3.2.1双曲线的标准方程【6大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

3.2.1双曲线的标准方程 【考点归纳】 · 考点一： 利用双曲线的定义求方程 · 考点二：双曲线的定义求最值问题 · 考点三：双曲线中的焦点三角形问题 · 考点四：双曲线的参数问题 · 考点五：双曲线的标准方程的求法 · 考点六：双曲线方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一：双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 知识点二：双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 重难点技巧： （1）,,表示双曲线；（2）,,表示两条射线； （3）,表示双曲线的一支；（4）,表示一条射线. 【题型归纳】 题型一： 利用双曲线的定义求方程 1．（23-24高二上·全国）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·陕西渭南·期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：双曲线的定义求最值问题 4．（22-23高二·全国·课堂例题）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江西·阶段练习）若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·宁夏石嘴山）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型三：双曲线中的焦点三角形问题 7．（23-24高二上·四川成都）设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（　　） A．12 B．24 C． D． 8．（23-24高二上·江苏南通）已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的公共点，且，则的面积为(     ) A． B． C． D． 9．（23-24高二上·重庆沙坪坝）设、分别是双曲线：的左、右两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ） A．4 B． C．3 D．2 题型四：双曲线的参数问题 10．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·江苏常州·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 题型五：双曲线的标准方程的求法 13．（24-25高二上·江苏盐城）求下列各曲线的标准方程 (1)抛物线的焦点是双曲线的左顶点，求抛物线标准方程． (2)已知椭圆与圆，双曲线与椭圆有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的标准方程． 14．（23-24高二上·安徽六安·期末）根据下列条件求双曲线的标准方程： (1)过点（2，0），与双曲线1的离心率相等； (2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）． 15．（2023高二上·江苏·专题练习）求满足下列条件的双曲线的方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点； (2)渐近线方程为，且经过点． 题型六：双曲线方程的综合问题 16．（24-25高二上·全国）求适合下列条件的参数的值或范围： (1)已知，当为何值时， ①方程表示双曲线；②表示焦点在轴上的双曲线；③表示焦点在轴上的双曲线； (2)已知双曲线方程为，焦距为6，求的值． 17．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，． (1)求双曲线C的方程； (2)若，求． 18．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的左顶点为A，为上（异于A）一点. (1)已知点，求当取得最小值时直线的方程； (2)若直线与直线交于点，证明：为定值. 【高分达标】 一、单选题 19．（24-25高二上·山东菏泽）已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高三上·云南·阶段练习）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为 （     ） A． B．或 C． D． 22．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二下·甘肃白银·期末）设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（    ） A．1 B． C． D．2 26．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 27．（24-25高二上·江苏连云港）已知方程表示的曲线为，则（    ） A．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 28．（23-24高二上·河北保定·期末）平面直角坐标系中，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点轨迹为椭圆 B．若，则点轨迹为双曲线 C．若，则点轨迹关于轴、轴都是对称的 D．若，则点轨迹为圆 29．（23-24高二上·四川成都·期末）双曲线的左、右焦点分别为，下列说法正确的有（    ） A．若，则双曲线的离心率为 B．若双曲线的渐近线方程为，则 C．若双曲线的焦距为为该双曲线上一点，且，则 D．若点为双曲线上一点，且，则 30．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（    ） A． B． C．的面积为31 D．的周长为 三、填空题 31．（24-25高二上·全国）已知双曲线右支上一点到直线的距离为3，若点到右焦点的距离为，则点的坐标为 ． 32．（24-25高二上·全国）已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 . 33．（24-25高二上·全国·课后作业）在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为 ． 34．（24-25高二上·全国）已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为 ． 四、解答题 35．（23-24高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 36．（24-25高二上·上海浦东新）已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”． (1)若和都成立，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 37．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上． 38．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点， (1)求双曲线的标准方程； (2)若点在双曲线上，且，求与的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1双曲线的标准方程 【考点归纳】 · 考点一： 利用双曲线的定义求方程 · 考点二：双曲线的定义求最值问题 · 考点三：双曲线中的焦点三角形问题 · 考点四：双曲线的参数问题 · 考点五：双曲线的标准方程的求法 · 考点六：双曲线方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一：双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 知识点二：双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 重难点技巧： （1）,,表示双曲线；（2）,,表示两条射线； （3）,表示双曲线的一支；（4）,表示一条射线. 【题型归纳】 题型一： 利用双曲线的定义求方程 1．（23-24高二上·全国）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方程. 【详解】，，又动点满足， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线方程为， 则有， 动点的轨迹方程为． 故选：A． 2．（21-22高二上·陕西渭南·期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两圆相切分析可知，符合双曲线的定义，可得，，根据双曲线中a，b，c的关系，即可求出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】解：已知圆：圆心，半径为4， 动圆圆心为，半径为， 当两圆外切时：，所以； 当两圆内切时：，所以； 即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义， 所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，， ， 所以动圆圆心的轨迹方程为：， 故选：C. 3．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意有，从而有，根据双曲线的定义得点的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可. 【详解】如图所示： ∵是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点， ∴，， ∵是圆上一动点，∴，∴， ∴，，， ∴点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且，，得， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 题型二：双曲线的定义求最值问题 4．（22-23高二·全国·课堂例题）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义可得，求的最小值相当于求的最小值，当三点共线时能取得最小值. 【详解】因为，所以要求的最小值， 只需求的最小值. 如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时， 最小，最小值为. 故的最小值为.    故选：C 5．（23-24高二下·江西·阶段练习）若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先得到圆心坐标与半径，双曲线的左焦点坐标，结合双曲线的定义及两点之间线段最短转化计算. 【详解】圆：的圆心，半径， 双曲线：则，，， 设左焦点为，则，即， 所以， 当且仅当、在线段与双曲线右支、圆的交点时取等号. 故选：A 6．（22-23高二下·宁夏石嘴山）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线右焦点为C，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差大于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设C为双曲线右焦点，则，， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 故选：D． 题型三：双曲线中的焦点三角形问题 7．（23-24高二上·四川成都）设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（　　） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】利用条件及双曲线的定义求出，进而可得为直角三角形，然后直接求面积即可. 【详解】由双曲线得， 又，且， 得到， 所以， 即为直角三角形， 所以. 故选：B. 8．（23-24高二上·江苏南通）已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的公共点，且，则的面积为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆以及双曲线定义可求得，即可求出的面积为. 【详解】根据题意如下图所示：    利用椭圆定义可知，由双曲线定义可知； 解得， 由三角形面积公式可得； 即的面积为. 故选：C 9．（23-24高二上·重庆沙坪坝）设、分别是双曲线：的左、右两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】由题设可得，进而确定的位置，易知为直角三角形，最后利用双曲线定义求直角边，即可求面积. 【详解】由， 所以是以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的交点， 又，即它们也在点所在的圆上，且为直径， 所以为直角三角形，，    如上图，，且， 所以， 则，故的面积为. 故选：D 题型四：双曲线的参数问题 10．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】方程表示双曲线，则，解得或， 当时，方程表示双曲线， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 11．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程的特征进行求解即可. 【详解】由题意知，，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：A. 12．（23-24高二上·江苏常州·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】由焦点在y轴上的双曲线方程的结构特征列出关于m的不等式组求解即得. 【详解】因方程表示焦点在y轴上的双曲线， 则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：A 题型五：双曲线的标准方程的求法 13．