精品解析：广东省茂名市高州市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

高二数学第一次月考试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量共线的坐标运算求出，再求和即可. 【详解】∵， ∴，即， ∴解得， ∴. 故选：D. 2. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直解得或，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若两直线垂直，则，解得：或， 显然集合是集合的真子集， 所以 “”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 如图，平行六面体中，分别为的中点.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法，求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】因为平行六面体中，分别为的中点， 可得， 又因为，可得，即. 故选：A. 4. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，，根据向量在上的投影向量为求解. 【详解】由题意得， 则向量在上的投影向量为. 故选：D． 5. 在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（ ） A. 0.125 B. 0.1 C. 0.075 D. 0.05 【答案】D 【解析】 【分析】借助相互独立事件的性质与乘法公式计算即可得. 【详解】设事件“选物理”，“选化学”， 则有，， 由该班同学选物理和选化学相互独立， 即，则， 故，, 则. 故选：D. 6. 若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的性质可知，圆心为直线与直线垂直平分线的交点，联立方程组即可求得圆心，半径则为圆心到圆上任一点之间的距离. 【详解】由点，在圆上，，中点坐标为， 则直线的垂直平分线的直线方程为即， 则圆心为直线与垂直平分线的交点，则联立方程组： ，解得，则圆心为，， 所以圆的方程为：. 故选：A 7. 若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线在轴上的截距可求得，设直线的倾斜角为，求出即直线的斜率，即可求出. 【详解】令，则，所以， 设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 因为直线的斜率为，所以， 故， 则直线的斜率，所以. 故选：D. 8. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断曲线的对称性，结合当时，曲线即，可作出曲线图象，数形结合，求得答案. 【详解】以代换，方程不变， 故曲线C：关于原点及x轴，y轴对称， 当时，可得，即， 可得此时曲线是以 为圆心，为半径的半圆， 由此作出曲线C的图象如图所示， 所以曲线C围成的图形的面积是， 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，为坐标原点，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 过且与直线平行的直线方程为 C. 过点且与直线垂直的直线方程为 D. 若到直线的距离为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线方程，得直线的倾斜角，可判断；根据与已知直线平行或垂直的直线方程求法可判断；根据点到直线的距离公式计算可判断. 【详解】直线可化为：， 所以斜率，得倾斜角为，故错误； 设与直线平行的直线方程为，由直线经过原点，则， 即平行直线方程为，故B正确； 设与直线垂直的直线方程为，由直线方程经过点，所以， 即垂直直线方程为，故C正确； 到直线的距离，得，所以，故D错误； 故选：BC. 10. 一个不透明袋中装有2个红球､2个白球（每个球标有不同的编号，除颜色和编号外均相同），从中不放回依次抽取2个球，记事件为“第一次取的球为红球”，事件为“第二次取的球为白球”，则（ ） A. B. 为对立事件 C. 为相互独立事件 D. 抽取的2个球中至多1个白球的概率为 【答案】AD 【解析】 【分析】记个红球编号为,个白球编号为，写出样本空间及事件的样本点，对于A，用古典概率公式计算事件概率即可；对于B，事件包含共同的样本点，故不对立；对于C，根据独立事件的概念判断即可；对于D，记事件为“抽取的2个球中至多一个白球”，用古典概率公式计算即可. 【详解】记个红球编号为,个白球编号为， 所以样本空间为 ， 事件包含的样本点为， 事件包含的样本点为， 对于A，因为，故A正确； 对于B，因为事件包含共同的样本点，故事件不对立，故B错误； 对于C，因为，所以不独立，故C错误； 对于D，记事件为“抽取的2个球中至多一个白球”， 则事件包含的样本点为 ， 所以，故D正确. 故选：AD. 11. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线l与圆C有两个交点 C. 当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1 D. 圆C与圆恰有三条公切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，直线的方程为，由，得，直线过定点，A正确； 对于B，，即定点在圆内，则直线与圆相交且有两个交点，B正确； 对于C，当时，直线，圆心到直线的距离为， 而圆半径为2，因此只有2个点到直线的距离等于1，C错误； 对于D，圆的方程化为， 其圆心为，半径为3，两圆圆心距为， 两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到平面的距离公式直接计算. 【详解】由已知，， 则， 则， 故答案为：. 13. 甲乙两人下棋，每局甲获胜的概率均为0.6，且没有和棋，在三局两胜制的规则下（即先胜两局者获得最终胜利），则甲获胜的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】分别计算出甲前两局赢的概率和前两局赢一局，第三局赢的概率，然后利用独立事件乘法公式及互斥事件求和公式即可得结果. 【详解】根据题意，甲获胜一种是前两局赢，另一种是前两局赢一局，第三局赢这两种情况， 故分别计算这两种情况的概率，前两局赢的概率为， 前两局赢一局，第三局赢的概率为， 则甲获胜的概率为， 故答案为：0.648 14. 已知直线与函数交于两点，当的面积取最大值时，实数的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知函数的图像为以原点为圆心，为半径的上半圆，由圆的性质可知当的面积取最大值时，则，结合圆心到直线的距离运算求解. 【详解】由可得， 其图像为以原点为圆心，为半径的上半圆， 可知， 即当的面积取最大值时，则，则， 所以圆心到直线的距离为， 即，解得， 因为是上半圆，且直线过定点，所以． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机．某地区消费者协会调查了部分2024年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图，如图所示．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求的值； （2）估计家庭消费总支出的第75百分位数． （3）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率． 【答案】（1）； （2）85； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1即可得解； （2）先判断第75百分位数所在区间，然后根据在区间内的矩形面积等于即可得解； （3）先根据分层抽样确定，内所抽取的人数，然后使用列举法，结合古典概型概率公式可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得， ． 【小问2详解】 因为前3组的频率之和， 前4组的频率之和， 所以第75百分位数，则， 解得 所以，第75百分位数为85． 【小问3详解】 因为组的频率为，组的频率为， 所以由分层抽样可知，组抽取了人，设为A、B， 从组抽取了人，设为， 则从这6人中随机抽取2人的样本点有： 共15种， 满足来自同一组的有共7种， 所以所抽取的2人来自同一组的概率是. 16. 