海南省海口市琼山区某校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

海南中学 2025 届高三年级第2 次月考 数学答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.【答案】C 【详解】:M = {x 2x - 3 > 0} = (|( , +∞), ，N = {y y > 1} = (1, +∞) ，因M ∩ N = 故 A 项错误；由M N = (1, +∞) ，知 B 项错误；因M ≤ N ，故 C 项正确, 由cNM = 项错误. 2.【答案】B【解析】由题意得 A ，B ，C ，D 间的关系如图．故 D 是 A 的必要不充分条件. 3. 【答案】D = 3x2 + > 0 ，函数f在 上单调递增，且f (1) = f (-1) = 0 。 因为2a = 3 ，b ln 2 = 1 ，3c = 2 ，所以a = log2 3 ，b = = log2 e ， c = log3 2 < log3 3 = 1 ，因为y = log2 x 在定义域上单调递增，所以log2 3 > log2 e > log2 2 = 1 ( 所以 a > b > 1 ， c < 1 ，所以 a > b > c ，故选： A ) 5.【答案】B【详解】由函数 = ex - = ex - 2 - ( 根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数 f ( x ) 在 (1 , +∞ ) 上为单调递增函数， 所以函数 f ( x ) 在 (1 , +∞ ) 至多有一个零点 ，又由依次确定了零点所在区间为 [ a , b ] , 「 L | , b , | 「4 L3 a , b - ，可得 ，即 0 ，得 a = . 故选 B. ) 6 ．【答案】B 【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在 x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一 个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为y = f, (x) ，实线部分为y = f (x)， 对于 A, y, = f, (x)+1 > 0恒成立，故y = f (x )+ x 在 R 上单调递增，则 A 显然错误， 2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 1 页 共 11 页 ( 对于 C, y , = f , ( x ) . e x + f ( x ) . e x = ( f , ( x ) + f ( x ) ) . e x > 0 恒成立， 故 y = f ( x ) . e x 在 R 上单调递增，则 C 显然错误， 对于 D ， y , = 由图像可知 ， y , = > 0 恒成立， 故 单调递增，当 x ∈ , y , = < 0 ， y = f 单调递减， 所以函数 y = 在 x = 0 处取得极大值，也为最大值， = 1 ， D 错误 B 正确 . 故选： B ) 7.【答案】C【解析】由题意，不妨设点 P 在第一象限，如图. 因为PF2 丄 F1F2 ，则iPF2 i = ， = 2a - iHF1 i = iPF1 i = . ( ---→ ---→ )因为OH . PF1 = 0 ，则OH 丄 PF1 ，可知△PF1F2 ∽△OF1H ， ( 2 2 则 即 整理得 c 2 - 2 2 ac + a 2 = 0 . a ) ( 由 得 e 2 - 2 2 e + 1 = 0 ，解得 2 ± 1 （舍去 + 1 ） ， ) ( 所以 C 的离心率为 2 - 1 . 故答案为： C. ) 8.【答案】A 【详解】f(x) = x2 - 4x + a(ex-2 + e-x+2 ) = (x - 2)2 - 4 + a(ex-2 + e-x+2 ) ( 设 t = x - 2 ， 则 f ( t ) = t 2 - 4 + a ( e t + e - t ) 定义域为 R ， f ( - t ) = ( - t ) 2 - 4 + a ( e - t + e t ) = f ( t ) 所以 f ( t ) 为偶函数，所以 f ( x ) 的图像关于 x = 2 成轴对 要使 f ( x ) 有唯一零点，则只能 f ( 2 ) = 0 ，即 - 4 + 2 a = 0 ，解得 a = 2 ，故答案为： 2 . ) 2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 2 页 共 11 页 海南中学 2025 届高三年级第 2 次月考数学试题 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. ( 对 A ，当 m ， n 是奇数时， f ( x ) 的定义域为 R ，关于原点对称， x n = - f 则幂函数 f ( x ) 是奇函数 ， 故 A 中的结论正确 ； 对 B ，当 m 是奇数， n 是偶数时， f ( x ) 的定义域为 R ，关于原点对称， x n = f 则幂函数 f ( x ) 是偶函数 ， 故 B 中的 结论正确 ； 对 C ，当 m 是偶数， n 是奇数，幂函数 f ( x ) 在 x < 0 时无意义，故 C 中的结论错误； 对 D ， 0 < < 1 时，幂函数 f ( x ) 在 ( 0, + ∞ ) 上是增函数，故 D 中的结论正确；故选： ABD. ) 10.