3.1.2椭圆几何性质【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

3.1.2椭圆几何性质 【考点梳理】 · 考点一：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴 · 考点二：椭圆的范围问题 · 考点三：椭圆的离心率问题 · 考点四：椭圆的中点弦问题 · 考点五：直线与椭圆的弦长问题 · 考点六：椭圆中的向量问题 · 考点七：椭圆的定点、定值、最值问题 【知识梳理】 知识点一：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 知识点二：直线与椭圆的位置关系：直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 知识点二：：弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长． 【题型归纳】 题型一：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴 1．（22-23高二上·江苏扬州）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆的方程为，则椭圆（    ） A．长轴长为16 B．短轴长为 C．焦距为2 D．焦点为 3．（23-24高二上·全国）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率： (1)；(2)；(3). 题型二：椭圆的范围问题 4．（23-24高二上·浙江·期中）已知分别是椭圆的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高二上·河南南阳·阶段练习）设，为椭圆：（）的上、下焦点，若在椭圆上存在一点，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高二上·陕西西安·期中）已知 P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：椭圆的离心率问题 7．（23-24高二上·广西北海·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为 ．    8．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知椭圆 的左右焦点为．直线与椭圆相交于两点， 若， 且， 则椭圆的离心率为 ． 9．（23-24高二上·湖北·期中）设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为 ． 题型四：椭圆的中点弦问题 10．（23-24高二上·江苏南京）已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 . 11．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为 ． 12．（2023·河南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为外的一点满足（为坐标原点），过点的直线与交于两点，且，若直线的斜率之积为，则 ． 题型五：直线与椭圆的弦长问题 13．（22-23高二·全国·课堂例题）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为 ． 14．（22-23高三上·江苏镇江·期末）已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则 ． 15．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程． 题型六：椭圆中的向量问题 16．（22-23高二下·上海青浦·期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为A，直线与椭圆E的另一个交点为B，若，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高二下·海南·期末）已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围. 题型七：椭圆的定点、定值、最值问题 19．（22-23高二下·河南平顶山·期末）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值. 20．（2023·江西·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由． 21．（20-21高三上·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 【高分达标】 一、单选题 22．（24-25高二上·江苏徐州）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 23．（2024高二上·江苏·专题练习）设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的左焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线垂直于轴，则 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则 25．（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 26．（2024·辽宁·一模）已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过作圆的一条切线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 29．（2023高二上·江苏·专题练习）设直线与椭圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 31．（2024·山东潍坊·二模）已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（   ） A．的焦距为 B．的离心率为 C．的周长为 D．面积的最大值为 32．（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 33．（22-23高二上·福建莆田·期末）已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．P点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 34．（22-23高二上·江苏南通·期末）已知，分别为椭圆C：的左，右焦点，A为C的上顶点，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则（    ） A．椭圆C的焦距为2 B． C．的面积为 D．的周长为8 三、填空题 35．