精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

石嘴山市第一中学2024-2025学年高三年级10月考 数学试题 一､单选题 1. 已知集合，，R为实数集，则 A. B. C. D. 2. 若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A. B. C. D. 3. 函数（其中为自然对数的底）的图象大致是 A. B. C. D. 4. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若对任意的 ，，且，都有，则m的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在R上恒成立”的充要 C. 若，则 D. 的最小值为5 10. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的取值范围为 C. 为奇函数 D. 方程仅有5个不同实数解 11. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 必有唯一极值点 B. 若，则在(0,+∞)上单调递增 C. 若，对有恒成立，则 D. 若存在，使得成立，则 三､填空题 12. 已知角的终边经过点，则_______． 13. 已知函数的值域是全体实数，则实数m的取值范围是______. 14. 已知且时，不等式恒成立，则正数m的取值范围是___________. 四､解答题 15. 已知函数满足 （1）求的解析式； （2）若，求的单调性. 16. （1）已知，为锐角，且，，求的值； （2）化简求值. 17. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； （2）讨论的单调性. 18. 已知函数为的导函数. （1）证明：当时，； （2）若与有两条公切线，求a的取值范围. 19. 定义运算：，已知函数，． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）若函数存在两个极值点，，证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2024-2025学年高三年级10月考 数学试题 一､单选题 1. 已知集合，，R为实数集，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A，然后利用补集运算求得，再利用交集运算求解即可. 【详解】因为，， 所以，所以 . 故选：C 2. 若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数判断函数在给定区间上的单调性，再根据题设条件，结合零点存在定理得到不等式组，求解即得. 【详解】由在区间上恒为正可得，函数在区间上为增函数， 依题意，函数在区间上存在零点，则由零点存在定理可得， 且，解得. 故选：C. 3. 函数（其中为自然对数的底）的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、函数的极值点与1的大小关系以及函数值的变化趋势可得正确的选项. 【详解】很明显函数为偶函数，选项D错误； ，选项C错误； 且，据此可得，函数在上的极大值点位于右方，选项B错误； 故选：A. 【点睛】本题考查函数图象的识别，注意根据函数的奇偶性、单调性、极值以及函数再特殊点处的函数值的正负、函数的函数值的变化趋势来判断，本题属于中档题. 4. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式，二倍角公式得到，代入求解. 【详解】 故选：D 6. 若对任意的 ，，且，都有，则m的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知不等式变形为，引入函数， 则其为减函数，由导数求出的减区间后可的最小值． 【详解】因为， 所以由， 可得， ， 即． 所以在上是减函数， ， 当时，，递增， 当时，，递减， 即的减区间是， 所以由题意的最小值是． 故选：A． 7. 已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导后结合基本不等式可得在上单调递增，令g，从而可得在上单调递增，且为奇函数，从而可化为，求解即可. 【详解】， 在上单调递增. 令，在上单调递增， 因为，所以为奇函数， 则化为 所以，解得， . 故选：C 8. 已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数为的偶函数，得出该函数在上为减函数，结合性质得出，，，比较的大小关系，结合函数的单调性可得出、、的大小关系． 【详解】由函数为的偶函数，且在上是增函数， 则该函数在上为减函数，且有， 则，，， 因为，，， 即，由于函数在上为减函数， 所以，可得. 故选：C． 二､多选题 9. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在R上恒成立”的充要 C. 若，则 D. 的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，可判定A错误；根据一元二次不等式的性质，以及充要条件的判定，可判定B正确；根据特例法，可判定C错误；根据时，，可判定D错误. 【详解】对于A中，根据不等式基本性质的可乘性得，当时，若，不一定有，所以A错误. 对于B中，当时，不等式恒成立， 反之，若不等式在R上恒成立，则，解得，所以B正确. 对于C中，若，满足但不满足，所以C错误. 对于D中，函数，当时，，所以函数无最小值，所以D错误. 故选：ACD. 10. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的取值范围为 C. 为奇函数 D. 方程仅有5个不同实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，确定函数的对称性、周期性，判断A，B，C；作出函数、的部分图象判断D作答. 【详解】依题意，当时，，当时，，函数的定义域为，有， 又，即，因此有，即， 于是有，从而得函数的周期， 对于A，，A不正确； 对于B，当时，，有，则， 当时，，，有， ，当时，的取值范围为，B正确； 对于C，，函数为奇函数，C正确； 对于D，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图： 方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标， 观察图象知，函数与的图象有5个交点，因此方程仅有5个不同实数解，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 11. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 必有唯一极值点 B. 若，则在(0,+∞)上单调递增 C. 