20.3一次函数的性质 讲义2023-2024学年沪教版（上海）数学八年级第二学期

《20.3一次函数的性质》讲义 同学们，咱们现在已经到了八年级第二学期，在沪教版的数学课本里，今天要好好讲讲第二十章一次函数里的20.3一次函数的性质。 一、一次函数的样子 咱们先得知道一次函数长啥样，一次函数啊，它的表达式就是y ＝ kx ＋ b（这里的k和b都是常数，而且k可不能等于0哦）。就像我们去商店买东西，这个表达式就是一种规则，x就像是我们拿进去的东西的数量，y就是我们要付的钱。比如说，咱们去买铅笔，每支铅笔2元（这里k就相当于2啦），如果我们再加上一个固定的费用，比如说买本子的5元（这个5元就相当于b啦），那我们总共要花的钱y就可以用y ＝ 2x+ 5这个一次函数来表示。 二、k的魔法 1、 k决定函数的倾斜方向 这个k啊，可神奇了。当k大于0的时候，一次函数的图像就像是一个人在爬坡，是从左向右往上走的。我给大家讲个事儿啊，我有一次去爬山，那个山路就有点像k大于0的一次函数图像。我从山脚下开始往上爬，越走越高，就像y的值随着x的值增加而增加一样。比如说y ＝ 3x ＋ 1这个函数，当x从1变成2的时候，y就从3×1 ＋ 1 ＝ 4变成了3×2 ＋ 1 ＝ 7，是不是就像在爬山，越来越高呢？ 2、 k决定函数的倾斜程度 而且k的大小还能决定这个“坡”的陡缓程度呢。k越大，这个坡就越陡。我又想到一个例子，有一次我看到两个滑梯，一个滑梯的倾斜度比较小，小朋友滑得比较慢，就像k比较小的一次函数图像；另一个滑梯倾斜度很大，小朋友嗖的一下就滑下去了，这个就像k比较大的一次函数图像。比如说y ＝ 0.5x ＋ 2和y ＝ 2x ＋ 2，y ＝ 2x ＋ 2这个函数的图像就比y ＝ 0.5x ＋ 2的图像要陡得多。 三、b的奥秘 1、 b是y轴上的截距 再来说说b，这个b呢，它就是一次函数图像和y轴相交的那个点的纵坐标。简单说，就是当x ＝ 0的时候，y的值就是b。我记得有一次我在看温度计，这个温度计的初始刻度就有点像b。假如我们把温度的变化看成是一个一次函数，这个初始刻度就是不管温度怎么变化，一开始就有的那个数值。比如说y ＝ 2x ＋ 3，当x ＝ 0的时候，y ＝ 3，这个3就是b，就像温度计在没开始测量温度变化之前的初始刻度。 2、 不同b值的图像平移 如果k相同，b不同，那这些一次函数的图像就像是一排整齐的士兵，只是站的位置不一样。它们是互相平行的，只是在y轴上的截距不同。我看到过这样的场景，在建筑工地上，有一排一样斜度的楼梯，但是它们的起始高度不一样，这就像不同b值的一次函数图像，虽然倾斜程度一样（k相同），但是和y轴相交的点不一样（b不同）。比如说y ＝ 2x ＋ 1和y ＝ 2x ＋ 3，它们的图像就是平行的，只是y ＝ 2x ＋ 3的图像在y轴上的截距比y ＝ 2x ＋ 1的图像在y轴上的截距要大。 四、一次函数的增减性 1、 当k ＞ 0时 当k大于0的时候，一次函数是单调递增的。这是什么意思呢？就是说随着x的增大，y也跟着增大。就像我们跑步，随着时间（x）的增加，我们跑过的距离（y）也会增加，如果我们的速度是恒定的（这里速度就有点像k）。比如说y ＝ 2x ＋ 1，当x从1变成3的时候，y就从2×1 ＋ 1 ＝ 3变成了2×3 ＋ 1 ＝ 7，y随着x的增大而增大了。 2、 当k ＜ 0时 而当k小于0的时候呢，一次函数是单调递减的。就像我们骑车下坡，不用踩踏板，随着时间（x）的增加，我们距离坡顶的高度（y）就会越来越小。比如说y ＝ 2x ＋ 3，当x从1变成3的时候，y就从-2×1 ＋ 3 ＝ 1变成了-2×3 ＋ 3 ＝ －3，y随着x的增大而减小了。 五、一次函数的奇偶性 1、 特殊情况 有些一次函数是奇函数或者偶函数。如果b ＝ 0，那么一次函数y ＝ kx就是奇函数。奇函数有一个很有趣的特点，就是关于原点对称。我给大家举个例子，就像一个圆形的摩天轮，它的中心就是原点。如果我们把摩天轮的一边看成是一次函数y ＝ kx的图像的一部分，那么另一边就是它关于原点对称的部分。比如说y ＝ 3x，当x ＝ 1时，y ＝ 3；当x ＝ －1时，y ＝ －3，是不是关于原点对称呢？ 2、 一般情况 但是如果b不等于0，那么一次函数y ＝ kx ＋ b就既不是奇函数也不是偶函数。这就像一个不对称的东西，比如说我们的鞋子，左右脚的鞋子形状一样，但是如果把一只鞋子放在原点，它的两边并不对称，就像y ＝ 2x ＋ 1这样的一次函数。 六、一次函数在实际生活中的应用 1、 成本与产量 在工厂里，一次函数经常被用来计算成本和产量的关系。比如说，生产一个产品的成本包括固定成本和变动成本。固定成本就像我们前面说的b，不管生产多少个产品，这个成本都存在。变动成本就像kx，随着产量x的增加而增加。如果一个工厂生产一个产品的变动成本是5元（k ＝ 5），固定成本是1000元（b ＝ 1000），那么总成本y就可以用y ＝ 5x ＋ 1000这个一次函数来表示。这样，老板就可以根据这个函数来计算不同产量下的成本，从而决定生产多少产品最划算。 2、 距离与时间 在我们出行的时候，一次函数也能派上用场。假如我们坐汽车，汽车的速度是恒定的，比如说每小时60千米（k ＝ 60），我们一开始离出发点的距离是10千米（b ＝ 10），那么我们离出发点的距离y和时间x的关系就可以用y ＝ 60x+ 10来表示。这样我们就可以知道在不同时间我们离出发点有多远了。 七、课程重点和难点 1、 重点 重点就是要理解k和b对一次函数图像和性质的影响。要能熟练地根据k和b的值画出一次函数的图像，并且知道这个函数是单调递增还是单调递减的。就像我们要记住不同的钥匙开不同的锁一样，看到k和b的值就能马上知道这个一次函数的各种性质。 2、 难点 难点呢，可能就是对一次函数奇偶性的理解，尤其是对于b不等于0时为什么不是奇函数也不是偶函数，这个可能有点绕。还有就是在实际生活中如何准确地找出一次函数的关系，因为实际生活中的情况有时候比较复杂，就像我们在一堆杂物中找东西一样，要准确地找到符合一次函数关系的那些量可不容易。 同学们，一次函数的性质就像一个宝藏，里面有很多有趣的东西等待我们去发现。只要我们认真学习，就一定能掌握这些知识，并且把它们运用到实际生活中去。希望今天讲的这些内容对大家学习一次函数的性质有所帮助哦。 学科网（北京）股份有限公司 $$