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若为等腰三角形，则C的离心率为 ． 36．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ． 37．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）设是椭圆（）的两个焦点，P为椭圆上任一点，若且的面积为，则该椭圆的短轴长为 . 38．（22-23高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为 . 四、解答题 39．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程. 40．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点. (1)当直线倾斜角为时，求直线的方程； (2)求证：的面积为定值. 41．（23-24高二上·重庆黔江）已知椭圆，直线. (1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； (2)直线与椭圆交于两点，且，求的值. 42．（23-24高二上·重庆·期中）椭圆左右焦点为，离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求. 43．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的右焦点为，且过点. (1)求C的方程； (2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2椭圆几何性质 【考点梳理】 · 考点一：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴 · 考点二：椭圆的范围问题 · 考点三：椭圆的离心率问题 · 考点四：椭圆的中点弦问题 · 考点五：直线与椭圆的弦长问题 · 考点六：椭圆中的向量问题 · 考点七：椭圆的定点、定值、最值问题 【知识梳理】 知识点一：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 知识点二：直线与椭圆的位置关系：直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 知识点二：：弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长． 【题型归纳】 题型一：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴 1．（22-23高二上·江苏扬州）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，，进而求得可得答案. 【详解】解：因为椭圆的焦点坐标为， 所以，所求椭圆的焦点坐标为，即， 因为，所求椭圆的短半轴长为， 所以， 所以，， 所以，所求椭圆的方程为：. 故选：A 2．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆的方程为，则椭圆（    ） A．长轴长为16 B．短轴长为 C．焦距为2 D．焦点为 【答案】B 【分析】 先根据方程化简得到椭圆方程，结合选项进行判断. 【详解】因为， 所以椭圆是以为焦点的椭圆， 设椭圆：，由题意，即； 由可知其方程为； 由方程可得长轴长为8，焦距为4，短轴长为. 故选：B. 3．（23-24高二上·全国）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率： (1)；(2)；(3). 【详解】（1）由椭圆方程可知其焦点在轴上，所以，则， 所以该椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为； 上下顶点坐标为，左右顶点坐标为； 上下焦点坐标为，离心率. （2）由椭圆方程可知其焦点在轴上， 可得，则， 所以该椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为； 上下顶点坐标为，左右顶点坐标为； 左右焦点坐标为，离心率. （3）将椭圆方程整理变形成标准方程可得，易知其焦点在轴上， 所以，则， 所以该椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为； 上下顶点坐标为，左右顶点坐标为； 左右焦点坐标为，离心率. 题型二：椭圆的范围问题 4．（23-24高二上·浙江·期中）已知分别是椭圆的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，求得m的范围，当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，则的最大值大于或等于，从而可得答案. 【详解】解：由，分别是椭圆：的左、右两个焦点， 则，当点位于短轴端点时，取最大值， 要使上存在点满足，则的最大值大于或等于， 即点位于短轴端点时，大于或等于， 则，解得． 故选：A. 5．（21-22高二上·河南南阳·阶段练习）设，为椭圆：（）的上、下焦点，若在椭圆上存在一点，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆性质要使题设条件成立只需在椭圆左右顶点时，此时应用余弦定理可得，进而求m的范围. 【详解】由椭圆的性质知：当在椭圆左右顶点时最大， ∴椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时， 此时，，即，又， ∴，解得，又， ∴. 故选：C. 6．（21-22高二上·陕西西安·期中）已知 P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得的范围，及，从而可得，从而可得出答案. 【详解】解：因为P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点， 所以， 且，则， 则， 因为，所以， 所以， 即. 故选：B. 题型三：椭圆的离心率问题 7．（23-24高二上·广西北海·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为 ．    【答案】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理计算即可. 【详解】设，则由条件及椭圆的定义可知：， 在中，根据余弦定理可知， 解之得或（舍去）， 则， 即 ， 解之得. 故答案为： 【点睛】思路点睛：椭圆中焦点三角形问题，可以联系到使用椭圆的定义，大胆设元表示线段.结合焦半径之间具有确定的比例关系，可以两次使用余弦定理构造齐次式确定关系. 8．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知椭圆 的左右焦点为．直线与椭圆相交于两点， 若， 且， 则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，再根据椭圆的定义求出，再在中，利用余弦定理求出的关系即可得解. 【详解】 由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，则， 由，得， 因为，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 即， 所以， 即椭圆的离心率. 故答案为：. 9．（23-24高二上·湖北·期中）设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】 根据椭圆的定义、勾股定理列方程，化简求得离心率. 【详解】 因为，所以， 设，则，， 由椭圆定义得：，． 因为，所以， 即 得：，所以，， 在中，， 得：，即，故． 故答案为：    题型四：椭圆的中点弦问题 10．（23-24高二上·江苏南京）已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】点差法求出直线的斜率，点斜式得直线方程. 【详解】设点，点为弦的中点，有， 将两点代入椭圆方程，得， 两式作差得，整理得 得直线的斜率为，直线的方程为，即. 经检验符合题意.A 故答案为：. 11．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先由题意求出，再由点差法可以求出直线的斜率，由直线的点斜式化简即可求解. 【详解】根据题意，因为焦点在轴上，所以，则， 即椭圆，所以P点为椭圆内一点， 设，则，， 两式相减得，变形得， 因为点为线段的中点，所以， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 12．（2023·河南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为外的一点满足（为坐标原点），过点的直线与交于两点，且，若直线的斜率之积为，则 ． 【答案】 【分析】取线段的中点为，利用边长比值关系可得，进而借助点差法求解的值. 【详解】解：如图，取线段的中点为，连接，    则由题意可得，，又，所以． 因为直线的斜率之积为，所以． 设，则， 两式相减可得， 整理得，即， 所以，所以． 故答案为：． 题型五：直线与椭圆的弦长问题 13．（22-23高二·全国·课堂例题）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为 ． 【答案】或 【分析】先将椭圆方程化为标准方程，然后求出，从而可求出左焦点的坐标，设直线为，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式列方程可求出，从而可求出直线方程. 【详解】椭圆，即，则，，，左焦点为， 设直线为，， 由，得， 整理得， 因为，所以，所以， ，解得， 所以直线为， 即或． 故答案为：或    14．（22-23高三上·江苏镇江·期末）已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则 ． 【答案】6 【分析】由题意可知为等边三角形，为线段的垂直平分线，利用定义转化的周长为4a，即可求出a，b，c，设的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据弦长公式求解即可. 【详解】如图，连接， 因为的离心率为，所以，即， 所以， 因为，所以为等边三角形， 又，所以直线为线段的垂直平分线， 所以，， 则的周长为， ， 而，所以直线的方程为， 代入椭圆的方程，得， 设，，则， 所以， 故答案为：6. 15．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由长轴长和短轴长可得椭圆方程； （2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得m的值，则直线的方程可求. 【详解】（1）由已知长轴为，短轴长为4， 可得，， 则椭圆C的标准方程为：； （2）依题意， 解得， 因为，可得， 且， 因为， 解得， 所以直线的方程为l：． 题型六：椭圆中的向量问题 16．（22-23高二下·上海青浦·期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由，得到，再与椭圆方程联立得到，再由点P的位置求解. 【详解】解：设， 又，且， 则，与椭圆方程联立， 即，解得或， 则，即， 即，则， 故选：B 17．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为A，直线与椭圆E的另一个交点为B，若，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的方程，与椭圆方程联立，求得点B的坐标，再根据求解. 【详解】解：由题意得， 则直线的方程为， 联立，消去y得， 则， 所以， 因为， 所以， 因为，化简得， 即，所以， 所以. 故选：B. 18．（22-23高二下·海南·期末）已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率、等面积法及椭圆参数关系列方程求椭圆参数，即可得方程； （2）讨论直线的斜率，设的方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及向量数量积的坐标表示得到关于所设参数的关系式，进而求范围. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，根据题意解得故的方程为. （2）由（1）知：. 当直线的斜率为0时，点为椭圆的左、右顶点， 不妨取，此时，则. 当直线的斜率不为0或与轴垂直时，设其方程为， 代入椭圆并消去得， 设，则. 而， 所以 . 因为，所以， 所以. 综上，的取值范围为.    题型七：椭圆的定点、定值、最值问题 19．（22-23高二下·河南平顶山·期末）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据离心率以及的几何性质即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，根据两点斜率公式，代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意可知：，又，解得， 所以椭圆方程为 （2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且， 直线的方程为：， 联立直线与椭圆方程：， 设， 则， ， 将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证. 20．（2023·江西·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，理由见解析 【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可得到答案。 （2）首先直线的方程为，与椭圆联立得到，，根据得到，同理可得，再计算即可。 【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，因为的周长为6，面积为， 所以，由①得：，将此式代入②得：， 所以，所以或 当时，，，所以不满足题意； 当时，，，所以满足题意． 所以椭圆C的方程为. （2）由题可得直线斜率存在，由（1）知，设直线的方程为， 则联立，消去，整理得：， 设，则，， 又，则， 由可得，所以，同理可得， 所以 所以为定值． 21．（20-21高三上·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的焦点得椭圆焦点，即可结合离心率求解, （2）联立直线与椭圆的方程，根据跟与系数的关系，结合斜率公式即可求解. 【详解】（1）∵抛物线的焦点为， ∴椭圆的半焦距为， 又，得，. ∴椭圆的方程为 （2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 联立，得. ，即， 设，， 则，， ∴， ∴. ∴为定值    【高分达标】 一、单选题 22．（24-25高二上·江苏徐州）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，以及正三角形的性质求得也即椭圆的离心率. 【详解】如图所示不妨设椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的上顶点. 依题意可知，是正三角形. 因为在中，， 所以，即椭圆的离心率. 故选：A 23．（2024高二上·江苏·专题练习）设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，表示出韦达定理，结合为锐角，即，代入韦达定理化简即可； 【详解】显然不满足题意， 设直线的方程为，设， ， ，解得，① ， 则， 又为锐角，则，即，， 所以 ，解得，② 由①②，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：C. 24．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的左焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线垂直于轴，则 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则 【答案】B 【分析】依题意设出直线方程，结合弦长公式分别判断ABC选项，再结合向量及焦半径长度公式可判断D选项. 【详解】依题意，椭圆的左焦点为，设，， 对于A选项，轴，直线，由，得：，则，A选项错误； 对于B选项，不垂直于轴时，设的方程为， 由，消去并整理可得：， 则，， ， 显然，， 于是得， 由选项A知，当轴时，，因此，B选项正确； 对于C，当时，由选项B得，解得，C选项错误； 对于D，因，有，则，即， 而，， 同理，则有，即， 于是得， 因此，D选项错误； 故选：B. 25．（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】根据题意结合椭圆定义可得的周长为，结合椭圆的性质分析求解. 【详解】椭圆的方程为，则，，， 连接，， 则由椭圆的中心对称性可知， 可知为平行四边形，则， 可得的周长为， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， 所以周长为． 故选：C. 26．（2024·辽宁·一模）已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的对称性可知，就是到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”求的值. 【详解】设，如图，记为的左焦点，连接， 则由椭圆的对称性可知，由，设，则. 又轴，所以，即， 所以，解得. 所以的长轴长为. 故选：B 27．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出，再利用线段和差关系建立不等式求解即得. 【详解】点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，令半焦距为c， 由及，得， 显然，当且仅当点共线，且在线段上时取等号， 因此，即，又，则， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：A 28．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过作圆的一条切线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线，与椭圆联立然后根据几何关系，结合根与系数关系即可求解. 【详解】设直线，与椭圆联立，化简得， 设，，则由根与系数的关系得①， 又，所以，代入①得②， 又直线与圆相切，所以，即，代入②整理得， 得，因此椭圆的离心率，故B正确. 故选：B． 【点睛】将直线与椭圆联立后结合根与系数的关系及几何关系，从而求解. 29．（2023高二上·江苏·专题练习）设直线与椭圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与椭圆，根据弦长公式即可. 【详解】联立直线与椭圆方程， 消可得：，， 设， 则，，根据弦长公式有： . 故选：B. 30．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和长轴是短轴长的2倍可设椭圆方程，再联立直线和椭圆方程通过韦达定理可求解出斜率，从而求得. 【详解】因为长轴长是短轴长的2倍，所以，而，则. 设， 直线的方程为 代入椭圆方程可得，整理得， 即. ，. ，， 所以，则，即，化简得，解得， 因为，所以. 故选：A. 二、多选题 31．（2024·山东潍坊·二模）已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（   ） A．的焦距为 B．的离心率为 C．的周长为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据椭圆方程求出，再结合椭圆的性质逐一判断即可. 【详解】设椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，故， 所以的焦距为，故A正确； 的离心率为，故B正确； 的周长为，故C错误； 对于D，当点位于椭圆的上下顶点时，的面积最大， 最大值为，故D正确. 故选：ABD. 32．（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 【答案】ABD 【分析】根据以及椭圆的对称性可得，进而可求解，即可根据选项逐一求解. 【详解】由于，所以, 故， 因此，故， 所以椭圆， 对于A，焦距为，故A正确， 对于B，短轴长为，B正确， 对于C，离心率为，C错误， 对于D，的周长为，D正确， 故选：ABD 33．（22-23高二上·福建莆田·期末）已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．