【答案】BC【详解】 由题意知， 当 x ∈(-∞, 0) 时， xf, (x)- 2f (x) > 0 ， ( 所以 g ( x ) 在 ( - ∞ , 0 ) 上单调递减， - 4 < - 2 → g → → f ； 选： BC . ) 11.【答案】ABC 【详解】画出f (x ) = ex - 2 的函数图象，如图： ( f ( x ) ) ( = h ( x ) 恰有两个 )h (x ) = kx - 2k +1 经过定点(2, 1) ，从图中可以看出存在实数 k，使得方程 根；A 正确； 2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 3 页 共 11 页 海南中学 2025 届高三年级第 2 次月考数学试题 存在实数 k ，使得方程 f (x) = h (x) 恰有三个根，B 正确； 要想对任意实数 a ，存在不相等的实数x1 , x2 ，使得f (x1 )-f (x2 ) = g (x2 )-g (x1 ) ，即 f (x1 ) -f (x2 ) = - g (x1 ) - g (x2 ) ，只需f (x) = ex - 2 与-g (x) = -x2 - ax ，无论 a 取何值，都 有两个交点，其中-g = -x2 - ax = - 开口向下，且有最大值为 且恒过 (0, 0) ，画出两函数图象如下，其中-g = -x2 - ax = - 为一组抛物线，用虚线表 示：无论 a 取何值，都有两个交点，C 正确； 要想对任意实数 a ，存在不相等的实数x1 , x2 ，使得f (x1 )-f (x2 ) = g (x1 )-g (x2 ) ，只需函数 f (x) = ex - 2 ，g (x) = x2 + ax（a ∈ R ）始终有两个交点，当a = 1 时，g = x2 + x = 3 开口向上，且最小值为 ，此时图象如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数，显 4 然此时两函数只有一个交点，故 D 错误； 三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12.【答案】1 ( 〔 x - 1 ≥ 0 【解析】由题意得： {l 2 - x ≥ 0 ，解得： 1 ≤ x ≤ 2 ，故 ) 海南中学 2025 届高三年级第 2 次月考数学试题 ( + ) ( x 2 - 2 x + 1 ) ( = ) ( 4 ( x - 2) 4 ) ( · ( ) ) ( + ) ( 2 x - 1 ) ( = )4(x - 2)4 | x -1| + | x - 2 | = x -1 + 2 - x = 1 ，故答案为：1 . 13.【答案】a > 4 【解析】由题意x2 - x1 = 1, x2 = x1 +1， ( 则 f ( x 2 ) - f ( x 1 ) = ax 2 3 - ax 1 3 = a ( x 1 + 1) 3 - ax 1 3 = a (3 x 1 2 + 3 x 1 + 1) > 1 恒成立，故有 a > 0 时， 且 x 1 = - 取最小值 ，即有 > 1, a > 4 。 ) 2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 4 页 共 11 页 ( ( p ) )14.【答案】2， 0 【解析】F 为 △ABD 的重心，F |( 2 , 0, ， ( 所以 x 1 + x 2 + x 3 = , y 1 + y 2 + y 3 = 0 ， 又 FA + FB + F = x 1 + x 2 + x 3 + = 6 ，即 p = 2 ， 因为 y 1 2 = 4 x 1 ， y 2 2 = 4 x 2 ，两式相减 , 得： ( y 1 + y 2 )( y 1 - y 2 ) = 4 ( x 1 - x 2 ) , 所以 k AB = 同理可得 k BD = , k AD = 所以 ) 四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13 分）【解析】（1）已知 asin C -c cosA -c = 0 ， ( 根据正弦定理，即为 3 sin A sin C - sin C cos A - sin C = 0 . ) ( cos A - 1 = 0 ) ( , )因为在△ABC 中，sin C > 0 ，所以 3 sin A ( 即 ，因为 0 < A < π , 0 < A - 所以 A - = ，即 A = ； …… 6 分 ) ( （ 2 ）解法一：由 A = bc sin A = 3 ，得 bc = 2 . ) ( 由余弦定理，得 a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc cos A ， ) ( 因为 a = ， A = ， bc = 2 ， 所以 2 = b 2 + c 2 - 2 ， b 2 + c 2 = 4 ， ) ( 又 bc = 2 ， 解得 b = c = 或 b = c = - （舍 ） ． 所以 b = c = …… 13 分 ) ( （ 2 ）解法二：由 A = bc sin A = 3 ，得 bc = 2 . ) ( 由余弦定理，得 a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc cos A = ( b + c ) 2 - 2 bc - 2 bc cos A ， ) 因为a = s2 ，A = ，bc = 2 ，所以(b + c )2 - 2 × 2 - 2 × 2 cos = 2 ，:b, c > 0 ，有b + c = 2 · , ( 又 bc = 2 ， 解得 b = c = · 或 b = c = - v 2 （舍 ） ． 所以 b = c = · 。 …… 13 分 ) 2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 5 页 共 11 页 16.（15 分） ( 解析 （ 1 ）设数列 { a n } 的公差为 d , d = 3 ， a n b n + 1 + b n + 1 = nb n 中，令 n = 1 ，有 a 1 b 2 + b 2 = b 1 ，代入 b 1 = 1, b 2 = ，得 a 1 = 2 ， 所以数列 { a n } 是首项为 2 ，公差为 3 的等差数列，通项公式为 a n = 2 + 3( n - 1) = 3 n - 1 ； 将 a n = 3 n - 1 代 入 a n b n + 1 + b n + 1 = nb n ， 得 3 nb n + 1 = nb n , n ∈ N * ，故有 因此 { b n } 是首项为 1 ，公比为 1 3 的等 比数列， b n = 1 × n - 1 = n - 1 。 …… 8 分 （ 2 ） 设 c n = ( - 1) n a n = ( - 1) n (3 n - 1) ， n 为奇数时， c n + c n + 1 = ( - 1) n (3 n - 1) + ( - 1) n + 1 (3 n + 2) = - (3 n - 1) + (3 n + 2) = 3 ， : S 2 n = ( c 1 + c 2 ) + ( c 3 + c 4 ) + …… + ( c 2 n - 1 + c 2 n ) + ( b 1 + b 2 + …… + b 2 n ) …… 15 分 ) 2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 6 页 共 11 页 17.（15 分） ( 因为 g ，所以 g 定义域为 有 g ( 1 ) = 0 ， 且 g ' ( 1 ) = 1 ， 所以曲线 y = g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y - 0 = 1 . ( x - 1) ，即 y = x - 1 。 …… 5 分 则 h ( x ) 定义域为 令 = ln x + 1 + 2 ax ，则 m , + 2 a ， 因为 a< 0 ，所以令 + 2 a = 0 得 x = - 当 0 < x < - 2 1 a 时， m ' ( x ) > 0 ， m ( x ) 单调递增， 当 x > - 2 1 a 时， m ' ( x ) < 0 ， m ( x ) 单调 递减， 所以当 取得最大值 + 1 + 2 a 即 a ≤ - 1 2 时， m ( x ) ≤ 0 ， 即 h , ( x ) ≤ 0 恒成立， 所以 h ( x ) 在 (0 , +∞ ) 单调递减 ， 此时函数 h ( x ) 无极小值，舍去； 即 - 1 2 < a < 0 时， 由于当 x → 0 时， m ( x ) → -∞ , 当 x → +∞ 时， m ( x ) → -∞ , ) x (0, x1 ) x1 (x1, x2 ) x2 (x2, +∞) h, (x) - 0 + 0 - h (x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ( 所以 m ( x ) = 0 有两个解，即 h , ( x ) = 0 有两个解 x 1 ， x 2 ，且 0 < x 1 < - < x 2 ，列表得 所以存在 ，使得 h 存在极小值 h ( x 1 ) . …… 15 分 ) 2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 7 页 共 11 页 海南中学 2025 届高三年级第 2 次月考数学试题 18.（17 分） ( 解析 当 a = 2 时 ， f | x + 2| - 2 - x ， 由 | x + 2 | - 2 ≥ 0 ， 得 | x + 2 | ≥ 2 ， 即 x + 2 ≤ - 2 或 x + 2 ≥ 2 解得 x ≤ - 4 或 x ≥ 0 . 所以，函数的定义域为 ( -∞ , - 4] U [0 ， +∞ ) ； …… 4 分 （ 2 ）解法 一 | x + a | - a = x + a ， 设 x + a = t ≥ 0 ，转化为 t - a = t 有两个不同实数根，整理得 a = t - t 2 ， t ≥ 0 ， 所以， t ≥ 0 ， 由二次函数的图象与性质，当且仅当 0 ≤ a < 4 时，方程有 2 个不同实数根， 又 a ≠ 0 ，所以， a 的取值范围是 (0 , 4 ) ； …… 10 分 解法二 | x + a | - a = x + a 有解 ， 则有 x + a ≥ 0 , x ≥ - a ， | x + a | = x + a ， 由 f ( x ) = a → ( x + a ) - a = x + a → x = x + a ( x ≥ 0 且 x ≥ - a ， a ≠ 0) 令 t = x ，得 a = t - t 2 = - 函数 g 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为 t = 1 2 ，函数零点为 0 和 1 ， ① a < 0 时， f ( x ) 的定义域为 [ - a , +∞ ) ，则 t ≥ - a > 0 ， 由 f ( x ) = a 有 2 个不同实数根，得 a = g ( t ) 在 [ - a ， + ∞ ) 上有 2 个不同实数根， 应有 不等式组无解，故舍去。 ② a > 0 时 ， f ( x ) 的定义域为 [0 , +∞ ) ，则 t ≥ 0 ， 由 f ( x ) = a 有 2 个不同实数根，得 a = g ( t ) 在 [0 ， + ∞ ) 上有 2 个不同实根， 1 1 应有 0 ≤ a < 4 ，又 a ≠ 0 ，所以， a 的取值 范围是 (0 , 4 ) ； 1 综上，实数 a 的取值范围是 (0 , ) . …… 10 分 4 1 1 ) 2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 8 页 共 11 页 海南中学 2025 届高三年级第 2 次月考数学试题 ( （ 3 ） | x + a | - a - x 中 ， 有 | x + a | ≥ a ， ① a ≤ 0 时， | x + a | ≥ a 恒成立 ，函数 f ( x ) 的定义域为 易知 x < - a 时 ， f ( x ) 在 ( -∞ , - a ) 上单调递减 ， 若存在实数 a ，使得函数 f ( x ) 在定义域内具有单调性， 应有 x ≥ - a 时， f - x = - 在 上单调递减， 令 t = x ， t = x 在 [ - a , +∞ ) 上单调递增，由复合函数同增异减， 得 在 [ - a , +∞ ) 上单调递减， 故有 ， - a ≥ 即 ② a > 0 时 ， | x + a | ≥ a → x + a ≤ - a 或 x + a ≥ a → x ≤ - 2 a 或 x ≥ 0 ， 函数 f ( x ) 的定义域为 { x | x ≤ - 2 a 或 x ≥ 0} ， x ≥ 0 时， f - x = - 在 [0, 1 4 ] 上单调递增，在 上单调递减， 不合题意，舍去； 综上： a ≤ - . …… 17 分 ) 2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 9 页 共 11 页 19.（17 分） ( 中，令 x = c ，解得 y = ± 2 ， 因为直线 y = 1 为 △ PF 1 F 2 的等线，显然点 P 在直线 y = 1 的上方，故有 P 又 ，有 - 1 = 2, e = = 2, c 2 = a 2 + b 2 ， 解得 a = 1 ， b = 3 ，所以 E 的方程为 …… 4 分 （ 2 ）设 P ( x 0 , y 0 ) ，由题意有 m 方程为 x 0 x - 渐近线方程为 y = ± 3 x ，联立得 x A = , x B = 所以 P 是线段 AB 的中点，因为 F 1 , F 2 到过原点 O 的直线距离相等， 则过原点 O 点的等线必定满足 : A , B 到该等线距离相等， 且分居两侧，所以该等线必过点 P ，即 OP 的方程为 y = 2 x ， 由 x = 1 ， 解得 { 〔 l x y 3 6 ， 故 P ( 3, 6 ) . 所以 所以 y A - y B = 6 ，所以 S ABCD = l F 1 F 2 . y A - y B = 2 y A - y B = 12 . …… 10 分 1 2 ) 2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 10 页 共 11 页 ( 设 G ，由 ，所以 x 0 = 3 x , y 0 = 3 y ， 故曲线 Γ 的方程为 9 x 2 - 3 y 2 = 1 ( x > 0 ) 由（ * ）知切线为 n ，也为 = 1 ，即 x 0 x - ， 即 3 x 0 x - y 0 y - 1 = 0 易知 A 与 F 2 在 n 的右侧， F 1 在 n 的左侧，分别记 F 1 , F 2 , A 到 n 的距离为 d 1 , d 2 , d 3 ， 由（ 2 ）知 x A = ， 由 x 0 ≥ 1 得 d 1 = = , d 2 = = 因为 d 2 + d 3 = ， 所以直线 n 为 △ AF 1 F 2 的等线 . …… 17 分 ) 2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 11 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海南中学2025届高三年级第2次月考 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 一 、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合M={x|2x-3>0},N={y|y=+1},则 ( ) A. B. C. D. 2.设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D 是A的 ( ) 条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 函数的图像是( ) A. B. C. D. 4.