如图，在三棱柱中，平面. （1）求证：平面平面； （2）设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明平面平面， . 又，且平面， 平面. 平面. 又，且平面， 平面. 平面， 平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，结合证明出平面，故，结合得到平面，证明出面面垂直； （2）求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用面面角的夹角余弦公式进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以四边形为正方形，即，且有. 以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的一个法向量， 则即取， 同理可得平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知圆经过，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求的垂直平分线方程，联立直线的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程； （2）设关于的对称点为，结合反射光线原理可得其对称点坐标，进而利用直线的两点式方程即可得出结果. 【小问1详解】 由题知中点为，， 所以的垂直平分线方程为，即， 联立，解得，即圆心为， 所以圆的半径为， 故圆的方程为. 【小问2详解】 设关于的对称点为， 则直线与垂直，且的中点在直线上， 则，解得， 由题意知反射光线过圆心，故， 即. 18. 如图，在四棱锥中，直线平面PCD，，，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点． （1）证明：； （2）证明：； （3）当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为． 【答案】（1） 因为直线平面平面， 且平面平面，所以； （2） 过作，垂足为， 由题意知：为矩形，可得， 由，则为等边三角形，且F为线段BC的中点，则， 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 可得平面ABCD，且平面， 所以. （3）2 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质定理即可证明； （2）过作，垂足为，分析可知为等边三角形，可得，结合面面垂直的性质可得平面ABCD，即可得结果； （3）取线段的中点，连接，建系，设，求平面PAD的法向量，利用空间向量处理线面夹角的问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可知：平面ABCD， 取线段的中点，连接，则，， 又因为，可知， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为E为线段PF上一点，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理得，解得， 所以当，直线与平面夹角的正弦值为. 19. 甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为． （1）若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； （2）若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）甲获胜有两种情况，分别计算出概率，再相加即可； （2）甲获胜有三种情况，分别计算出概率，再相加即可. 【小问1详解】 第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况： ①乙丙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为； ②乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为； 综上，甲获胜的概率为. 【小问2详解】 若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况： ①甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为， ②甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜的概率为， ③甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，乙甲对战甲胜的概率为， 所以最终甲获胜的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学第一次月考试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，平行六面体中，分别为的中点.若，则（ ） A. B. C. D. 4. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（ ） A. 0.125 B. 0.1 C. 0.075 D. 0.05 6. 若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则（ ） A. B. C. D. 8. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的面积是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，为坐标原点，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 过且与直线平行的直线方程为 C. 过点且与直线垂直的直线方程为 D. 若到直线的距离为，则 10. 一个不透明袋中装有2个红球､2个白球（每个球标有不同的编号，除颜色和编号外均相同），从中不放回依次抽取2个球，记事件为“第一次取的球为红球”，事件为“第二次取的球为白球”，则（ ） A. B. 为对立事件 C. 为相互独立事件 D. 抽取的2个球中至多1个白球的概率为 11. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线l与圆C有两个交点 C. 当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1 D. 圆C与圆恰有三条公切线 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为__________. 13. 甲乙两人下棋，每局甲获胜的概率均为0.6，且没有和棋，在三局两胜制的规则下（即先胜两局者获得最终胜利），则甲获胜的概率为__________. 14. 已知直线与函数交于两点，当的面积取最大值时，实数的值为_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机．某地区消费者协会调查了部分2024年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图，如图所示．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求的值； （2）估计家庭消费总支出的第75百分位数． （3）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率． 16. 如图，在三棱柱中，平面. （1）求证：平面平面； （2）设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知圆经过，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，直线平面PCD，，，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点． （1）证明：； （2）证明：； （3）当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为． 19. 甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为． （1）若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； （2）若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $