”的，设， 其中，由（2）知 因为，所以． 是首项为2，公比为的等比数列． 另一方面，因为是“优分解”的，设， 其中， 是首项为2，公比为的等比数列， ，且， 化简得， 即数列是首项，公比为的等比数列． 又， 又解得， 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，弄清题意，并充分应用等比和等差数列的性质是解题的关徤. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期高三年级期中I考试数学科试卷 命题人：邰海峰 商广东 校对人：赵焱 第I卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点分别为、，则复数的共轭复数的虚部为( ) A. B. C. D. 2. 等比数列的公比为q，前n项和为，则以下结论正确的是（ ） A. “q0”是“为递增数列”的充分不必要条件 B. “q1”是“为递增数列”的充分不必要条件 C. “q0”是“为递增数列”的必要不充分条件 D. “q1”是“为递增数列”的必要不充分条件 3. 函数，则的部分图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 4. 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）．已知经过，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：） A. 3h B. 4h C. 5h D. 6h 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 7. 已知，，，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 8. 设函数（），若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（ ） A. 若在区间上单调，则 B. 将函数的图像向左平移个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，则的最小值为 C. 若函数在区间上恰有三个极值点，则 D. 关于x的方程在上有两个不同的解，则 11. 已知是定义在上连续的奇函数，其导函数为，，当时，，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. 4为的周期 D. 在处取得极小值 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分. 12. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________. 13. 设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为______. 14. 若存在正实数x，使得不等式成立，则a的最大值为______． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求c； （2）若，，点M在线段BC上，，求的余弦值. 16. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）设函数的极大值为，求证：． 17. 已知函数，，. （1）讨论的单调性； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知数列满足递推关系，，又. （1）当时，求数列的通项公式； （2）若数列满足不等式恒成立，求的取值范围； （3）当时，证明. 19. 对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的． （1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的． （2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列． （3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $