精品解析：福建省泉州市安溪俊民中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

2024年秋季安溪俊民中学高一年上学期第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列说法中正确是（ ） A. 集合中有两个元素 B. 集合{0}中没有元素 C. ∈{x|x<2} D. {1，2}与{2，1}是不同的集合 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合M={2，4，8}，N={1，2}，P={x|x，a∈M，b∈N}，则集合P的子集个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 63 5. 已知全集，集合，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，，则“”是“”（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知A，B是非空集合，定义AB={x∣AB且}，若M={x∣-1≤x≤4}，N={x∣x<2}，则MN=（ ） A. {x∣-1≤x<2} B. {x∣2≤x≤4} C. {x∣x<-1或2≤x≤4} D. {x∣x≤-1或2<x≤4} 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是存在量词命题且是真命题的是（ ） A. 存在实数，使 B. 存在一个无理数，它的立方是有理数 C. 有一个实数的倒数是它本身 D. 每个四边形的内角和都是360° 10. 下列说法正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集”，则下列说法正确的是（ ） A. 不是“可分集” B. 集合中元素个数最少为7个 C. 若集合是“可分集”，则集合中元素全为奇数 D. 若集合是“可分集”，则集合中元素个数为奇数 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用列举法表示集合＝________． 13. 给出下列命题： （1），；（2），；（3），，使得． 其中真命题的个数为______． 14. 非空集合具有下列性质：①若，，则；②若，，则，下列判断一定成立的序号是___________. （1） （2） （3）若，，则 （4）若，、则 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若集合，． （1）若，求． （2）若，求实数m取值范围． 16. 已知集合，，． （1）若，求实数构成的集合； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知集合 ，，且． （1）若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 18. （1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. （2）超市里面提供两种糖：白糖每千克元，红糖每千克元.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量） 19. 对于四个正数，，，，如果，那么称是的“下位序列”. （1）对于2，3，7，11，试问是否为的“下位序列”； （2）设，，，均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，，之间的大小关系； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季安溪俊民中学高一年上学期第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 集合中有两个元素 B. 集合{0}中没有元素 C. ∈{x|x<2} D. {1，2}与{2，1}是不同的集合 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合判断A；利用集合的意义及性质判断B，D；利用元素与集合的关系判断C作答. 【详解】对于A，，集合中有两个元素，A正确； 对于B，集合{0}有一个元素0，B不正确； 对于C，，因此，C不正确； 对于D，由于集合中的元素具有无序性，{1，2}与{2，1}是同一集合，D不正确. 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由并集运算即可求解. 【详解】集合，，所以． 故选：D 3. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题为全称量词命题， 其否定为：. 故选：A 4. 已知集合M={2，4，8}，N={1，2}，P={x|x，a∈M，b∈N}，则集合P的子集个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 63 【答案】C 【解析】 【分析】由集合M={2，4，8}，N={1，2}，P={x|x，a∈M，b∈N}，求出集合P，由此能求出集合P的子集个数. 【详解】解：集合M={2，4，8}，N={1，2}， P={x|x，a∈M，b∈N}， ∴P={1，2，4，8}， ∴集合P子集个数为：24=16. 故选：C. 5. 已知全集，集合，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦恩图知阴影部分为，结合集合交集、补集的运算求集合即可. 【详解】由题图，阴影部分为，而或，且， 所以. 故选：A 6. 王昌龄是盛唐著名边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断 【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场； 即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件 故选：A 7. 已知，，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】当时，则，但是，不是充分条件， 当时，因为，，所以，即， 当且仅当等号成立，所以是必要条件， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含. 8. 已知A，B是非空集合，定义AB={x∣AB且}，若M={x∣-1≤x≤4}，N={x∣x<2}，则MN=（ ） A {x∣-1≤x<2} B. {x∣2≤x≤4} C. {x∣x<-1或2≤x≤4} D. {x∣x≤-1或2<x≤4} 【答案】C 【解析】 【分析】先求出和，再根据的定义，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，集合 ，， 则，， 所以或， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是存在量词命题且是真命题的是（ ） A. 存在实数，使 B. 存在一个无理数，它的立方是有理数 C. 有一个实数的倒数是它本身 D. 每个四边形的内角和都是360° 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知逐个判断各选项即可得出结果. 【详解】对于A.是存在量词命题，但不存在实数，使成立，即为假命题，故A错误， 对于B,是存在量词命题，例如无理数，它的立方是为有理数，故B正确， 对于C,是存在量词命题，例如1的倒数是它本身，为真命题，故C正确， 对于D,是全称量词命题，故D错误， 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A：由，可得.判断正确； 选项B：令， 满足，但是 则不成立.判断错误； 选项C：由，可得， 则不等式两边均除以可得.判断正确； 选项D： 又，则， 则，则.判断正确. 故选：ACD 11. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集”，则下列说法正确的是（ ） A. 不是“可分集” B. 集合中元素个数最少为7个 C. 若集合是“可分集”，则集合中元素全为奇数 D. 若集合是“可分集”，则集合中元素个数为奇数 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A根据“可分集”性质进行判断即可. 选项C，D，根据“可分集”性质可知“可分集”元素之和减去任意一个元素一定为偶数，根据此特性分类讨论集合中元素为奇数和为偶数时的情况即可. 根据选项C，D结论，分类讨论中元素个数分别为3，5，7时是否可以为“可分集”即可. 【详解】根据“可分集”性质可知，当集合为时：去掉元素3，则不可拆分成符合题意的可分集，故A错误. 设集合所有元素之和为M. 由题意可知，均为偶数，因此同为奇数或同为偶数. (Ⅰ)当M为奇数时，则也均为奇数，由于，所以n为奇数. (Ⅱ)当M为偶数时，则也均为偶数，此时可设，因为为“可分集”，所以也为“可分集”.重复上述有限次操作后，便可得到一个各元素均为奇数的“可分集”，且对应新集合之和也为奇数，由 (Ⅰ)可知此时n也为奇数. 综上所述，集合A中元素个数为奇数. 故C错D对. 由上述分析可知集合中元素个数为奇数，不妨假设： 当时，显然任意集合都不是“可分集”; 当时，设集合，其中，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有或; 将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有或 由①，③可得，矛盾；由①，④可得，矛盾；由②，③可得，矛盾；由②，④可得，矛盾. 因此当时，不存在“可分集”； 当时，设集合， 去掉元素1，；去掉元素3， 去掉元素5，；去掉元素7， 去掉元素9，；去掉元素11， 去掉元素13，，所以集合是“可分集”. 因此集合A中元素个数n的最小值是7，故B正确. 故选：ABD 【点睛】1.本题“新定义”题，主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题. 2.本题考查了考生分类讨论的能力，考生需要做到讨论情况涵盖所有情况，还需要能将讨论思路转换为数学语言的能力. 3.对于全称命题型的选项考生可考虑通过举反例的方式排除. 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用列举法表示集合＝________． 【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}. 【解析】 【分析】利用题目条件，依次代入，使，从而确定出的值，即可得到答案 【详解】， 为的因数 则 则答案为 【点睛】本题主要考查了集合的表示法，理清题意，找出满足条件的因数是关键，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于基础题． 13. 给出下列命题： （1），；（2），；（3），，使得． 其中真命题的个数为______． 【答案】1 【解析】 【分析】由时，；，当，时，，可判断真命题的个数. 【详解】对于（1），当时，，所以（1）是假命题； 对于（2），，所以（2）是假命题； 对于（3），当，时，，所以（3）是真命题． 所以共有1个真命题， 故填：1. 【点睛】本题考查全称命题和特称命题的判断，属于基础题. 14. 非空集合具有下列性质：①若，，则；②若，，则，下列判断一定成立的序号是___________. （1） （2） （3）若，，则 （4）若，、则 【答案】（1）（2）（4） 【解析】 【分析】（1）用反证法，证明矛盾即可；（2）由开始类推，能得到所有自然数均属于集合，由题知，两者相除也属于集合；（3）和（4）属于同类型，因为加减乘除分别互为逆运算，所以也成立. 【详解】假设，则令， 则，， 令，， 则，， 令，， 不存在，即，矛盾， 所以，（1）对； 由题知，， 则，， ， ，（2）对； 因为， 若， 则，（3）错； 因为，， 所以， 又，，（4）对. 故答案为：（1）（2）（4） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若集合，． （1）若，求． （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据交集和子集的定义，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，， 因为，所以； 【小问2详解】 解：由得, 所以m的取值范围是. 16. 已知集合，，． （1）若，求实数构成的集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）分、讨论，根据包含关系求解； （2）根据，分讨论求解可得答案. 【小问1详解】 ∵， ①若，则，满足题意． ②若，则B＝，由得：或， ∴或，∴实数构成的集合为； 【小问2详解】 若，则， 若，即，，满足条件； 若，即，则，或，不满足条件， 若，则，则， 综上所述或. 17. 已知集合 ，，且． （1）若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题； （2）命题q：“，”真命题，所以，通过关系解决. 【小问1详解】 由命题p：“，”是真命题，可知， 又，所以 ，解得． 【小问2详解】 因为，所以，得． 因为命题q：“，”是真命题，所以， 所以，或，得． 综上，． 18. （1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. （2）超市里面提供两种糖：白糖每千克元，红糖每千克元.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量） 【答案】（1）；证明见解析；（2）小东买到的糖的平均价格较高，证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据糖在糖水中所占的比例的变化可得出不等式，利用此结果从而求解； （2）求出两人买到的糖的平均价格，利用作差法可得出结论. 【小问1详解】 糖水变甜了得出不等式 设的三边长分别为，则有， 由上述不等式可得：， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以：. 【小问2详解】 对于小东而言，他买到的糖的平均价格为（元/千克）， 对于小华而言，设小华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克， 故小华买到的糖的平均价格为（元/千克）， ，即小东买到的糖的平均价格较高. 19. 对于四个正数，，，，如果，那么称是的“下位序列”. （1）对于2，3，7，11，试问是否为的“下位序列”； （2）设，，，均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，，之间的大小关系； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值. 【答案】（1）不是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据“下位序列”的定义判断即可； （2）根据“下位序列”的定义列不等式组，然后作差比较大小； （3）根据“下位序列”的定义列不等式组，利用不等式组求出的范围，然后将恒成立问题转化最值问题即可求出正整数的最小值. 【小问1详解】 不是的“下位序列” 【小问2详解】 是的“下位序列” ，，，均正数 故， 即 同理， 综上所述：； 【小问3详解】 由已知得， 因为为整数， 故， ， 该式对集合内的每一个 的每个正整数都成立， 对集合内的每一个，总存在，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”， 正整数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$