（24-25高二上·江苏盐城）求下列各曲线的标准方程 (1)抛物线的焦点是双曲线的左顶点，求抛物线标准方程． (2)已知椭圆与圆，双曲线与椭圆有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的性质求出抛物线的焦点坐标，可得抛物线的标准方程. （2）利用椭圆和双曲线的几何性质，得到双曲线的焦点，然后，列出的相关方程进行求解即可. 【详解】（1）对双曲线：，其左顶点为. 对抛物线，焦点为，所以抛物线的标准方程为：. （2）椭圆：的焦点坐标为：，. 如图： 直线与圆：相切， 设直线的倾斜角为，则. 所以对双曲线焦点在轴上，且. 所以双曲线的标准方程为：. 14．（23-24高二上·安徽六安·期末）根据下列条件求双曲线的标准方程： (1)过点（2，0），与双曲线1的离心率相等； (2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）根据题意求出即可； （2）设所求双曲线的方程为k（），代入点求出k即可. 【详解】（1）过点（2，0），可知所求双曲线的焦点在x轴上，且a＝2， 因为所求双曲线与双曲线1的离心率相等； 所以e，解得c，所以b1， 所以双曲线方程为1． （2）与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）， 则可设所求双曲线的方程为k（）， 把点M（3，﹣2）代入上述方程得k，解得k＝﹣2． 所以所求双曲线的标准方程为1． 15．（2023高二上·江苏·专题练习）求满足下列条件的双曲线的方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点； (2)渐近线方程为，且经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线方程为，代入双曲线方程结合，求出，即得双曲线方程； （2）法一：分焦点在x轴和y轴设双曲线方程，结合渐近线方程为，且经过点，列方程得到双曲线方程；法二：结合渐近线方程设双曲线为，代入点，得到的值，进而得到双曲线方程. 【详解】（1）设所求双曲线方程为． ∵， ∴，∴. 由题意得解得， ∴所求的双曲线方程为． （2）法一：∵双曲线的渐近线方程为． 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为，则①． ∵点在双曲线上，∴②． ①②联立，无解． 当焦点在y轴上时，设所求方程为，则③． ∵点在双曲线上，∴④． 联立③④，解得，． ∴所求双曲线的标准方程为． 法二：由双曲线的渐近线方程为， 可设双曲线方程为， ∵点在双曲线上， ∴，即． ∴所求双曲线的标准方程为． 题型六：双曲线方程的综合问题 16．（24-25高二上·全国）求适合下列条件的参数的值或范围： (1)已知，当为何值时， ①方程表示双曲线；②表示焦点在轴上的双曲线；③表示焦点在轴上的双曲线； (2)已知双曲线方程为，焦距为6，求的值． 【答案】(1)①或；②；③； (2)或. 【分析】（1）根据方程表示双曲线，以及由焦点位置得到参数满足的条件，从而得出答案. （2）分焦点位置进行讨论可得答案. 【详解】（1）①若方程表示双曲线，则须满足或， 解得或． ②若方程表示焦点在轴上的双曲线，则须满足， 解得； ③若方程表示焦点在轴上的双曲线，则须满足， 解得． （2）若焦点在轴上， 则方程可化为，     ，即． 若焦点在轴上， 则方程可化为， ，即． 综上，的值为或． 17．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，． (1)求双曲线C的方程； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线基本量关系求解即可； （2）设，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1），得，，所以双曲线． （2）设，则， 在中，由余弦定理得， ，解得或（舍）， 故，故． 18．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的左顶点为A，为上（异于A）一点. (1)已知点，求当取得最小值时直线的方程； (2)若直线与直线交于点，证明：为定值. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）设，其中，，用两点间距离公式得到，代换转换成二次函数求最值问题，然后利用点斜式求出直线方程； （2）设，写出直线AP的方程，得到Q点坐标，计算即可得证. 【详解】（1）设，其中， 所以当时，取得最小值为，此时， 此时，所以直线：， 化简得或 （2）设，，则直线的方程为：，所以 所以， 所以为定值. 【高分达标】 一、单选题 19．（24-25高二上·山东菏泽）已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质，即可解题. 【详解】由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 20．（24-25高三上·云南·阶段练习）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可. 【详解】设点，则的斜率为，的斜率为， 故， 所以，故D正确. 故选：D 21．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为 （     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的概念，解不等式即可. 【详解】因为方程 表示双曲线，所以， 解得或. 故选：B 22．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 23．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求． 【详解】 ， 即， ． 则． ．即． ，． 则该双曲线的方程是：． 故选：A 24．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义、已知条件求出、，设，由余弦定理、求出可得答案. 【详解】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为. 故选：B. 25．（23-24高二下·甘肃白银·期末）设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用双曲线的几何定义，结合图中等腰直角三角形，能求解出的长，从而问题可求解. 【详解】 结合题意可知,设，则， 结合双曲线的定义可得，则， 又由双曲线的定义可得，则，解得， 所以，，， 在中，则余弦定理得： ， 所以，则，即. 故选：B. 26．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：C 二、多选题 27．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知方程表示的曲线为，则（    ） A．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 【答案】BCD 【分析】根据双曲线、椭圆的标准方程以及性质即可判断. 【详解】根据题意知，可化为， 对于A，根据题意知，可化为， 当时，则，曲线为焦点在轴上的椭圆，故A错误； 对于B，根据题意知，可化为， 当时，，曲线为焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对于C，根据题意知，可化为， 当时，，曲线为焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，根据题意知，可化为， 当时，，曲线为焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：BCD 28．（23-24高二上·河北保定·期末）平面直角坐标系中，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点轨迹为椭圆 B．若，则点轨迹为双曲线 C．若，则点轨迹关于轴、轴都是对称的 D．若，则点轨迹为圆 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合椭圆、双曲线，以及轨迹方程的求法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，因为， 由椭圆的定义可知，点的轨迹为椭圆，所以A正确； 对于B中，由双曲线的定义可得时，点的轨迹为双曲线， 所以B不正确； 对于C中，设，由，可得， 整理得，可得曲线关于轴对称，所以C正确； 对于D中，因为，可得， 整理得，即， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以D正确. 故选：ACD. 29．（23-24高二上·四川成都·期末）双曲线的左、右焦点分别为，下列说法正确的有（    ） A．若，则双曲线的离心率为 B．若双曲线的渐近线方程为，则 C．若双曲线的焦距为为该双曲线上一点，且，则 D．若点为双曲线上一点，且，则 【答案】ABD 【分析】根据所给的条件，分别计算，判断真假. 【详解】对A：时，，所以，则，故A正确； 对B：由，故B正确； 对C：因为，，所以.又，所以点在双曲线的左支上，由，故C错误； 对D：为双曲线上一点，则，又，所以，所以. 不妨设在第一象限，，（），且， 所以，故D正确. 故选：ABD 30．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（    ） A． B． C．的面积为31 D．的周长为 【答案】AD 【分析】根据同角正弦函数与余弦函数关系即可判断出A答案；根据题意可知a、b、c的值，再根据双曲线定义即可判断出B答案；将A、B中的信息带入三角形的面积公式即可判断C答案，根据定义计算出的取值即可得出D答案. 【详解】由题知，，则．因为在第一象限，所以． 在中，因为，所以，A正确； 且，可得，B错误； 所以，C错误； 因为，所以， 故的周长为，D正确． 故选：AD. 三、填空题 31．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线右支上一点到直线的距离为3，若点到右焦点的距离为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先设点的坐标再根据两点间距离公式求出参数即可. 【详解】由题可设双曲线的方程为，设，又， 则，化简得， 故点在双曲线上，即点的坐标为． 故答案为：. 32．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，根据，列出方程，求得，代入双曲线的方程，即可求解. 【详解】由双曲线的方程，可得，则， 设，则，解得， 因为点在双曲线上，代入可得，解得，故. 故答案为：. 33．（24-25高二上·全国·课后作业）在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，由，可得点A的轨迹再求方程. 【详解】以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，   E，F分别为AB，AC边上的切点．则，，， 所以， 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（除去右顶点）， 且，，所以， 所以顶点A的轨迹方程为． 故答案为：． 34．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线和椭圆的定义求解、的长，再结合余弦定理求出，进而得到，再根据面积公式求解即可. 【详解】设，分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义可得 所以，， 所以， 由余弦定理可得， 所以， 故， 因此的面积为， 解得． 故答案为：. 四、解答题 35．（23-24高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合的值，设出双曲线方程，将点坐标代入，计算参数即可． （2）结合已知双曲线，设出所求双曲线方程，代入点的坐标，计算参数，即可求出答案． 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． 36．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”． (1)若和都成立，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）结合点与圆的位置关系、椭圆方程的特点分别解出当、为真时，的取值范围，再求交集即可； （2）当为真时，求得，再根据或，求解即可. 【详解】（1）解：当为真时，则有， 整理得：，解得或； 当为真时，则有，解得或； 又因为和都为真， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为； （2）解：当为真时，则有，解得， 又因为是的必要不充分条件， 所以或， 所以或， 解得或， 所以的取值范围. 37．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义可求的方程； （2）利用点差法可证点在直线. 【详解】（1）因为， 所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支， 由，得， 所以的方程为． （2）证明：设两点的坐标分别为， 则 两式相减并整理得，， 设，依题意可得 所以， 即，所以， 即，所以点在直线上． 38．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点， (1)求双曲线的标准方程； (2)若点在双曲线上，且，求与的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由椭圆方程可得，设双曲线方程，则且，解出a、b即可； （2）利用平面向量数量积的坐标表示可得，结合计算即可求解. 【详解】（1）椭圆x2+4y2＝16，即为1， 所以焦点， 设双曲线的方程为， 则，又1，解得， 所以双曲线的方程为1； （2）若点在双曲线上，且0， 即， 得，又，解得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$