P点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程可求得的值，利用△的面积即可求出P点到轴的距离；利用平面向量的夹角公式判断的大小；根据椭圆的定义可以求出△的周长；利用内切圆的几何性质可以求出内切圆半径. 【详解】由已知条件得，，， 设，则，解得，则P点到轴的距离为，故 正确； 将代入得， 则， 则，且两向量所成角的范围为，则为锐角，故错误； 由椭圆的定义可知，， △的周长为，故正确； 设△的内切圆半径为，圆心为, 则 ，解得 ，故正确； 故选：.    34．（22-23高二上·江苏南通·期末）已知，分别为椭圆C：的左，右焦点，A为C的上顶点，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则（    ） A．椭圆C的焦距为2 B． C．的面积为 D．的周长为8 【答案】ABD 【分析】对于A：根据椭圆方程分析求解；对于B：分析可知，联立方程结合弦长公式分析求解；对于C：由，进而结合选项B求面积；对于D：根据已知条件及等边三角形的性质，再利用等腰三角形的三线合一定理及椭圆的定义，结合三角形的周长公式即可求解. 【详解】由，得，，， 解得，，    因为椭圆的上顶点为，两个焦点为，， Ze ，故A正确； 所以，即为等边三角形， 因为过且垂直于的直线与交于两点， 可知，可知直线的斜率， 则，设， 联立方程，消去x得， 则，可得， 所以，故B正确； 因为， 所以的面积为，故C错误； 因为 由椭圆的定义可知，, 所以的周长为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 35．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若为等腰三角形，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的性质计算即可. 【详解】不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为， 则，且根据椭圆的性质易知， 所以， 显然若为等腰三角形，则只能有， 即， 则. 故答案为： 36．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，得，然后可求出，从而可求出椭圆方程，再将代入椭圆方程中求出，从而可求得. 【详解】由题意可知，得，所以， 所以椭圆方程为， 椭圆的右焦点为，当时，，得， 所以. 故答案为： 37．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）设是椭圆（）的两个焦点，P为椭圆上任一点，若且的面积为，则该椭圆的短轴长为 . 【答案】10 【分析】由椭圆定义得到，，由余弦定理得到，结合三角形面积公式得到方程，求出，得到答案. 【详解】由椭圆定义得，， 由余弦定理得 ， 即，解得， 由三角形面积公式得， 即，解得， 故该椭圆的短轴长. 故答案为：10 38．（22-23高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为 . 【答案】/0.25 【分析】根据轴，设，代入椭圆方程确定，在中，由与边的关系得关于的方程求 【详解】 轴，设，不妨设， ，解得所以， ，，， 即，解得或，又. 故答案为： 四、解答题 39．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意求出、、的值，即可求出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理及中点公式求出直线斜率，即可求解． 【详解】（1）由题意可知，得，解得． 所以椭圆的方程为． （2）由题意可知直线斜率存在， 设，设，，，， 联立方程组， 消得， 因为， 设中点坐标为,， 所以，所以， 所以或， 当，中点坐标为,直线方程为：，即． 当，中点坐标为,直线方程为：，即. 40．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点. (1)当直线倾斜角为时，求直线的方程； (2)求证：的面积为定值. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）根据直线倾斜角得到直线的斜率，进而设直线方程，根据直线与曲线有一个交点联立方程组解得答案； （2）设直线为，直线与椭圆只有一个公共点联立方程组消元得，直线与椭圆交于两点，连立方程组结合韦达定理得，结合三角形面积公式得答案； 【详解】（1）因为直线倾斜角为，直线为，因为椭圆， 直线与椭圆只有一个公共点，联立方程，得， ，所以直线为或 （2）因为直线与椭圆只有一个公共点，设直线为由，得 , 又因为直线与椭圆交于两点，得 所以，因为直线与轴交于点，所以 所以 . 41．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知椭圆，直线. (1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点； (2)直线与椭圆交于两点，且，求的值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程代入椭圆方程中，利用一元二次方程根的判别式进行求解判断即可； （2）根据椭圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】（1）将直线的方程代入椭圆方程中，得 ， 该一元二次方程根的判别式， 所以直线与椭圆总有两个不同交点； （2）设，则有， 因为，所以 ， 所以的值为. 42．（23-24高二上·重庆·期中）椭圆左右焦点为，离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上、椭圆参数关系列方程组求参数，即可得标准方程； （2）由题意直线为，联立椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式求. 【详解】（1）由题设，可得，故椭圆的标准方程； （2）由题意，，则直线为， 联立椭圆方程，得，则， 所以， 由. 43．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的右焦点为，且过点. (1)求C的方程； (2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合，代入点的坐标，列式计算得解. （2）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，借助韦达定理结合均值不等式计算作答. 【详解】（1） 椭圆的右焦点为， 则椭圆的半焦距为， 由于，则椭圆的方程变为：， 将点的坐标代入，，解得：或（舍去）， 得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为， ，， 由消去x并整理得：， ，， 的面积， ， 设，， ， 因为，当且仅当，时取得“=”， 于是得，， 所以面积的最大值为1. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$