已知 a,b,c 满足,bln2=1,, 则 （ ） A.a>b>c B.a>c>b C. b>c>a D.b>a>c 5. 若在用二分法寻找函数（x>0）零点的过程中，依次确定了零点所在区间为则实数a 和b 分别等于( ) A. B. C. D. 2025届高三数学第2次月考(试题卷)第1页共4页 6.在同一平面直角坐标系内，函数y=f(x)及其导函数y=f'(x)的图像如图所示，已知两图像 有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1),则( ) A. 函数y=f(x)+x的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C.函 数y=的最大值为1 D. 函数的最小值为1 7.已知椭圆的左、右焦点分别为是C 上一点，且PF₂⊥, H是线段上靠近的四等分点，且=0,则C的离心率为( ) B. C. D. 8.已知函数有唯一零点，则a的值为( ) 海南中学2025届高三年级第2次月考数学试题 A.2 B. C. D.-1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知幂函数（），下列关于的结论正确的是（ ） A.m,n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数 B. m是奇数，n 是偶数时，幂函数f(x)是偶函教 C. m是偶数，n 是奇数时，幂函数f(x)是偶函数 D.时，幂函数f(x)在(0,+00)上是增函数 2025届高三数学第2次月考(试题卷)第2页共4页 10.已知函数f(x)的定义为(-00,0),其导函数f’(x)满足xf'(x)-2f(x)>0,则下列不等式 中正确的是( ) A.f(-2)<2f(-1) B.f(-2)>4f(-1) C.f(-4)>4f(-2) D.f(-4)<4f(-2) 11.已知函数f(x)=,g(x)=x²+ax(a∈R),h(x)=(k∈R), 给出下列 四个命题，其中真命题为( ) A.存在实数k,使得方程f(x)=h(x)恰有两个根； B.存在实数k,使得方程|f(x)=h(x)恰有三个根； C. 任意实数a, 存在不相等的实数x,x₂,使得f(x)-f(x)=g(x₂)-g(x): D.任意实数a,存在不相等的实数x,x₂,使得f(x)-f(x)=g(x)-g(x₂). 三。填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若代数式有意义，则 . 13.函数y=f(x)的定义域为R.若对满足(t>0)的任意,均有f(x₂)-f()>t,则称函数y=f(x)具有“P(t)性质”,已知f(x)=,且函数y=f(x)具有P(t)性质，则实数a的取值范围为 . 14.已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,A(,y₁),B(x₂,y₂),D(,y₃)为抛物线C上的任意三点(异于坐标原点O),,且|FA|+|FB|+|FD|=6,若直线AB,AD,BD的斜率分别为, 则p的值为 四。解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或推算步骤。 15. (13分)已知a、b、c分别是△ABC 三个内角A、B、C的对边，且. (1)求角A; (2)若a= ,△ABC的面积为 ，求b, c. 2025届高三数学第2次月考(试题卷)第3页共4页 海南中学2025届高三年级第2次月考数学试题 海南中学2025届第二次月考数学试题 16.(15分)已知数列{an }是公差为3的等差数列，数列{bn }满足 (1)求数列{an },{bn }的通项公式； (2)求数列{}的前2n项和。 17. (15分)已知f(x)=,。 (1)求曲线y=g(x)在点(l,g(1))处的切线方程； (2)讨论是否存在a<0,使函数h(x)=2f(x)-g(x)有极小值?并说明理由。 18.(17分)已知函数f(x)= (1)若a=2,求函数f(x)的定义域； (2)若a≠0,若f(x)=a有2个不同实数根，求实数a的取值范围； (3)是否存在实数a,使得函数f(x) 在定义域内具有单调性?若存在，求出a的取值范围. 19.(17分)在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l的距离 之和相等，则称l为多边形的一条“等线”。双曲线E:的左、右焦点分别 为 ,其离心率为2,且点P 为双曲线E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点P, 且与E的渐进线交于A,B两点，且点A在点B上方。当 ⊥x轴时，直线y=1为△ 的等线。已知双曲线E ：在其上一点P() 处的切线方程为。 (1)求双曲线E 的方程； (2)若y=√2x是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知O为坐标原点，设, 点G的轨迹为曲线，证明：在点G处的切线n为 △的等线。 2025届高三数学第2次月考(试卷)第4页共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$