精品解析：福建省安溪铭选中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

福建省安溪铭选中学2024-2025学年第一学期第一次月考高一年数学试卷 命题人：谢伟杰 审核人：王金成 终审人：陈元章 （总分：150分 时间：120分钟） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示集合为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 6. 方程组解集是（ ） A. B. C. D. 或 7. 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，若中恰有3个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 与表示同一个集合 B 集合与表示同一个集合 C. 方程的所有解的集合可表示为 D. “”是“”的必要不充分条件 10. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 11. 对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C 如果，那么 D. 如果，那么 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共3小题，共15分） 12. 已知,，则,的大小关系是 _____． 13. 某水果店三天共售出37种水果，第一天售出18种水果，第二天售出20种水果，第三天售出22种水果，前两天都售出的水果有8种，后两天都售出的水果有10种，这三天都售出的水果有4种，则第一天和第三天都售出的水果有___________种. 14. 已知集合，集合且，命题，，若命题是真命题，则实数的取值范围是_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求，的取值范围； （2）求，的取值范围． 16. 设集合，集合． （1）当时，求，， （2）当时，求实数取值范围． 17. 已知集合， （1）是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由 （2）是否存在实数m，使得是成立的充分不必要条件，若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由， （3）是否存在实数m，使得是成立的必要不充分条件，若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由， 18. 已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. （1）请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； （2）利用（1）的结论比较的大小； （3）证明命题：设，证明：. 19. 若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. （1）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； （2）设集合“好集”，求证：若，则； （3）设集合是“好集”，求证：若，则； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省安溪铭选中学2024-2025学年第一学期第一次月考高一年数学试卷 命题人：谢伟杰 审核人：王金成 终审人：陈元章 （总分：150分 时间：120分钟） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确有（ ） ①；②；③；④；⑤ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】1是自然数，故，故①正确； 不是正整数，故，故②正确； 是有理数，故，故③正确； 是实数，故，故④正确； 是无理数，故，故⑤错误. 所以正确的说法有①②③④共4个. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集的定义求解即得. 【详解】集合，，则. 故选：B 3. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定形式可得结果. 【详解】由，则. 故选：A. 4. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】阴影部分表示的集合为，根据补集定义求出，再根据交集定义即可求解. 【详解】因为全集，集合或， 所以，又， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：B. 5. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列出集合、，可判断两者之间的关系. 【详解】∵集合， ， ∴. 故选：B. 6. 方程组解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】解方程求方程组的解，进而写出解集. 【详解】由，解得或， 所以方程组解集是. 故选：C. 7. 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A,因为，所以，所以 即，所以选项A错误；对于选项B，，所以，选项B错误；对于选项C，，当 时，，当，，故选项C错误；对于选项D，，所以，又，所以，所以，选D. 8. 已知集合，若中恰有3个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解集合A中的不等式，得到集合A，由中的元素，判断的取值范围. 【详解】等价于，解得， 又，， 若中恰有3个元素，则，所以， 即的取值范围为. 故选：C. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 与表示同一个集合 B. 集合与表示同一个集合 C. 方程的所有解的集合可表示为 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的相关概念和性质可判断ABC，根据充分条件和必要条件的概念可判断D. 【详解】对于A，表示不含任何元素的集合，而是仅含有一个元素0的集合， 所以与表示不同的集合，故A错误； 对于B，根据集合的无序性可知：集合与表示同一个集合，故B正确； 对于C，因为方程的解为1，2， 结合集合的互异性可知，方程的所有解的集合可表示为，故C错误； 对于D，若，，满足， 但不能推出，故充分性不成立， 若，可以推出，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：AC. 10. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据充分不必要条件逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，“”是“”的一个必要不充分条件，故A错误； 对于B，“”是“”的一个充分不必要条件，故B正确； 对于C，“”是“”一个充分不必要条件，故C正确； 对于D，“”是“”的一个必要不充分条件，故D错误. 故选：BC. 11. 对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】AC 【解析】 【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征. 【详解】对于A，，则恒有， 即，则，故A选项正确； 对于B，，若，则存在使得， 即，又和同奇或同偶， 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数； 若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除， 所以不能得到，故B选项错误； 如果，可设， 对于C，， 可得，故C选项正确； 对于D，， 不一定成立，不能得到，故D选项错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛： 按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共3小题，共15分） 12. 已知,，则,的大小关系是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法直接比较大小. 【详解】解：因, 所以 所以. 故答案为：. 13. 某水果店三天共售出37种水果，第一天售出18种水果，第二天售出20种水果，第三天售出22种水果，前两天都售出的水果有8种，后两天都售出的水果有10种，这三天都售出的水果有4种，则第一天和第三天都售出的水果有___________种. 【答案】9 【解析】 【分析】利用韦恩图可求第一天和第三天都售出的水果的种数. 【详解】设第一天和第三天都售出，且第二天没售出的水果有x种， 用集合A表示第一天售出的水果品种，B表示第二天售出的水果品种， C表示第三天售出的水果品种，画出Venn图， 如图所示，则，解得， 所以第一天和第三天都售出的水果有种. 故答案为：9 14. 已知集合，集合且，命题，，若命题是真命题，则实数的取值范围是_________ 【答案】或 【解析】 【分析】由命题是真命题得到，再结合得到实数满足的条件，解不等式得到结果. 【详解】由，可得，解得：， 由命题，是真命题，所以， 故有或，解得或. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求，的取值范围； （2）求，的取值范围． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质对（1）（2）进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，，所以． 又因为，所以. 小问2详解】 由题意得，则， 得， 又因为，则，得. 16. 设集合，集合． （1）当时，求，， （2）当时，求实数的取值范围． 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】（1）代入化简集合，从而利用集合的并集运算即可得解； （2）由题设条件得到，从而分类讨论与，结合集合的包含关系即可得解. 【小问1详解】 当时，集合， 又集合，所以．，， 或，. 【小问2详解】 因为等价于， 当时，，得，满足题意； 当时，则， 则，得，解得， 综上，实数的取值范围是或. 17. 已知集合， （1）是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由 （2）是否存在实数m，使得是成立的充分不必要条件，若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由， （3）是否存在实数m，使得是成立的必要不充分条件，若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由， 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2）存在； （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，得到，转化为，列出不等式组，即可求解； （3）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 若存在实数m，使得是成立的充要条件，则． 故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件． 【小问2详解】 因为，故，故． 是成立的充分不必要条件得，故，解得， 故，即m的取值范围为． 【小问3详解】 因为，故，故． 是成立的必要不充分条件得，故，解得， 故，又，故m的取值范围为． 18. 已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. （1）请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； （2）利用（1）的结论比较的大小； （3）证明命题：设，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【小问1详解】 解：由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. 【小问2详解】 解：由， 由（1）中的结论，可得，即. 【小问3详解】 证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以， 综上可得. 19. 若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. （1）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； （2）设集合是“好集”，求证：若，则； （3）设集合“好集”，求证：若，则； 【答案】（1）B不是“好集”；是“好集” （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用定义，判断集合B和有理数集是否是“好集”； （2）由，若，则，从而得出； （3）任取，若或时，显然；且时，有，则，得，有，即. 【小问1详解】 B不是“好集”, 理由是： ，，而，∴B不是“好集”； 是“好集”， 理由是：，；对任意，，有， 且时，，∴有理数集Q是“好集”. 【小问2详解】 因为集合是“好集”，所以. 若，则，即. 所以，即. 【小问3详解】 对任意一个“好集”，任取， 若或时，显然. 且时，由定义可知：. 所以，即. 所以. 由（2）可得：，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$