若，对有恒成立，则 D. 若存在，使得成立，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，求函数的导数，判断当 时，，即此时无极值点，判断A;对于B，求出函数的导数，判断其正负即可；对于C，构造函数，将有恒成立，转化为求函数的最值问题判断即可；对于D，将问题转化为在时，，然后构造函数，求该函数的最值即可. 【详解】由题意得，当 时，， 此时单调递增，无极值点，故A错误； 当时，，故当 时，， 则在(0,+∞)上单调递增，故B正确； 当时，对有恒成立， 当 时，恒成立， 当 时，即对恒成立， 令， 当 时，递减，当 时，递增， 故，故 ，故C错误； 若存在，使得成立，即在时， ， 令 ，当时，， 故，故，故D正确， 故选：BD 三､填空题 12. 已知角的终边经过点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出的值，再利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以，. 故答案为：. 13. 已知函数的值域是全体实数，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得能取遍所有正实数，由此可得关于m的不等式，即可得答案. 【详解】函数的值域是全体实数， 即能取遍所有正实数， 由于，故， 当且仅当即时等号成立， 故，即，即实数m的取值范围是. 故答案为： 14. 已知且时，不等式恒成立，则正数m的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】将a视为主元，利用基本不等式得，当且仅当时取等号，从而得当时，恒成立，再利用导数求解即可. 【详解】解：将a视为主元，设， 则， 当且仅当时取等号， 故当时，恒成立. 设， 则，易知单调递增，且， ①若，即时，则，所以在单调递增， 故只需，即，解得； ②若，即时， ， 即时，恒成立. 综上，m的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于多参元恒成立问题，常将其中一个参数看成主元进行转化，已达到化多参为单参目的. 四､解答题 15. 已知函数满足 （1）求的解析式； （2）若，求的单调性. 【答案】（1） （2）函数在上单调递增，在上单调递减 【解析】 【分析】（1）对于求的解析式，我们可以通过换元法，将换为来求解.（2）对于求函数单调性，当时，先求出的表达式，再根据对数函数的性质以及复合函数单调性的判断方法（同增异减）来求解. 【小问1详解】 设，则. 已知，将代入可得： 所以. 【小问2详解】 当时，. 先求函数的定义域，令，即，解得或. 对于二次函数，其对称轴为. 当时，二次函数单调递减，因为对数函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，此时单调递增. 当时，二次函数单调递增，对数函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，此时单调递减. 故函数在上单调递增，在上单调递减. 16. （1）已知，为锐角，且，，求的值； （2）化简求值. 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系求出以及，再利用两角差的正弦公式即可求得答案. （2）利用切化弦以及三角恒等变换化简求值，即可得答案. 【详解】（1）因为为锐角，所以， 由，得， 而，所以. 因为，所以， 所以， 所以 . （2） . 17. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； （2）讨论的单调性. 【答案】（1）， （2） 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义与斜率关系即可求解； （2）结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解． 【小问1详解】 ，则． 曲线在点处的切线方程为， 则，解得， 由，解得， 【小问2详解】 ，函数定义域为， 则， 令，解得或， 若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增， 若，则在上恒成立，单调递增， 若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 18. 已知函数为的导函数. （1）证明：当时，； （2）若与有两条公切线，求a的取值范围. 【答案】（1） 当时，，， 等价于证明， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，所以， 所以，即； （2）实数a的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）等价于证明，令，求导判断出的单调性，求出最值可得答案； （2）设一条公切线与切点分别为，求出切线方程，根据是同一条直线可得，转化为与的图象有两个交点，利用导数得出的大致图象可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设一条公切线与切点分别为， 则， 可得切线方程为，， 因为它们是同一条直线，所以， 可得，令， 若与有两条公切线，则与的图象有两个交点， 则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，所以， 且当时，，当时，，可得的大致图象如下图， 所以. 19. 定义运算：，已知函数，． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）若函数存在两个极值点，，证明：； （3）证明：． 【答案】（1）1 （2）证明： “函数存在两个极值点，”等价于 “方程有两个不相等的正实数根”； 故，解得． 要证，即证， ，不妨令，故 由得，令 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故． 成立． （3）证明： 由（1）知，，即， 当时， ． 【解析】 【分析】（1）求导后，分类讨论单调性，进而得到最值，求出a的值即可； （2）条件等价于有两个不等的正根，结合判别式非负，以及韦达定理求出a的范围，要证， 即证，令求导确定函数的单调性，证明结论． （3）利用（1）结论可得则当时，，进而利用裂项相消求和证明结论. 【小问1详解】 由题意知： ， ①当时，，在单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为． ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】知识点点睛：本题以新定义为载体，考查了利用导数研究函数单调性和最值，考查了不等式的放缩，裂项相消求和知识，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $