3.2.2双曲线的几何性质【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

3.2.2双曲线的几何性质 【考点归纳】 · 考点一：双曲线的简单几何性质 · 考点二：等轴双曲线 · 考点三：双曲线的渐近线问题 · 考点四：双曲线的的离心率问题 · 考点五：直线与双曲线的位置关系 · 考点六：双曲线的弦长、焦点弦问题 · 考点七：双曲线中的定值、定点问题 考点梳理】 知识点一：双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点二：等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 考点三:直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 考点四：弦长公式 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝. 【题型归纳】 题型一：双曲线的简单几何性质 1．（23-24高二上·安徽·期末）已知双曲线：与：，则（    ） A．与的实轴长相等 B．与的渐近线相同 C．与的焦距相等 D．与的离心率相等 2．（22-23高二上·山西·期中）已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 3．（20-21高二下·海南·阶段练习）已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为8 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为 题型二：等轴双曲线 4．（23-24高二上·安徽）已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（20-21高二上·吉林白城·期中）等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·四川宜宾·三模）等轴双曲线：的焦距为4，则的一个顶点到一条渐近线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 题型三：双曲线的渐近线问题 7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知双曲线的焦距为12，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（20-21高二上·辽宁丹东·期末）中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高三上·河北·阶段练习）过点且渐近线与双曲线的渐近线相同的双曲线方程为 . 题型四：双曲线的的离心率问题 10．（2024·河北衡水·三模）已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 11．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知双曲线的渐近线与轴的夹角为，则此双曲线的离心率为（    ） A．或 B． C． D． 12．（22-23高二上·广东江门·阶段练习）设双曲线的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或2 D．2 题型五：直线与双曲线的位置关系 13．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知双曲线的离心率为且过点，直线与C的右支有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高三上·广东湛江）已知双曲线的一条渐近线方程是分别为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则（    ） A． B． C． D． 15．（2020高三·全国·专题练习）已知离心率为的双曲线：(，)的左、右焦点分别为、，直线：与双曲线交于、两点，若，则=（    ） A． B． C． D． 题型六：双曲线的弦长、焦点弦问题 16．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 17．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 18．（22-23高二·全国·单元测试）若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线C的方程； (2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积. 题型七：双曲线中的定值、定点问题 19．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程; (2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值； 20．（22-23高二下·全国）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 21．（22-23高二上·辽宁锦州·期中）已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由. 【高分达标】 一、单选题 22．（23-24高二上·江苏连云港·期末）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则此双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·广东广州·一模）已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若双曲线的渐近线与圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C．2 D． 25．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆与双曲线的公共焦点是， 点A是与的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．2 26．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知是双曲线的右焦点，直线与交于两点.若的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知为双曲线：的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，，则C的离心率是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线左、右焦点分别为、，、为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知圆的一条切线与双曲线C：（，）有两个交点，则双曲线C离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知为坐标原点，双曲线的渐近线方程是，且经过点，过的右焦点的直线与两条渐近线分别交于点A，，以为直径的圆过点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的标准方程为 B．直线的倾斜角为或 C．圆的面积等于 D．与的面积之比为 二、多选题 31．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知曲线C：，则（    ） A．存在m，使C表示圆 B．当时，则C的渐近线方程为 C．当时，则C的焦点是， D．当C表示双曲线时，则或 32．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．C的离心率为 C． D．C的渐近线方程为 33．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知曲线C的方程为（），则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线C为圆 B．“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要且不充分条件 C．存在实数k使得曲线C为双曲线，且离心率为 D．当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 34．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的左支没有公共点，则双曲线的离心率可能为（    ） A． B． C．2 D．3 35．（23-24高二上·广东广州）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D． 三、填空题 36．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为 ． 37．（23-24高二下·河南）已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是 . 38．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 39．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知过双曲线右焦点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点.若，则双曲线的离心率为 .    40．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右顶点分别为、，点在双曲线上且位于第一象限，若且，则的值是 . 四、解答题 41．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知双曲线，，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 42．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线标准方程， (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 43．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线：过点，离心率为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值. 44．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点M在双曲线上，且． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线交双曲线C于A，B两点，若的面积为，求实数m的值． 45．（23-24高二上·江苏南京·期末）设，在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，直线 与双曲线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 46．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线的离心率为，上焦点到其中一条渐近线的距离为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线上支于，两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2双曲线的几何性质 【考点归纳】 · 考点一：双曲线的简单几何性质 · 考点二：等轴双曲线 · 考点三：双曲线的渐近线问题 · 考点四：双曲线的的离心率问题 · 考点五：直线与双曲线的位置关系 · 考点六：双曲线的弦长、焦点弦问题 · 考点七：双曲线中的定值、定点问题 考点梳理】 知识点一：双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点二：等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 考点三:直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 考点四：弦长公式 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝. 【题型归纳】 题型一：双曲线的简单几何性质 1．（23-24高二上·安徽·期末）已知双曲线：与：，则（    ） A．与的实轴长相等 B．与的渐近线相同 C．与的焦距相等 D．与的离心率相等 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出两条双曲线实半轴长、虚半轴长、半焦距，渐近线方程及离心率即可判断得解. 【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，渐近线方程为，离心率， 双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，渐近线方程为，离心率， 因此与的焦距都是，只有C正确，ABD错误. 故选：C 2．（22-23高二上·山西·期中）已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质逐一判断即可 【详解】因为，所以， 因为焦点在轴上， 所以的焦点坐标为，顶点为，离心率为，虚轴长为． 故选：A. 3．（20-21高二下·海南·阶段练习）已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为8 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质直接求解即可. 【详解】由题得双曲线方程为， 所以，所以实轴长为6，故A错误； 双曲线的渐近线方程为，故B正确； 双曲线的焦点到一条渐近线即的距离为 ， 由于对称性，双曲线的上下焦点到两条渐近线的距离都相等， 故C错误； 双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误. 故选:B. 题型二：等轴双曲线 4．（23-24高二上·安徽）已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出等轴双曲线的标准方程，将代入即可求解. 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将点代入得，解得. 所以双曲线的标准方程为. 故选:C. 5．（20-21高二上·吉林白城·期中）等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先设方程，再利用焦点求参数a，即得结果. 【详解】由题意知，焦点在x轴上，设等轴双曲线方程为，∴，∴，故双曲线方程为. 故选：B. 6．（2022·四川宜宾·三模）等轴双曲线：的焦距为4，则的一个顶点到一条渐近线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用等轴双曲线，实轴和虚轴长度相等，即，即可求解渐近线方程、顶点坐标等. 【详解】由题可知，双曲线为等轴双曲线， 故双曲线的半实轴长与半虚轴长相等，即， ∴渐近线方程为. 又，且，∴， ∴双曲线的顶点坐标为， ∴一个顶点到一条渐近线的距离为. 故选：A. 题型三：双曲线的渐近线问题 7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知双曲线的焦距为12，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的焦距，求得，再求渐近线方程即可. 【详解】因为双曲线的焦距为，所以，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 8．（20-21高二上·辽宁丹东·期末）中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的离心率，转化求解双曲线的渐近线方程即可． 【详解】解：中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为， 可得，所以， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为：，即． 故选：D． 9．（21-22高三上·河北·阶段练习）过点且渐近线与双曲线的渐近线相同的双曲线方程为 . 【答案】 【分析】由题意可知，设与双曲线的渐近线相同的双曲线方程为，将点代入，即可求出，进而求出结果. 【详解】根据题意，双曲线渐近线方程为，所以要求的双曲线方程为，又过点，代入方程可得，因此双曲线方程为. 故答案为:. 题型四：双曲线的的离心率问题 10．（2024·河北衡水·三模）已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】两圆的方程相减可得双曲线的一条渐近线方程，据此可求双曲线的离心率. 【详解】因为，，所以两圆方程相减可得， 由题意知的一条渐近线为，即， 双曲线的离心率． 故选：C． 11．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知双曲线的渐近线与轴的夹角为，则此双曲线的离心率为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线标准方程得出渐近线，再由渐近线与轴夹角即可求出，然后利用双曲线中的关系式，即可求出离心率. 【详解】由题知，双曲线方程为， 则渐近线为， 因为渐近线与轴的夹角为， 所以，即， 又，所以，. 故选：C 12．（22-23高二上·广东江门·阶段练习）设双曲线的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或2 D．2 【答案】D 【分析】写出直线方程，利用点到直线距离公式，以及之间的关系列方程求出双曲线的离心率，再根据分类讨论，确定双曲线的离心率. 【详解】解：由题意 在双曲线中，， 半焦距为，直线过，两点 ∴ 在中，原点到直线的距离为， ∴解得： ∵ ∴当时，解得：，舍去， 当时，解得：，符合题意， 综上，， 故选：D. 题型五：直线与双曲线的位置关系 13．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知双曲线的离心率为且过点，直线与C的右支有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线方程，根据双曲线与双曲线右支有两个不同的交点，利用韦达定理列出不等式进行求解. 【详解】离心率为的双曲线是等轴双曲线， 所以可设双曲线的方程是， 将点的坐标代入得， 所以的方程是， 将代入上式并消去整理得 ， 则解得或. 故选:A. 14．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程是分别为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由双曲线的渐近线方程可得，再根据及M点坐标即可求出答案. 【详解】 解：由题意得： 因为该双曲线的一条渐近线方程是，则， 又由，可得， 由过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，可知M的横坐标为， 代入椭圆方程即可得：，， 又有，可知， 所以. 故选：D 15．（2020高三·全国·专题练习）已知离心率为的双曲线：(，)的左、右焦点分别为、，直线：与双曲线交于、两点，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先由离心率得到双曲线的方程可化为，再求出,由即得解. 【详解】由双曲线的离心率为，可得，故， 故双曲线的方程可化为， 联立可得和， 故， 而， 由可得， 则， 故选：B. 题型六：双曲线的弦长、焦点弦问题 16．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线定义可得，即可求得的方程为； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理由弦长公式计算即可求得，可得直线的方程. 【详解】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； （2）如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意； 所以直线的方程为. 