精品解析：福建省宁德市古田县第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

古田一中2024~2025学年第一学期高一第一次月考 数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名､座号､考场､班级填写在答题卡上. 2.选择题用2B铅笔将答案涂在答题卡上，非选择题将答案写在答题卡上. 3.考试结束，考生只将答题卡交回，试卷自己保留. 一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集运算求解. 【详解】，， . 故选：D. 2. 命题“对任意，都有”的否定是（ ） A. 对任意，都有 B. 存在，使得 C. 不存在，使得 D. 存在，使得 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题， 则“对任意，都有”的否定是存在，使得. 故选：B. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对A，D，举反例说明；对B，C，利用不等式性质证明. 【详解】对于A，当时，有，故A错误； 对于B，，，，则，故B错误； 对于C，，，即，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】解：若，则， 若，当时，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，，所以 ，故；同理， ，故.因为，故.故最低费用为.故选B. 6. 下列函数中，的最小值为4的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A，B，举反例说明；对C，D，利用基本不等式分析各选项的最值，注意“一正、二定、三相等”的判断，由此可得结果. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，由，， 所以，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当取等号，此时，显然等号取不到，故D错误. 故选：C. 7. 定义集合的乘运算：.已知集合，集合，则集合非空真子集的个数为（ ） A. 6 B. 14 C. 30 D. 62 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出集合，再求出集合即可得解. 【详解】由，得， 而，则， 所以集合非空真子集的个数为. 故选：D 8. 某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（ ） A. 妈妈 B. 爸爸 C. 一样 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即可得解. 【详解】由题意，设第一次加油单价为元，第二次为元，油箱加满为升，则妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油， 设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升， 则，且，， 所以，即， 所以爸爸的加油方式更合算. 故选：B 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集为，若集合满足：，则下列关系可能成立的是（ ） A. ⫋ B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由真子集的定义可得A错误；由维恩图可得BCD正确； 【详解】对于A，由真子集的定义可得，若，则一定成立，与题意矛盾，故A错误 对于B，由维恩图可得B正确，故B正确； 对于C，由维恩图可得C正确，故C正确； 对于D，由维恩图可得D正确，故D正确； 故选：BCD. 10. “关于的不等式在上恒成立”成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先求出“关于不等式在上恒成立”是真命题的的范围，再结合充分条件和必要条件的定义得到结果. 【详解】若“关于的不等式在上恒成立”是真命题， ①当时，不等式化为，显然恒成立，故满足条件； ②当时，需满足，解得：， 综上，. A和B选项是“关于不等式在上恒成立”成立的充分不必要条件， C选项是“关于不等式在上恒成立”成立的充要条件， D选项是“关于不等式在上恒成立”成立既不充分也不必要条件. 故选：AB. 11. 对于分式不等式有多种解法，其中一种方法如下，将不等式等价转化为，然后将对应方程的所有根标注在数轴上，形成如图所示的五个区间，并且可得在从右向左的各个区间内的值为正､负依次相间，即可得到所求不等式的解集.利用此法求解下列问题：已知区间的左端点为，右端点为，定义区间的长，若满足的构成的区间的长度和为2，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意将分式不等式转化为整式不等式，然后根据各选项中的值写出不等式的解集，计算区间长度和即可得到正确结果. 【详解】等价于， 当时满足条件的构成的区间为，长度为2，符合题意，A正确； 当时满足条件的构成的区间为，长度为1，不符合题意，B不正确； 当时满足条件的构成的区间为，长度为2，符合题意，C正确； 当时满足条件的构成的区间为，长度为2，符合题意，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由中有元素为0，注意元素的互异性即可． 【详解】因为，若，则，与集合中元素的互异性矛盾，因此， 若，则，此时，满足题意， 故答案为：． 13. 若命题“”为假命题，请写出一个满足条件的的值__________. 【答案】答案不唯一，可填：1，2，3 【解析】 【分析】由全称命题的否定是特称命题，再结合一元二次不等式求解即可； 【详解】若命题“”为假命题，则为真， 则，解得， 所以的值可以为1,2,3. 故答案为：答案不唯一，可填：1，2，3. 14. 已知，若，则的最大值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由条件可得，利用基本不等式，即可得出结论． 【详解】根据题意可得，又， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4. 故答案为：4. 四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答. 15. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合交集运算求解； （2）由题意可得，分和两种情况讨论求解. 【小问1详解】 当时，， 则. 【小问2详解】 ，， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围为. 16. 已知：实数满足（其中：实数满足. （1）若，且为假命题，为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）代入值，根据真假情况得到相关不等式组即可； （2）转化为，则得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 时，或. ：原不等式等价于，解得 为假命题，为真命题， ， 解得 【小问2详解】 设或， 是的必要不充分条件，， 或，又， 解得或 17. 已知关于的不等式. （1）若该不等式的解集为，求的值； （2）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求此不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的特征，结合韦达定理列式求解； （2）根据题意，问题转化为函数在和时，即可得解； （3）不等式转化为，根据大小分类讨论即可. 【小问1详解】 依题的根为和2， 由韦达定理得， 解得. 【小问2详解】 当时，不等式可化为， 结合函数图象，可知只要在和时，即可， 则有， 解得. 【小问3详解】 当时，不等式可化为， 的根为， 当即时，不等式为，解集为； 当即时，结合函数的图象， 不等式的解集为； 当即时，结合函数的图象， 不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 如图所示是某水产养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的8个小网箱. （1）若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长，宽设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小； （2）若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超米，则小网箱两相邻边长分别为多少米时，可使网衣和筛网的合计造价最低？ 【答案】（1）长为米，宽为3米 （2）4米和5米 【解析】 【分析】（1）将实际问题转化成数学问题，得到是定值，利用基本不等式求最值； （2）法一，根据题意可得，列出总造价的关系式，消去利用基本不等式求解；法二，由题意得，列出总造价的关系式，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 依题得， 设筛网总长度米，则， ， 当且仅当即时，筛网总长度最小， 所以每个小网箱长为米，宽为3米时，围成的网箱中筛网总长度最小. 【小问2详解】 法一：依题得，即， 设总造价为元，则 . ， 由得，解得. 当且仅当即时，造价最低， 所以小网箱两条相邻边长为4米和5米时，可使网衣和筛网的合计造价最低. 法二：依题得， 设总造价为元，则 ， 由，得， 当且仅当且，即时，造价最低. 所以小网箱两条相邻边长为4米和5米时，可使网衣和筛网的合计造价最低. 19. 学习与探究问题：正实数，满足，求的最小值.求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立.这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： （1）已知正实数，满足，求的最小值； （2）若实数满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并注明使得取得最小值时的值. 【答案】（1） （2），当且仅当且同号时等号成立 （3）当时，有最小值 【解析】 【分析】（1）根据“1”的代换，结合基本不等式求解； （2）根据“1”的代换，有，利用基本不等式求解判断； （3）令且，由（2）得到，求得，得到，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 则， 当且仅当即时，. 【小问2详解】 由，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立， 此时满足. 【小问3详解】 令且， 由，即， 则，解得， 因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即等号成立，此时， 所以当时，有最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 古田一中2024~2025学年第一学期高一第一次月考 数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名､座号､考场､班级填写在答题卡上. 2.选择题用2B铅笔将答案涂在答题卡上，非选择题将答案写在答题卡上. 3.考试结束，考生只将答题卡交回，试卷自己保留. 一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“对任意，都有”的否定是（ ） A. 对任意，都有 B. 存在，使得 C. 不存在，使得 D. 存在，使得 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A. B. C. D. 6. 下列函数中，的最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 7. 定义集合的乘运算：.已知集合，集合，则集合非空真子集的个数为（ ） A. 6 B. 14 C. 30 D. 62 8. 某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（ ） A. 妈妈 B. 爸爸 C. 一样 D. 不确定 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集为，若集合满足：，则下列关系可能成立的是（ ） A. ⫋ B. C. D. 10. “关于的不等式在上恒成立”成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 11. 对于分式不等式有多种解法，其中一种方法如下，将不等式等价转化为，然后将对应方程的所有根标注在数轴上，形成如图所示的五个区间，并且可得在从右向左的各个区间内的值为正､负依次相间，即可得到所求不等式的解集.利用此法求解下列问题：已知区间的左端点为，右端点为，定义区间的长，若满足的构成的区间的长度和为2，则实数的取值可以是（ ） A B. C. D. 1 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则_________. 13. 若命题“”为假命题，请写出一个满足条件的的值__________. 14. 已知，若，则的最大值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答. 15. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知：实数满足（其中：实数满足. （1）若，且为假命题，为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 已知关于的不等式. （1）若该不等式解集为，求的值； （2）当时，若不等式在上恒成立，求实数取值范围； （3）当时，求此不等式的解集. 18. 如图所示是某水产养殖大网箱平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的8个小网箱. （1）若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长，宽设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小； （2）若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超米，则小网箱两相邻边长分别为多少米时，可使网衣和筛网的合计造价最低？ 19. 学习与探究问题：正实数，满足，求的最小值.求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立.这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： （1）已知正实数，满足，求的最小值； （2）若实数满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； （3）利用（2）结论，求的最小值，并注明使得取得最小值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$