3.1.1椭圆的标准方程【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

3.1.1椭圆的标准方程 【考点梳理】 考点一：利用椭圆的定义求方程 考点二：椭圆的焦点三角形问题 考点三：根据方程表示椭圆求参数问题 考点四：椭圆的标准方程的求法 考点五：与椭圆有关的轨迹问题 考点六：椭圆的最值问题 考点七：椭圆方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一：椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 知识点二：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 知识点三：求轨迹方程的方法 直译法——“四步一回头”， 四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标；        （2）写出适合条件的点M的集合；        （3）将 “翻译”成代数方程； （4）化简代数方程为最简形式. 【题型归纳】 题型一：利用椭圆的定义求方程 1．（23-24高二上·江苏常州·期中）若动点满足方，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知动点到两个定点的距离之和为6，则动点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·浙江温州·期中）已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：椭圆的焦点三角形问题 4．（23-24高二下·四川雅安）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A．24 B．12 C．36 D．48 5．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023·广东梅州·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（    ） A． B． C．4 D． 题型三：根据方程表示椭圆求参数问题 7．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏常州·期末）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·江苏泰州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型四：椭圆的标准方程的求法 10．（22-23高二上·辽宁葫芦岛·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 12．（24-25高二上·江苏盐城）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 题型五：与椭圆有关的轨迹问题 13．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 14．（23-24高二上·江苏·开学考试）已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高二下·山东菏泽·期末）点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型六：椭圆的最值问题 16．（23-24高二上·湖南长沙）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 17．（20-21高二上·河南开封·期中）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 18．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型七：椭圆方程的综合问题 19．（23-24高二上·湖南长沙）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点； (2)经过两点，． 20．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知曲线方程，． (1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值． 21．（23-24高二上·江西） （1）已知点到定点的距离与到定直线的距离之比为，求点的轨迹方程； （2）已知点A是圆上的动点，过点A作轴，垂足为，点在线段上，且，求点的轨迹方程，并说明点的轨迹是什么图形. 【高分达标】 一、单选题 22．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 23．（23-24高二下·广西·阶段练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·辽宁辽阳·一模）若为椭圆上一点，为的两个焦点，且，则（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 25．（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 27．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·广东广州·期中）设，为椭圆C：的两个焦点，点P在C上，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 29．（23-24高二上·江苏无锡·期中）设F是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（　   ） A． B．3 C． D． 二、多选题 30．（23-24高二上·江西·阶段练习），为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 31．（20-21高二上·福建漳州·期中）若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 32．（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，则（    ） A．若点的横坐标为2，则 B．的最大值为9 C．若为直角，则的面积为9 D．若为钝角，则点的横坐标的取值范围为 33．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆的一个动点，点，则下列结论正确的是（    ） A．的周长为 B．的面积最大值为 C．存在点，使得 D．的最大值为 34．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期中）已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为， ，则下列结论正确的是（      ） A．△F1PF2的周长为16 B． C．点到x轴的距离为 D． 三、填空题 35．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 36．（23-24高二下·上海·阶段练习）该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 37．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 38．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则 ． 39．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为 ． 四、解答题 40．（23-24高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系xOy中，分别求满足下列条件的动点M的轨迹方程，并说明方程表示何种曲线. (1)动点M到点的距离是到点的距离的3倍； (2)动点M到点的距离与到直线的距离之比为. 41．（23-24高二上·江苏·阶段练习）求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点. 42．（23-24高二上·全国）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，； (2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (3)焦点在x轴上，，且经过点； (4)，且经过点. 43．（22-23高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求： (1)椭圆的标准方程 (2)△𝑃,𝐹-1.,𝐹-2.的面积． 44．（23-24高二上·江苏）已知椭圆C：，左，右焦点分别为，，椭圆C经过，． (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C上的点P使得，求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1椭圆的标准方程 【考点梳理】 考点一：利用椭圆的定义求方程 考点二：椭圆的焦点三角形问题 考点三：根据方程表示椭圆求参数问题 考点四：椭圆的标准方程的求法 考点五：与椭圆有关的轨迹问题 考点六：椭圆的最值问题 考点七：椭圆方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一：椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 知识点二：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 知识点三：求轨迹方程的方法 直译法——“四步一回头”， 四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标；        （2）写出适合条件的点M的集合；        （3）将 “翻译”成代数方程； （4）化简代数方程为最简形式. 【题型归纳】 题型一：利用椭圆的定义求方程 1．（23-24高二上·江苏常州·期中）若动点满足方，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程转化为，利用椭圆定义法求标准方程. 【详解】已知动点满足方程， 设，且， 则有， 故点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 且中心在原点，焦点在轴，即点的轨迹轨迹方程为椭圆的标准方程， 则，， 故所求轨迹方程为, 故选：B. 2．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知动点到两个定点的距离之和为6，则动点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义即可求出答案. 【详解】根据椭圆的定义知动点M轨迹为以A，B为焦点的椭圆，，，， 即动点轨迹方程为. 故选：D. 3．（22-23高二上·浙江温州·期中）已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系，找到点满足的条件，结合椭圆的定义，直接写出方程即可. 【详解】根据题意，作图如下： 易知，则，即， 故点的轨迹是以为焦点且长轴长为6的椭圆， 设其方程为，则，则， 故，则椭圆方程为：. 故选：C. 题型二：椭圆的焦点三角形问题 4．（23-24高二下·四川雅安）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A．24 B．12 C．36 D．48 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】因为， 所以的周长为24． 故选：A. 5．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，设，结合椭圆的定义以及勾股定理列出方程，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，设， 则，所以， 解得，所以. 故选：A 6．（2023·广东梅州·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出，再求出等腰三角形的面积作答. 【详解】椭圆中，，由及椭圆定义得，    因此为等腰三角形，底边上的高， 所以的面积为. 故选：D 题型三：根据方程表示椭圆求参数问题 7．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解m的范围. 【详解】依题意，解得或 故选：D 8．（23-24高二上·江苏常州·期末）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程及焦点在轴上，可得的不等式组，解不等式组即可得的取值范围． 【详解】由题意知焦点在轴上，则，解得，故D正确. 故选：D. 9．（23-24高二上·江苏泰州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件，分析椭圆的简单性质，列出不等式，求解即可. 【详解】表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得. 故选：D 题型四：椭圆的标准方程的求法 10．（22-23高二上·辽宁葫芦岛·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和椭圆的几何性质，得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】由椭圆的几何性质，因为，可得， 所以，，则，所以椭圆的方程为. 故选：A. 11．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【答案】(1)1 (2) (3)． 【分析】（1）由焦点坐标求，由椭圆定义得即可求，从而得方程； （2）结合图形，已知点是长短轴的顶点，则可得； （3）设椭圆方程的简化形式，待定系数解方程组可得. 【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且， 则， ∴椭圆方程为1； （2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和， 则，则椭圆的标准方程为； （3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点， 设其方程为， 则有，解可得， 则所求椭圆的方程为． 12．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由共焦点求得，再通过点在椭圆上，列出方程即可求解； （2）通过待定系数法即可求解. 【详解】（1）因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且． 设所求椭圆的标准方程为． 因为所求椭圆过点，所以有① 又，② 由①②解得． 故所求椭圆的标准方程为． （2）设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以，则椭圆方程. 题型五：与椭圆有关的轨迹问题 13．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 14．（23-24高二上·江苏·开学考试）已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案. 【详解】由圆，则其圆心，半径为， 设动圆的圆心为，半径为， 由圆在圆的内部与其相切，则， 由圆过点，则，即， 所以动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，， ，所以其轨迹方程为. 故选：D. 15．（22-23高二下·山东菏泽·期末）点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轨迹方程的求解方法列方程求解. 【详解】设， 因为点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为， 所以，即， 整理得， 故选:C. 题型六：椭圆的最值问题 16．（23-24高二上·湖南长沙）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当时，取到最大值. 故选：D. 17．（20-21高二上·河南开封·期中）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设点的坐标为，结合两点间的距离公式，化简得到，即可求解. 【详解】设点的坐标为，其中， 由，可得， 又由， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B. 18．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要求的最小值，根据椭圆的定义可以转化为（其中为椭圆的左焦点），即求的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题． 【详解】如图，由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1， 设椭圆的左焦点为，即， 则， 故要求的最小值，即求的最小值， 所以的最小值等于， 即的最小值为， 故选：D． 题型七：椭圆方程的综合问题 19．（23-24高二上·湖南长沙）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点； (2)经过两点，． 【答案】(1)； (2). 【分析】 （1）由题设椭圆焦点在y轴上且，设椭圆方程，根据参数关系及点在椭圆上列方程求参数，即得方程； （2）设椭圆方程，由点在椭圆上列方程组求参数，即得方程. 【详解】（1）由已知：椭圆焦点在y轴上且，则，且 设椭圆方程为，又在椭圆上， 所以， 故椭圆方程为. （2）设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以，则椭圆方程为. 20．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知曲线方程，． (1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据椭圆方程的性质建立关于k的不等式，解出即可； （2）根据椭圆方程的类型，分类讨论确定，根据求解即可. 【详解】（1）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得， 即的取值范围为； （2）若方程表示焦距为2的椭圆，则，所以 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，且 又，得； 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得 所以， 又，得； 综上，或. 21．（23-24高二上·江西） （1）已知点到定点的距离与到定直线的距离之比为，求点的轨迹方程； （2）已知点A是圆上的动点，过点A作轴，垂足为，点在线段上，且，求点的轨迹方程，并说明点的轨迹是什么图形. 【答案】（1）（2）点的轨迹方程是，点的轨迹是椭圆 【分析】（1）设出点M的坐标，根据题意列出满足的等量关系，整理化简即可求得轨迹方程； （2）设，根据题意结合可得，代入圆A的方程即可求得轨迹方程. 【详解】（1）设点的坐标为， 由题意可得，两边平方得， 整理得，所以点的轨迹方程为. （2）依题意，设，则， 因为，则， 则，可得，解得，即. 因为点A在圆上，则，即， 所以点的轨迹方程是，点的轨迹是椭圆. 【高分达标】 一、单选题 22．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】D 【分析】由题意可知方程表示出动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3，而，从而可判断出其轨迹. 【详解】方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3， 即， 所以点M的轨迹是线段． 故选：D 23．（23-24高二下·广西·阶段练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可. 【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆, 需满足，解得. 故选：B. 24．（2024·辽宁辽阳·一模）若为椭圆上一点，为的两个焦点，且，则（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】根据题意利用椭圆的定义分析求解. 【详解】由椭圆方程可知：，则， 即，解得. 故选：C. 25．（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用焦点三角形的周长为，及，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可. 【详解】因为的最小值为1，所以． 因为的周长为34，所以， 所以．因为， 所以，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C. 26．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可. 【详解】 作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得， 故，C正确， 故选：C 27．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件求得，结合勾股定理得，即可得，可得答案. 【详解】椭圆的焦距为，则， 由，的面积为，得，即， 又， 所以，即，， 又，则， 则椭圆的标准方程为． 故选：D． 28．（23-24高二上·广东广州·期中）设，为椭圆C：的两个焦点，点P在C上，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】由椭圆C：，可得，，， 因为，所以， 由题意可得，， 即. 故选：C.    29．（23-24高二上·江苏无锡·期中）设F是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（　   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：D    二、多选题 30．（23-24高二上·江西·阶段练习），为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设椭圆方程为，椭圆与y轴正半轴的交点为B，椭圆C上存在点P，使得，则需，再结合椭圆的性质，即可求解． 【详解】根据选项，设椭圆的方程为，设椭圆的上顶点为，    椭圆上存在点，使得，则需， 所以，即， 因为，，则，检验可得选项A，D满足. 故选：AD. 31．（20-21高二上·福建漳州·期中）若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【分析】 根据椭圆的几何性质可判断为椭圆的短轴端点时，此时最大，即可列不等式求解. 【详解】由椭圆的性质可得当点为椭圆的短轴端点时，此时最大， 若不可能为钝角，当点为椭圆的短轴断点时，则， 则，即， 又焦点在轴上，解得， 所以实数的值可以是4，5， 故选：CD    32．（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，则（    ） A．若点的横坐标为2，则 B．的最大值为9 C．若为直角，则的面积为9 D．若为钝角，则点的横坐标的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对A，可直接解出点P坐标，求两点距离； 对B，最大值为 对C，设，则，列勾股定理等式，可求面积； 对D，所求点在以原点为圆心，为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断. 【详解】椭圆的长半轴为，半焦距为，∴ 对A，时，代入椭圆方程得，，，A错； 对B，的最大值为，B对； 对C，为直角，设，则，则有， 则的面积为，C对； 对D，以原点为圆心，为半径作圆，则为圆的直径，则点P在圆内时，为钝角，联立，消y得，故点的横坐标的取值范围为，D对. 故选：BCD 33．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆的一个动点，点，则下列结论正确的是（    ） A．的周长为 B．的面积最大值为 C．存在点，使得 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用椭圆的定义及几何性质逐项判断即可. 【详解】对A，由椭圆，可得的周长为：，故A正确； 对B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积为：，故B正确； 对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时，即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误； 对D，由椭圆，所以，又，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 34．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期中）已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为， ，则下列结论正确的是（      ） A．△F1PF2的周长为16 B． C．点到x轴的距离为 D． 【答案】ABC 【分析】根据椭圆的定义、椭圆内三角形的周长、面积、向量数量积运算等知识求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以三角形的周长为，A选项正确， 设， 所以， 整理得， 所以，B选项正确， 设到轴的距离为，则，C选项正确， ，D选项错误. 故选：ABC 三、填空题 35．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 【答案】5 【分析】先求出，，则，结合图形可知，从而可求得结果. 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 所以，，， 所以． 如图，因为（当M在的延长线上时取等号），， 所以． 所以的最大值为5， 故答案为：5 36．（23-24高二下·上海·阶段练习）该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】解法一：由椭圆方程求出，设，然后由椭圆的定义结合已知条件列方程可求出，从而可求出的面积，解法二：利用焦点三角形的面积公式求解 【详解】解法一：由，得，则， 设，则由题意得 ， 由，得， 所以，得， 所以的面积为 解法二：由，得， 因为 所以由焦点三角形的面积公式得． 故答案为：9 37．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】利用勾股定理构造方程，结合椭圆定义可求得结果. 【详解】    由椭圆方程知：，，， ，， 由椭圆定义知：， ， 解得：. 故答案为：2. 38．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则 ． 【答案】 【分析】 根据椭圆得定义可得，在中，利用余弦定理求出，从而可求出，即可得解. 【详解】由椭圆：，得， 所以， 因为点在椭圆上， 所以， 在中，由余弦定理得：， 即， 所以，所以， 则， 所以， 所以点在椭圆的上下顶点处， 所以. 故答案为：. 39．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义及圆的性质求解即得. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 由在椭圆上，得，解得，， 则椭圆的焦点，， 因此， 当且仅当分别为线段的延长线与圆的交点， 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题 40．（23-24高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系xOy中，分别求满足下列条件的动点M的轨迹方程，并说明方程表示何种曲线. (1)动点M到点的距离是到点的距离的3倍； (2)动点M到点的距离与到直线的距离之比为. 【答案】(1)，该方程表示圆 (2)，该方程表示椭圆. 【分析】（1）根据两点间距离公式进行求解即可； （2）根据两点间距离公式，结合点到线距离公式进行求解即可. 【详解】（1）设动点. 因为动点M到点的距离是到点的距离的3倍，所以. 所以， 即，化简得， ， 所以动点M的轨迹方程为该方程，表示圆. （2）因为动点M到点的距离与到直线的距离之比为， 所以， 即，化简得， 所以动点M的轨迹方程为，该方程表示椭圆. 41．（23-24高二上·江苏·阶段练习）求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点位置设出椭圆方程，把点的坐标代入椭圆方程求解即可； （2）设出椭圆方程，将两点代入椭圆方程，列式计算即可求解. 【详解】（1）由题知：焦点在轴，且，设椭圆标准方程为，则， 由椭圆过点知，解得或（舍去）. 所以椭圆的标准方程为. （2）椭圆经过，两点，设所求椭圆的方程为， 把点、代入得，解得，所以所求椭圆的方程为. 42．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，； (2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (3)焦点在x轴上，，且经过点； (4)，且经过点. 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】(1)直接联立方程组，求出、的值，再利用椭圆的基本性质求出的值，然后分别讨论焦点所在的坐标轴，直接写出标准方程即可； (2)由椭圆的定义，直接写出、的值，并可判断焦点所在坐标轴，再利用椭圆的基本性质求出的值，即可直接写出椭圆的标准方程； (3)由题意，设出椭圆的标准方程，再把点代入求解即可； (4)由题意结合椭圆的性质，可列出、的关系式，再设出椭圆的标准方程，然后把点代入求解即可. 【详解】（1）由题意，联立，解得： ， 则由椭圆的性质得：， 所以当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：； 当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：， 故椭圆的标准方程为：或. （2）由题意可得，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，即， 又椭圆的两个焦点坐标为，，则，且焦点落在轴上， 所以由椭圆的性质得：， 故椭圆的标准方程为：. （3）因为椭圆的焦点在轴上，且， 所以可设椭圆的标准方程为， 又因为椭圆经过点， 所以，解得：， 故椭圆的标准方程为：. （4）因为，由椭圆的性质得，则， 所以可设椭圆的标准方程为或 又因为椭圆经过点， 所以或，解得：或， 所以，当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：； 当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：， 故椭圆的标准方程为：或. 43．（22-23高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求： (1)椭圆的标准方程 (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求出椭圆方程； 利用椭圆定义以及余弦定理、面积公式求得结果. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 由已知得解得，，， 故椭圆的标准方程为． （2）如图，由椭圆的定义可得， 由余弦定理可得， 整理得， 又， 所以， 故． 44．（23-24高二上·江苏·开学考试）已知椭圆C：，左，右焦点分别为，，椭圆C经过，． (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C上的点P使得，求的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由题意可知 ， ，代入椭圆的标准方程进行求解即可； （2）假设椭圆C上存在点，使得，则 ，可求出 ，根据 计算可得结果. 【详解】（1）因为椭圆C经过，．则，解得，． 所以椭圆C的方程为． （2）由（1）知，，假设椭圆C上存在点，使得， 则，即， 联立，解得，． ∴椭圆C上存在点P使得．∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$