17．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程和焦距，列方程组求出，得到双曲线C的标准方程； （2）直线与双曲线联立方程组，求出弦长，点到直线距离公式求出的高，可求面积． 【详解】（1）由题意得：，解得，，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，联立方程组消去y整理得， 则，，， ， 原点到直线AB的距离， 所以． 18．（22-23高二·全国·单元测试）若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线C的方程； (2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义和条件求解； （2）先求出 和 ，再根据余弦定理求出与夹角，运用三角形面积公式计算. 【详解】（1）令分别是左右焦点，则，得， 双曲线的方程为 ，将点 代入上式，得： ， 双曲线的标准方程为 ； （2）不妨设点P在第一象限，由双曲线的几何性质知： ， ，解得 ， 在△中，， 设与的夹角为 ，由余弦定理得：， ； 综上，双曲线的标准方程为，△的面积为 . 题型七：双曲线中的定值、定点问题 19．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程; (2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率以及经过的点，联立即可求解； （2）联立直线与双曲线方程，可得交点坐标，即可根据两点距离公式代入化简求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以双曲线的方程为，即 因为点在双曲线上，所以，所以 所以所求双曲线的方程为即 （2）由题意可得直线OP的斜率存在，可设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为， 由 ，得，所以 同理可得，， 所以 20．（22-23高二下·全国·开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由可得，即可求出，然后由可求出，即可得到答案； （2）设，然后可得，结合双曲线的方程可证明. 【详解】（1）因为，，分别是线段，，的中点， 所以，． 因为，所以， 所以由双曲线的定义知，解得． 设双曲线的半焦距为（）． 因为，所以， 所以，所以． 所以双曲线的标准方程为． （2）设（），则， 所以，所以，所以． 因为，，所以， 所以，为定值． 21．（22-23高二上·辽宁锦州·期中）已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，2 【分析】（1）根据题意列式求解，即可得方程；（2）设直线，联立方程由可得，根据题意求的坐标，即可求的面积，化简整理即可. 【详解】（1）设双曲线的焦距为， 由题意可得：，则， 则双曲线的方程为. （2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在， 设直线的方程为， 则，消得：， 则，可得：① 设与轴交点为， 则， ∵双曲线两条渐近线方程为：， 联立，解得，即， 同理可得：， 则（定值）. 【高分达标】 一、单选题 22．（23-24高二上·江苏连云港·期末）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则此双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的方程为，根据已知条件列方程，确定双曲线的方程，利用计算即可. 【详解】设双曲线的方程为，根据已知条件可得， 解得，，所以双曲线方程为，，，， . 故选：A. 23．（2024·广东广州·一模）已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆与双曲线的性质结合离心率关系计算关系即可. 【详解】由题意可知， 又，所以， 易知双曲线的渐近线方程为，所以其渐近线方程为. 故选：A 24．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若双曲线的渐近线与圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式求解即得. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 圆的圆心，半径， 依题意，双曲线的半焦距，，则， 所以双曲线的实轴长为. 故选：B 25．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆与双曲线的公共焦点是， 点A是与的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】不妨设在第一象限，为左焦点，双曲线，根据椭圆定义和勾股定理方程组，得到，故，结合，得到离心率 【详解】由椭圆定义得， ， 由勾股定理得，即， 所以， 不妨设在第一象限，为左焦点， 则， 设双曲线，则，解得， 又，故， 故双曲线的离心率为. 故选：A 26．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知是双曲线的右焦点，直线与交于两点.若的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求长，利用对称性和双曲线定义可得，由的周长可得，联立求解得，然后根据的面积构造齐次式可解. 【详解】记双曲线左焦点为， 将代入解得，所以， 由对称性可知，，所以①， 又的周长为，所以②， 联立①②求解可得， 记AF的中点为D，则， 所以，即，得， 所以. 故选：A 27．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知为双曲线：的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，，则C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义求出，结合余弦定理可求离心率. 【详解】不妨设分别为双曲线的左右焦点，连接， 因为A，B两点关于原点对称，所以为平行四边形，所以， 因为，， 所以. 因为，所以； 在中，由余弦定理可得， 因为，所以，即. 故选：D 28．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线左、右焦点分别为、，、为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线方程得到渐近线方程，由得到，，再由得到，则，构造齐次式，解出离心率. 【详解】 由双曲线，易得双曲线的渐近线为或， 由题意，易得以为直径的圆的方程为， 设，，则，， 联立，解得或， ，， 又，轴， ，则， ，即， ． 故选：． 29．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知圆的一条切线与双曲线C：（，）有两个交点，则双曲线C离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合点到直线的距离公式，求出圆切线斜率的值，可得出双曲线渐近线的斜率范围，即可求解. 【详解】由可得圆心，半径， 则圆心到切线的距离， 解得：，所以切线方程为， 因为与双曲线有两个交点， 所以，所以， 即双曲线的离心率的取值范围为. 故选：A. 30．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知为坐标原点，双曲线的渐近线方程是，且经过点，过的右焦点的直线与两条渐近线分别交于点A，，以为直径的圆过点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的标准方程为 B．直线的倾斜角为或 C．圆的面积等于 D．与的面积之比为 【答案】D 【分析】设双曲线方程为，代入求出双曲线的标准方程可判断A；，根据渐近线方程和倾斜角可得直线的倾斜角可判断B；根据双曲线的对称性，设的倾斜角为，求出直线的方程分别与两条渐近线方程联立，解得，点坐标，求出得圆的半径，求出圆的面积可判断C； 为与的公共边， 与的面积之比等于可判断D. 【详解】对于A，∵双曲线的渐近线为，∴设双曲线方程为， ∵双曲线经过点，∴，得. ∴双曲线的标准方程为，故A正确； 对于B，∵以为直径的圆过点，∴，又渐近线方程为， 可得渐近线的倾斜角分别为，，则，， 则直线的倾斜角为或，故B正确； 对于C，根据双曲线的对称性，不妨设的倾斜角为，由， 可得直线的方程为，分别与两条渐近线方程联立， 解得，，此时， 故圆的半径，其面积为，故C正确； 对于D，∵为与的公共边， ∴与的面积之比等于， 故与的面积之比为，故D错误. 故选：D. 二、多选题 31．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知曲线C：，则（    ） A．存在m，使C表示圆 B．当时，则C的渐近线方程为 C．当时，则C的焦点是， D．当C表示双曲线时，则或 【答案】AD 【分析】由圆方程的特征得到，从而判断A；利用双曲线渐近线公式判断B；由题意得，从而由椭圆方程特征得到焦点在轴上，进而判断C；由双曲线方程的特征得到，从而判断D. 【详解】A选项，当，即时，为圆，故A正确； B选项，当时，，故渐近线方程为，故B错误； C选项，当时，则，显然C的焦点在轴上，故C错误； D选项，当C表示双曲线时，，则或，故D正确. 故选：AD. 32．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．C的离心率为 C． D．C的渐近线方程为 【答案】AB 【分析】根据双曲线的简单性质计算即可. 【详解】由标准方程可得， 所以，A正确； 离心率，B正确； ，，C错误； 渐近线方程为，D错误. 故选：AB. 33．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知曲线C的方程为（），则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线C为圆 B．“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要且不充分条件 C．存在实数k使得曲线C为双曲线，且离心率为 D．当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 【答案】ABD 【分析】根据圆锥曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，曲线C的方程为（） 对于A中，当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，所以是A正确的； 对于B中，当曲线C的方程为（），表示焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要且不充分条件，所以B正确； 对于C中，当曲线C的方程为（）表示离心率为的双曲线时，则满足， 无解，所以C不正确； 对于D中，当时，曲线C的方程为（），可得，此时双曲线C渐近线方程为，所以D是正确的. 故选：ABD. 34．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的左支没有公共点，则双曲线的离心率可能为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】AB 【分析】求出双曲线的渐近线与之间的距离，根据直线和圆的位置关系，列不等式，即可求得双曲线离心率范围，即可判断答案. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即， 则与直线间的距离为， 由于点是直线上任意一点，圆与双曲线的左支没有公共点， 故，即双曲线离心率，    结合选项，可知A，B正确， 故选：AB 35．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】AC 【分析】A：根据椭圆和双曲线定义用表示出，结合余弦定理可得等式并判断即可； B：根据化简A的结果，然后作出判断； C：根据D的结果结合基本不等式求解出最小值并判断； D：根据A的结果，将等式左右两边同除可得结果并判断即可. 【详解】不妨设在第一象限，如下图： 对于A：因为，所以， 又因为， 所以， 化简可得，故A正确； 对于B：因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以不一定成立，故B错误； 对于D：因为，所以，所以，故D错误； 对于C：由D可知，所以， 所以，当且仅当即时取等号，故C正确； 故选：AC. 三、填空题 36．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由若双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线标准方程可设为，由虚轴长为，可知，再由渐近线方程为，可知，代入即可求解. 【详解】由若双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线标准方程可设为：， 由虚轴长为，可知，再由渐近线方程为，可知， 所以双曲线标准方程为：. 故答案为：. 37．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得出，其中，结合离心率公式即可得解. 【详解】设渐近线的倾斜角为，则，即， 所以，离心率. 故答案为：. 38．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可求解直线方程． 【详解】设，， 则，， 又， ， 两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为， 直线l的方程为， 化简得，经检验满足题意. 故答案为：. 39．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知过双曲线右焦点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点.若，则双曲线的离心率为 .    【答案】 【分析】先设坐标再应用坐标的线性运算，最后结合数量积公式计算得出齐次式求出离心率. 【详解】设，， 因为，所以， 又，所以，则， 因为，所以 又，所以，所以， 则，则 故答案为: 40．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右顶点分别为、，点在双曲线上且位于第一象限，若且，则的值是 . 【答案】 【分析】设，则，由得出，再由正弦定理有，即可得出. 【详解】如图所示，设，则， 设，则，即， 由双曲线方程可得， 所以， 又，， 则，解得，则， 在中，由正弦定理得， 可得. 故答案为：. 四、解答题 41．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知双曲线，，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据直线过点，写出点斜式，当直线与渐近线平行时，与双曲线有且只有一个交点，当直线与渐近线不平行时，联立直线与双曲线，根据判别式可得斜率的值； （2）根据双曲线的定义及三角形余弦定理与面积公式可得解. 【详解】（1）当时，， 则直线的方程为， 又双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点； 当时， 联立方程组， 得， ， 解得； 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； （2）由双曲线， 则，，， 又点在双曲线上，即，即， 在中， 由余弦定理， 即， 解得， 所以的面积. 42．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线标准方程， (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）利用渐近线方程巧设双曲线方程，再由待定系数法即可求解； （2）利用向量数量积的坐标运算，再结合二次函数性质，即可得出结果. 【详解】（1）由双曲线一条渐近线方程为，可以该双曲线方程为， 由点在双曲线上，可得，即， 所以双曲线标准方程为. （2）由双曲线标准方程为可知：左顶点的坐标为，右焦点为的坐标， 可设双曲线右支上任意一点，且，则， 所以， 又因为满足双曲线方程，则， 所以， 由于二次函数的对称轴是， 所以当，单调递增， 即当时，二次函数有最小值， 所以的最小值是. 43．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线：过点，离心率为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合代入法进行求解即可； （2）设直线的方程为，直线的方程为，，将代入直线可得，联立直线与椭圆方程得关于的一元二次方程，由韦达定理得；联立方程和渐近线方程求出，得到，由题易得，即，联立求出的关系式，再由定义表示出，将所有未知量全部代换成即可求证. 【详解】（1）因为双曲线：过点，离心率为， 所以有； （2）设直线的方程为， 直线的方程为，， 将代入直线得，即， 联立，得， 得，即，， 因为在第一象限，双曲线渐近线方程为， 联立，得，即， 联立，得.即， 所以， 因为，所以，所以①， 又②， ①②得，， 所以， 所以， 因为 所以，为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 44．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点M在双曲线上，且． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线交双曲线C于A，B两点，若的面积为，求实数m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据已知条件，求得，即可求得双曲线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，根据韦达定理求得弦长，利用点到直线的距离求得三角形的高，根据三角形面积，即可求得参数. 【详解】（1）由条件知，，故． 即双曲线标准方程为. （2）设，O到直线l的距离为h， 联立得， 由，解得， 而又由， 故弦长， 解得，故． 45．（23-24高二上·江苏南京·期末）设，在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，直线 与双曲线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据题意，联立方程组，消去可得，进而利用韦达定理即可求解. （2）记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【详解】（1）由题设，联立方程组，可得，消去可得. 因为直线与双曲线的右支交于两点， 所以满足，解得或. 故实数的取值范围. （2）由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点， 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 由（1）问可知，，则，所以. 46．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线的离心率为，上焦点到其中一条渐近线的距离为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线上支于，两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点 【分析】（1）根据离心率、双曲线的渐近线以及点到直线的距离公式，建立方程，可得答案； （2）根据题意，设出直线方程与交点坐标，联立方程写出韦达定理，进而建立方程，可得答案. 【详解】（1）因为离心率为且双曲线，则①， 上焦点到其中一条渐近线的距离为2，渐近线方程， ②，联立①②，解得， 则双曲线的标准方程为； （2） 易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 显然，且， 由韦达定理得，， 假设在轴上存在定点，使得恒成立， 不妨设，此时， 即 ， 解得，则点的坐标为． 综上，轴上存在点，使恒成立． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$